Indici Statistici Descrittivi
Gli indici statistici descrittivi riassumono alcune caratteristiche delle
distribuzioni di frequenza consentendo il confronto fra le diverse
distribuzioni
Esistono tre diversi tipi di indici descrittivi:
a) quelli che tendono a “localizzare” la distribuzione e li chiameremo
indici di posizione (medie algebriche e misure di posizione);
b) quelli che tendono a misurare la “variabilità” o “dispersione” di una
distribuzione e li chiameremo indici di variabilità;
c) quelli che tendono a individuare la “forma” della distribuzione e li
chiameremo indici sulla forma.
1
Breve richiamo alle sommatorie
• Una simbologia molto utile e pratica, che permette di
scrivere in modo piuttosto conciso le somme è l'espressione
di sommatoria
n
 xi  x1  x2  ...  xn
i 1
• Proprietà delle sommatorie
1) La sommatoria di una somma è pari alla somma delle
sommatorie.
n
n
n
  X i  Yi    X i   Yi
i 1
i 1
i 1
2) Le costanti moltiplicative possono essere portate fuori dalla
sommatoria
n
n
 aX i  a  X i
i 1
i 1
2
Proprietà delle sommatorie
1) La sommatoria di una somma è pari alla somma delle sommatorie.
n
n
n
i 1
i 1
i 1
  X i  Yi    X i   Yi
2) La sommatoria del prodotto di una costate per una variabile è uguale al prodotto
della costante per la somma della variabile.
n
n
 aX i  a  X i
i 1
i 1
3) Sommare n volte una costante equivale a moltiplicare per n la costante
n
 a  na
i 1
Da cui si ricava
n
n
i 1
i 1
 a  X i   na   X i
3
Medie Algebriche
Media aritmetica
Media geometrica
Media armonica
Media quadratica
Medie potenziate di ordine k
4
Media aritmetica semplice
E’ la misura di tendenza centrale più utilizzata.
È definita come la somma del valore di tutte le osservazioni, diviso il
numero di unita:
n
 xi
x  x  ...  xn i 1
M 1 2

n
n
Dove:
M = media del campione
xi=i-esima osservazione della variabile X
n = numero di osservazioni
5
Esempio
Calcolare il peso medio in Kg di 5 cani:
10,9; 11,5; 12,3; 12,8; 15,4.
10.9  11.5  12.3  12.8  15.4
M
 12.58
5
Il peso medio è 12.58 Kg
6
Media Aritmetica Ponderata
Nel caso di una distribuzione di frequenza di una variabile
discreta non suddivisa in classi, la media aritmetica viene
calcolata come la somma dei prodotti delle modalità osservate
per le frequenze corrispondenti diviso il numero delle
osservazioni.
L’espressione matematica corrispondente è:

n
 xi  ni
x1  n1  x2  n2  ...  xn  nn
M
 i 1
n
n1  n2  ...  nn
 ni
i 1

 




7
Esempio
È stato rilevato il numero di esami sostenuti da 39 studenti iscritti al
primo anno. Calcolare il numero medio di esami.
Il numero medio di esami
sostenuti è dato da:


n
 xi  ni
69
M  i 1

 1.77
n
39
 ni
i 1
xi
ni
Xi°ni
0
12
0
1
8
8
2
6
12
3
6
18
4
4
16
5
3
15
Totale
39
69
8
Media Aritmetica per distribuzione di freq. di una
variabile quantitativa divisa in intervalli
In caso di una distribuzione di frequenza di una variabile
quantitativa discreta o continua suddivisa in intervalli, la media
aritmetica viene calcolata come la somma dei prodotti dei valori
centrali degli intervalli per le rispettive frequenze, diviso per il
numero delle osservazioni, ossia:
n .
.
 .

.


 x  n1    x  n2   ...   x n  nn 
 x i  ni 

 1
  2


 i 1 









M 

n
n1  n2  ...  nn
 ni
i 1
dove x1, x2, …,xn rappresentano i valori centrali degli intervalli in
cui risulta suddivisa la variabile (il valore centrale è dato dalla
semisomma di valori estremi di ogni intervallo) e n1, n2,…, nn sono
le frequenze assolute corrispondenti ad ogni intervallo.
9
Esempio
Si calcoli la media aritmetica del peso in Kg di 38 polli, raggruppati
in classi di frequenza:
Classi
Valore centrale (xi)
ni
xi ×ni
1.5-2.0
(1.5+2.0)/2=1.75
5
8.75
2.1-2.5
(2.1+2.5)/2=2.3
12
27.60
2.6-3.0
(2.6+3.0)/2=2.8
15
42.00
3.1-3.5
(3.1+3.5)/2=3.3
6
19.80
38
98.15
Totale
Il peso medio dei 38 polli è dato da:
98.15
M
 2.58
38
10
I PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA
n
 xi  M   0
i 1
Dimostrazione:
(dati semplici)
 n
  xi
n
n
n
 xi  M    xi  nM   xi  n i 1
 n
i 1
i 1
i 1


Nel caso di dati ponderati:

n
 xi
i 1
 M   ni  0


0



 n
  xi ni
n
n
n
n
n
 xi  M ni   xi ni  M  ni   xi ni   ni  i 1
 n
i 1
i 1
i i
i 1
i i
  ni
 i i


0


 11
II PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA
2
n
2
n
  xi  M     xi  A
i i
Dimostrazione:
2
n
i i
2
n
2
n
  xi  A   xi  M  M - A   xi  M M  A 
i i
i i
i i
Svolgendo il quadrato:
n
n
n
 xi  M    M - A  2M - A  xi  M  
2
i 1
2
i 1
i 1
n
… ma il termine rettangolare 2M - A  xi  M  è nullo per la I proprietà
i 1
n
n
2
2
e ponendo   M - A si ha:
  x i  M    M - A 
i 1
i 1
n
n
2
2
2
… poiché ne2>0
 xi - A    x i  M   nε
i 1
i 1

n
 xi
i 1
M 
2

n
 xi
i 1
- A2
CVD
12
ALTRE PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA
III Proprietà:
La media aritmetica è associativa. Ciò significa che se una popolazione di N unità
statistiche è divisa in più sottopopolazioni, la media aritmetica dell’intera
popolazione è uguale alla media aritmetica delle singole sottopopolazioni ponderata
con le rispettive numerosità. (Non è caratteristica della media aritmetica)
IV Proprietà
La media aritmetica non è esterna all’intervallo individuato dalla più piccola e dalla
più grande delle modalità della distribuzione. (Non è caratteristica della media aritmetica)
V proprietà
Considerata una distribuzione di media M, se si moltiplica ogni modalità della
distribuzione per una costante a e si aggiunge una costante b, la media aritmetica
della distribuzione è: aM+b
Si usa dire che la media aritmetica è invariante per trasformazioni affini.
13
Media Geometrica
La media geometrica semplice si utilizza quando le variabili sono ottenuti da
prodotti o rapporti di valori lineari.
È utilizzata in modo particolare in microbiologia e in ematologia
n
M g  n  xi
i 1
Es.: In 10 animali sono stati osservati i seguenti tassi di infusione di un dato
preparato farmacologico espressi in microgrammi per minuto:
4.7; 3.8; 5.2; 4.7; 3.9; 5.1; 5.3; 5.5; 4.9; 5.1
M g  10 4.7  3.8  5.2  ... 5.1  4.79 mg / min
In presenza di dati ponderati la media geometrica si calcola come:
Mg 
n n
N x i
i
i 1
14
Media Geometrica: proprietà
• La media geometrica semplice è non superiore alla media aritmetica.
• Il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei
logaritmi dei dati
1 n
1 n
log M g   log xi e per dati ponderati log M g 
 ni log xi
n i 1
N i 1
Riprendendo l’es. precedente
log 4.7  log 3.8  ...  log 5.1
log M g 
 0.677 
10
M g  anti log 0.677  M g  4.8mg / min
•La media geometrica è invariante per trasformazioni del tipo: Y = a Xb
(a>0) cioè se si moltiplicano tutte le modalità per a dopo averle elevate a b,
la media geometrica subisce lo stesso tipo di trasformazione.
•La media geometrica dei rapporti è uguale al rapporto delle medie
geometriche e non è esterna all’intervallo individuato dalla più piccola e
dalla più grande delle modalità.
15
Media Armonica
È utilizzata quando la maggior parte dei valori da sintetizzare sono compresi in un
intervallo abbastanza ristretto, mentre ci sono pochi valori (estremamente elevati)
che si discostano dall’andamento complessivo della variabile.
La media armonica è l’inverso della media aritmetica degli inversi delle modalità
supposte diverse da zero.
n
Ma 
n 1

i 1 xi
in generale per dati ponderati:
Ma 
N
n n
 i
i 1 xi
Per la media armonica valgono le seguenti proprietà:
• È invariante al variare dell’unita di misura;
• È non esterna all’intervallo individuato dalla più piccola e dalla più grande
modalità
• È non superiore alla media geometrica.
16
Esempio: Media Armonica
Codice bambino X (giorni)
Esempio: In un reparto di
neonatologia sono stati
osservati i tempi di degenza,
espressi in giorni, di 15
neonati:
15
Ma 
 13.074 giorni di degenza
1.147
1/X
1
4
0.270
2
29
0.035
3
6
0.161
4
26
0.039
5
25
0.040
6
19
0.052
7
7
0.154
8
29
0.034
9
15
0.066
10
23
0.043
11
22
0.046
12
18
0.055
13
17
0.059
14
24
0.041
15
19
0.053
Totale
1.147
17
Media Quadratica
• La media quadratica trova applicazione nell’analisi di superfici.
• È la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati:
n
2
 xi
M q  i 1
n
Mq 
n 2
 xi ni
i 1
n
 ni
i 1
(dati semplici)
(dati ponderati)
18
Media Quadratica: esempio
Supponiamo di voler conoscere la superficie media espressa in ettari di 14
allevamenti di bovini:
Cod. allevamento x (ettari di superficie)
x2
Mq 
5864
 418.857  20.466
14
La superficie media degli
allevamenti è di 20.466 ettari.
1
14
196
2
19
361
3
16
256
4
26
676
5
25
625
6
19
361
7
17
289
8
29
841
9
15
225
10
23
529
11
22
484
12
18
324
13
11
121
14
24
576
Totale
5864 19
Media Potenziata di ordine k
Con il nome di media potenziata d’ordine k, Mk si intende la radice
di ordine k (presa con segno positivo) delle somme delle k-esime
potenze dei dati, divisa per il numero dei termini.
n
Mk
k
 xi
k i 1

n

  xik
  i 1
 n


n
1
 k





per k=1 si ha la media aritmetica
per k = -1 si ha la media armonica
per k=2 si ha la media quadratica
per k→0 si ha la media geometrica
Si dimostra che le medie di potenze sono funzioni crescenti di k, cioè:
x1  ...  M a  M g  M  M q  ...  xN
20