Rendite e Ammortamenti
1
Le Rendite
Definizione
Successione di pagamenti scadenzati nel tempo. Ogni pagamento
prende il nome di Rata.
Caratteristiche delle Rendite:
• Certe / Aleatorie
• Periodiche / Aperiodiche
• Posticipate / Anticipate
• Temporanee / Perpetue
• Costanti / Variabili
• Immediate / Differite
2
Le Rendite
Valore Attuale di una Rendita
Somma che, impiegata a partire dall’istante di riferimento, in base al tasso di
interesse utilizzato per la valutazione, risulta esattamente sufficiente a
produrre tutte le rate della rendita alle scadenze previste
Montante di una Rendita
Capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all’istante
finale, vengono investite al tasso di interesse utilizzato per la valutazione
3
Le Rendite
Ragioniamo in termini di rendite unitarie.
•
Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata
•
Rendita Unitaria Annua Anticipata Immediata
4
Le Rendite
Ragioniamo in termini di rendite unitarie.
•
Rendita Unitaria Annua Posticipata Differita (3 anni)
•
Rendita Unitaria Annua Anticipata Differita (3 anni)
5
Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata
Valore Attuale
VA 
1
1
1
1


 ... 
2
3
1  i (1  i) (1  i)
(1  i) n
 v  v1  v 2  ...  v n
an i  v  v 2  v3 
 vn
1  vn
1  (1  i)  n


i
i
Montante
M  1  i 
n 1
 1  i 
n2
 1  i 
 r n1  r n2  r n3  ...  r  1
n 3
 ...  1  i   1
sn i  r n 1  r n 2  r n 3  ...  r  1
(1  i)n  1

i
6
Esercizio
Calcolare il Valore Attuale ed il Montante di una rendita annua posticipata
immediata di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di
interesse annuo del 5%.
an i
1  (1  i )  n 1  (1  0, 05) 4


 3,546
i
0, 05
sn i
(1  i ) n  1 (1  0, 05) 4  1


 4,310
i
0, 05
VA  R  an i  500  3,546  1.772,975
M  R  sn i  500  4,310  2.155, 063
7
Rendita Unitaria Annua Anticipata Immediata
Valore Attuale
VA  1  v  v  v  ...  v
1
2
n 1
an i
1  vn

 1  i   an i  1  i 
i
Montante
M r r
n
n 1
r
n2
 ...  r
sn i
sn i
(1  i)n  1

d
 1  i  sn i
con d 
i
1 i
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Esercizio
Calcolare il Valore Attuale ed il Montante di una rendita annua anticipata
immediata di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di
interesse annuo del 5%.
1  (1  i )  n
1  (1  0, 05) 4
an i 
 1  i  
 1  0, 05   3, 723
i
0, 05
i
0, 05
d

 4, 762%
1  i 1  0, 05
sn i
(1  i ) n  1 (1  0, 05) 4  1


 4,526
d
0, 04762
VA  R  an i  500  3, 723  1.861, 624
M  R  sn i  500  4,526  2.262,816
9
Rendita Unitaria Annua Posticipata Differita
Valore Attuale

t 1
t 2
t n
t
2
n
a

v

v

...

v

v
v

v

...

v
t/ n i

 v t an i
10
Esercizio
Calcolare il Valore Attuale di una rendita annua posticipata differita di 3 anni
di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo
del 5%.
VA  R t / an i  R  vt an i
 R  1  i  
t
1  1  i 
n
i
 500  1  0, 05  
3
1  1  0, 05 
0, 05
4
 1.531,563
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Rendita Unitaria Annua Anticipata Differita (3 anni)
Valore Attuale
t/

an i  vt  vt 1  ...  vt  n 1  vt 1  v  ...  v n 1
 vt an i


1  i t / an i
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Ricerca della Rata
Problemi relativi alle rendite: basta conoscere tre elementi tra VA, R, n, i per
ottenere - con qualche calcolo - il quarto.
Calcolare la Rata di una rendita annua posticipata immediata di durata 4 anni
e con rata di 1000 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.
VA  R  an i
1.000
R
a4 0,05
VA
R
an i
a4 0,05 
R
1  1  0, 05 
0, 05
4
 3,546
1.000
 282
3,546
13
Ricerca della durata
VA  R  an i
1  vn
VA
 R

 i  1 vn
i
R
VA
VA
n
v  1
 i  log v  n  log v  log(1 
 i)
R
R
VA
VA
log(1 
 i)
log(1 
 i)
R
R
n

log v
log(1  i)
n
14
Ricerca della durata
 Calcolare n se R=350, VA=1.262, i=0,12.
n
1262
.0,12)
350
5
log1,12
log(1 
15
Ricerca del Tasso
Calcolare il tasso effettivo “i” se VA=1000, R=350, n=5.
È necessario ricorrere all’interpolazione
VA
lim an i  0
i 
1046, 7
1000
991, 7
i0 i i1
i
16
Ricerca del Tasso
Nel nostro caso: VA  350.a5 i
i
12,50%
15, 00%
17,50%
20, 00%
22,50%
25, 00%
27,50%
VA 
1246, 2
1173,3
1107, 0
1046, 7
991, 7
941, 2
895, 0
17
Ricerca del Tasso
Pertanto il tasso cercato si colloca tra il 20,00% ed il 22,50%.
Abbiamo quindi i dati seguenti:
i0  0, 20
A0  1046, 7
i ?
A  1000
i1  0, 2250 A1  991, 7
18
Ricerca del Tasso
 Un valore approssimato di i sarà fornito da:
i1  i0
i  i0 
( A  A0 ) 
A1  A0
0, 2250  0, 20
 0, 20 
(1000  1046, 7)  0, 2212
991, 7  1046, 7
19
I piani d’ammortamento
• Il problema generale dell’ammortamento di un prestito riguarda le
modalità di rimborso del prestito.
• Se un operatore A presta ad un altro B, una somma S che
costituisce l’ammontare del prestito, B si impegna a restituirlo
entro n anni secondo tempi di rimborso stabiliti.
• Si stabilisce inoltre che l’operatore B, s’impegni a pagare
l’interesse sulla somma ancora dovuta, ad un tasso di
remunerazione i.
• A può scegliere di restituire il prestito in un’unica soluzione, o
versando delle rate periodiche e così via.
20
I piani d’ammortamento
Ad esempio se accendiamo un mutuo, dobbiamo azzerare gradualmente
il debito.
Forniamo la simbologia che sarà utilizzata.
S
Importo prestato
C1, C2,… Ch,…, Cn
Quote capitale ovvero le frazioni del
capitale prestato che m’impegno a
restituire.
i
Ih
Tasso di remunerazione del prestito
Quote interesse, che misurano il costo del
prestito anno per anno
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I piani d’ammortamento
Abbiamo detto che Ih rappresenta il costo del prestito anno per anno,
infatti io non pago solo la quota capitale, ma questa l’aumento della
quota interessi e all’epoca h pagherò una rata R pari a
Rh  Ch  I h
Rata dell’ammortamento: ciò
che pago nel generico anno
La quota d’interesse è proporzionale a due cose:
1. Il tasso d’interesse
2. Il capitale avuto a disposizione nell’anno, al termine del quale viene
pagata la quota interesse
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I piani d’ammortamento
I1  i  ( S )
Costo per il primo anno
I 2  i  ( S  C1 )
Costo per il secondo anno
I 3  i  ( S  C1  C2 )
Dh
Così via via per tutti gli anni
DEBITO RESIDUO ALL’EPOCA h
Quello che non ho ancora restituito del capitale prestato
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I piani d’ammortamento
Come si calcola il debito residuo?
Visione prospettiva:
Ch1  Ch 2  ...  Cn
Visione retrospettiva
Guardo al futuro: sommo le quote che
non ho ancora restituito
Guardo al passato: sottraggo dal prestito
iniziale le quote già pagate
S  C1  C2  ...  Ch
I h  Dh1  i
Quota interesse.
Debito residuo all’epoca precedente
24
I piani d’ammortamento
In base a quanto detto rappresentiamo il piano di ammortamento generico.
Ipotizziamo di aver ricevuto un prestito di 1.000 euro da restituire in 5 anni
con un tasso di interesse del 5% e quote capitali C=[100,200,300,200,200)
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Rimborso del capitale in un’unica soluzione
In questo caso il capitale preso in prestito S sarà restituito
integralmente a scadenza. Si dovranno però pagare gli interessi sul
capitale preso in prestito.
Riprendendo l’esempio di prima avremo.
Il debito residuo rimarrà pari al capitale inizialmente prestato
(es.1.000) fino al rimborso complessivo che avviene in t=5.
La rata da pagare comprenderà per i primi 4 anni solamente il
pagamento degli interessi sul debito residuo.
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L’ammortamento Francese
L’ammortamento Francese è caratterizzato dalla costanza delle Rate
dello schema di ammortamento.
Relazioni fondamentali
S  R  an i

R
S
an i
Ch 1  Ch 1  i 
Cn  R  v  Cn 1  R  v 2 ...  ...C2  R  v n 1  C1  R  v n
27
L’ammortamento Francese
Seguendo l’esempio di
ammortamento francese.
La Rata unica sarà:
R
cui
sopra
compiliamo
il
piano
di
S
1.000

 230,97
an i  1  1  0, 05 5 




0, 05


La prima quota capitale può essere determinata per differenza tra la
rata e la quota interesse ovvero secondo la relazione C1=R*vn
28
L’ammortamento Italiano
L’ammortamento Italiano è caratterizzato dalla costanza delle quote
capitali.
L’unica relazione fondamentale è: C1  C2  ...  Cn 1  Cn
C
S
n
Sempre in base allo stesso esempio fin qui trattato
29