Corso di Matematica I
Facoltà di Economia
Dipartimento di Matematica Applicata
Università Ca’Foscari di Venezia
Funari Stefania, [email protected]
Appunti su rendite e ammortamenti
1. Rendite
Per rendita si intende un insieme di capitali {R0, R1,…,Rn} da riscuotere (o da pagare) a
scadenze determinate {t0, t1,…,tn}, come visualizzato nel seguente diagramma importiepoche:
R0
R1
R2
t0
t1
t2
……
……
Rn
tn
I capitali R0, R1, R2, …., Rn sono chiamati rate della rendita. L’intervallo di tempo fra
due rate consecutive è detto periodo e generalmente esso è costante (si veda il paragrafo
Tipi di rendite). Una rendita ha una durata che è uguale all’intervallo di tempo fra
l’inizio del primo periodo e la fine dell’ultimo periodo.
1. 1 Tipi di rendite
Si possono distinguere le rendite in varie categorie, a seconda delle caratteristiche dei
tempi di scadenza e delle rate della rendita.
i) Rendite periodiche e rendite non periodiche
La distinzione fra rendite periodiche e non periodiche fa riferimento al tempo che
intercorre fra due rate consecutive. Nelle rendite periodiche l’intervallo di tempo che
intercorre fra due rate consecutive è uguale durante tutto l’orizzonte temporale della
rendita ed è chiamato periodo della rendita; si parla in questo caso di rendite annuali se
il periodo è l’anno, di rendite mensili se il periodo è il mese, di rendite semestrali se il
periodo è il semestre e così via.
ii) Rendite immediate e rendite differite
La prima rata della rendita può essere riscossa (o pagata), nel primo periodo della
rendita, in questo caso la rendita si dice immediata, oppure in un periodo successivo k e
in questo caso la rendita si dice differita di k periodi.
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 2
iii) Rendite posticipate e rendite anticipate
Assume rilievo il tempo di scadenza delle rate; si parla di rendite posticipate qualora la
scadenza di ciascuna rata sia riferita all’istante finale di ogni periodo:
Rk
tk-1
tk
k-mo periodo
Si parla di rendite anticipate qualora la scadenza di ciascuna rata sia riferita all’istante
iniziale di ogni periodo:
Rk
tk-1
tk
k-mo periodo
iv) Rendite costanti e rendite variabili
Per quanto riguarda gli importi delle rate si distingue fra le rendite costanti, in cui gli
importi delle rate sono tutti uguali fra di loro e le rendite con importi variabili; in
quest’ultimo caso è anche possibile che le rate si modifichino in base ad una certa legge,
ad esempio in progressione aritmetica o in progressione geometrica.
v) Rendite temporanee e rendite perpetue
Con riferimento al numero delle rate, si distingue fra le rendite temporanee, in cui il
numero delle rate è finito e le rendite perpetue in cui il numero delle rate è infinito.
1.2 Il problema della valutazione di una rendita
Quando si parla di rendite si pone il problema di determinare l’importo monetario che,
con riferimento ad un istante fissato, può essere considerato finanziariamente
equivalente alla rendita. Questo importo, chiamato valore della rendita, varia in
relazione alla scelta del regime finanziario utilizzato (solitamente nel calcolare il valore
di rendite si usa il regime della capitalizzazione composta), alla scelta del tasso di
interesse impiegato nel calcolo e alla scelta dell’istante di valutazione.
In particolare, il valore della rendita è chiamato valore attuale della rendita qualora
l’istante di valutazione coincida con l’istante in cui avviene la prima riscossione
(pagamento) o con un istante precedente; è chiamato montante della rendita qualora
l’istante di valutazione coincida con l’istante in cui avviene l’ultima riscossione
(pagamento) o con un istante successivo.
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 3
1.2.1 Calcolo del valore attuale di una rendita
Si consideri il caso di una rendita che consenta di riscuotere alla fine di ogni anno un
importo R, per n anni. Usando la terminologia del paragrafo precedente, si tratta di una
rendita temporanea, annua, costante di rata R, posticipata.
0
R
R
1
2
……
……
R
n
Si vuole calcolare il valore attuale della rendita all’istante t = 0. Per fare questo, basta
riportare ciascuna rata al tempo 0 mediante operazioni di attualizzazione; si calcola
quindi la somma dei valori attuali delle singole rate, utilizzando il regime di
capitalizzazione composta ad un tasso annuo di interesse i, supposto per semplicità
costante per tutta la durata dell’operazione.
V
0
R
R
1
2
……
……
R
n
V = R( 1 + i )−1 + R( 1 + i )− 2 + ... + R( 1 + i )− n
Considerato il fattore di attualizzazione v = ( 1 + i )−1 si può scrivere
V = Rv + Rv 2 + ... + Rv n
da cui
V = R( v + v 2 + ... + v n )
(1)
(2)
(3)
Poichè i termini entro parentesi costituiscono una progressione geometrica di ragione v,
si può scrivere il valore attuale come1:
1− vn
1− vn
V = Rv
=R
1− v
i
(4)
Ad esempio il valore attuale al tempo 0 di una rendita di rata 30€ esigibile alla fine di
ogni anno per 5 anni, calcolato ad un tasso annuo di interesse del 10%, è uguale a:
V = 30
1 − (1 + 0,1) −5
= 113,72 €
0,1
(5)
1− v n
si indica normalmente con il simbolo a n|i (“a figurato n al tasso i”) ed indica il
i
valore attuale di una rendita annua, posticipata, di n rate unitarie.
1
La quantità
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 4
Nel caso invece in cui la riscossione della rata avvenga in via anticipata all’inizio di
ogni anno, come rappresentato dal diagramma seguente
……
R
R
R
R
1
0
2
……
n-1 n
il valore attuale al tempo 0 si calcola come segue:
(6)
Vant = R + R(1 + i ) −1 + ... + R(1 + i ) −( n −1)
Considerato il fattore di attualizzazione v = (1 + i ) −1 , si può scrivere
(7)
Vant = R + Rv + Rv 2 + ... + Rv n −1
da cui
1− vn
(8)
1− v
Nell’esempio precedente di una rendita con R = 30€, n = 5, ed i = 10%, qualora le rate
siano riscosse in via anticipata, si ottiene un valore attuale uguale a
Vant = R (1 + v + v 2 + ... + v n −1 ) = R
Vant = 30
1 − (1 + 0,1) −5
= 125,10 €
(9)
1 − (1 + 0,1) −1
Alternativamente, se si conosce già il valore attuale della rendita posticipata, si può
semplicemente utilizzare la seguente relazione che lega i due valori attuali:
(10)
Vant = (1 + i )V
Nell’esempio, Vant = ( 1 + 0 ,1 )113,72 = 125,10 €.
1.2.2 Calcolo del montante di una rendita
Si consideri una rendita posticipata, di rata costante R e durata n anni. Questa volta
interessa conoscere l’importo M che, con riferimento all’istante in cui avviene l’ultima
riscossione, può essere considerato finanziariamente equivalente a riscuotere R alla fine
di ogni anno, per n anni.
0
R
R
1
2
……
……
M
R
n
Tale importo è chiamato valore finale, o montante della rendita, e viene calcolato
capitalizzando ogni singola rata all’epoca n e poi sommando
(11)
M = R( 1 + i )n −1 + R( 1 + i )n − 2 + ... + R( 1 + i ) + R
Considerato il fattore di capitalizzazione u = ( 1 + i ) si può scrivere
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 5
da cui
M = Ru n −1 + Ru n − 2 + ... + Ru + R
(12)
(13)
M = R( u n −1 + u n − 2 + ... + u + 1 )
Considerato che i termini entro parentesi costituiscono una progressione geometrica di
ragione u, si può scrivere il montante come2:
1− un
1− un
u n −1
(14)
M =R
=R
=R
1− u
1 − (1 + i )
i
Nell’esempio di una rendita di rata 30€ esigibile alla fine di ogni anno per 5 anni, il
montante all’epoca n, calcolato ad un tasso annuo di interesse del 10%, è uguale a
( 1 + 0 ,1 )5 − 1
(15)
M = 30
= 183,15 €
0 ,1
E’ interessante osservare che in virtù della proprietà di scindibilità della capitalizzazione
composta è equivalente capitalizzare ogni rata all’epoca n e poi sommare oppure
calcolare la somma dei valori attuali delle rate all’epoca 0 (valore attuale della rendita) e
poi capitalizzare il risultato così ottenuto per n anni; vale quindi la relazione
(16)
M = V ( 1 + i )n
Qualora l’operazione finanziaria abbia breve durata, per calcolare il montante di una
rendita si potrebbe adottare il regime della capitalizzazione semplice. Ad esempio, si
consideri la situazione di una rendita che consente di riscuotere un importo uguale a
120€ all’inizio di ogni trimestre. Si vuole calcolare il montante di tale rendita alla fine
dell’anno in corso, in regime di capitalizzazione semplice, utilizzando un tasso di
interesse annuo i = 0,03 .
9
6
3
M = 120( 1 + i ) + 120( 1 + i ⋅ ) + 120( 1 + i ⋅ ) + 120( 1 + i ⋅ ) = 489€
12
12
12
1.2.3 Osservazione: uso di tassi di interesse equivalenti
Potrebbe capitare che il tasso di interesse i sia riferito ad un periodo diverso da quello
della rendita. Ad esempio si potrebbe considerare la situazione di una rendita che
consente di riscuotere un certo importo R alla fine di ogni mese, per n mesi e si conosca
il tasso annuo di interesse i.
In questo caso prima di impiegare le formule per il calcolo del valore attuale e del
montante, occorre calcolare il tasso di interesse im, riferito ad 1/m-simo di anno,
equivalente al tasso annuo i:
(17)
i = ( 1 + i )1 / m − 1
m
Ad esempio il valore attuale di una rendita che preveda la riscossione mensile, in via
posticipata di 258€ per 48 mesi, al tasso di interesse annuo i del 10%, si calcola come
V = 258
1 − ( 1 + i12 )−48
= 10255,97€
i12
u n −1
si indica normalmente con il simbolo s n|i ed indica il montante di una rendita annua,
i
posticipata, di n rate unitarie.
2
La quantità
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 6
dove i12 = ( 1 + 0 ,1 )1 / 12 − 1 = 0,00797414 rappresenta il tasso di interesse mensile,
equivalente al tasso di interesse annuo i.
1.3 Problemi relativi alle rendite
Si riprenda la formula (4) che permette di calcolare il valore attuale di una rendita con
rata costante, posticipata, uguale ad R:
1 − ( 1 + i )− n
V =R
i
(18)
Compaiono quattro grandezze: il valore attuale V, la rata R, la durata n ed il tasso di
interesse i. Se si conoscono i valori di tre di queste grandezze, si può determinare il
valore della quarta. La relazione precedente, appunto, determina V noti R, n, i.
1.3.1 Calcolo della rata
Per calcolare l’importo della rata che consente di ottenere un certo valore attuale, basta
ricavare R dalla relazione precedente:
Vi
R=
(19)
1 − ( 1 + i )− n
1.3.2 Calcolo del numero delle rate
Noto il valore attuale della rendita, la rata ed il tasso di interesse, è possibile
determinare n, cioè determinare il numero delle rate che occorre versare per ottenere un
certo valore attuale V. La relazione (18) può essere scritta come
V 1 − ( 1 + i )− n
(20)
=
R
i
da cui
(21)
Vi
1 − = ( 1 + i )− n
R
risolvendo mediante i logaritmi, si ha
Vi
log( 1 − )
(22)
R
n=−
log( 1 + i )
R
con la condizione V < .
i
1.3.3.Calcolo del tasso di interesse
A volte si presenta il problema di determinare il tasso di interesse associato ad una
rendita, qualora si conosca il valore attuale, il numero e l’importo delle rate.
Si riprenda la formula (1) per il calcolo del valore attuale che può essere scritta come
(23)
R( 1 + i )−1 + R( 1 + i )− 2 + ... + R( 1 + i )− n − V = 0 ⇔ g ( i ) = 0
L’obiettivo è quello di cercare il valore della variabile i che risolve l’equazione
g ( i ) = 0 . La soluzione può essere ricercata utilizzando alcuni metodi approssimati, fra i
quali ricordiamo un metodo iterativo per la ricerca degli zeri di una funzione. Il metodo
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 7
si basa sul fatto che se una funzione continua in un intervallo assume in due punti a e b
dell’intervallo valori di segno diversi, allora essa si annulla almeno una volta in (a,b).
Solo per dare un’idea, l’applicazione del metodo iterativo per la ricerca del tasso di
interesse parte da un valore iniziale del tasso di interesse i0 e procede con il calcolo di
g(i0) in base alla (23); se si trova che g(i0)=0 allora i0 è il tasso di interesse cercato;
altrimenti, se ad esempio g(i0)>0 si cercherà di diminuire il primo membro
dell’equazione aumentando il tasso di interesse e quindi considerando i1>i0; si calcola
nuovamente g(i1) e se si trova che g(i1)<0, allora si può restringere la ricerca
nell’intervallo (i0, i1), ripetendo il procedimento. Si osservi che la regola per la
variazione del tasso sfrutta la proprietà che il valore attuale di una rendita è una
funzione decrescente del tasso di interesse.
2. Il problema del rimborso di un prestito
Un problema molto comune in sede economica è quello dell’ammortamento di un
debito. L’operazione di ammortamento si configura nel modo seguente.
Al momento t = 0 un soggetto (detto mutuatario o debitore) riceve a prestito da un altro
soggetto (detto mutuante o creditore) una somma S (detta mutuo o prestito) e deve
restituirla entro un certo periodo di tempo riconsegnando non solo il capitale ricevuto
ma anche gli interessi. Il rimborso del prestito può avvenire in vari modi, che sono
disciplinati anche dalle norme di legge sui contratti di mutuo. Se ne ricordano due in
particolare.
Rimborso globale
i)
In questo caso il rimborso del capitale avuto in prestito avviene in un’unica
soluzione, alla scadenza del contratto di mutuo, insieme agli interessi maturati. Dal
punto di vista del debitore, l’ammortamento è visto come una operazione finanziaria
in cui all’epoca t = 0 si riceve la somma S e all’epoca t = n si restituisce al creditore
la somma in n finanziariamente equivalente all’importo S. Alla scadenza, quindi, il
debitore verserà S (1 + i ) n , cioè il montante in n dell’importo S, calcolato impiegando
il regime della capitalizzazione composta con un tasso di interesse i:
S
-S(1+i)n
0
n
Dal punto di vista del creditore l’ammortamento è visto come un’operazione
finanziaria opposta, in cui all’epoca 0 si eroga l’importo S e all’epoca n si riceve il
rimborso del capitale unitamente agli interessi maturati:
-S
S(1+i)n
0
n
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 8
ii)
Rimborso rateale (ammortamento progressivo)
In questo caso si verifica la restituzione graduale del capitale che avviene in più
scadenze successive ed il pagamento degli interessi in ciascuna scadenza. La durata
del prestito viene quindi suddivisa in varie scadenze t 0 , t1 ,..., t k ,..., t n .
Rk
Ck
t0
t1
…
Ik
tk
…
tn
Ad ogni scadenza k-esima il debitore paga un’importo (Ck) a titolo di rimborso del
capitale (quota capitale) ed un importo (Ik) a titolo di interesse (quota interesse). Quindi
ad ogni scadenza il debitore paga sia la quota capitale che la quota interesse. Indicata
con Rk la rata di ammortamento, la somma che complessivamente il debitore paga alla
scadenza k, si ha che Rk = Ck + Ik.
Dal punto di vista del debitore l’ammortamento si configura come un’operazione
finanziaria in cui si riceve S all’epoca t0 e si pagano le rate di ammortamento R1, R2,..,
Rn, alle varie epoche t1 ,...,t k ,...,t n . All’opposto il creditore eroga S all’epoca 0 e riceve
gli importi R1, R2,.., Rn, alle varie scadenze.
2.1 Il piano di ammortamento
Nel caso del rimborso rateale del prestito si tratta di determinare gli importi che in
ciascuna scadenza il debitore dovrà restituire al creditore. Si tratta quindi di determinare
le quote parziali di rimborso del capitale e l’ammontare degli interessi da pagare in
ciascuna scadenza, che saranno commisurati di volta in volta al capitale che a tale
scadenza risulta non ancora restituito.
Si consideri inizialmente la situazione in cui le epoche di rimborso parziale sono
equidistanti una dall’altra (scadenze 0, 1,…, k, …, n) e i pagamenti avvengono in via
posticipata alla fine di ogni scadenza pattuita.
E’ possibile organizzare le specifiche relative ai tempi di rimborso e al pagamento delle
quote in un prospetto che prende il nome di piano di ammortamento.
Ad ogni scadenza è importante conoscere anche l’ammontare del debito residuo e
l’ammontare del debito estinto; ammortizzare un mutuo significa versare alle varie
scadenze le rate previste in modo che il debito residuo finale si azzeri e, allo stesso
modo, che il debito estinto raggiunga l’importo del prestito che è stato concesso.
Si indichi con:
S
l’ammontare del prestito;
la quota che il debitore paga alla scadenza k, a titolo di rimborso
Ck
del capitale (quota capitale);
Ik
la quota che il debitore paga alla scadenza k, a titolo di interesse
(quota interesse);
Rk
l’importo totale versato dal debitore alla scadenza k (rata di
ammortamento), dove
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 9
Rk = C k + I k
2.1.1 Condizione di chiusura sulle quote capitale
Poiché il prestito S viene suddiviso in parti da rimborsare alle diverse scadenze, deve
essere rispettato il vincolo:
(24)
C1 + C2 + ... + Ck + ... + Cn = S
il che significa che la somma di tutte le quote di capitale versate coincide con
l’ammontare del prestito.
2.1.2 Condizione di equità sulle rate
L’ammortamento si configura come un’operazione finanziaria in cui si riceve S (o si
paga S se si considera il punto di vista del creditore) all’epoca 0 e si pagano
(rispettivamente si ricevono se si considera il punto di vista del creditore) le rate di
ammortamento R1, R2,.., Rn, alla fine di ciascun periodo 1, 2,.., n , nell’ipotesi di
pagamenti posticipati.
0
R1
R2
1
2
……
……
Rn
n
Deve essere quindi verificata una condizione di equivalenza finanziaria fra la
prestazione S all’epoca 0 e la successione degli importi (rate) R1, R2,.., Rn, alle diverse
epoche. Ciò significa che il mutuo S deve coincidere con il valore attuale, calcolato al
tempo iniziale 0, della rendita descritta dalle rate R1, R2,.., Rn
(25)
S = R1 (1 + i ) −1 + R2 (1 + i ) −2 + .... + Rn (1 + i ) − n
dove i rappresenta il tasso uniperiodale di interesse, considerato il regime di
capitalizzazione composta.
2.1.3 Debito residuo
Risulta interessante determinare ad ogni scadenza k-esima l’ammontare di denaro che il
debitore deve ancora restituire, a titolo di capitale, per estinguere il debito. Tale
grandezza viene denominata debito residuo all’epoca k e viene indicata con Dk. Si può
esprimere il debito residuo considerando le quote capitale che hanno scadenza
successiva a k
(26)
Dk = C k +1 + Ck + 2 + ... + Cn
Da tale relazione si ricava che il debito residuo iniziale coincide con l’importo del
mutuo, mentre il debito residuo finale si annulla
D0 = C1 + C2 + ... + C n = S
Dn = 0
(27)
(28)
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 10
L’ultima relazione, quella di azzeramento del debito residuo, può essere vista come una
condizione di equità o condizione di chiusura dell’operazione di ammortamento.
E’ anche possibile esprimere il debito residuo ad una certa scadenza aggiornando il
debito residuo ottenuto alla scadenza precedente, nel modo seguente
(29)
Dk = Dk −1 − C k
2.1.4 Debito estinto
Si definisce debito estinto all’epoca k, e si indica con Ek, l’ammontare di denaro che il
debitore ha già versato a titolo di rimborso del capitale. Si può esprimere il debito
estinto considerando le quote capitale già versate fino alla scadenza k-esima
(30)
E k = C1 + C2 + ... + Ck
Da tale relazione si ricava che il debito estinto iniziale è nullo, mentre il debito estinto
alla scadenza n coincide con l’ammontare del prestito S
(31)
E0 = 0
(32)
E = C + C + ... + C = S
n
1
2
n
Conoscendo il debito estinto ad una certa scadenza si può ottenere il debito estinto alla
scadenza successiva mediante la regola di aggiornamento
(33)
E k = E k −1 + C k
2.1.5 Quota interesse
Sia i il tasso di interesse riferito all’unità temporale presa in considerazione; se ad
esempio le epoche di rimborso parziale sono misurate in anni, il tasso i corrisponde al
tasso annuo di interesse. Alla scadenza di ogni rata k-esima si possono calcolare gli
interessi commisurati al capitale che a tale scadenza risulta non ancora restituito, cioè
gli interessi generati dal debito residuo, nel modo seguente:
(34)
I k = i ⋅ D k −1
Si osservi che qualora le epoche di rimborso siano scadenze generiche t1 ,...,t k ,...,t n ,
non necessariamente equidistanti una dall’altra, si dovranno calcolare gli interessi
maturati dal debito residuo in ciascun generico intervallo (t k −1 , t k ) :
(35)
I = D [(1 + i ) t k − t k −1 − 1]
k
k −1
La relazione (34) è un caso particolare della (35) posto t k − t k −1 = 1 (epoche
equidistanti).
2.1.6 Redazione del piano di ammortamento
Le grandezze fondamentali che compaiono nell’operazione di ammortamento, l’importo
del mutuo (S), le scadenze del rimborso k ( k = 0 , 1,...,n ), la successione delle rate di
ammortamento (Rk), delle quote capitale (Ck), delle quote interesse (Ik), del debito
residuo (Dk), e del debito estinto (Ek), sono organizzate solitamente in un prospetto
denominato piano di ammortamento in cui ogni colonna del piano viene intestata ad una
di tali successioni. Una volta redatto il piano di ammortamento si possono verificare le
relazioni esistenti fra i vari elementi del piano, le condizioni di chiusura e di
equivalenza finanziaria dell’operazione di ammortamento di un debito.
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 11
epoca
rata
0
-
1
2
…
k
R1
R2
…
Rk = C k + I k
…
Rn
…
n
quota
capitale
-
quota
interesse
-
C1
C2
…
Ck
I1
I2
…
Ik
…
Cn
…
In
debito
residuo
D0 = S
D1
D2
…
Dk = Dk −1 − C k
…
Dn = 0
debito
estinto
E0 = 0
E1
E2
…
E k = E k −1 + C k
…
En = S
2.1.7 Esempio
Si contrae un prestito di 18.000€ con durata 5 anni e si concordando le seguenti quote di
capitale: 4.500 € alla fine del primo e del terzo anno, 2.000 € alla fine del secondo e del
quinto anno. Si sa che il tasso di interesse annuo è del 12% in regime di capitalizzazione
composta. Si vuole redigere il piano di ammortamento del mutuo.
Si considerino i dati del problema:
S = 18.000 €; n = 5; i = 0,12;
C1 = C3 = 4.500 €; C2 = C5 = 2.000 €.
Il piano di ammortamento del prestito si presenta come segue:
k
0
1
2
3
4
5
Rk
6.660
3.620
5.880
5.840
2.240
Ck
4.500
2.000
4.500
5.000
2.000
Ik
2.160
1.620
1.380
840
240
Dk
18.000
13.500
11.500
7.000
2.000
0
Ek
0
4.500
6.500
11.000
16.000
18.000
Per compilarlo si può partire scrivendo nelle celle corrispondenti alcuni dati del
problema (C1 = 4.500€, C2 = 2.000 €, C3 =4.500 €, C5 =2.000 €). Inoltre si conoscono
il debito residuo e il debito estinto iniziali (D0 = S = 18.000€, E0 = 0).
Dalla condizione di chiusura sulle quote capitale si può ricavare l’ammontare della
quarta quota capitale, note le altre e noto l’importo del mutuo:
C 4 = S − (C1 + C 2 + C3 + C5 ) = 5.000 €
Una volta che si conoscono le cinque quote capitale si può trovare la successione dei
debiti residui, impiegando la regola di aggiornamento (29) e la successione dei debiti
estinti, impiegando la regola di aggiornamento (33). Noti i debiti residui in ciascuna
scadenza k, si possono poi trovare le quote interesse Ik (k = 0,1,..,5), tramite la relazione
(34). Infine, nota la colonna delle quote capitale e delle quote interesse, si può trovare la
successione delle rate.
2.2 Nuda proprietà e usufrutto
Durante un’operazione di ammortamento vi può essere la necessità di valutare gli
impegni futuri, considerato un certo istante di valutazione ed un particolare tasso di
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 12
valutazione. A volte infatti si stipula un contratto di ammortamento, ma poi decorso un
certo periodo di tempo si può avere la necessità di rivedere le condizioni del contratto,
oppure di saldare anticipatamente il mutuo, oppure di allungarne la durata. In tutti questi
casi è utile valutare l’impegno finanziario futuro; solitamente la valutazione viene fatta
impiegando un tasso di valutazione diverso dal tasso di remunerazione del prestito.
Indicata con k una certa epoca, si definisce valore del prestito all’epoca k (chiamato
anche corso dell’operazione finanziaria) il valore attuale in k delle rate ancora da
corrispondere, calcolato in base ad un generico tasso di valutazione x:
(36)
W ( x) = R (1 + x) −1 + R
(1 + x) −2 + .... + R (1 + x) −( n − k )
k
k +1
k +2
n
k
k +1
k +2
n
k
k +1
k +2
n
Si definisce nuda proprietà del prestito all’epoca k il valore attuale in k delle quote
capitale ancora da corrispondere, calcolato in base al tasso di valutazione x
(37)
P ( x) = C (1 + x) −1 + C
(1 + x) −2 + .... + C (1 + x) − ( n − k )
Infine, si definisce usufrutto del prestito all’epoca k il valore attuale in k delle quote
interesse ancora da corrispondere, calcolato in base al tasso di valutazione x
(38)
U ( x) = I
(1 + x) −1 + I
(1 + x) −2 + .... + I (1 + x) − ( n − k )
Dalle definizioni date e utilizzando la proprietà di decomposizione della rata di
ammortamento nelle sue componenti (quota capitale e quota interesse), segue che il
valore del prestito ad una certa epoca k, valutato in base ad un dato tasso di valutazione,
non è altro che la somma della nuda proprietà e dell’usufrutto del prestito
(39)
Wk ( x) = Pk ( x) + U k ( x)
Si osservi che il calcolo del valore del prestito, della nuda proprietà e dell’ usufrutto può
anche essere effettuato adottando un regime diverso da quello solitamente impiegato
della capitalizzazione composta; inoltre, tali grandezze possono essere riferite ad un
generico istante s che non coincide con alcuna delle scadenze di rimborso del piano. In
questi casi si dovranno riformulare le relazioni (36)-(37)-(38) in modo che siano in
grado di rappresentare il caso considerato.
2.2.1 Esempio
Si consideri l’esempio del paragrafo precedente dell’ammortamento di un mutuo di
18.000€ da ammortizzarsi in cinque anni. Si vuole calcolare la valutazione del prestito,
la nuda proprietà e l’usufrutto, dopo aver corrisposto le prime due rate, impiegando un
tasso di valutazione del 15%.
Posto k = 2, x = 0,15, si può calcolare dapprima la nuda proprietà P2(0,15) e l’usufrutto
U2(0,15) impiegando la (37) e la (38):
P2 (0,15) = 4.500(1 + 0,15) −1 + 5.000(1 + 0,15) −2 + 2.000(1 + 0,15) −3 = 9.008,79
U 2 (0,15) = 1.380(1 + 0,15) −1 + 840(1 + 0,15) −2 + 240(1 + 0,15) −3 = 1.992,97
Poi, tramite la (39), si calcola la valutazione del prestito
W2 (0,15) = P2 (0,15) + U 2 (0,15) = 11.001,76
2.3 Ammortamento con quote di capitale costante
Un particolare metodo di ammortamento prevede il pagamento, da parte del debitore, di
quote capitale tutte uguali ad un comune importo C.
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 13
(40)
C1 = C 2 = ... = C n = C
Tale tipo di ammortamento è anche chiamato metodo italiano o metodo uniforme.
Se si conosce l’ammontare del prestito S si può ricavare immediatamente l’ammontare
della quota capitale costante da versare alla fine di ciascuna scadenza pattuita; ciò si
ottiene utilizzando la condizione di chiusura sulle quote capitale:
(41)
S
C1 + C 2 + ... + Cn = S
nC = S
C=
n
Si può mostrare come in tale tipo di ammortamento le quote di debito residuo, le quote
interesse e le rate di ammortamento siano decrescenti in progressione aritmetica.
2.3.1 Debito residuo
Dalla condizione (29) di aggiornamento del debito residuo, essendo la quota capitale
costante in ciascuna scadenza k-esima ( C k = C ∀k ) , si ottiene la relazione
(42)
Dk − Dk −1 = −C
k = 1,2,..., n
ciò significa che la differenza fra il debito residuo ad una certa scadenza e il debito
residuo alla scadenza precedente è costante ed è uguale a –C, che rappresenta la ragione
della progressione aritmetica.
2.3.2 Quota interesse
Si consideri la quota interesse all’epoca k+1, calcolata sulla base del debito residuo alla
scadenza precedente
(43)
I k +1 = i ⋅ Dk
dalla relazione (42) si può scrivere il debito residuo alla scadenza k come:
Dk = Dk −1 − C
per cui sostituendo in (43) si ottiene
I k +1 = i ( Dk −1 − C ) = iDk −1 − iC
(44)
(45)
ed essendo iDk −1 = I k , si ottiene
(46)
I k +1 = I k − iC
I k +1 − I k = −iC
il che significa che le quote interesse si presentano in progressione aritmetica
decrescente, con ragione –iC.
2.3.3 Rata di ammortamento
In modo analogo si può dimostrare che anche le rate di ammortamento si presentano in
progressione aritmetica decrescente, con ragione –iC, cioè
(47)
Rk +1 − Rk = −iC
Infatti si può far vedere che la differenza fra le rate di ammortamento in due scadenze
successive coincide con la differenza fra le quote interesse in due scadenze successive,
la quale a sua volta è uguale a –iC, per la (46).
Infatti si possono esprimere le rate di ammortamento alle scadenze k e k+1, come
somma delle quote capitale (costanti) e delle quote interesse:
Rk = C + I k e Rk +1 = C + I k +1
da cui
Rk +1 − Rk = C + I k +1 − C − I k = I k +1 − I k
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 14
2.3.4 Esempio
Si vuole ammortizzare, con il metodo italiano, 1.000 € al tasso di interesse del 10%
annuo, in 5 anni. Il piano di ammortamento si presenta come segue
k
0
1
2
3
4
5
Rk
300
280
260
240
220
Ck
200
200
200
200
200
Ik
100
80
60
40
20
Dk
1.000
800
600
400
200
0
Ek
0
200
400
600
800
1.000
In primo luogo si può calcolare l’ammontare della quota capitale da pagare alla fine di
ciascun anno
1.000
5C = 1.000
C=
= 200€
5
ciò consente di riempire immediatamente la colonna intestata alla quota capitale.
Successivamente, sfruttando la relazione di aggiornamento del debito residuo
( Dk = Dk −1 − C , con D0 = S = 1.000 ) si può riempire la colonna intestata al debito
residuo; si nota appunto come le quote Dk siano in progressione aritmetica decrescente
di ragione –200. Una volta noto il debito residuo in ciascuna scadenza, si possono
calcolare le quote interesse, che saranno decrescenti in progressione aritmetica di
ragione –iC = -20 e le rate di ammortamento come somma delle quote capitale e delle
quote interesse.
2.4 Ammortamento a rate costanti
Un altro particolare metodo per ammortizzare un prestito prevede rate di ammortamento
tutte uguali ad un comune importo R, in ciascuna scadenza considerata
(48)
R1 = R2 = ... = Rn = R
Tale tipo di ammortamento è anche chiamato metodo francese o metodo progressivo in
senso stretto.
In questo caso la condizione di equivalenza finanziaria impone che l’importo del
prestito S deve coincidere con il valore attuale calcolato al tempo iniziale 0 della rendita
a rata costante R, cioè, ricordando la formula (4) del capitolo dedicato alle rendite
1− vn
(49)
i
Se si conosce l’ammontare del prestito S, il numero delle rate n ed il tasso di interesse i,
si può ricavare immediatamente l’ammontare della rata di ammortamento da versare
alla fine di ciascuna scadenza pattuita
i
R=S
(50)
1− vn
Una caratteristica di tale metodo di ammortamento è che le quote capitale Ck sono
crescenti in progressione geometrica (da cui il termine metodo d’ammortamento
progressivo). Infatti a partire dalle relazioni:
S=R
R = Rk = I k + C k = i ⋅ Dk −1 + C k
Appunti su rendite e ammortamenti, pag. 15
R = Rk +1 = I k +1 + Ck +1 = i ⋅ Dk + C k +1 = i ( Dk −1 − C k ) + Ck +1
essendo il primo membro uguale ad R per entrambe le equazioni, si possono uguagliare
i secondi membri e si ottiene:
i ⋅ Dk −1 + C k = i ⋅ Dk −1 − i ⋅ C k + C k +1
C k +1 = (1 + i )C k
il che significa che il rapporto fra la quota capitale ad una certa scadenza e quella alla
scadenza precedente è costante ed è uguale ad (1+i), che rappresenta la ragione della
progressione.
2.4.1 Esempio
Si vuole costruire il piano di ammortamento di un prestito di 20.000 € da restituire in
quattro rate costanti annuali al tasso di interesse annuo i = 0,06.
Il piano di ammortamento completo del debito si presenta come segue:
k
0
1
2
3
4
Rk
5.771,83
5.771,83
5.771,83
5.771,83
Ck
4.571,83
4.846,15
5.136,90
5.445,12
Ik
1.200
925,68
634,92
326,71
Dk
20.000
15.428,17
10.582,02
5.445,12
0
Ek
0
4.571,83
9.417,98
14.554,88
20.000
In primo luogo si può calcolare l’ammontare della rata di ammortamento, in base alla
relazione (50):
20.000 ⋅ (0,06)
R=
= 5.771,83€
1 − (1 + 0,06) − 4
Calcolata R e riempita l’intera colonna intestata alla rata, si possono calcolare le altre
grandezze del piano, calcolando per ciascuna scadenza k-esima (k = 1,…,4) la quota
interesse I k = i ⋅ Dk −1 , la quota capitale C k = Rk − I k e il debito residuo
Dk = Dk −1 − C k . Si osservi che le quote capitale crescono in progressione geometrica
di ragione 1,06.