Elementi di Statistica descrittiva
Lez. 2 - Misure di tendenza centrale
- le Medie
- la Moda
- la Mediana
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Anno scolastico 2001/2002
Prof. Biasco
1
Valori MEDI (o indici di posizione)
Nello studio dei fenomeni collettivi è importante
calcolare dei valori sintetici che siano
rappresentativi dell’insieme dei dati,
che diano una visione d’insieme del fenomeno.
Tali valori si dicono MEDIE
Si possono definire diversi tipi di medie, tra le più
comuni si hanno: la media aritmetica, la mediana,
la moda, la media geometrica, la media armonica,
la media quadratica.
2
Esempio
Si vogliono confrontare le stature di 3 gruppi:
• Un gruppo di bambini
• Un gruppo di giocatori di pallacanestro
• Un gruppo di clienti di un supermercato
3
15
5
0
10
8
4
2
11
14
14
12
10
19
820
0
20
12
19
619
8
10
19
419
6
5
19
219
4
25
19
019
2
25
18
819
0
30
18
618
8
18
418
6
frequenze
35
frequenze
Poligono di frequenza - Statura Bambini
15
816
0
16
016
2
16
216
4
16
416
6
16
616
8
16
817
0
17
017
2
17
217
4
17
417
6
17
617
8
17
818
0
18
018
2
10
16
016
2
20
15
816
0
30
15
615
8
15
15
415
6
10
15
215
4
15
015
2
5
14
815
0
14
614
8
frequenze
Poligoni di frequenza dei tre
gruppi
Poligono di frequenza dei giocatori
30
25
27
20
15
10
5
7
3
0
8
10
Clienti di un supermercato
2
16
14
12
13
10
7
8
6
4
5
2
0
1
4
Elementi per cui le tre distribuzioni
differiscono
• Valore attorno al quale si distribuiscono i dati
• Diversa distribuzione dei dati attorno al centro
• Presenza più o meno accentuata di code a destra
o sinistra
• Distribuzione più o meno appuntita.
5
Confronto delle tre distribuzioni
Confronto tre distribuzioni
35
bambini
clienti supermercato
giocatori basket
30
25
20
15
10
5
14
614
15 8
015
15 2
415
15 6
816
16 0
216
16 4
616
17 8
017
17 2
417
17 6
818
18 0
218
18 4
618
19 8
019
19 2
419
19 6
820
0
0
6
Le misure che permettono di valutare
sinteticamente tali caratteristiche sono:
• Misure di tendenza centrale: MEDIE
• Misure di variabilità o dispersione
• Misure di forma (asimmetria, curtosi)
• Misure di concentrazione.
7
Le misure di tendenza centrale possono essere
distinte in due gruppi:
1° gruppo
Medie ferme
o analitiche
2° gruppo
Medie lasche
o di posizione
Media aritmetica
Media geometrica
Media armonica
Media quadratica
Moda
Mediana
8
Quali di queste è la Media “più giusta”?
Non esiste la “media migliore”, ma la media da
utilizzare deve essere scelta in relazione al
problema che si sta risolvendo.
La media più adatta, “più giusta”, va scelta a seconda
dei DATI e degli SCOPI dell’elaborazione
statistica.
9
Noi vedremo le seguenti medie:

La Media aritmetica
(semplicemente Media)

La Media geometrica

La Media Armonica

La Media quadratica

La Moda

La Mediana
10
Partiamo da un esempio:
Esempio 1
Una società di ricerca statistica deve determinare la
ricchezza degli abitanti di alcuni paesi al fine di
decidere dove aprire alcuni punti vendita per una
ditta operante nel settore commerciale.
I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella
11
Esempio 1 - Tabella
. dei redditi rilevati
reddito in milioni
freq. 1° paese
freq. 2° paese
0
5
10
15
20
30
40
50
11
8
13
24
16
32
12
4
4
16
34
46
24
12
10
4
totali
120
150
12
Esempio 1 - Diagramma delle frequenze dei redditi
Diagramma delle frequenze
50
frequenze
40
30
1° paese
20
2° paese
10
0
0
10
20
30
40
50
60
reddito (milioni)
13
Vogliamo calcolare dei valori numerici che siano
indicativi del grado di ricchezza/povertà della
popolazione del paese considerato.
Gli indici più utili potrebbero essere:
– il reddito medio
– il reddito più diffuso
– il reddito rispetto al quale la popolazione risulta
divisa in due parti uguali.
14
La Media Aritmetica
La media aritmetica rappresenta il reddito che
ogni abitante avrebbe se il reddito totale del
paese venisse equamente suddiviso tra tutti gli
abitanti
cioè nel caso in cui
1- ciascun abitante versa al sindaco tutto il suo
reddito (reddito totale non cambia),
2- Il sindaco divide in parti uguali il reddito
totale della città e lo ridistribuisce ai singoli
cittadini.
15
Vediamo come calcolarlo.
Se x1, x2, … xn sono i redditi degli n abitanti
il Reddito medio (la MEDIA dei redditi) viene calcolata nel
modo seguente:
1. Calcoliamo il reddito totale della popolazione:
n
Reddito totale  x 1  x 2  ...  x n   x i
i 1
16
2. Dividiamolo per il numero degli abitanti
n
Reddito totale x1  x 2  ...  x n
Reddito pro capite 


num. abitanti
n
x
i 1
i
n
Quindi la media dei redditi è:
n
x1  x2  ...  xn
Reddito medio  Media dei redditi 

n
x
i 1
n
17
i
Tornando all’esempio 1
Reddito relativo al 1° paese.
Reddito totale  0 11  5  8  10 13  ...  50  4  2490milioni
2490mil
Media dei redditi 
 20,75mil
120
18
In generale,
se x1, x2, … xn sono n dati numerici,
la loro Media aritmetica (media aritmetica
semplice) si ottiene sommando tutti i dati numerici
e dividendo la somma per il numero dei dati:
n
x1  x2  ...  xn
Media  M  x 

n
x
i 1
i
n
19
Dalla formula precedente avremo:
x1  x2  ...  x N  x  N
20
In particolare se gli n dati numerici sono tali che:
il dato x1 compare f1 volte, x2 f2 volte,…. xk fk volte,
la Media Aritmetica (Media aritmetica ponderata) è
data da:
k
x1  f1  x 2  f 2  ...  x k  f k
M

f1  f 2  ...  f k
x
i 1
i
 fi
n
21
Proprietà della media aritmetica
1. La media aritmetica è sempre compresa tra il valore
minimo e il valore massimo
x min  media  xmax
2. La somma degli scarti dalla media è sempre zero
posto xi = xi – media = xi – M (scarto dalla media)
si ha che:
n
Somma scarti dalla media   x i  0
i 1
22
3. La somma dei quadrati degli scarti dalla media è
minore della somma dei quadrati degli scarti da qualsiasi
altro valore numerico
n
Somma scarti    x i  M  ha valore minimo
2
2
i 1
Cioè se M è la media e A un qualsiasi altro numero allora
n
 x
i 1
 M    x i  A
2
i
n
2
i 1
23
La Media Geometrica
Def.
Siano x1, x2, … xn gli n valori, tutti >0,
assunti da una variabile numerica
La media geometrica G di questi valori è:
G  n x1  x2  .........  xn
Vediamo qualche esempio:
1- Se x1 e x2 sono i due lati di un rettangolo, la
media geometrica rappresenta il lato del quadrato
equivalente al rettangolo.
24
1- Se x1 e x2 sono i due lati di un rettangolo,
la media geometrica rappresenta il lato del quadrato
equivalente al rettangolo.
G
x2
x1
G · G = x 1 · x2
G
G  2 x1  x2
25
Esempio 2
Se x1, x2. x3 sono i tre lati di un parallelepipedo
rettangolo allora G è il lato di un cubo avente lo stesso
volume.
G · G · G = x 1 · x2 ·
x3
G  3 x1  x2  x3
26
• se gli n dati numerici positivi sono tali che: il dato
x1 compare f1 volte, x2 f2 volte,…. xk fk volte,
la Media Geometrica è data da:
G
N
x1  x2
f1
f2
 ..........  xk
fk
27
Esempio 3
Un capitale iniziale di 5.000 euro viene investito ad
interesse composto. Sapendo che il tasso d’interesse il
primo anno è del 2%, del 4% il secondo anno e del 6%
il terzo anno, calcolare il tasso medio relativo ai tre anni.
C0 = 5000
capitale iniziale:
C1 = C0 + C0 *r1 = C0(1 + r1) = 5000(1 + r1)
capitale alla fine del 1°anno
C2 = C1 + C1*r2 = C1(1 + r2) = C0(1 + r1)(1 + r2)
capitale alla fine del 2° anno
C3 = C2 + C2*r3 = C2(1 + r3) = C0(1 + r1)(1 + r2) (1 + r3)
capitale alla fine del 3° anno
28
se indichiamo con r il tasso medio annuo costante deve
risultare:
C3 = C0(1 + r)3
Per cui da
C3 = C0(1 + r1)(1 + r2) (1 + r3)= C0(1 + r)3
avremo che (1+r) è la media geometrica
(1 + r) = 3(1 + r1)(1 + r2) (1 + r3)
quindi
(1 + r)3 = 5622,24/5000
1 + r = 31,124

da cui
r  3,9 %
diversa dalla media aritmetica dei tassi = 4%
29
Esempio 4
Il numero di microrganismi di una certa coltura è
aumentato da 2000 a 9000 in 3 giorni. Calcolare
l’incremento medio giornaliero.
n0 = 2000
numero iniziale batteri:
n1 = n0 + n0 *r = n0(1 + r) = 2000(1 + r)
batteri alla fine del 1°giorno
n2 = n1 + n1*r = n1(1 + r) = n0(1 + r)2= 2000(1 + r)2
batteri alla fine del 2° giorno
n3 = n2 + n2*r = n2(1 + r) = n0(1 + r)3 = 2000(1 + r)3
batteri alla fine del 3° giorno
30
Esempio 4
E poiché alla fine del 3° giorno ci sono 9000 batteri
2000(1 + r)3 = 9000
(1 + r)3 = 9000/2000
1 + r = 34,5

r = 65,1 %
31
La Media Armonica
Def.
Siano x1, x2, … xn gli n valori, tutti >0,
assunti da una variabile numerica
La media armonica H di questi valori è:
1
N
H

1 1
1  1 1
   ...   
xi
xN  N
 x1 x2
32
La Media Quadratica
Def.
Siano x1, x2, … xn gli n valori assunti da una
variabile numerica
La media quadratica Q di questi valori è:
x1  x2  ...  x N

N
2
Q
2
2
33
)
x
La Moda (o valore modale)
La moda è uguale al dato che, nella distribuzione,
compare con frequenza più elevata,
cioè è il dato più rilevante, il dato più diffuso.
Nel caso dell’ Esempio 1 - 2° paese
Moda=
x̂ = 15 milioni
infatti 15 milioni è il reddito più diffuso
Cioè il gruppo di abitanti con un reddito di 15 mil.
è il più numeroso.
34
L’ortogramma dei redditi del secondo paese mostra chiaramente
un valore modale
frequenze
Diagramma a colonne
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
46
34
24
16
12
10
4
0
4
5
Moda = 15 mil.
10
15
20
30
40
50
reddito (milioni)
35
Osservazioni
La MODA è un valore medio interessante
Se la moda è un reddito basso allora c’è un gruppo
consistente di cittadini poveri
Se la moda è un valore alto c’è un gruppo consistente
di cittadini ricchi.
Se il reddito è legato al tipo di attività potrebbe
indicare che in quel paese una certa attività è la più
diffusa, o indicare il ceto sociale prevalente.
36
Esempio:
Se in 100 lanci di un dado otteniamo come valore
modale “significativo” il numero 5 allora con molta
probabilità il dado è truccato.
37
x%
xˆ
La Mediana
La Mediana è una media di posizione, è uguale al
valore che si trova al centro di una distribuzione
ordinata in modo crescente (o decrescente)
La Mediana ~
x divide i dati in due parti tali che :
• il numero di osservazioni  della Mediana
è uguale al
• numero di osservazioni  della Mediana
38
Esempio 1 - Tabella
dei voti
.
voti conseguiti
freq. 1° prova
freq. 2° prova
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
4
3
2
2
0
0
5
3
2
5
3
4
4
totali
15
26
39
Esempio:
2
3
4
4
5
5
5
5
6
6
6
8
8
9
9
6
6
8
8
9
9
Mediana
2
3
4
4
5
5
5
5
6
9
Madiana = 5 + 6 = 5,5
2
40
Io sono il
valore
MEDIANO
41
Fine lezione
42