Corso di Laurea in Economia Internazionale
Corso di Statistica (Progredito)
A.A. 2011/2012
PROCESSI DI
DIFFUSIONE DELLE
INNOVAZIONI
Analisi delle vendite di quattro modelli di cucine
commercializzate da Scavolini S.p.a. in alcuni
paesi dell‟Est Europa
Antonioli F.
Martini M.
Sirsi B.
Zahalka J.
1
ABSTRACT
In this paper we illustrate the application of innovation diffusion models to a set of four kitchens.
These products are commercialized by Scavolini of Italy in seven different East-European
countries.
The analysis is based on the utilization of different models which are all based on the model
developed by Bass in 1969. Those kind of non-linear regression models, which derivate from
various disciplines have shown to be particularly efficient in the statistical analysis. They permit
to obtain a set of important results starting merely from the sales charts.
In a second phase all the models have been smoothed by different ARIMA forecasting processes.
In the range of developed models we have then chosen the models which we thought could fit in
the best way the observed data. Finally we compared the results to make an overview of all the
results.
2
INDICE
ABSTRACT ......................................................................................................................... 2
INDICE ................................................................................................................................ 3
(a)
II)
INTRODUZIONE .................................................................................................... 9
Il settore delle Cucine ed il caso Scavolini ............................................................................. 11
II.1)
Storia Aziendale: ............................................................................................................ 11
II.1.A
Presentazione dell‟azienda ..................................................................................... 11
II.1.B
Comunicazione e distribuzione .............................................................................. 12
II.1.C
Mission e Valori Aziendali ..................................................................................... 12
II.2)
Principali Competitors .................................................................................................... 13
II.2.A
La Berloni S.p.A. .................................................................................................... 14
II.2.B
La Febal Cucine S.R.L. .......................................................................................... 15
II.3)
L‟incidenza dei materiali nei costi di produzione e componentistica comune fra modelli
diversi.15
II.3.A
L‟incidenza dei materiali nei centri di costo........................................................... 15
II.3.B
Analisi della componentistica comune. .................................................................. 16
(a)
La cucina scomposta in pezzi. ................................................................................ 16
I fusti............................................................................................................................... 17
Le ante. ........................................................................................................................... 17
I componenti interni. ...................................................................................................... 17
Le maniglie. .................................................................................................................... 17
Gli elettrodomestici. ....................................................................................................... 18
I Top. .............................................................................................................................. 18
La ferramenta.................................................................................................................. 18
Gli accessori. .................................................................................................................. 18
II.4)
Gamma prodotti: il settore della Cucina ......................................................................... 19
II.4.A
Modello “Tess”....................................................................................................... 19
II.4.B
Modello “Crystal” .................................................................................................. 20
II.4.C
Modello “Sax” ........................................................................................................ 21
II.4.D
Modello “Scenary” ................................................................................................. 22
3
II.5)
Mercato Italiano e Mercato dei paesi CIS ...................................................................... 23
II.5.A
Il mercato italiano .................................................................................................. 23
II.5.B
Il mercato Estero .................................................................................................... 23
II.5.C
Il mercato dell‟Europa Orientale............................................................................ 25
(a)
L‟Estonia ................................................................................................................ 25
(b)
L‟Ucraina ............................................................................................................... 27
(c)
Il Kazakistan .......................................................................................................... 28
(d)
L‟Uzbekistan .......................................................................................................... 30
(e)
L‟Armenia .............................................................................................................. 31
(f) La Lituania ................................................................................................................. 32
(g)
III)
La Lettonia ............................................................................................................. 33
Introduzione statistica ........................................................................................................ 35
III.1) Bass Model..................................................................................................................... 35
III.2) Generalized Bass Model ................................................................................................ 36
III.2.A
Interventi esogeni nel GBM ................................................................................... 37
(a)
Impulsi rettangolari ................................................................................................ 37
(b)
Impulsi esponenziali .............................................................................................. 37
(c)
Impulsi misti .......................................................................................................... 38
III.2.B
Aspetti asintotici .................................................................................................... 38
III.3) Modello Guseo-Guidolin ............................................................................................... 39
III.4) Criteri di scelta dei modelli. ........................................................................................... 40
IV)
III.4.A
Coefficienti di correlazione .................................................................................... 41
III.4.B
Analisi dei residui .................................................................................................. 41
III.4.C
Processo ARMA .................................................................................................... 42
CRYSTAL ......................................................................................................................... 45
IV.1) Bass Model..................................................................................................................... 47
(a)
Affinamento ARIMA ............................................................................................. 52
IV.2) Il Generalized Bass Model (GBM) ................................................................................ 55
IV.2.A
4
GBM con uno shock rettangolare .......................................................................... 55
(a)
Previsione dei residui con modello ARIMA .......................................................... 58
IV.2.B
GBM con uno shock esponenziale ......................................................................... 61
(a)
Affinamento ARIMA ............................................................................................. 65
IV.3) MODELLO DI BASS GENERALIZZATO con due shock esponenziali...................... 68
(a)
Affinamento ARIMA ............................................................................................. 73
IV.4) GBM con uno shock esponenziale e uno shock rettangolare ......................................... 76
(a)
Affinamento ARIMA ............................................................................................. 80
IV.5) CONCLUSIONI ............................................................................................................. 84
IV.5.A
Confronto tra modelli ............................................................................................. 84
V) TESS....................................................................................................................................... 88
V.1)
Analisi dei dati................................................................................................................ 90
V.1.A
Introduzione ai dati di vendita ................................................................................ 90
V.1.B
Analisi delle vendite mensili .................................................................................. 91
V.1.C
Analisi della stagionalità ........................................................................................ 92
(a)
Analisi sui dati ........................................................................................................ 92
(b)
Analisi tramite la trasformata di Fourier veloce (FFT) .......................................... 94
V.1.D
Scelta del modello .................................................................................................. 95
V.2)
Bass Model ..................................................................................................................... 96
V.2.A
Regressione non lineare secondo il BM .................................................................. 97
V.2.B
Affinamento SARMA .......................................................................................... 100
(a)
Previsione – SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante ........................................... 101
(b)
Previsione – SARMA(1,0,0)x(1,0,0)6 con costante ............................................. 104
(c)
Previsione – SARMA (1,0,0)x(1,0,1)3 con costante ............................................ 105
(d)
Previsione – ARMA(1,0,0) con costante .............................................................. 106
V.3)
Il Generalized Bass Model ........................................................................................... 107
V.3.A
GBM con shock esponenziale .............................................................................. 107
(a)
Affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante .......................................... 110
V.3.B
GBM con shock rettangolare ................................................................................ 113
(a)
bassr1 .................................................................................................................... 113
5
(b)
V.4)
Previsione dei residui con un modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante .. 116
GBM con due shocks ................................................................................................... 119
V.4.A
GBM con due shock esponenziali ........................................................................ 119
(a)
basse2 ................................................................................................................... 119
(b)
Affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante .......................................... 123
V.4.B
GBM con due shock rettangolari. ........................................................................ 126
(a)
bassr2 ................................................................................................................... 126
(b)
Affinamento SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante .......................................... 131
(c)
Affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante .......................................... 134
V.4.C
GBM con uno shock rettangolare e uno esponenziale ......................................... 135
V.5)
Modello GBM con tre o più shock............................................................................... 136
V.6)
Altre caratterizzazioni del GBM .................................................................................. 136
V.7)
Modello Guseo-Guidolin ............................................................................................. 136
(a)
V.8)
Conclusioni .................................................................................................................. 143
V.8.A
VI)
Affinamento con modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante ..................... 140
Confronto tra modelli ........................................................................................... 143
(a)
GBM con uno shock esponenziale v.s. GBM con uno shock rettangolare .......... 144
(b)
GBM con due shock: due esponenziali v.s. due rettangolari ............................... 145
(c)
BM standard v.s. GuGu........................................................................................ 146
(d)
BM, GuGu, Bassr1, Bassr2 .................................................................................. 147
V.8.B
Considerazioni conclusive ................................................................................... 150
(a)
Il prodotto............................................................................................................. 150
(b)
Le dinamiche del processo di vendita .................................................................. 150
(c)
Difficoltà di approssimazione .............................................................................. 151
V.8.C
Osservazioni finali sull‟analisi del processo di diffusione modello TESS .......... 153
SAX.................................................................................................................................. 156
VI.1) Modello di Bass Standard ............................................................................................ 159
6
VI.1.A
Regressione non lineare – bass1 .......................................................................... 160
VI.1.B
Regressione non lineare – bass 1 ......................................................................... 163
VI.1.C
Affinamento SARMA .......................................................................................... 166
(a)
Previsione SARMA .............................................................................................. 166
(b)
Previsione ARIMA ............................................................................................... 167
VI.2) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con uno shock .............................................. 170
VI.2.A
GBM con uno shock esponenziale ........................................................................ 171
(a)
Regressione non lineare – basse1 ......................................................................... 171
(b)
Regressione non lineare – basse1b) ...................................................................... 175
VI.2.B
Affinamento SARMA .......................................................................................... 177
VI.2.C
GBM con uno shock rettangolare ......................................................................... 179
(a)
Regressione non lineare – bassr1.......................................................................... 180
(b)
Previsione - (SAX cum-PREDbassr1).................................................................. 183
VI.3) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con due shocks ............................................ 186
VI.3.A
GBM con due shocks esponenziali ....................................................................... 186
(a)
Regressione non lineare – basse2 ......................................................................... 186
(b)
Previsione - (SAX cum-PREDbasse2) ................................................................. 190
VI.4) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con shock misti ............................................ 192
(a)
Regressione non lineare – basse1r1 ...................................................................... 193
(b)
Previsione - (SAX cum-PREDbasse1r1) .............................................................. 198
VI.5) Conclusioni ................................................................................................................... 201
VI.5.A
VII)
Confronto tra modelli ........................................................................................... 201
SCENERY ........................................................................................................................ 205
VII.1)
Modello di Bass Standard ......................................................................................... 209
VII.1.A Regressione non lineare – bass1 ........................................................................... 210
VII.1.B Previsione - (SCENERY cum-PREDbass1) ......................................................... 213
VII.2)
Il modello di Bass generalizzato (GBM) con uno shock .......................................... 216
VII.2.A GBM con uno shock esponenziale ....................................................................... 216
(a)
Regressione non lineare – basse1 ......................................................................... 216
(b)
Affinamento SARMA .......................................................................................... 220
Previsione - SCENERY cum-PREDbasse1...................................................................... 220
7
VII.2.B GBM con uno shock rettangolare ........................................................................ 223
(a)
Regressione non lineare – bassr1 ......................................................................... 223
(b)
Previsione - SCENERY cum-PREDbassr1.......................................................... 227
VII.3)
Il modello di Bass generalizzato (GBM) con due shocks ........................................ 230
VII.3.A GBM con due shocks esponenziali ...................................................................... 230
(a)
Regressione non lineare – basse2......................................................................... 230
(b)
Previsione - (SCENERY cum-PREDbasse2)....................................................... 234
VII.4)
Il modello di Bass generalizzato (GBM) con shock misti ....................................... 237
(a)
Regressione non lineare – basse1r1 ..................................................................... 237
(b)
Previsione - SCENERY cum-PREDbasse1r1 da gbmr1 ...................................... 242
VII.5)
Conclusioni .............................................................................................................. 244
VII.5.A Confronto tra modelli ........................................................................................... 244
VIII) Confronto tra linee di cucine ............................................................................................ 248
VIII.1)
Confronto sui dati cumulati e istantanei delle quattro linee di cucine analizzate .... 248
VIII.2)
Confronto tra i modelli migliori ............................................................................... 250
VIII.3)
Commento finale ...................................................................................................... 251
Ringraziamenti ................................................................................................................. 252
Indice delle figure ............................................................................................................ 253
Indice delle Tabelle .......................................................................................................... 253
Indice dei Grafici ............................................................................................................. 253
8
(a)
INTRODUZIONE
La nostra analisi prende in esame quattro linee di cucine della nota azienda Scavolini.
La scelta delle stesse non si presenta come una casualità, ma si sono individuate delle cucine che
fanno parte delle prime dieci linee di cucine più vendute e affermate nei Paesi presi come
riferimento e più precisamente: Repubbliche Baltiche, Estonia, Lettonia, Lituania, Ucraine,
Armenia, Uzbekhstan, Kazakhstan.
Dunque, la nostra concentrazione è stata rivolta sulle seguenti quattro linee: Tess, Sax, Scenery e
Crystal, delle cucine che si distinguono per il loro moderno design, materiali innovativi ed
eleganza. Delle cucine che regalano confort e personalità, adatti ad ogni “stile di vita”.
Il lavoro presentato svolge un‟analisi che riguarda le possibili previsioni di vendita future
riguardanti le suddette cucine, basandosi sulla serie storica di vendite di ciascuna di esse.
L‟importanza di questo tipo di valutazioni si traducono nella possibilità, per noi, di incrementare
le conoscenze in maniera tecnica e analitica; per l‟azienda, di poter, alla luce dei risultati ottenuti,
impostare delle politiche di marketing adeguate alla fase del ciclo di vita del prodotto preso in
esame. È stato possibile sviluppare queste previsioni, che sembrano risultare particolarmente
attendibili, grazie all‟aiuto del software Statgraphics Centurion XVI e al supporto indispensabile
del Professor Guseo.
Il lavoro inizia con la presentazione della storia aziendale, della sua mission e vision.
Successivamente sono stati presentati i principali competitors dell‟azienda Scavolini. Sono stati
inoltre descritti i prodotti per quanto riguarda la loro componentistica e i materiali. Inoltre è stata
fatta un‟analisi sulla situazione economica e finanziaria dei Paesi in questione.
Nel capitolo III) si sono voluti presentare i modelli che abbiamo utilizzato per l‟analisi dei dati
delle cucine. Il modello standard di Bass (BM)
[ (Bass, 1969); (Guseo R. , 2004); (Guseo R. , 2004)], il modello di Bass generalizzato (GBM) [
(Bass, Krishnan, & Jain, 1994); (Guseo R. , 2004); (Guseo R. , 2004)] e il modello Guseo–
Guidolin (GuGu) [ (Guseo & Guidolin, 2009)
(Guseo, Della Valle, & Guidolin, 2011)], nonché dei modelli appartenenti alla famiglia ARMA [
(Pankratz, 1991); (Piccolo, 1990)].
Nei capitoli terzo, quarto, quinto e sesto ci si è focalizzati sull‟analisi delle quattro cucine su
menzionate (Crystal, Sax, Scenery, Tess) esponendone i relativi modelli, grafici, osservazioni e
relative conclusioni.
9
Infine, si è ritenuto necessario concludere con un confronto, anche attraverso dei grafici a
dispersione multipla, tra le quattro linee di cucine. Abbiamo quindi messo a paragone sia i dati
istantanei che i modelli delle diverse linee che meglio si adattavano alle rispettive serie storiche e
ne abbiamo tratto le conclusioni più appropriate.
10
II) Il settore delle Cucine ed il caso Scavolini
II.1)
Storia Aziendale:
II.1.A Presentazione dell’azienda
L‟azienda Scavolini nasce a Pesaro il 10 giugno 1961, fondata dai fratelli Valter ed Elvino
Scavolini, ed è considerata oggi una delle aziende leader nel mercato italiano dei mobili da
cucina.
Azienda nata come laboratorio artigianale, vede un successivo ampliamento della sede ed un
investimento in innovazioni tecnologiche che daranno un ulteriore impulso all‟attività.
Durante gli anni ‟70 consolida la rete distributiva e potenzia la rete commerciale, investendo
inoltre nella collaborazione con designer specializzati, consentendo all‟azienda stessa di
aumentare sia il fatturato che la visibilità a livello nazionale.
Nel 1975 viene inaugurata la prima campagna pubblicitaria a livello nazionale, accompagnata
dalla sponsorizzazione della squadra di Basket Victoria Libertas Pesaro.
La conquista della leadership nel mercato nazionale della cucina arriva nel 1984, rafforzando tale
conquista con la campagna pubblicitaria intitolata :”La cucina più amata dagli italiani”.
Negli anni ‟90 Scavolini perfeziona il suo sistema produttivo e commerciale, porta a compimento
l‟acquisizione di „Ernestomeda‟ e crea il „Gruppo Scavolini‟ per poter diversificare l‟offerta.
Nel 1996 ottiene come prima azienda italiana la certificazione UNI EN ISO 9001, sancendo un
impegno verso il mantenimento di determinate certificazioni di sistemi di qualità ripetuto nel
2004 con l‟ottenimento della certificazione UNI EN ISO 14001 relativa a suoi progetti riguardanti
la tutela dell‟ambiente.
A partire dal 2000 l‟azienda si dedica al potenziamento dell‟attività di Esportazione dei propri
prodotti nel mondo, inoltre inaugura un blog internet intitolato kitchens.it dove chiunque può
interagire con altri utenti per ottenere consigli ed informazioni sulle varie tipologie di arredamenti
per cucina.
Crea inoltre un sistema di elementi per cucine ad alta accessibilità, denominato Sistema Utility,
ideato per essere fruito anche da utenti portatori di handicap.
11
II.1.B Comunicazione e distribuzione
L‟azienda è stata la prima in Italia a ricorrere a metodi di comunicazione come campagne
pubblicitarie su scala sia Nazionale che Internazionale soprattutto attraverso lo strumento del
Media Televisivo, facendo risalire la prima apparizione su piattaforma RAI al 1975 ed al 1984 per
le emittenti private.
E‟ stata inoltre una delle prime aziende italiane a comparire con un sito internet, con la prima
attivazione del suo sito web risalente al 1996.
Ulteriore nota di importanza relativa alla visibilità del marchio Scavolini è la partecipazione
dell‟azienda stessa ad opere di cultura, tramite ad esempio la Fondazione Scavolini, nata con il
compito di promuovere e valorizzare il patrimonio artistico e culturale e dare impulso a iniziative
che favoriscano sviluppo e progresso in senso lato, tramite inoltre la sponsorizzazione ufficiale al
Rossini Opera Festival e tramite infine alla sponsorizzazione sportive che variano dal Basket fino
al Tennis.
Relativamente alla distribuzione, Scavolini ha deciso di perseguire nel tempo lo sviluppo di due
linee guida: da una parte l‟adozione di una capillare dislocazione sul territorio nazionale di oltre
1.000 punti vendita tali da render possibile la visione e l‟analisi delle sue cucine al maggior
numero possibile di acquirenti, in secondo luogo la qualificazione dei venditori tramite cicli di
Workshop tematici, qualificazione intesa come capacità degli stessi di poter disporre di una serie
di strumenti tali da soddisfare le esigenze dei clienti tramite la conoscenza di strategie di vendita,
capacità nel controllo della gestione e conoscenza degli strumenti di Marketing.
II.1.C Mission e Valori Aziendali
L‟azienda ha molto puntato sulla chiarezza dei propri obbiettivi tramite una campagna riservata al
canale Internet, dove testualmente si può riportare che l‟azienda lavora “…per elevare la qualità
della vita nell‟ambiente cucina, curandone sia gli aspetti estetici che quelli funzionali, nel pieno
rispetto dei valori” quali sono :
Consapevolezza: curare i contenuti simbolici e stilistici dei brand e dei prodotti;
Qualità: migliorare costantemente l‟affidabilità di tutti i prodotti e servizi offerti;
Meticolosità: prevenire ed eliminare le potenziali fasi di difetto in ogni fase aziendale;
Innovazione: ricercare nuove forme e materiali, aumentare la funzionalità, tutelare la salute, la
sicurezza e l‟ambiente;
Efficienza: rendere l‟innovazione accessibile;
Rigore: il rispetto di tutte le norme e leggi applicabili;
12
Etica: enfatizzare i valori umani e morali negli affari e nel lavoro;
Ecologia: rispettare l‟ambiente in ogni fase dell‟attività;
Partecipazione: favorire l‟interesse, sviluppo e coinvolgimento delle risorse umane impiegate;
Coinvolgimento: estendere ai collaboratori i propri principi;
Responsabilità: privilegiare scelte serie e affidabili;
Vengono altresì ampiamente chiariti gli Obbiettivi dell‟azienda, fra cui è di interesse riportare la
volontà nel mantenimento dei costi ed il miglioramento costante di tutti i processi aziendali,
attraverso il monitoraggio tramite indicatori efficaci.
II.2)
Principali Competitors
Elemento determinante nella comparazione della eventuale presenza sul mercato di competitors,
capaci di produrre arredamento da cucina in fascia sia qualitativa che di prezzo omogenea, è il
luogo dove l‟azienda Scavolini ha sede.
Infatti nella provincia di Pesaro –Urbino, in un contesto composto da 30 comuni situati all‟interno
della provincia stessa, è presente il più importante Distretto Industriale specializzato nella
costruzione di mobili per cucine.
Questa particolare specializzazione viene vista da molti autori come un ramo del principale
Distretto Industriale della provincia, quale è quello della costruzione di mobili in legno
(soggiorni, camere da letto, ecc.).
Ad integrazione delle attività della filiera principale, per l‟appunto, si sono inoltre sviluppate negli
anni alcune specializzazioni integranti al secondo comparto di cui sopra relative al comparto
meccanico, alla lavorazione del vetro ed allo sviluppo di diversi servizi commerciali a supporto
delle varie aziende presenti.
La provincia di Pesaro-Urbino rappresenta, nel suo complesso e quindi non più nel ristretto
ambito della sola produzione del mobile da cucina, il terzo polo italiano del mobile, dopo, in
ordine, quello della Brianza e di Treviso-Pordenone e, al pari di questi, copre in senso generale
un‟ampia gamma di produzioni mobiliere, pur appunto presentando una forte specializzazione nel
comparto delle Cucine.
Tale distretto si caratterizza per la presenza di imprese di dimensioni medie più piccole e per una
complessiva minore propensione all‟internazionalizzazione .
L‟organizzazione della produzione prevede una accentuata scomposizione verticale del ciclo
produttivo, che si accompagna ad una maggiore intensità dei legami tra imprese lungo la filiera,
con l‟adozione di una particolare strategia che configura una “gerarchia di fatto”, dove la capofila
13
è l‟azienda che svolge le funzioni strategiche (progettazione, assemblaggio, commercializzazione
dei prodotti), coordina in modo sequenziale la produzione dei diversi componenti del prodotto
finito, instaurando legami di fornitura, subfornitura e terzismo ed, infine, si coordina con il
mercato finale.
Questa strategia serve in modo definitivo a produrre cucine di qualità Medio-Alta, con una
gamma molto varia nonché un controllo ed una gestione diretta del marchio, dell‟immagine e
della fase distributiva1.
All‟interno di questo generale contesto, si distinguono come principali Competitors le ditte
Berloni e Febal.
II.2.A La Berloni S.p.A.
La Berloni nasce come laboratorio artigianale negli anni ‟60, dove Antonio e Marcello Berloni
danno vita ad una produzione industriale di mobili da cucina.
Negli anni ‟70 viene approfondito l‟aspetto della componibilità delle componenti delle cucine,
ma, quasi di pari passo con la ditta Scavolini, vengono adottate diversificazioni negli investimenti,
allargando gli orizzonti strategici ed arrivando all‟acquisizione di aziende affini al core business
principale.
Altre tappa fondamentale della ditta è la costituzione nel 1993 della Berloni International, ideata
per l‟ottimizzazione della gestione dei programmi di sviluppo internazionale.
Nel 1996 vengono acquisite alcune società specializzate nella produzione di arredamento per i
diversi ambienti della casa, consentendo così di sviluppare progetti di arredamento completi,
allargando l‟offerta dei prodotti e facendo l‟ingresso in segmenti di mercato complementari a
quello delle cucine componibili.
L‟offerta produttiva è segmentata in due fasce, relativa alla produzione di ambienti sia classici,
dove l‟uso del legno a vista è prevalente, sia moderni, nel quale laminati e materiali compositi
hanno sopravvento.
In quest‟ultimo segmento, le principali cucine concorrenti a quelle che di seguito vedremo della
ditta oggetto di osservazione sono il modello EOS ( prezzo di circa 18.700,00 € ), il modello
Glamour Plus ( prezzo di circa 12.326,00€ ), il modello Gallery ( prezzo di circa 7.073,00 € ), ed
infine il modello Geo ( prezzo di circa 5.950,00 € ).
1
Fonte: www.osservatoriodistretti.org
14
II.2.B La Febal Cucine S.R.L.
La Febal Nasce nel 1959 per iniziativa di Ermanno Ferri, un giovane artigiano, che fonda il
laboratorio nel distretto pesarese, inserendosi fin dall‟inizio in una fascia di mercato Medio-Alta.
Nel 1962 viene realizzato un primo stabilimento che porta con se un progressivo aumento della
produzione fino a consentire la trasformazione dell‟azienda in Società di Capitali nel 1973.
A partire da questi anni, la direzione adotta la filosofia aziendale di ricercare produzioni diverse
da quelle già fatte dalle altre aziende del distretto, con occhio di riguardo alla vivibilità delle
cucine prodotte e per la qualità ed innovazione dei materiali impiegati.
Nel 199, operando nell‟ottica di presidiare la fascia alta di mercato attraverso un elevamento della
qualità del prodotto, la società acquista Rossana, azienda specializzata nella costruzione di cucine
Top di Gamma ed a sua volta nota nel distretto stesso per la ricerca tecnica ed il sofisticato
design.
Nel 2007 Febal cede la società Promodo cucine ed il relativo marchio, acquisiti nel 1998, per
preservare la propria vocazione originaria verso la fascia alta del settore.
I principali prodotti compositi sono: modello Vanity ( prezzo di circa 10.800,00 € ), modelle
Venere ( prezzo di circa 8.100,00 € ), modello Luxury (prezzo di 8.000,00 € ), modello Romantica
( prezzo di 7.975,00 € ).
II.3)
L’incidenza dei materiali nei costi di produzione e
componentistica comune fra modelli diversi.
II.3.A L’incidenza dei materiali nei centri di costo.
Nel grafico a fianco è possibile verificare l‟incidenza e la scomposizione dei vari fattori di costo,
che a loro volta possono essere scomposti in
ulteriori voci
a volte realmente significative sull‟incidenza del
costo finale della cucine intesa come prodotto
finito.
Materia Prima
Ferramenta
Accessori
La materia prima ricomprende al suo interno il
Elettrodomestici
materiale impiegato per la produzione dei fusti e
delle mensole,
al suo interno i costi possono
aumentare o diminuire a seconda del materiale
impiegato per assemblare i cassetti, sia esso truciolare e massello per le cucine di tipo “Classico”
o materiale in lega o fibra composita come per le cucine di tipo “Moderno”.
15
La Ferramenta, oltre che ricomprendere viteria e minuterie di tipo standard e dal costo spesso
irrisorio, comprende parti importanti con le cerniere dei fusti. Questo elemento risulta a volte
essere il vero elemento discriminante in grado di caratterizzare la elevata o meno qualità della
cucina stessa.
Sempre in questa categoria possiamo ricomprendere le maniglie per quanto riguarda le cucine
“Moderne” e sempre più spesso ricomprese nelle cucine “Classiche” in luogo dei consueti pomelli
di legno.
La categoria degli accessori ricomprende parti della cucina che l‟acquirente può includere o meno
a seconda di una certa discrezionalità data dal modello stesso di cucina scelto.
Sono accessori le sedie, gli sgabelli, le scaffalature di corredo, a volte i tavoli ma soprattutto
elementi di corredo come porta utensili e rubinetterie capaci da soli di aumentare il prezzo finale
anche del 30%.
Infine, gli elettrodomestici rientrano di fatto in una categoria che risulta essere la parte più costosa
della cucina stessa. Normalmente vengono stipulate convenzioni e contratti tra produttori di
cucine e produttori di elettrodomestici nell‟ottica dell‟abbattimento del costo, tuttavia l‟acquirente
può decidere a sua volta di includere pezzi e componenti non previsti da catalogo grazie alla
sempre più presente standardizzazione delle misure degli elettrodomestici da incasso.
II.3.B Analisi della componentistica comune.
Innanzitutto è utile distinguere, nella categoria generale delle Cucine, le due principali classi di
differenziazione delle stesse.
Infatti si possono avere cucine denominate di tipo “Classico”, dove viene prevalentemente
utilizzato legno massello o compensato, colorato poi con tinte naturali che lascino un aspetto
grezzo alla cucina in se, oppure si possono avere cucine di tipo “Moderno”, dove prevalgono
soluzioni innovative di apertura delle ante “a gola” o a “push/pull” ed i materiali utilizzati sono
fibre e leghe composite, a volte estremamente resistenti, consentendo una estrema
personalizzazione alla cucina stessa.
(a)
La cucina scomposta in pezzi.
La cucina è principalmente composta, al di là della differenziazione di cui sopra, in diversi
elementi: i fusti, le ante, i componenti interni, le maniglie, gli elettrodomestici, i Top, infine la
ferramenta.
16
I fusti.
I fusti sono la parte interna della dispensa, sono di struttura rettangolare e hanno la caratteristica
di essere comuni per la maggior parte delle cucine prodotte dalle varie aziende italiane. Se
costruiti entro certi standard, comunque molto comuni, consento una facile sostituzione della
parte più visibile della cucina stessa: le ante.
Le ante di tipo Classico sono costruite in legno massello, materiale generalmente più costoso del
laminato, viene creato un pannello in legno con interno impiallacciato e rifinito con 4 listelli
laterali.
I materiali principalmente impiegati sono: Rovere, Castagno, Noce, Ciliegio.
Generalmente vengono poi colorate con colori laccati o con una tinta “poro legno”.
Le ante.
Le ante di tipo Moderno possono essere:
- Laccate : costruite con materiale “Mediodensity”, costituito principalmente da una
miscela di polvere di legno tenuta a sua volta compatta da uno specifico collante.
- Laminate : hanno un costo minore delle precedenti, sono composte di un materiale
conglomerato nobilitato ( truciolare ) barrierato da un materiale idrorepellente
(solitamente PVC )
- Trengè : composte di materiale laminato realizzato con conglomerato nobilitato, sono
caratterizzate da una grana esterna molto fine che consente una lavorazione
facilitata e con risultato finale liscio.
I componenti interni.
I componenti interni di estrazione dei cassetti possono essere in legno, come per la maggior parte
delle cucine tipo Classico, o di tipo “Tandembox”, tipologia di cassetto che consente una
completa estrazione dello stesso grazie a binari in metallo inox, ideata per l‟utilizzo nelle cucine
moderne.
Le maniglie.
Le maniglie delle ante e dei cassetti possono essere principalmente di tre tipologie:
- Ad arco, sono spesso in metallo e sono fissate tramite due perni solitamente posizionati
lateralmente.
-A gola, consistono in una fessura applicata nella parte alta o laterale dell‟anta/cassetto.
17
-A Pomelli, sono prevalentemente costruiti in legno, costituiscono la forma più classica
della maniglia, sono utilizzati prevalentemente in cucine Classiche.
Gli elettrodomestici.
Gli elettrodomestici, spesso da incasso, sono spesso inclusi nella composizione “ready to sell”
grazie a contratti di collaborazione ed esclusiva che consentono un notevole abbassamento dei
costi a carico del cliente.
I Top.
I Top compongono la parte piana della cucina, risultano essere molto determinanti nel prezzo e
possono essere di vari materiali:
- Laminato: è il più comune e meno costoso, viene fornito in vari spessori ed è spesso
costruito con legno truciolare.
- Agglomerato di quarzo : ha una composizione prevalente di quarzo al 93-94%, il quale è
tenuto insieme da resine, ha un interno supportato in eulite ed ha una base
composta di polimerici..
- Coria : è un materiale sintetico, classificato come “composito avanzato”
- Stratificato : è un materiale di recente introduzione, si colloca tra il laminato e
l‟agglomerato come fascia di prezzo, è sostanzialmente un insieme di laminati
caratterizzato dalla notevole resistenza agli urti. E‟ un materiale utilizzato anche
in opere come fontane o monumenti.
- Acciaio : è un materiale di per sé comune, nonostante sia prodotto da un numero limitato
di aziende a causa del suo stretto utilizzo in cucine di tipo industriale.
La ferramenta.
La Ferramenta, come discusso sopra, ha una incidenza limitata all‟interno del prezzo finale del
prodotto ma ha una elevata rilevanza relativamente alla qualità del prodotto finale, la sua tipologia
e qualità dipende soprattutto dagli accordi commerciali delle diverse aziende produttrici di
ferramenta specifica per cucine.
Gli accessori.
Gli accessori, rientranti in una categoria estremamente vincolata alle preferenze dell‟utente finale,
vengono spesso commercializzati dalla ditta di cucine stessa ma esternalizzati per quanto riguarda
la produzione tramite necessari contratti di esclusiva.
18
II.4)
Gamma prodotti: il settore della Cucina
Analizziamo ora le linee scelte per l‟elaborazione dei dati. Generalmente le cucine scelte
appartengono alla categoria „Lusso‟, i cui prezzi di listino per la cucina completa oscillano dai
15.700,00€ del modello Crystal ai 28.178,00€ del modello Scenery.
II.4.A Modello “Tess”.
Il modello Tess è una cucina dalle forme
estremamente moderne, vede l‟impiego di
materiali molto versatili nell‟utilizzo e
forme originali rispetto alle altre cucine
analizzate nel presente documento.
Fra gli elementi caratterizzanti si possono
notare i pensili terminali curvi, i profili
maniglia con natura “a gola”, il Top
laminato con profilo in alluminio, la
presenza di telai curvi sia lateralmente che
in sezione retrobase.
Le ante vengono fornite in Materiale
Laccato lucido in pochi colori con fusto di
color bianco.
19
L‟apertura dell‟anta laterale curva è di tipo “push/pull”, mentre i cassetti sono estraibili con
binario “tandem box”.
Il Top può essere fornito anche in colore bianco, ha la caratteristica di essere a suo volta smussato
agli angoli.
Fra gli accessori è possibile includere un tavolo allungabile con struttura in metallo e piano in
vetro temperato.
Le composizione personalizzata prevede la presenza o meno di maniglie, disponibili ed integrabili
con un massimo di 4 forme diverse, in materiali diversi come il laminato, il laccato, il vetro,
l‟alluminio, l‟acciaio ed il quartz.
Al di là della composizione base, la cucina risulta essere estremamente modificabile in materiali
ed accessori, facendo decresce il prezzo dalla stessa raffigurata nell‟immagine di volantino.
II.4.B Modello “Crystal”
Il modello Crystal viene definita dalla
società
come
una
“contemporanea”,
cucina
dove
amplificare
la
dell‟ambiente
cucina
per
luminosità
vengono
utilizzati materiali come l‟alluminio
applicato sulle ante ed il vetro
temperato sui pannelli.
Le ante sono caratterizzate da una
finitura liscia, sono apribili tramite
maniglie di forma classica ad arco,
nonostante i materiali utilizzati siano
in metacrilato, il Top è in acciaio
mentre il telaio è in alluminio.
In
alternativa
alla
configurazione
descritta sopra, sono disponibili il Top
in quartz, le maniglie ad incasso e le
ante in vetro a doghe.
Gli elettrodomestici comprendono due
forni, uno ventilato ed uno a microonde, integrati nella struttura, nonché una macchina per caffè,
anche questa già inserita all‟interno del mobile.
20
Relativamente alle finiture, vengono forniti pochi colori (struttura in bianco oppure grigio
alluminio, ante in color bianco, prugna, antracite o grigio chiaro) perché molto si punta sulla
collaborazione con
Karim Rashid relativamente alla realizzazione di serigrafie da applicare
opzionalmente alle ante.
Vengono rese disponibili come accessori vari complementi fra cui pensili con ante pieghevoli,
armadi e colonne basse per decentrare forni, frigo e dispense, infine un tavolo allungabile con
piano vetro temperato corredato con sedie aventi struttura in metallo e seduta in Net.
II.4.C Modello “Sax”
La cucina Sax, rientrante nella linea Basic, si
distingue dalla altre qui presentate per la sua
componibilità e per la disponibilità di
soluzioni in grado di unire finiture di ultimo
tipo e design.
Segni distinguibili di tale composizione sono
le ante laccate in lucido, la cappa dalla forma
originale in acciaio inox, le maniglie
realizzate in plastica il Top in laminato e
conglomerato nobilitato.
I colori disponibili si allontanano dalle
classiche tonalità viste nei modelli precedenti
e si rivolgono a colori come il tinta Lime, il
Lilla ed il Mandarino.
I fusti sono di colore Bianco laccato,
realizzati in conglomerato nobilitato.
Alcune maniglie sono realizzate in metallo, mentre le parti più evidenti della cucina come gli
accessori tra i quali sedie e tavolo studiati appositamente come complementi d‟arredo per
l‟ambiente proposto sono realizzati in legno
laccato.
21
Sono resi disponibili anche pensili girevoli con anta in vetro che, strutturati su montanti in
metallo, rendono visibili e utilizzabili i cestelli con la rotazione dell‟anta. Questa ultima
possibilità rende possibile in parte l‟eliminazione di parte delle ante in zona cottura.
La cucina viene anche prodotta in una forma più classica tramite l‟impiego di materiali struttura e
ante in Ciliegio, Rovere moro o Decapè, oppure infine in Teak.
II.4.D Modello “Scenary”
Il modello Scenary è considerato come
il più innovativo fra tutti quelli prodotti
dall‟azienda
Scavolini,
a
seguito
soprattutto della collaborazione dello
Studio King & Miranda Design.
Concepita per unire la zona living,
ovvero la zona salotto, con la cucina
stessa, si distingue per la presenza di
elementi
come
il
ponte
mensola
sospeso, i vetri sospesi applicati sotto
al ponte mensola, il grosso pannello
laterale
ed
i
distanziatori
fra
i
componenti interni.
All‟interno della zona cucina sono stati
dislocati
strumenti
innovativi
ed
altamente tecnologici come la cappa di
aspirazione
con
condizionatore
incorporato, elettrodomestici con tecnologia touch, ma anche mensole con schienale, profili di
apertura delle ante sia a gola superiore che inferiore per basi ed i fianchi impiallacciati con
finitura lucida.
22
Le ante sono laccate lucide con spessore di 29 mm presentate in colori tenui o naturali, e
comprendono una composizione strutturata con pensili e penisola che, con l‟ausilio di vetri,
divide come descritto sopra la zona living dalla cucina.
La struttura è disponibile nei colori Bianco o Grigio Alluminio, mentre le ante possono essere di
tipo Laccato Lucido Piano colere bianco o Grigio Tundra, oppure in Impiallacciato colo Rovere
Grigio.
L‟apertura degli elementi avviene sia attraverso maniglie incassate nella parte superiore o laterale
dei frontali, sia attraverso gole. In presenza di cassetti o cestelli estraibili, l‟apertura avviene
anche con un sistema push & pull o Tip-on.
II.5)
Mercato Italiano e Mercato dei paesi CIS
II.5.A Il mercato italiano
Nel paragrafo 1.2 abbiamo brevemente discusso le peculiarità della presenza sul mercato italiano
della società Scavolini, ed è parso singolare che la casa produttrice abbia voluto mantenere il
nome anche sulle linee di prodotti disponibili sul mercato e non abbia invece deciso di separare
denominazione societaria da eventuali nomi di fantasia più accattivanti. SI nota infatti che viene
data molta rilevanza alla storia ed alla nascita in veste artigianale della società stessa tramite i
fratelli Valter ed Elvino Scavolini, volendo comunicare un senso di tradizione e imprenditorialità
familiare al consumatore.
In Italia la società è presente sul territorio tramite 1000 negozi in esclusiva, costituiti tramite
contratti di affiliazione commerciale monomarca, e dove l‟impronta commerciale e di
allestimento è simile per tutti gli esercizi.
La società ha realizza 220 milioni di € di fatturato nel 2009 ed è di diritto rientrata nel novero dei
10 marchi più conosciuti, nonostante Valter Scavolini stesso (fonte: www.blogeconomy.it )
ammetta che si sono registrati in questi ultimi anni un aumento delle vendite del 10% annuo,
nonostante un calo generale nell‟anno 2008, ma allo stesso tempo un calo del fatturato dovuto alla
esigenza degli acquirenti di acquistare cucine e componenti al minor costo ma senza rinunciare ad
un marchio prestigioso come Scavolini, mantenendo quindi un occhio di riguardo alla qualità.
II.5.B Il mercato Estero
L‟azienda ha esportato in questi anni il suo marchio ed i suoi prodotti, nei diversi continenti, in
oltre 50 paesi, inglobando in diversi paesi l‟essenza stessa del design italiano.
23
La società gode infatti di una mirata ed efficace rete distributiva ed organizzativa, considerando
inoltre lo sviluppo di prodotti in sintonia con gusti ed esigenze di culture diverse.
La politica di marketing e comunicazione è infine finalizzata al pieno riconoscimento del marchio
e dei plus aziendali, elementi considerati dall‟azienda stessa come armi vincenti con cui si
persegue il successo su mercati internazionali.
La presenza in Unione Europea ed in Europa Orientale è considerata come forte e stabile, inoltre
sono stati costruite sedi in aree strategiche come Turchia, India, Israele, Cipro, Cina, Indonesia,
Stati Uniti e America Latina, costruendo nodi di collaborazione tali da consentire la fornitura
anche in località esotiche altrimenti inaccessibili come Barbados, St. Kitts e Santo Domingo.
Di nostro elevato interesse è l‟area dell‟Europa Orientale relativamente ai paesi Componenti il
CIS, ovvero i paesi aderenti alla Comunità degli Stati Indipendenti (in Inglese: Commonwealth of
Indipendent Sates ), nata nel 1991 in seguito alla dissoluzione dell‟Unione Sovietica con lo scopo
di costituire una più limitata forma di associazione tra i nuovi Stati indipendenti. Tale Unione ha
altresì lo scopo di creare una zona di libero scambio tra i suoi membri, abolendo integralmente le
tasse di importazione applicate al commercio di beni intracomunitari e di non alzare in futuro le
tasse all‟esportazione.
Stati come Estonia, Ucraina, Kazakistan, Armenia, Uzbekistan, Lituania e Lettonia costituiscono
ormai da diversi anni mercato solido dei prodotti Scavolini.
24
II.5.C Il mercato dell’Europa Orientale
Vedremo qui di seguito una veloce analisi dei paesi maggiormente interessati dalla vendita di
cucine Scavolini.
(a)
L’Estonia
L‟Estonia ha adottato l‟euro dal primo gennaio 2011 ed è guidato da un governo eletto con il 28%
delle preferenze, impegnato a perseguire consolidamento economico e maggiore integrazione
Il paese ha subito una fase di recessione nel biennio 2008-2009, recuperando velocemente la
propria solidità nel 2010 grazie alla ripresa delle esportazioni e all‟adozione di una politica fiscale
restrittiva.
Sostanzialmente il paese risulta essere aperto agli investitori internazionali e non risultano esistere
settori preclusi all‟attività di investimento straniero, ciò nonostante le strutture necessitino di un
ammodernamento.
Non esistono particolari problemi legati alla sicurezza, se si escludono le tensioni tra le autorità e
la minoranza russa.
Relativamente al commercio con l‟Italia, il saldo dell‟interscambio è tornato a crescere nel 2010
soprattutto grazie alle esportazioni italiane che hanno registrato un valore di 295 milioni di euro,
complessivamente in aumento del 45%.
Fra i settori di opportunità, la SACE puntualizza che le principali potenzialità sono legate agli
investimenti volti a migliorare le infrastrutture ed ai settori della lavorazione del legno.
25
Il Rating generale del è di livello “A”-“A1” ed il livello di Rischio Paese è in L3, fornendo
complessivamente
un
Outlook
positivo
del
sistema.
Figura 1. http://www.esteri.it/rapporti/pdf/estonia.pdf
Il PIL pro capite del paese è pari a 18.519 USD, collocando il paese al 46° posto nella graduatoria
della Lista Stati per PIL (PPA) pro capite, valore in netto aumento rispetto ai 16.618 USD, dato
registrato nel 2005, ma in flessione di 2 punti percentuali rispetto all‟anno precedente.
Generalmente, il settore edilizio residenziale sta attualmente vivendo un periodo di stallo, a
seguito di crescita vivace, stimolata dall‟apertura delle banche delle proprie borse azionarie
concedendo ipoteche e prestiti, facendo seguire una rapida crescita di edifici commerciali (sia al
dettaglio che all‟ingrosso).
I consumi privati sono in generale depressi, principalmente a causa delle incertezze legate al
mercato del lavoro e ai bassi salari. Sebbene, infatti, il tasso di disoccupazione che a marzo del
2010 aveva toccato il 19,8% sia diminuito negli ultimi mesi più velocemente di quanto atteso,
raggiungendo il valore di 13,6% nel quarto trimestre e ci si possa attendere nei prossimi anni un
ulteriore declino, permangono forti preoccupazioni legate al mercato del lavoro a causa
26
dell'aumento
della
disoccupazione
strutturale
e
di
lungo
periodo.
(
fonte
www.rapportipaesicongiunti.it )
Relativamente ai principali indicatori demografici, l‟estonia è un paese con una popolazione di età
compresa tra i 16 ed i 59 anni pari al 68% su quella totale di 1.340.194 abitanti (dati aggiornati
novembre 2011) ed è principalmente suddivisa in 3 classi di ricchezza: una classe ricca di circa
10.000 abitanti, una classe media cresciuta dagli inizi degli anni 2000 che oggi è stimabile in circa
60.000 abitanti ed il resto di popolazione inserita in un contesto di redditi bassi, dove il salario
medio si aggira sui 230-260 Euro mensili.
(b)
L’Ucraina
L‟Ucraina è un paese il cui governo dispone di una larga maggioranza parlamentare ma che
subisce pressioni relativamente al rispetto della condizionalità del FMI.
Nel 2009 il paese ha superato una fase di crisi seguita da una debole ripresa nel 2010 tuttavia
pregiudicata dal mancato rispetto con gli impegni presi con il FMI.
Il sistema economico statale ha subito un notevole aumento di prestiti non esigibili a cui è seguita
una ricapitalizzazione delle banche, le quali sono state temporaneamente poste sotto la
temporanea amministrazione dello stato.
Si registra un forte aumento dell‟inflazione ( 25% nel 2008 ) dovuta soprattutto ai forti contrasti
nella fornitura di materie prime come il Gas dalla vicina Russia.
Relativamente ai rapporti con gli investitori esteri, questi sono favoriti da una legge del 1996 che
li pone sullo steso piano di trattamento degli investitori ucraini, ma nonostante ciò esiste un medio
rischio che il Governo possa espropriare anche le imprese in cui vi sono partecipazioni estere.
Nel 2009 si è registrata una robusta contrazione dell‟interscambio con l‟Italia, in particolare le
esportazioni sono diminuite rispetto all‟anno precedente, secondo i dati SACE, del 67% e le
importazioni del 98%, mentre nel 2010 si è registrato un raddoppio delle importazioni
raggiungendo quota 2,2 miliardi di Euro. I prodotti maggiormente richiesti dal mercato ucraino
sono stati, cose si può notare nell‟immagine di cui sotto: moda (25% delle esportazioni totali),
meccanica strumentale (20%) e, al terzo posto in ordine di importanza i mobili e gli altri
manufatti (12%).
Il livello di Rischio del paese è considerevolmente alto ( livello H2 ) con un rating di grado
“B”/”B+”. L‟Outlook complessivo è negativo.
27
Figura 2. http://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=234
IL PIL pro capite dello stato è posto a 6.712 USD nel 2010, in leggero aumento dal dato registrato
di 5.626 USD risalente al 2005, collocando attualmente lo stato al 102° posto nel rating mondiale
PPA PIL Pro Capite.
Dopo la caduta del 2009 (- 15,1% ) in conseguenza della crisi mondiale, il PIL ucraino è tornato a
crescere (+5,5 %) nei primi sei mesi dell‟anno, nonostante il tasso di disoccupazione sia stimato
sui 9 punti percentuali.
Nel periodo 2000-2008 l‟interscambio di beni tra Ucraina e Italia è incrementato ad un tasso
annuo del 25%, raggiungendo, nel 2008, la cifra di circa 5,3 MLD USD, registrando in parallelo
un aumento della presenza di aziende italiane, anche tramite l‟utilizzo di partecipazioni in
controllate estere.
Il reddito medio effettivo è molto differenziato in base alle regioni interne allo stato, partendo da
salari minimi di 50-60 USD nei paesi periferici arrivando fin dove i salari aumentano fino a 700800 USD, ovvero nelle zone principali del paese, andando quindi a delineare un paese dove il
tasso di povertà è estremamente elevato, con una tasso percentuale di popolazione sotto la linea di
povertà superiore al 35%2. E‟ riscontrato d‟altro canto che vi sia una bassissima percentuale di
popolazione estremamente ricca, principalmente proprietari industriali e manifatturieri.
(c)
Il Kazakistan
Il Kazakistan è un paese considerato come “politicamente stabile”, ha visto nel 2010 la creazione
di un‟unione doganale con Russia e Bielorussia, attualmente in fase di implementazione. Le
relazioni commerciali con la Cina sono in continua crescita.
2
Fonte: http://www.indexmundi.com
28
La crisi finanziaria internazionale ha avuto un notevole impatto sull‟economia nazionale, ma
l‟aumento del prezzo delle materie prime nel 2010 ha consentito un rapido recupero.
Il rischio finanziario è molto persistente, definendo un Outlook stabile ma un rischio operativo
alto. Negli ultimi anni il sistema bancario si è infatti progressivamente consolidato, in particolar
modo grazie alla drastica riduzione delle banche da 130 nel 1994 a sole 36 nel 2008.
Relativamente al commercio con l‟Italia, nel 2010 il disavanzo è stato pari a 1,3 miliardi, in netta
contrapposizione al dato registrato nel 2009 di soli 0,1 miliardi.
Le importazioni sono state pari a 2,4 miliardi di Euro, in crescita del 79% rispetto all‟anno
precedente, mentre le esportazioni italiane verso questo stato sono state di 1 miliardo di euro,
registrando una diminuzione del 6% rispetto all‟anno precente.
Il rating del paese è abbastanza basso, registrando una “BBB”, con un Rischio Paese a livello M3
ed un Outlook complessivamente stabile.
Figura 3. http://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=151
Il PIL pro capite dello stato è stimato in 12.606 USD nel 2010, in forte aumento rispetto al dato
di 8.732 USD registrato nel 2005.
La popolazione del Kazakhstan in età lavorativa è il 70,2% del totale 3, mentre il 56% della
popolazione totale risiede in aree urbane.
I salari e gli stipendi medi mensili hanno visto una crescita progressiva del 10% a partire dagli
anni 2000, constatando comunque uno stipendio medio di 130 USD, con oscillazioni che vanno
per medie di 340USD nel settore finanziario fino ai 42 USD per il settore agricolo., considerando
comunque che i redditi si differenziano ulteriormente tra le regioni dove risiedono i campi
petroliferi, come la regione del Atyrau, a regioni prettamente agricole, come la regione di Astana,
dove le medie si abbassano di valori che arrivano a 3,5 volte in meno della regione di cui sopra.
3
Fonte: www.ice.gov.it
29
(d)
L’Uzbekistan
L‟Uzbekistan è un paese politicamente controverso, essendo governato da un presidente al suo
terzo mandato, nonostante la Costituzione preveda la possibilità di restare in carica per un
massimo di due mandati, tale questione resta comunque fonte di forte incertezza relativamente
alla sua successione tale da caratterizzare l‟andamento dell‟economia, dato che la centralizzazione
messa in atto dall‟attuale presidente rischia di scatenare scontri tra le forze economiche ed
industriale per la selezione del successore.
Relativamente all‟attività economica, L‟Uzbekistan è il secondo esportatore mondiale di cotone
ed è ricco di idrocarburi, oro, rame ed uranio. Il paese non risulta particolarmente esposto alla
crisi economica globale e nel 2009 ha registrato un tasso di crescita del PIL pari al 8,1%, di poco
inferiore a quanto registrato negli anni precedenti.
Per il 2011 si prevede un tasso di crescita pari all‟8,7%, soprattutto grazie all‟aumento dei prezzi
delle materie prime ed alla ripresa dell‟economia russa a cui il paese è legato a livello
commerciale e relativamente all‟afflusso di rimesse.
Relativamente all‟interscambio con l‟Italia, nel 2010 il deficit commerciale con l‟Uzbekistan è
stato pari a 3,7 milioni di euro, in contrapposizione al 2009 dove il saldo è stato positivo.
Di fatto le importazioni di merce italiana sono rimaste costanti, con valori attorno ai 100 milioni
di Euro, mentre sono i prodotti della meccanica strumentale a costituire la prima voce di
importazione (62%), seguiti da abbigliamento ( 12%) ed altri manufatti fra cui l‟arredamento
(4%).
Figura 4. ://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=239
L‟economia dello stato è fortemente protetta da esorbitanti barriere doganali, dove la moneta dello
stato ( il SUM, con cambio 1800 a 1Euro ) non è convertibile se non dalle aziende collegate ad
una ristretta élite. Tali restrizioni scoraggiano generalmente gli investimenti stranieri e la maggior
30
parte di coloro che hanno investito in questo stato si trova in una situazione di forte
indebitamento4.
Il PIL pro capite del paese si aggira sui 3.039 USD nel 2010, in forte crescita rispetto al dato di
1.952 USD registrato nel 2005, collocando il paese nella classifica mondiale alla 131° posizione.
Stando alle cifre delle Nazioni Unite, l‟Uzbekistan è uno dei paesi meno sviluppati del mondo,
con un reddito medio mensile di circa 50 USD nelle città, mentre nelle campagne l‟economia è
per lo più basata sul baratto.
(e)
L’Armenia
L‟Armenia è uno stato guidato da un governo sostenuto dalla precedente presidenza ed eletto con
il 53% delle preferenze, percentuale messa più volte in discussione da sospetti di brogli elettorali.
Nel 2009 l‟economia del paese è stata duramente colpita dalla diminuzione delle esportazioni e
dell‟afflusso di capitali dall‟estero, anche se allo stato attuale si prevede una lenta ripresa grazie a
stimoli fiscali adottati dal governo e all‟aiuto di varie istituzioni internazionali, fra cui il FMI.
A marzo del 2009 è stato introdotto il regime di scambio flessibile, facendo registrare un
deprezzamento nell‟immediato del Dram, la moneta nazionale, del 18%, anche se attualmente si
sta registrando un rafforzamento della valuta che dovrebbe continuare nel prossimo biennio.
Relativamente all‟Interscambio con l‟Italia, nonostante questo sia in continua crescita dal 2000,
ha subito un rallentamento nel biennio 2009-2010° causa della crisi internazionale. Nel 2009 il
saldo commerciale, in diminuzione dl 22% rispetto al 2008, si è attestato intorno ai 72 milioni di
Euro. I prodotti maggiormente importati in Armenia sono l‟abbigliamento ( 29% ), la meccanica
strumentale ( 20% ) e la metallurgia ( 12% ).
Figura 5. http://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=76
4
Fonte: http://www.caib.it
31
Il PIL pro capite nel 2010 ha registrato un valore di 5.110USD, con un aumento del valore
registrato nel 2005, valore pari a 3.903USD, classificando l‟Armenia al 113° posto nella classifica
mondiale del PIL pro capite per paese.
Relativamente al tasso di inflazione, questo è risultato essere nel 2010 pari al 4,5% annuo, dato
superiore al 3,4% registrato nel 2009 legato al contingentamento causato dalla crisi economica
mondiale.
I salari dei lavoratori armeni rimangono ancora piuttosto bassi: nel primo semestre 2010 la
retribuzione media mensile risulta aver raggiunto i 270USD, in crescita annuale del 7,9%. I salari
degli impiegati nel settore finanziario rimangono in media circa tre volte superiori al salario
medio nazionale. Il tasso di disoccupazione si attesta al 7,1%, corrispondente ad un campione di
circa 101mila cittadini armeni, dato che generalmente si rivolge in misura maggiore alla
popolazione femminile, dato che circa i 2/3 dei lavoratori in cerca di occupazione sono donne.
(f)
La Lituania
La Lituania è il più grande dei tre paesi baltici e, per la sua posizione geografica, costituisce un
ponte naturale verso un mercato più vasto, che include Bielorussia, Polonia orientale, Lettonia,
Estonia e Russia.
Importanti settori economici sono i mobilifici, le industrie del tessile e dell‟alimentare. Nel 2003
alla Lituania venne riconosciuto il più alto tasso di crescita fra i paesi candidati all‟ingresso in
Unione Europea, arrivando fino a quota 8,8% nel terzo quadrimestre dell‟anno.
La suddivisione dei settori produttivi è del seguente tipo: primario 5,3%, secondario 35,3%,
terziario 59,4%.
Lo stato ha attraversato un lungo periodo di crescita (2001-2007) con un forte aumento del PIL
trainato soprattutto dall‟aumento della domanda estera, seguito poi a partire dal 2008 da
rallentamenti dell‟economia a causa di aggiustamenti ciclici poi aggravati dalla crisi finanziaria.
L‟interscambio culturale con l‟Italia mostra
5
un saldo che continua a mantenersi positivo per
l‟Italia, pari a 106 milioni di EURO, comunque in calo dell‟8% rispetto al primo semestre del
2009.
Singolare che sia più forte l‟esportazione di mobili verso l‟Italia ( 13,5 milioni di Euro, con un
aumento del 18,4% rispetto all‟anno precedente) rispetto all‟importazione di mobili dall‟Italia
(dati complessivi inferiori ai 10 milioni di euro).
5
Fonte: dati ufficiali dell‟ISTAT
32
Oltremodo singolare è l‟indicazione data dal Ministero degli Esteri relativamente agli ostacoli alla
libera circolazione delle merci nel paese, dove si segnalano azioni illegali, operate anche nei
confronti di società italiane, da parte di società locali operanti nel settore dei trasporti su srtada
che, per regolare le proprie pendenze o controversie con terze società, si appropriano
indebitamente dei carichi di merce di cui è stato a loro commissionato il trasporto, liberando gli
stessi carichi solo dietro il pagamento di quanto da essi asseritamente preteso da parte della ditta
committente, facendo leva sull‟impellente necessità di quest‟ultima che il carico di merce giunga
a destinazione nei termini pattuiti con il cliente finale.
Il PIL pro capite del paese è di 17.185 USD nel 2010, registrante un forte aumento rispetto al dato
precedente del 2005 di 14.218 USD.
Il reddito pro capite è di 3.830 Euro, dato in crescita rispetto all‟anno precedente del 5,9%, mentre
il dato relativo alla disoccupazione di attesta attorno ai 16,5 punti percentuali.
Il tenore di vita generale è da considerare di basso livello, con uno stipendio medio di circa 290€
al mese, lo stipendio minimo, in termini legali, è di 120€ al mese.
(g)
La Lettonia
La Lettonia è guidata da una coalizione di recente insediamento, forte di una maggioranza pari al
64% dei seggi, ma tale coalizione è minata nella tenuta a causa di diverse tensioni interne e
soprattutto dall‟adozione di pesanti misure fiscali che il governo ha dovuto adottare per soddisfare
le condizionalità del FMI, accontentando di conseguenza il malcontento popolare6.
Nel 2009 l‟andamento del PIL ha segnato un valore negativo, attestandosi attorno al -18%,
l‟attività economica è in forte rallentamento a causa della riduzione dei consumi interni e degl
investimenti.
Il deficit di bilancio è stimato in valori negativi (-13% del PIL ) a causa della crisi internazionale.
Relativamente agli interscambi della nazione, i principali partner commerciali sono Lituania,
Germania ed Estonia, mentre l‟Italia si trova in graduatoria all‟undicesimo posto.
L‟interscambio con l‟Italia è contenuto ed ha registrato per l‟anno 2008 una flessione del 16%
rispetto all‟anno precedente. Il settore trainante dell‟export italiano è stato quello della meccanica
strumentale , seguito da prodotti di elettronica e tessili, mentre l‟importazione di mobili si attesta
a valori attorno i 5 punti percentuali.
6
Fonte: http://www.sace.it
33
Figura 6. ://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=156
Il PIL pro capite della nazione è pari a 14.460 USD nel 2010, in aumento rispetto al dato di
13.181 USD registrato nel 2005.
Il reddito pro capite, con una popolazione di 2.4 milioni di abitanti, è stimato attorno ai 3.830
euro, con un tasso di crescita annuo del 5,9%, ma con il tasso di disoccupazione in lieve crescita
nei settori privati con percentuali che passano dal 13,2% di aprile 2011 al 13,9% di maggio dello
stesso anno.
Lo stipendio medio lettone è in media più elevato di quelli visti precedentemente, con valori che
si attestano attorno ai 460 USD, notando anche un aumento dei salari sia nel settore pubblico che
privato per valori di 3-4 punti percentuali, dopo tre anni di mancati adeguamenti.
34
III) Introduzione statistica
Nell‟ambito del marketing quantitativo per la determinazione della curva interpolante una serie
storica viene fatto largo uso di modelli univariati di diffusione temporale nell‟ambito delle
regressioni non lineari. Tali modelli derivano da discipline molto differenti quali la sociologia, la
biologia e l‟urbanistica e si dividono in due macrogruppi: i modelli a crescita limitata e quelli a
crescita illimitata. Nella presenta analisi verranno trattati solamente i primi7.
Ricordiamo che stiamo analizzando qui dei processi stocastici discreti formato da una famiglia di
variabili casuali indicizzate da un parametro
*
+. Se lo spazio degli stati
che rappresenta il tempo e riscrivibile come
è uno spazio discreto tale che *
+, allora ogni
variabile casuale assume valori nello spazio degli stati (Grimmet & Stirkazer, maggio 2001).
Tra i vari modelli, il Bass Model (1969) si è dimostrato molto adatto per le analisi dei processi di
vendita anche grazie alla sua semplicità analitica.
III.1) Bass Model
Il BM si basa sul modello logistico di Verhulst -utilizzato per la descrizione di dinamiche
demografiche- e si ottiene come caso particolare dell‟equazione di Riccati (1676-1754) a
coefficienti costanti (Guseo R. , Interventi strategici e aspetti competitivi nel ciclo di vita delle
innovazioni, 2004).
A partire dalla formulazione dell‟equazione differenziale
(
Se
)(
)
.
è la densità corrispondente alla funzione di ripartizione , possiamo analogamente
scrivere:
(
isolando i parametri
e
)
(
)
di cui tratteremo inseguito.
Se applichiamo l‟equazione di Bass al processo di vendita di un prodotto industriale, essa può
essere riscritta come:
7
Il non utilizzo di modelli a crescita illimitata è da intendersi dovuto non alla finitezza dei processi qui
studiati, quanto alla non migliore interpolazione dei dati che essi permettono di ottenere qualora usati in
intervalli definiti rispetto ai modelli a crescita limitata.
35
.
In cui
/.
/
/(
.
)
è una costante positiva che identifica la carrying capacity e il primo addendo (
esprime attraverso il parametro
)
l‟effetto innovativo del processo -dovuto fortemente ad azioni
esogene quali le campagne di marketing- che è direttamente proporzionale al mercato residuo
(
) e si rifà al modello monomolecolare di Fourt e Woodlock. Il secondo addendo,
), esprime attraverso il parametro
gravato di una componente di penalizzazione
(
l‟effetto
imitativo del processo e si basa sul modello logistico di Verhulst.
La soluzione del modello è:
(
)
(
)
Come si può facilmente dedurre, questo modello permette di studiare le dinamiche nel tempo di
un processo di diffusione di un innovazione a partire dai parametri
che possono essere
stimati, a partire dalle osservazioni per mezzo dell‟utilizzo di software di calcolo statistico quali
Statgraphics Centurion XVI, Worlfram Mathematica o Matlab di Mathworks.
III.2) Generalized Bass Model
Bass, Krishnan e Jain nel 1994 hanno introdotto una funzione portante nel BM, ottenendo così
l‟equazione del GBM:
.
/ ( )
/.
( )
Si dimostra che la portante ( ) ha un ruolo nella gestione dei tempi di adozione modificando la
geometria del tempo. Se nel transitorio ( ) muta la quota degli innovatori, la quota asintotica
dipende sempre e solo dal rapporto
. ( ) infatti non può alterare il parametro
, deforma
solo i tempi di adozione in maniera tale che le adozioni anticipate vengono sottratte a quelle
future. Riconducendo questo discorso al marketing, si può quindi affermare che le azioni di
marketing positive accorciano PLC favorendo il rientro più rapido dell‟investimento.
Tornando all‟equazione qui sopra, se
( )
ovvero una dilatazione del tempo, mentre ( )
, si ha un rallentamento nella diffusione
indica una contrazione nei tempi e quindi una
sollecitazione del processo diffusivo; nel BM standard è uniformemente unitaria.
La soluzione generale del GBM è:
36
(
( )
in cui per ( )
alterano la densità
)∫
(
)∫
( )
( )
avremo la soluzione del BM standard. Come accennato, le variazioni di ( )
( )
ma ne conservano l‟integrale e non è quindi possibile modificare
mediante ( ).
III.2.A Interventi esogeni nel GBM
A differenza dell‟equazione di Bass, che resta un modello piuttosto fedele e semplice in termini
parametrici, il GBM permette una correzione attraverso ( ). Questa correzione, affinché non
appesantisca eccessivamente il modello non deve descrivere un eccessivo dettaglio. Per questo
motivo questa analisi si concentra su due tipi di impulsi (e un terzo dato dalla composizione degli
altri due)8.
(a)
Impulsi rettangolari
Gli impulsi rettangolari sono delle sovrapposizioni localmente stabili alla ( ).
Dati gli estremi ,
-
di un intervallo chiuso
con
, e il parametro
,
significativamente diverso da zero che indica lo spessore del contributo locale sia esso positivo o
negativo.
Nel caso di due impulsi rettangolari si avrà:
( )
con le funzioni indicatrici
che assumono il valore 1 se l‟evento indicato è verificato, 0
altrimenti, consentendo così di attivare selettivamente l‟impulso in funzione dell‟appartenenza di
all‟intervallo descritto.
(b)
Impulsi esponenziali
Un altro tipo di shocks sono quelli che alterano la funzione portante in maniera molto intensa e
sono poi caratterizzati da un assorbimento che riporta alla stazionarietà con velocità variabili.
8
Vengono qui trascurati, per snellire l‟esposizione, gli impulsi armonici e gli impulsi di Riccati che, seppur
utili nello studio di processi di diffusione temporale, non vengono utilizzati nelle analisi seguenti.
37
Siano
il parametro che definisce il tempo di insorgenza dell‟impulso,
valore assoluto9 la velocità di decadimento dell‟intervento e
in
l‟ampiezza iniziale10
dello shock, allora:
(
( )
(c)
)
(
)
Impulsi misti
Le due funzioni portanti sopra descritte possono sia essere composte di uno o più shock di uno
stesso tipo che da una combinazione dei due tipi11. Una funzione portante ospitante al suo interno
due interventi di natura differente, uno esponenziale e uno rettangolare, basata sulle notazioni
precedenti avrà la forma:
(
( )
)
In questo modo è possibile descrivere localmente shock imputabili a cause molto diverse e hanno
comportamenti tra loro molto differenti.
III.2.B Aspetti asintotici
Poiché i due modelli visiti sono costituiti da un addendo che misura il contributo istantaneo degli
innovatori, è possibile definire anche il contributo cumulato degli innovatori attraverso l‟integrale
indefinito dei modelli nell‟ipotesi in cui valga la condizione iniziale ( )
Data la convergenza del cumulo globale ( ) verso l‟unità per
( ) per
ontrubito cumulato normalizzato degli innovatori
.
, si può studiare il limite del
.
Il risultato che si ottiene coincide per i due modelli (BM, GBM) data la irrilevanza asintotica della
portante ( ) e quindi, in definitiva la quota asintotica degli innovatori dipende solo dal rapporto
.
( )
9
0,5
1
2
3
5
10
20
50
100 500
81
69
55
46
36
24
15
8
4,6
1,2
Se
, allora è garantita la monotonia crescente della ripartizione, se
, allora avremo uno shock
che non viene smemorizzato (assorbito) dal sistema e avrà quindi effetti permanenti sulla struttura della
curva.
10
Anche in questo caso può assumere valori positivi o negativi a seconda del tipo di intervento.
11
Nella presente analisi non vengono presi in considerazione modelli con più di 3 shock dello stesso tipo lo
shock rettangolare e uno esponenziale a causa della complessità parametrica che si trova a collidere con la
capacità di calcolo del software da noi utilizzato.
38
III.3) Modello Guseo-Guidolin
Il modello di Bass e la sua generalizzazione (GMB) sono risultati strumenti molto utili per
effettuare le analisi dei processi di diffusione delle innovazioni, non solo nel marketing
quantitativo. Proprio nell‟ambito del marketing, la crescente importanza rivolta alle strategie di
marketing ha stimolato la ricerca di modelli che potessero tenere maggiore conto delle dinamiche
di adozione nei mercati.
E „molto interessante lo studio del modello Guseo Guidolin che ipotizza il mercato potenziale
come variabile in funzione del tempo. Il grafico della sua derivata, ovvero delle densità è
caratterizzato da una fase di slow down dopo un primo picco seguita da un nuovo picco nelle
vendite istantanee.
Per quanto riguarda il mercato potenziale, esso ha una struttura variabile che dipende in
particolare dai processi di comunicazione. Tale processo di diffusione dell‟informazione si
differenzia dalla fase di adozione.
Le dinamiche di diffusione dell‟informazione sono descrivibili attraverso un equazione
differenziale assimilabile (ponendo
( )
(
) a quella già vista per il BM. Sia
( ))
( )(
( ))
( )
( )
il suo integrale, che rappresenta il processo di comunicazione ovvero la densità delle possibili
relazioni binarie tra individui, è:
(
( )
(
Il processo di comunicazione dell‟innovazione
potenziale
)
( ) influisce sulla dinamica del
mercato
( ) così definito:
( )
dove
)
è il valore asintotico
( )
√ ( )
del mercato potenziale che misura il numero di
potenziali adottanti, ovvero il numero totale di coloro che sono informati intorno al prodotto.
Bisogna ricordare che
( )
( ) in quanto non tutti gli informati adotteranno poi il prodotto di
cui si tratta.
Analizzando il processo di diffusione dell‟informazione, ci si rende infatti conto che essa si
diffonde secondo due canali: quello degli innovatori e quello degli imitatori.
Se nel BM standard il potenziale raggiunge il valore asintotico già dalla prima osservazione, il
modello GuGu permette di modellare questo processo di raggiungimento del mercato potenziale.
Come è possibile notare nel grafico, infatti, diversi processi di comunicazione hanno effetti
differenti sulla velocità di raggiungimento del mercato potenziale.
39
Sostituendo otteniamo:
(
( )
√
)
(
)
Possiamo inserire ora tale definizione del mercato potenziale nella soluzione del modello di Bass,
(
√
(
)
(
)
)
(
)
dove i parametri presenti permettono di valutare le diverse fasi di informazione (
adozione (
) e
) del prodotto.
E‟ importante notare come nel modello appena descritto si possa individuare un processo di coevoluzione tra diffusione del processo di informazione e quello di adozione, come la struttura del
mercato potenziale
( ) agisca per via moltiplicativa e come attraverso il modello GuGu sia
possibile inferire il processo di diffusione dell‟informazione sulla base dei soli dati aggregati di
vendita ottenendo così una notevole semplificazione parametrica dell‟analisi.
III.4) Criteri di scelta dei modelli.
La scelta del modello avviene attraverso adozione successive di modelli via via più complessi.
40
III.4.A Coefficienti di correlazione
L‟aumento dei parametri permette di migliorare i risultati di
, dove questo rappresenta il
coefficiente di determinazione ovvero il rapporto tra la variabilità dei dati e la correttezza del
modello statistico utilizzato.
Per non eccedere nella complessità parametrica dei modelli può essere però utile disporre di
criteri che permettano di scegliere quando valga la pena utilizzare una equazione più complessa.
Uno strumento molto intuitivo è il coefficiente di correlazione multiple parziale al quadrato ̃
così definito:
̃
dove
(
̃
)
sono le statistiche R-quadro relative al modello più semplice (M1) e a quello
12
più complesso
(M2).
̃
fornisce quindi una misura normalizzata del guadagno derivante
dall‟adottamento di un modello più complesso. Se il guadagno derivante da un modello più
complesso sarà concreto, allora ̃
; le complicazioni parametriche per cui ̃
saranno rifiutate.
Un modo alternativo per formulare un test sull‟accettabilità di un modello è il calcolo di:
(
)(
)
(
dove
è la numerosità dei dati a disposizione,
il numero dei parametri del modello esteso e
differenza tra il numero dei parametri del modello esteso
Per
)
e quello più semplice
la
.
la maggiore complicazione del modello è significativa e il suo contributo in termini di
miglioramento delle previsioni giustifica l‟aumento di complessità parametrica.
Un criterio di scelta alternativo può essere legato all‟affinamento mediante una auto regressive
moving average ovvero un modello ARMA.
III.4.B Analisi dei residui
Il tipico modello di regressione non lineare nei parametri, sul quale si basano tutti i modelli finora
descritti, è rappresentabile come somma di due componenti,
(
12
)
Da intendersi come modello con più parametri.
41
che lega l‟output
alla funzione di trasferimento nota del vettore dei regressori
vettore dei parametri
cui si somma una seconda componente stocastica
e del
che rappresenta
il disturbo residuale.
Nel caso delle serie storiche l‟equazione qui sopra è riscrivibile tenendo conto del tempo , per
cui:
( )
(
)
( )
con ( )risposta del sistema dipendente dal tempo e ( )
errore stocastico.
Se vengono assunte le seguenti ipotesi sulla struttura di
( )
( ( ))
(omoschedasticità),
( ) ( )
( ( ))
(media nulla),
(incorrelazione tra disturbi distinti),
allora si ha la caratterizzazione di un c.d. white noise o rumore bianco.
Il rumore è “associato ai processi di differenziazione e di selezione ottimizzante che
implicitamente legittimano la stabilità del meccanismo funzionale di trasferimento”13 (Guseo R. ,
Interventi strategici e aspetti competitivi nel ciclo di vita delle innovazioni, 2004).
Proprio l‟ipotesi di media nulla permette di utilizzare il criterio di stima dei minimi quadrati. E
„raccomandabile poi procedere con l‟analisi dei residui di regressione sulla scorta delle stime
delle osservazioni ̃ ottenute con tecniche standard quali il metodo di Marquardt usato nel
presente elaborato.
Una migliore articolazione dell‟errore statistico quando questo presenta una correlazione tra
osservazioni successive (misurabili attraverso la Statistica di Durbin-Watson) può essere ottenuta
attraverso l‟uso di tecniche autoregressive.
III.4.C Processo ARMA
In particolare, dopo la stima dei ̃ del modello si può applicare una procedura di identificazione a
stima ARMA(p,q). Tale procedura si ricava dal modello di trasferimento di Box e Jenkins (1976)
secondo i quali la risposta di un sistema può essere considerata funzione di alcune componenti
ritardanti della risposta
( ), di ingressi autonomi di un input
( ) e di un disturbo
14
stocastico residuo. Il modello è scrivibile, in forma semplificata ,
( )
13
( )
( )
Come si vedrà l‟entropia si riduce come conseguenza dell‟utilizzo di modelli via via più complessi.
Partendo dalla formulazione di Box e Jenkins in cui il modello assume la forma
( ) ( )
in cui il disturbo
è un processo ARIMA(p,d,q), ci si sofferma sul caso più
( )
( )
semplice del processo ARMA(p,q),
( ) . Imponendo
( ) si ottiene il
modello di trasferimento sopra descritto.
14
42
dove
è il white noise, se
si ha un processo ARMA(p,q) con regressore
.
In forma esplicita si ha:
15
Attraverso il processo ARMA sopra descritto è possibile anche generare un processo Seasonal
Autoregressive Moving Average o SARMA.
Questo tipo di modello è un caso particolare del modello generale ARMA dove le relazioni AR e
MA sono modellate per osservazioni dello stesso intervallo di tempo in periodi diversi. Per cui
otteniamo:
( )
dove
e
( )
sono rispettivamente il polinomio stagionale AR di ordine p e il polinomio MA di
ordine p così definiti:
( )
( )
dove
rappresenta la serie degli errori e i due polinomi rispettano le condizioni di stagionalità e
invertibilità.
Questo tipo di procedure appena descritte non parte dell‟assunzione di indipendenza di
osservazioni successive e serve quindi a descrivere correlazioni tra vicine nel tempo.
E‟ così possibile prevedere l‟andamento di serie storiche stazionarie.
Le procedure ARMA e la sua versione con stagionalità SARMA
prevedono l‟esistenza di
rilevazioni fuori controllo sulla base di deviazioni dal processo rispetto a questo modello
dinamico per l‟analisi delle serie storiche.
Nell‟analisi di serie storiche non stazionarie è possibile seguire due vie alternative per applicare
tali procedure. E possibile applicare il metodo di previsione ai residui della serie che risultano
infatti essere stazionari intorno a zero o svolgere l‟analisi sui dati e poi condizionare l‟andamento
della stima attraverso l‟inserzione nel modello di un regressore ottenendo così un polinomio
ARMAX o SARMAX.
15
Si noti che per
quella precedentemente vista
( )
(
)
( )
( ).
l‟equazione corrisponde a
43
Questo tipo di modelli permette, quindi di affinare le previsioni già ottenute attraverso l‟utilizzo
della modellazione di Bass e sue derivazioni e ottenere così dei dati molto più precisi.
44
IV)CRYSTAL
Tra le linee prese in analisi, abbiamo considerato per prima la cucina “CRYSTAL”.
“Contemporanea, raffinata, brillante. Con le sue ante in alluminio e pannello di vetro temperato
Crystal apre nuovi orizzonti di funzionalità e personalizzazione nell’ambiente cucina, pronta ad
essere spazio di classe per il proprio “stile di vita” e luogo eccellente dove misurarsi con il cibo e
l’ospitalità. Le atmosfere create da questo modello nascono da singolari proposte di finiture e
soluzioni. Banchi colazione, armadi e contenitori, complementi ed elettrodomestici tra i migliori
sul mercato (peculiarità del marchio Scavolini) ne fanno sicuramente una cucina di grande
attualità. Mentre le ante, lucenti e disponibili in un’originale scelta di colori e texture (alcune
sono serigrafie ideate da Karim Rashid), caratterizzano gli ambienti con eleganza, fantasia e
differente appeal”
45
La tabella qui di seguito presenta la serie storica delle vendite istantanee relativa alla suddetta
linea. I dati partono da gennaio 2005 sino ai giorni nostri. Per un totale di 83 mensilità. (tabella
1.1)
Tabella IV-1 Vendite mensili del modello Scavolini CRYSTAL nel periodo gennaio 2005-novembre 2011
CRYSTAL
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
GENNAIO
0
1
4
6
1
0
0
FEBBRAIO
4
7
1
6
3
6
2
MARZO
3
12
10
3
6
5
3
APRILE
6
6
5
9
9
4
2
MAGGIO
6
9
4
12
6
3
6
GIUGNO
5
9
6
6
3
4
1
LUGLIO
6
5
11
9
0
5
3
AGOSTO
2
4
3
3
2
3
1
SETTEMBRE
2
3
10
12
2
4
2
OTTOBRE
10
3
6
9
3
3
6
NOVEMBRE
3
9
4
5
3
6
4
DICEMBRE
5
4
3
9
1
7
0
Alla luce dei presenti dati abbiamo creato un grafico a dispersione della linea Crystal rilevando
visivamente le vendite istantanee al tempo t. (grafico 1.1)
46
Grafico IV.1 Dati osservati di vendite mensili per la linea SAX (gennaio 2005-novembre 2011)
Dati osserv ati venditel istantanee linea CRYSTAL
12
unità vendute
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Dall‟osservazione del grafico risulta subito all‟occhio che l‟andamento delle vendite istantanee
non è stabile nel tempo, infatti si notano dei picchi opposti. Da un massimo di 10-12 cucine nei
mesi 10, 15, 27, 31, 33, 41, 45, ad un minimo di 0-1 cucina nei mesi 8, 13, 26, 49, 73, 78, 80. Si
noti che i mesi citati in realtà corrispondono a determinati periodi dell‟anno e cioè, se
consideriamo le vendite più alte, queste corrispondono a mesi primaverili e autunnali, mentre se
teniamo in considerazione i mesi invernali e estivi e più specificatamente gennaio e agosto,
notiamo che le vendite spesso vanno addirittura a 0. Notiamo inoltre che verso la metà del 2008
più precisamente ai tempi t=39, t=44, c‟è stata una perdita nelle vendite che possiamo imputare, a
livello micro, come una perdita dovuta al fatto che l‟azienda Scavolini ha deciso di lanciare sul
mercato una nuova linea di cucina, la linea Scenery. Quest‟ultima è stata creata con gli stessi
materiali della linea Crystal ma ha una linea di design nuova e accattivante e questo può aver
inciso sull‟andamento delle vendite.
Proseguendo nell‟osservazione della serie si può inoltre aggiungere che all‟inizio del 2009 si è
verificato un crollo delle vendite (t=49, t=56, t=61) più duraturo e incisivo (questa volta a livello
macro) che si potrebbe spiegare con l‟avvento della crisi finanziaria ed economica che ha
coinvolto tutto il mondo negli ultimi anni. Infatti all‟ inizio del 2010 c‟è stata una ripresa ma
questa, come si evince dal grafico, è lenta e difficile e che continua sino ai giorni nostri.
IV.1) Bass Model
Dal grafico delle vendite istantanee si può vedere che il trend delle vendite assume il noto aspetto
“a campana” o “gaussiano” del processo di diffusione del prodotto con un ciclo di vita chiuso. Per
47
questo motivo abbiamo deciso di utilizzare, con l‟ ausilio del programma Statgraphics,
il
modello di Bass Standard (BM).
Al fine di analizzare il BM abbiamo ritenuto necessario esaminare l‟andamento delle vendite
cumulate della cucina presa in considerazione, la linea Crystal.
Grafico IV.2 Dati osservati delle vendite cumulate della linea CRYSTAL (gennaio 2005 - novembre 2011)
Dati osserv ati vendite cumulate linea CRYSTAL
unità vendute
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Attraverso l‟osservazione del grafico delle vendite cumulate (grafico 1.2) possiamo notare che
l‟andamento delle stesse si mantiene abbastanza stabile nel tempo, anche se si può vedere che nel
2009 vi è un calo delle vendite che sembra perdurare nel tempo, anche se con una lieve ripresa,
esattamente come risulta dalla visione del grafico che riguarda le vendite istantanee (grafico 1.1).
Dopo questa breve rappresentazione visiva della serie storica delle vendite possiamo applicare,
come deciso in precedenza, il modello di Bass Standard. Quest‟ultimo ci permetterà di avanzare
delle ipotesi sul futuro ciclo di vita del “nostro” prodotto. Ed è estremamente importante se si
tiene conto del fatto che questo può aiutare l‟azienda a prendere decisioni riguardo le politiche di
marketing, dell‟offerta e comunque di qualsiasi altra decisione inerente il ciclo di vita del prodotto
preso in esame.
Questo modello ha una struttura ridotta a livello parametrico, infatti utilizza solo tre parametri: m
(carrying capacity); p (quota dell‟innovatori); q (quota degli imitatori). Così, per le stime iniziali
abbiamo posto rispettivamente: 500 (numero significativamente superiore rispetto al totale delle
vendite cumulate della linea Crystal e cioè 399), 0,01 e 0,1.
48
Ora vediamo i risultati prodotti dal BM.
Regressione non lineare - CRYSTAL cum
Variabile dipendente: CRYSTAL cum
Variabili indipendenti:
t
Funzione da stimare: m*
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*t))
Stime dei parametri iniziali:
m = 500,0
p = 0,01
q = 0,1
(1-EXP(-(p+q)*t))/
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 6
Numero di chiamate di funzione: 25
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
Stima
433,347
0,00876733
0,0387215
Errore standard
asintotico
5,01054
0,000178033
0,00164252
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
5,25366E6
Residuo
2296,03
Totale
5,25596E6
Totale (Corr.)
1,28264E6
G.l.
3
80
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
423,376
0,00841304
0,0354528
95,0%
superiore
443,319
0,00912163
0,0419903
Media dei quadrati
1,75122E6
28,7003
R-quadrato = 99,821 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8165 percento
Errore standard della stima = 5,35727
Errore assoluto medio = 4,28761
Statistica di Durbin-Watson = 0,269619
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,849272
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
28,7003
MAE
4,28761
MAPE
ME
-0,201945
MPE
Convalida
49
Grafico IV.3 Applicazione del modello di Bass Standard linea CRYSTAL
Modello Bass Standard CRYSTAL
CRYSTAL cum
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico IV.4 Residui del modello di Bass Standard
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
0
100
200
300
prev isto CRYSTAL cum
400
Il metodo di stima qui utilizzato è quello Marquardt ed è stata raggiunta la convergenza della
somma residua dei quadrati dopo 8 iterazioni e 65 chiamate di funzione.
Il modello vede un
. Questo significa che il modello in questione si adatta
piuttosto bene ai dati cumulati in nostro possesso. A conferma di ciò possiamo osservare gli
intervalli di confidenza dei parametri stimati che, come si evince dalla tabella, sono abbastanza
stretti. Il mercato potenziale (m) risulta essere stato stimato a 433. Se teniamo in considerazione
che le nostre vendite cumulate attuali risultano essere 399, ci rendiamo subito conto che il ciclo di
50
vita della linea Crystal sembra volgere al termine, visto che mancherebbero solo 7,8521 punti
percentuali alla piena soddisfazione della domanda della suddetta linea. Anche questo ci permette
di poter dire che il modello utilizzato è molto stabile.
I valori p e q sono rispettivamente 0,00876733 e 0,0387215. Attraverso il rapporto
possiamo
individuare la quota asintotica degli innovatori che, in questo caso, risulta essere pari a 4,41 cioè
circa il 40 . Considerando che nelle applicazioni più comuni il rapporto in questione è compreso
ordinatamente tra 36
e 8 , possiamo dire che, in questo caso, il peso degli innovatori è più alto
del solito e questo può essere facilmente spiegabile se teniamo presente il tipo di prodotto a cui ci
riferiamo.
La statistica di Durbin-Watson (DW), che valuta l‟autocorrelazione dei residui, risulta essere pari
a 0,269619 e quindi, essendo un valore piccolo, indica che i residui sono correlati positivamente.
Nel grafico successivo (grafico 1.5) mettiamo a confronto le vendite istantanee con il BM appena
visto. Come andremo a vedere il ciclo di vita della cucina Crystal ha decisamente superato il suo
picco massimo di vendite e il grafico sottostante lascia pensare al fatto che il ciclo di vita del
prodotto stia per volgere al termine.
Grafico IV.5 Valori osservati e valori previsti dal modello di Bass Standard della linea CRYSTAL
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
51
Ora possiamo andare avanti con la nostra analisi prendendo in esame il modello ARIMA.
(a)
Affinamento ARIMA
I modelli ARIMA ci permetto di affinare il nostro modello di Bass Standard dandoci delle
previsioni future sulla base dei dati in nostro possesso.
Il lavoro è partito dal netto dei residui diretti, ottenuti dalla differenza tra i dati cumulati
(CRYSTAL cum) e i risultati avuti dal Bass Standard. Successivamente si è scelto il modello
ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average Model) e si sono modellati i parametri
previsti (AM, MA, SAR, SMA) in funzione della loro significatività o non significatività
statistica.
Qui di seguito possiamo osservare i risultati raggiunti. Si è ottenuto un modello ARIMA (1,0,0)12
senza costante.
Previsione ARIMA
Variabile: (CRYSTAL cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,66611
2,1433
Convalida
Periodo
0,090395
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,873978
0,0555337
15,7378
0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 7,11585 con 82 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,66756
Numero di iterazioni: 2
Dai risultati ottenuti vediamo che il modello previsionale prevede solo una componente
regressiva, infatti AR è pari a 1. Non troviamo né media mobile (MA), né componenti di
stagionalità. Il P-value del termine AR è minore di 0,005 e questo significa che è
significativamente diverso da 0.
52
Successivamente attraverso l‟analisi della varianza residua, si è potuto mettere a confronto la
validità e l‟adattabilità dei due modelli presi in esame. Infatti nel Bass Model la varianza residua
risulta essere 2296,03, mentre questa nel modello ARIMA è 583,4997 (7,11585×82). Questo
significa che vi è un netto miglioramento del modello sui nostri dati in confronto al BM “puro”. Il
guadagno raggiunto è del 74,6%.
Osserviamo ora il grafico che mette in risalto come il modello sia meglio centrato.
Grafico IV.6Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)
Grafico delle sequenze temporali per (CRYSTAL cum -PREDbass1)
ARIM A(1,0,0)
(CRYSTAL cum -PREDbass1)
14
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
9
4
-1
-6
-11
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Notiamo inoltre che il test sui residui ai diversi lag, che indica le autocorrelazioni stimate per
testare l‟adeguatezza del modello scelto, sono non significativi. Solo uno sui 24 coefficienti di
autocorrelazione risulta statisticamente significativo con un livello di confidenza del 95,0 livello
di confidenza dell‟1% e questo implica che i residui potrebbero non essere completamente casuali
(white noise).
53
Grafico IV.7 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)
Autocorrelazioni dei residui per adattate (CRYSTAL cum-PREDbass1)
ARIM A(1,0,0)
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Per osservare visivamente i miglioramenti ottenuti, nel grafico sottostante si mettono a confronto
le previsioni ottenute dal BM con il BM affinato con ARIMA(1,0,0)12.
Grafico IV.8 Confronto tra dati istantanei e previsioni del BM senza e con affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbass1+ FORbass1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
mesi
54
72
84
96
108
IV.2) Il Generalized Bass Model (GBM)
Il Modello di Bass Generalizzato permette, attraverso l‟introduzione di una funzione portante ( ),
di accellerare o rallentare il processo di diffusione del prodotto. La funzione permette di prendere
in considerazione degli shocks esogeni che possono riguardare la serie storica presa in esame.
Alla luce di questo si è deciso di implementare il GBM per far sì che i dati in nostro possesso
potessero adattarsi in maniera ancora più realistica al nuovo modello utilizzato anche se, il BM
restituiva già dei risultati abbastanza buoni.
Si è cercato di “catturare” degli shocks che ci sembravano più o meno significativi all‟interno del
Bass Standard e quindi si è deciso di analizzare diversi GBM: con shock rettangolare; con shock
esponenziale; con due shocks esponenziali (nidificato nel secondo modello citato); con shock
rettangolare ed esponenziale.
IV.2.A GBM con uno shock rettangolare
Dall‟osservazione dei dati cumulati messi a paragone con il BM (grafico 1.3) si riesce a vedere
che nella prima fase del ciclo di vita della cucina Crystal, circa nei primi mesi del 2006, si è
verificato un incremento delle vendite, non percepito dal modello di Bass Standard. Per questo
motivo si è scelto di adottare il GBM con uno shock rettangolare per avvicinare ancor di più i dati
in nostro possesso a un modello più adatto. Abbiamo stimato al tempo=15 (marzo 2006) il
parametro a1; al tempo=21 (settembre 2006) il parametro b1; questi parametri indicano
rispettivamente la finestra temporale in cui si individua un ipotetico inizio e fine dell‟incremento
(o decrescita) delle vendite. Il parametro c1 che invece indica l‟intensità dello shock è stato posto
a 0,5.
Osserviamone i risultati:
Variabile dipendente: CRYSTAL cum
Variabili indipendenti:
t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+
c1*(b1-a1)*(b1<t)
c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+
Stime dei parametri iniziali:
m = 433,0
p = 0,00876
q = 0,0387
c1 = 0,5
a1 = 15,0
b1 = 21,0
)))/
c1*(b1-a1)*(b1<t)
c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+
(1+(q/p)*EXP (-(p+q)*(t+
)))
55
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 8
Numero di chiamate di funzione: 65
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
a1
b1
Stima
433,694
0,00800447
0,0397963
0,411281
12,9119
16,2118
Errore standard
asintotico
5,1506
0,000448946
0,00180561
0,460991
4,01654
3,00325
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
5,25379E6
Residuo
2165,58
Totale
5,25596E6
Totale (Corr.)
1,28264E6
G.l.
6
77
83
82
Intervallo di confidenza al
Asintotico
Inferiore
423,438
0,00711051
0,0362008
-0,506672
4,91398
10,2315
95,0%
superiore
443,95
0,00889844
0,0433917
1,32923
20,9099
22,192
Media dei quadrati
875632,
28,1244
R-quadrato = 99,8312 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8202 percento
Errore standard della stima = 5,30324
Errore assoluto medio = 4,04888
Statistica di Durbin-Watson = 0,274472
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,846864
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
28,1244
MAE
4,04888
MAPE
ME
0,278616
MPE
Convalida
Da i dati osservati possiamo subito dire che la stima per la convergenza dei quadrati è stata
raggiunta dopo 8 iterazioni e 65 funzioni di chiamata.
L‟R-quadro è 99,8312. Rispetto a quello del BM è sensibilmente migliorato ma di seguito
valuteremo il coefficiente di correlazione parziale multiplo al quadrato e il rapporto F per vedere
che tipo di guadagno si ha nell‟applicare questo secondo modello ai dati e il peso che assumono i
nuovi parametri nel nuovo modello adottato.
Ora continuiamo con l‟analisi dei risultati. Gli intervalli di confidenza sono al 95%, quindi
essendo abbastanza stretti, il modello si adatta sufficientemente bene. Le stime dei parametri
calcolate sul GBMr1 sono per a1=13, per b1=16, per c1=0,4. Quindi da come stimato, lo shock
compare prima (gennaio 2006) e termina prima (aprile 2006) rispetto ai dati inizialmente proposti
al modello. I parametri m, p e q risultano quasi invariati e questo a dimostrazione della stabilità
anche del BM. p risulta essere di 0,00800447; q è di 0,0397963, dal rapporto fra i due valori
56
possiamo vedere che la quota asintotica degli innovatori risulta essere 37%, quindi un po‟ più alta
rispetto al comportamento ordinario (8% - 36%).
Quanto alla statistica Durbin-Watson=0,274472, anche questa sembra essere non molto distante
dal Bass Standard.
Tenendo presente che il GBMr1 ha ottenuto dei risultati, seppur migliori, ma pressocchè simili al
BM prendiamo in esame il coefficiente di correlazione parziale multiplo al quadrato, sopra citato
e cioè utilizzando la formula ̃
, che nel nostro caso specifico diventa ̃
=
=
= 0,05698, si ottiene una cifra che risulta essere al limite della soglia di
accettabilità di 0,5.
Per capire a pieno se, effettivamente questo modello apporta delle migliorie al primo, proviamo a
capire quale sia il peso delle componenti aggiuntive rispetto al modello di Bass standard
utilizzando un nuovo calcolo che tiene presente anche la numerosità delle osservazioni e il
numero dei parametri
=
(
)(
(
)
)
= 14,62569. In questo, considerando che questo valore è
maggiore rispetto alla soglia accettabile di 4-5, si nota la maggiore adeguatezza del GBMr1
nell‟interpolare i dati in possesso.
Vediamo visivamente il grafico riguardante lo shock rettangolare.
Grafico IV.9 Vendite istantanee e GBM con uno shock rettangolare
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbassr1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
57
Grafico IV.10 GBM con uno shock rettangolare e vendite cumulate
GBM con shock rettangolare CRYSTAL
unità vendute
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico IV.11 Residui del GBM con uno shock rettangolare linea CRYSTAL
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
prev isto CRYSTAL cum
400
Quindi, esattamente come abbiamo detto, questo modello si adatta meglio ai dati ma non ancora
in modo soddisfacente.
(a)
Previsione dei residui con modello ARIMA
Variabile: CRYSTAL cum-PREDbassr1
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
58
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,61143
2,09929
Convalida
Periodo
0,146924
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,871708
0,0561284
15,5306
0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 6,82621 con 82 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,6127
Numero di iterazioni: 2
Il modello utilizzato è l‟ARIMA (1,0,0)12 senza costante. Il P-value per il termine AR(1) è
minore di 0,05 e quindi è significativamente diverso da 0 al livello di confidenza del 95%.
Confrontando la varianza residua del GBMr1=2165,58, con la varianza residua dell‟affinamento
ARIMA=559,74922, otteniamo una diminuzione della stessa del 74%. Il miglioramento risulta
essere uguale a quello che si è verificato nel modello precedente e cioè quello del Bass Standard.
L‟affinamento ARIMA restituisce decisamente un risultato migliore che si può osservare
graficamente qui di seguito.
Grafico IV.12 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)
Grafico delle sequenze temporali per CRYSTAL cum -PREDbassr1
ARIM A(1,0,0)
CRYSTAL cum -PREDbassr1
14
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
10
6
2
-2
-6
-10
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
59
Con questo grafico possiamo vedere che il modello ARIMA (1,0,0)12 senza costante è abbastanza
centrato sulle correlazioni dei lag, solo uno di loro non è propriamente centrato.
Grafico IV.13 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)
Autocorrelazioni dei residui per adattate CRYSTAL cum-PREDbassr1
ARIM A(1,0,0)
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Con l‟aiuto di un grafico a dispersione multiplo mettiamo a confronto le nostre vendite istantanee,
il GBMr1 visto sopra e la somma dei dati ottenuti con l‟affinamento ARIMA (1,0,0)12 senza
costante. Possiamo notare che l‟affinamento si adatta decisamente in maniera migliore ai dati.
60
Grafico IV.14 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBMr1 senza e con affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbassr1+ FORbassr1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Alla luce dei risultati raggiunti possiamo vedere che il GBM con uno shock rettangolare in realtà
non è sufficiente per interpolare perfettamente le vendite istantanee, perché notiamo che dal 2009
vi è un evidente crollo delle vendite che al momento non si è riusciti a prendere in considerazione,
quindi ora cercheremo con l‟aiuto di statgraphics di intercettare meglio gli shock. Utilizzeremo
ora un GBM con uno shock esponenziale.
IV.2.B GBM con uno shock esponenziale
Il GBM con uno shock esponenziale considera i parametri: a1 (indica il momento in cui si è
verificato l‟ipotetico shock); b1 (la presenza o assenza di smemorizzazione dell‟accaduto); c1
(l‟intensità positiva o negativa dello shock esponenziale). Proprio per cercare di captare il crollo
delle vendite nel 2009 abbiamo posto come parametro c1= -0,5 (per indicare che lo shock è di
natura negativa); b1= -0,3(per indicare che lo shock verrà assorbito nel tempo); a1=56 (per
indicare che lo shock potrebbe essersi verificato al t=56 e cioè agosto 2009). I parametri m, p e q
sono stati ricalcati dalle stime del BM.
Il metodo utilizzato è sempre quello del Marquardt e la convergenza della somma dei quadrati è
stata raggiunta dopo aver aumentato le iterazioni e le funzioni di chiamate.
Vediamo i risultati.
Variabile dipendente: CRYSTAL cum
Variabili indipendenti:
t
61
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+
)))/
(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)
Stime dei parametri iniziali:
m = 433,0
p = 0,008767
q = 0,03872
c1 = -0,5
b1 = -0,3
a1 = 56,0
(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+
)))
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 93
Numero di chiamate di funzione: 743
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
Stima
709,845
0,0058407
0,0241209
-0,56204
-0,00999592
51,5871
Errore standard
Asintotico
150,422
0,00108831
0,00448343
0,0540276
0,00931343
0,920225
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
5,25482E6
Residuo
1139,53
Totale
5,25596E6
Totale (Corr.)
1,28264E6
G.l.
6
77
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
410,315
0,0036736
0,0151932
-0,669623
-0,0285414
49,7547
95,0%
superiore
1009,37
0,00800779
0,0330485
-0,454457
0,00854953
53,4195
Media dei quadrati
875803,
14,7991
R-quadrato = 99,9112 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9054 percento
Errore standard della stima = 3,84696
Errore assoluto medio = 2,99936
Statistica di Durbin-Watson = 0,506296
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,738373
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
14,7991
MAE
2,99936
MAPE
ME
-0,270432
MPE
Convalida
Dal risultato dei dati ci si accorge subito che questo modello è il più adatto, fino ad ora, alle
vendite della cucina CRYSTAL. Infatti l‟R-quadro ora è 99,9112, più alto rispetto a quello dei
modelli precedenti.
La stima per il parametro m è salita a 709, quindi si è verificato un forte aumento della carrying
capacity di circa il 39%, ma questo non toglie il fatto che la linea presa in esame, dalle previsioni
fatte, ha superato il suo picco massimo di vendite. Vi sono stati degli aggiustamenti circa i
62
parametri p e q, questi sono stati portati rispettivamente a 0,0058407 e 0,0241209. Di
conseguenza il rapporto q/p risulta avere una quota asintotica degli innovatori pari al 41%.
Percentuale come già visto superiore rispetto ai risultati standard che indicano, che questo tipo di
prodotto è molto influenzato dagli innovatori visto che stiamo parlando di un prodotto di lusso in
dei Paesi non propriamente definiti ricchi (CIS).
Per quanto riguarda gli ulteriori parametri possiamo osservare che nella stima appena fatta, il
parametro c1 è rimasto invariato -0,5, il parametro b1 è passato a -0,00999, mentre la partenza
dello shock esponenziale è stata fatta risalire al t=51 e dunque a marzo 2009. Gli intervalli di
confidenza sono al 95% per ciascuno dei parametri incogniti.
Per quanto concerne la statistica di Durbin-Watson questa è peggiore rispetto ai modelli
implementati prima, essa è 0,506296 e questo si evince anche dal grafico sui residui che hanno
meno correlazione tra di loro.
Calcoliamo anche in questo caso l‟indice di correlazione multiplo parziale al quadrato, per
valutare il guadagno effettivo che possiamo ottenere applicando il GBMe1:
̃ =
= 0,50391. Anche in questo caso siamo al limite della soglia di 0,5 e per questo
motivo, anche in questo caso, ci sembra opportuno tenere conto anche del calcolo della
=
(
)(
(
)
)
= 12,9337. Secondo il risultato qui varato possiamo tranquillamente affermare
che il nuovo modello si adatta certamente meglio ai dati, rispetto al Bass standard. Possiamo
anche vedere che il GBMe1 restituisce più risultati in termini di adattamento ai dati rispetto al
GBMr1.
Vediamo ora le rappresentazioni grafiche.
63
Grafico IV.15 Vendite istantanee e GBM con uno shock esponenziale
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbasse1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico IV.16 GBM con uno shock esponenziale e vendite cumulativa
GBM con shock esponenziale
CRYSTAL cum
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
mesi
64
72
84
96
108
Grafico IV.17 Residui del modello di Bass generalizzato con uno shock esponenziale
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
prev isto CRYSTAL cum
400
Prima di procedere con ulteriori modelli ci preoccupiamo anche qui di implementare un modello
ARIMA, per fornire previsioni circa i valori futuri dei dati stimati con il modello GBM con un
esponenziale.
(a)
Affinamento ARIMA
Variabile: CRYSTAL cum-PREDbasse1
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,47724
1,96148
Convalida
Periodo
-0,0521386
65
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,747935
0,0721311
10,3691
0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 6,15988 con 82 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,48191
Numero di iterazioni: 1
Possiamo subito apprendere dai grafici che siamo in presenza di un modello ARIMA (1,0,0)12
senza la costante. Questo perché l‟unico parametro che appare è una componente autoregressiva
AR(1).
Inoltre possiamo aggiungere che le stime della statistica t e del P-value confermano la validità del
modello di affinamento ARIMA (1,0,0)12 senza costante.
Si osserva che mettendo in relazione la varianza residua del suddetto modello (505,110116) con
quella del modello di Bass generalizzato (1139,53) ne è conseguito un ottimo miglioramento, un
miglioramento del 55%.
Grafico IV.18 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)
Grafico delle sequenze temporali per CRYSTAL cum -PREDbasse1
ARIM A(1,0,0)
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
CRYSTAL cum -PREDbasse1
11
7
3
-1
-5
-9
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Anche il grafico sulle autocorrelazioni dei residui ai vari lag conferma che il modello è centrato e
che quindi questi ultimi risultano non significativi, anche se uno dei coefficienti di
autocorrelazione risulta statisticamente significativo.
66
Grafico IV.19 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)
Autocorrelazioni dei residui per adattate CRYSTAL cum-PREDbasse1
ARIM A(1,0,0)
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Vediamo dal grafico seguente come ci sia una considerevole capacità previsionale
dell‟affinamento ARIMA sul modello GBMe1. Infatti i dati istantanei sembrano seguire le
previsioni appena viste.
Grafico IV.20 Confronto tra dati istantanei e GBMe1 con e senza affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbasse1+FORbasse1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
67
Nel grafico sottostante, è sembrato opportuno, mettere in relazione i due modelli di Bass
generalizzato, quello con lo shock rettangolare e quello con lo shock esponenziale.
Grafico IV.21 Confronto tra vendite istantanee, BM, GBMr1 1 GBMe1
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Il grafico ci mostra in modo chiaro e intuitivo che, almeno coi parametri scelti sino ad ora, il
modello che meglio segue l‟andamento delle vendite istantanee della linea Crystal è il GBMe1. E
questo è confermato anche dal risultato del loro R-quadro che, ricordiamo essere, per il GBMr1
pari a 99,8312, e per il GBMe1 è pari a 99,9112.
Alla luce di questi commenti si è deciso comunque di provare ad applicare un GBM con due
shock rettangolari ma i risultati (R-quadro=99,9223) erano meno soddisfacenti rispetto al GBM
con due shock esponenziali (R-quadro=99,9454).
Per questa ragione qui di seguito è stata riportata l‟analisi che riguarda quest‟ultimo modello.
IV.3) MODELLO DI BASS GENERALIZZATO con due shock
esponenziali
Il GBM con due shock (in questo caso) esponenziali ci permette di prendere in considerazione e
localizzare al meglio un secondo shock, sempre esponenziale, all‟interno dei dati cumulati, in
aggiunta a quello già interpolati dal GBMe1. Con l‟utilizzo di questo modello si è riusciti ad
ottenere dei risultati superiori rispetto ai modelli prima presi in esame.
68
Per il GBMe2 si è dunque scelto di usare i parametri del GBMe1, questo anche per far sì che i due
modelli risultassero nidificati l‟uno dentro l‟altro e quindi fosse possibile confrontarli con gli
strumenti che abbiamo già preso in considerazione nelle precedenti analisi (coefficiente di
correlazione multiplo parziale al quadrato e rapporto F).
Seguono i risultati ottenuti.
Variabile dipendente: CRYSTAL cum
Variabili indipendenti:
t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+
(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+
(c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))-1)*(a2 <= t)
)))/
(1+(q/p)*EXP((p+q)*(t+
(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+
(c2/b2)*(EXP(b2*(ta2))-1)*(a2 <= t)
)))
Stime dei parametri iniziali:
m = 709,0
p = 0,00584
q = 0,02412
c1 = -0,5
b1 = -0,00999
a1 = 51,0
c2 = 0,5
b2 = -0,6
a2 = 13,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 638
Numero di chiamate di funzione: 7018
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
b2
a2
Stima
3669,75
0,0010286
0,014934
-0,574896
0,00145978
50,1322
2,98196
-0,995334
13,8883
Errore standard
asintotico
10719,2
0,0029881
0,00642356
0,0345545
0,00311792
0,560018
1,76681
0,654296
0,335326
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
5,25526E6
Residuo
700,514
Totale
5,25596E6
Totale (Corr.)
1,28264E6
G.l.
9
74
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-17688,9
-0,00492532
0,00213471
-0,643747
-0,00475282
49,0163
-0,538501
-2,29905
13,2201
95,0%
superiore
25028,4
0,00698252
0,0277332
-0,506044
0,00767239
51,248
6,50242
0,308382
14,5565
Media dei quadrati
583918,
9,46641
R-quadrato = 99,9454 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9395 percento
Errore standard della stima = 3,07675
Errore assoluto medio = 2,35405
Statistica di Durbin-Watson = 0,788424
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,595063
69
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
9,46641
MAE
2,35405
MAPE
ME
-0,0732011
MPE
Convalida
Il metodo di stima rimane il Marquardt. Per questo modello la convergenza della somma residua
dei quadrati è stata raggiunta solo dopo aver aumentato sino ad 800 sia le iterazioni che le
chiamate di funzione.
Possiamo ben vedere però che l‟R-quadro del GBMe2 è il più buono fin ora visto. Esso equivale a
99,9454. Questo sta a significare che il modello è riuscito ad interpolare in modo adeguato la serie
storica in questione. Si noti inoltre che gli intervalli di confidenza non sono molto stretti tra di
loro, infatti vediamo anche dei cambi di segno tra alcuni di essi e questo sta ad indicare che il
modello non possiede una struttura solida.
Le stime dei parametri iniziali, come anticipato sopra, sono state prese dalle stime del GBMe1 e
poi sono stati aggiunti dei parametri in concomitanza del possibile e ulteriore abbassamento delle
vendite al tempo=13 (gennaio 2006). I commenti sui risultati ottenuti sono:
- la stima del parametro m (carrying capacity) rispetto al modello precedente è salita dell‟80% e
questo risulta poco credibile rispetto anche solo, alla visione delle vendite cumulate;
- i parametri p e q sono rispettivamente 0,0010286 e 0,014934. In questo caso la quota asintotica
degli innovatori risulta essere di circa il 20% e quindi, ordinaria.
- i parametri a, corrispondenti al momento in cui gli shock sono stati stimati sono a1 e a2 e questi
sono stati individuati rispettivamente al tempo t=50 e t=13 e cioè a febbraio 2009 e gennaio 2006.
- i parametri c1 e c2 sono uno negativo e l‟alto positivo.
- infine i parametri b1 e b2 (che indicano la smomorizzazione o meno di uno shock) sono
anch‟essi uno positivo e l‟altro negativo. In realtà per queste stime c‟è da dire che se si osservano
gli intervalli di confidenza asintotici corrispondenti si vede che i loro valori oscillano da un segno
negativo a uno positivo e questo denota che il modello non è in grado di captare se i due shock
verranno riassorbiti o meno nel tempo.
70
Dal momento che questi due modelli sono nidificati, approfittiamo anche in questo caso della
formula del coefficiente di correlazione multipla parziale al quadrato, la nostra ̃ =
,
dove qui il risultato risulta essere 0,385135. Secondo la formula utilizzata, l‟uso del GBMe2 non
contribuirebbe in maniera significativa ad un adeguamento più appropriato dei dati rispetto al
modello precedentemente visto. Ora vediamo quali risultati restituisce la formula
(
)(
(
=
)
)
, che considera anche la significatività delle componenti aggiuntive rispetto al
modello più semplice. Il risultato ottenuto è 9,5, quindi ancora una volta un valore maggiore della
soglia 4-5 che indica, appunto, che implementare il GBMe2 porta a dei vantaggi significativi.
Vediamo ora i grafici corrispondente al GBMe2.
Grafico IV.22 Vendite istantanee e GBM con due shock esponenziali
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbasse2)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
71
Grafico IV.23 Vendite cumulate e GBM con due shock esponenziali
GBM con due shock esponenziali
CRYSTAL cum
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
La statistica Durbin-Watson che specifica se vi sia correlazione tra i residui è la più alta vista fino
a questo momento. Essa risulta essere di 0,788424, infatti la bassa correlazione fra i residui la si
può verificare anche attraverso il grafico seguente.
72
Grafico IV.24 Residui del modello GBMe2
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
0
100
200
300
prev isto CRYSTAL cum
400
A questo punto si è deciso di proseguire il lavoro con l‟applicazione dell‟affinamento ARIMA sul
GBM con due shock esponenziali.
(a)
Affinamento ARIMA
Variabile: CRYSTAL cum-PREDbasse2
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,30499
1,82587
Convalida
Periodo
0,0200929
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,704356
0,0774609
9,09305
0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 5,33286 con 82 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,3093
Numero di iterazioni: 1
73
A prima vista capiamo subito che ci troviamo di fronte un ARIMA (1,0,0)12 senza costante,
perché il solo parametro rimasto dopo la de-parametrizzazione è AR(1). Anche in questo caso
dunque, si ha una sola componente autoregressiva e una mancanza della media mobile e dei
parametri riferiti alla stagionalità (SMA e SAR).
La significatività statistica del P-value e delle statistiche t risulta dai loro stessi valori.
Confrontando ora la varianza residua del modello “puro” (GBMe2) con quella con l‟affinamento
ARIMA, possiamo vedere che si verifica un calo della stessa da 700,514 a 437,29452. Il
miglioramento è pari al 37% e questo denota che c‟è stato un incremento dell‟adattamento alla
serie storica.
Osserviamo i grafici.
Grafico IV.25 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)
Grafico delle sequenze temporali per CRYSTAL cum -PREDbasse2
ARIM A(1,0,0)
CRYSTAL cum -PREDbasse2
9
6
3
0
-3
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
-6
-9
0
12
24
36
48
60
mesi
74
72
84
96
108
Grafico IV.26 Autocorrelazione dei residui del GBM con due shock esponenziali)
Autocorrelazioni dei residui per adattate CRYSTAL cum-PREDbasse2
ARIM A(1,0,0)
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Dall‟ultimo grafico riportato e cioè quello relativo alle autocorrelazioni stimate dei residui ai vari
lag, osserviamo che il nono lag è statisticamente significativo in corrispondenza di un livello di
confidenza del 95%.
Nel grafico che segue mettiamo a confronto i dati istantanei della linea Crystal, il Bass model
generalizzato con due shock esponenziali e le previsioni con l‟affinamento ARIMA appena
analizzato. E come si può vedere la capacità previsionale di quest‟ultimo è decisamente buona.
Grafico IV.27 Confronto tra dati istantanei e GBMe2 con e senza affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbasse2+FORbasse2)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
75
IV.4) GBM con uno shock esponenziale e uno shock rettangolare
A questo punto dell‟analisi, anche se i risultati ottenuti sono decisamente buoni, abbiamo provato
ad applicare alla nostra curva di vendite il modello GBM con uno shock esponenziale ed uno
rettangolare perché ci sembrava che la combinazione delle due diverse nature degli shock
(esponenziale e rettangolare) potesse fornire risultati ottimali.
Abbiamo provato dapprima ad andare avanti con i modelli in modo tale che fossero nidificati
l‟uno dentro l‟altro perché, attraverso questo metodo, avremmo avuto la certezza che ogni nuovo
modello desse degli adattamenti sempre migliori. Così si è applicato il GBMe1r1 sui parametri
stimati dal GBMe2. Abbiamo deciso di fare lo stesso lavoro per quanto riguarda il GBMr1 e cioè
dai parametri di quest‟ultimo, siamo arrivati a generare un GBMr2 e successivamente, allo stesso
modo, abbiamo applicato i valori dei parametri previsti su un GBMe1r1. I risultati
dell‟adattamento dei modelli ai dati sono stati molto buoni in entrambi i casi, infatti se
consideriamo l‟R-quadro del GBMe1r1 nidificato nel GBM2r quest‟ultimo è comunque più basso
rispetto a quello che troveremo più avanti. Quindi non si è ritenuto necessario riportare tutti i dati
e grafici di questi “esperimenti”, ma solo perché ci sembrava ridondante mettere in mostra dei
risultati pressocchè simili e soprattutto perché ci siamo voluti concentrare nell‟esposizione di un
GBMe1r1 che prende vita dai valori delle stime del Bass Model che, con nostra sorpresa, è stato il
modello che possiamo considerare ottimale.
Osserviamone i dati.
Variabile dipendente: CRYSTAL cum
Variabili indipendenti:
t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+
(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+
c2*(ta2)*(a2<=t)*(t<=b2)+
c2*(b2-a2)*(b2<t)
)))/
(1+(q/p)*EXP((p+q)*(t+
(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+
c2*(t-a2)*(a2<=t)*(t<=b2)+
c2*(b2a2)*(b2<t)
)))
Stime dei parametri iniziali:
m = 433,0
p = 0,008767
q = 0,03872
c1 = -0,5
b1 = -0,3
a1 = 56,0
c2 = 0,5
a2 = 15,0
b2 = 21,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 78
Numero di chiamate di funzione: 859
76
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
a2
b2
Stima
581,688
0,00284443
0,041104
-0,598503
-0,0141233
51,4092
0,735297
-0,162552
17,827
Errore standard
asintotico
65,1851
0,000645164
0,00466056
0,0415915
0,00887503
0,655228
0,169127
1,72628
0,699134
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
5,25528E6
Residuo
677,508
Totale
5,25596E6
Totale (Corr.)
1,28264E6
G.l.
9
74
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
451,804
0,00155891
0,0318177
-0,681376
-0,0318073
50,1036
0,398303
-3,60226
16,4339
95,0%
superiore
711,573
0,00412995
0,0503904
-0,51563
0,00356059
52,7147
1,07229
3,27715
19,2201
Media dei quadrati
583920,
9,15551
R-quadrato = 99,9472 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9415 percento
Errore standard della stima = 3,02581
Errore assoluto medio = 2,29032
Statistica di Durbin-Watson = 0,808777
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,586748
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
9,15551
MAE
2,29032
MAPE
ME
0,00266507
MPE
Convalida
Il metodo di stima utilizzato ricordiamo è il Marquardt. In questo modello la stima della
convergenza della somma residua dei quadrati è stata raggiunta dopo 78 iterazioni e 859 funzioni
di chiamata.
Osserviamo i parametri: siamo partiti, come accennato sopra, ipotizzando che m fosse 433 (come
previsto dal BM) e in questo modello la stima del parametro è giunta a 581, quindi si presenta un
incremento del mercato potenziale del 25%. Ma anche in questo caso è chiaro che il ciclo di vita
della linea di cucina CRYSTAL sta volgendo al termine. I parametri p e q, anch‟essi presi
inizialmente dal BM hanno raggiunto rispettivamente la stima di 0,00284443 e 0,041104. Questi
77
due valori ci permettono di calcolare la quota asintotica degli innovatori (q/p) che vediamo essere
del 20%, quindi esattamente in linea con la quota asintotica degli innovatori ordinaria.
Passiamo ora ai parametri che sostengono i due tipi di shock utilizzati.
Per quanto concerne lo shock esponenziale la stima sul parametro c1= -0,5 sta ad indicare
l‟intensità iniziale dell‟evento (in questo caso negativo) che ha fatto subire un crollo alle vendite.
La stima del parametro b1= -0,014 mette in evidenza che vi è stata una smemorizzazione dello
shock e infine il parametro a1 è stato stimato a 51 e questo ci aiuta a capire che lo shock è
avvenuto al t=51 e più propriamente nel marzo 2009. Si potrebbero avanzare delle ipotesi che ci
spieghino cosa possa aver causato il crollo delle vendite. L‟avvenimento importante e che ha
avuto un grosso peso è stato l‟avvento della crisi economica e finanziaria globale. Passando ora ad
analizzare lo shock rettangolare, vediamo che il parametro c2=0,73; i parametri a1 e b1 vengono
stimati rispettivamente a 0 (in realtà vediamo che a1 ha segno negativo ma possiamo comunque
porlo a 0 perché le osservazioni partono al tempo t=1, sotto l‟ipotesi che 1 sia uguale a 0) e a 18 e
quindi è lecito dire che lo shock si è verificato nei primi 18 mesi del ciclo di vita della cucina in
questione. Dalla sua nascita fino a giugno del 2006 e questo può significare solo che ha avuto dei
rallentamenti sin dalla sua immissione nel mercato ma poi al t=18 le vendite cumulate hanno
avuto il trend sperato che segue il modello
Gli intervalli asintotici di confidenza sono al 95%, in più questi ultimi sono ragionevolmente
stretti e quindi consentono di individuare il segno e il posizionamento dei due shock.
Si può vedere dal grafico sottostante che l‟adozione del modello GBMe1r1 ha consentito di
descrivere la serie storica presa in esame in maniera più esatta e questo stesso risultato è
confermato dal coefficiente di correlazione multiplo parziale al quadrato: ̃ =
dall‟ulteriore formula:
78
=
(
)(
(
)
)
= 8,695.
= 0,705; e
Grafico IV.28 Vendite cumulate e GBMe1r1
GBM con uno shock esponenziale e uno rettangolare
CRYSTAL cum
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Il Durbin-Watson in questo caso è 0,808777. Risulta più alto rispetto agli altri modelli e quindi
non vi è grande correlazione dei residui ma, anche in questo caso, possiamo intervenire con
l‟affinamento delle previsioni attraverso il modello ARIMA.
Grafico IV.29 Residui riferiti al GBM con uno shock esponenziale e uno rettangolare
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
0
100
200
300
prev isto CRYSTAL cum
400
Ma prima di passare al modello di previsione, per un‟ulteriore conferma visiva
dell‟appropriatezza del modello GBMe1r1 abbiamo ritenuto opportuno inserire il grafico (grafico
79
1.26) che mette a confronto i dati istantanei delle vendite della cucina Crystal con il GBMe1r1.
Questo modello sembra ben interpolare gli shock presenti.
Grafico IV.30 Confronto tra vendite istantanee e GBMe1r1
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
diff(PREDbasse1r1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
(a)
Affinamento ARIMA
Variabile: CRYSTAL cum-PREDbasse1r1
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,31043
1,83272
Convalida
Periodo
0,00477509
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,595612
0,0881191
6,75917
0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 5,35632 con 82 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,31437
Numero di iterazioni: 1
Anche qui si è lavorato al netto dei residui, calcolati sottraendo ai dati cumulati i valori ottenuti
con il GBMe1r1. Applicando poi, la de-parametrzzazione si nota che risulta esserci una sola
80
componente autoregressiva AR(1). Non vi è la presenza della media mobile e non siamo in
presenza di stagionalità perché mancano i contributi stagionali SAR e SMA. Il modello
ARIMA(1,0,0)12 senza costante risulta centrato in riferimento alla significatività dei P-value e
delle statistiche t.
Per mezzo del confronto sulla varianza residua possiamo vedere come ci sia stato un
miglioramento nell‟adattamento del modello ai dati in nostro possesso. In effetti considerando che
la varianza residua del modello di Bass generalizzato è 677,508 e la varianza residua
dell‟affinamento con il modello ARIMA(1,0,0)12 senza costante è 439,21824, possiamo vedere
che c‟è un miglioramento del 35%.
Si nota anche che la rappresentazione grafica del test realizzato sull‟autocorrelazione stimata tra
residui a vari lag è centrato e questo sta ad indicare che sono rispettati i limiti di probabilità con
un livello di confidenza del 95%.
Grafico IV.31 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)
Grafico delle sequenze temporali per CRYSTAL cum -PREDbasse1r1
ARIM A(1,0,0)
CRYSTAL cum -PREDbasse1r1
7
4
1
-2
-5
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
-8
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
81
Grafico IV.32 Autocorrelazioni dei residui ARIMA (1,0,0)
Autocorrelazioni dei residui per adattate CRYSTAL cum-PREDbasse1r1
ARIM A(1,0,0)
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Nel grafico1.29 mettiamo a confronto le vendite istantanee, i risultati del modello di Bass
generalizzato con uno shock esponenziale e uno shock rettangolare e i valori previsti
dall‟affinamento del GBMe1r1 con il modello ARIMA (1,0,0)12 senza costante.
Dall‟osservazione dello stesso vediamo che le previsioni del GBMe1r1 con affinamento ARIMA
si adatta e quasi ricalca, perfettamente l‟andamento delle vendite istantanee, seguendo nella fase
finale le previsioni del GBMe1r1.
82
Grafico IV.33 Confronto fra dati istantanei e GBMe1r1 con e senza affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbasse1r1)
DIFF(PREDbasse1r1+ FORbasse1r1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Ai fini conclusivi di questa analisi sulla linea Crystal si è pensato di ideare un grafico a
dispersione multipla dove vediamo in relazione sia le vendite istantanee, rappresentate dalla linea
blu; sia le previsioni del Bass Standard, visibili dalla linea rossa; sia l‟applicazione del modello di
Bass generalizzato con uno shok esponenziale e uno rettangolare, in rosa; e sia l‟affinamento
ARIMA del GBMe1r1, evidenziato in verde. Risulta evidente che queste ultime stime e previsioni
siano le più adatte alla serie storica della cucina Crystal
Grafico IV.34 Confronto tra: dati istantanei, BM, GBMe1r1 con e senza affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbasse1r1)
DIFF(PREDbasse1r1+ FORbasse1r1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
83
IV.5) CONCLUSIONI
IV.5.A Confronto tra modelli
Per poter fare un confronto conclusivo dei vari modelli implementati per la linea Crystal,
presentiamo ora dei grafici a dispersione multipla che ci aiuteranno a capire visivamente
l‟adattamento dei diversi modelli ai dati in nostro possesso.
Innanzitutto possiamo vedere nella tabella che segue un confronto tra gli R-quadro dei modelli
presi in analisi e della rispettiva varianza residua, risultata dagli affinamenti ARIMA.
Tabella IV-2 Confronto dei coefficienti di determinazione dei modelli analizzati e della varianza residua
Modelli
R-quadrato
Varianza residua
BM
GBMr1
GBMe1
GBMe2
GBMe1r1
99,821%
99,8312%
99,9112%
99,9454%
99,9472%
1712,5303
1605,83078
634,419884
263,21948
238,28976
Nel corso dell‟analisi si sono viste le varie fasi e ragioni che per cui si sono utilizzati questi
differenti modelli, ma qui possiamo vedere chiaramente che il modello che meglio riesce ad
interpolare i dati è il modello di Bass generalizzato con i due shock “misti”. Infatti già il Bass
standard restituiva dei buoni risultati e stabili e questo perché la linea Crystal ha superato il suo
picco di vendite e questo permette al modello di centrare meglio i dati in possesso. Si è voluto
però, introdurre il GBM per cercare di comprendere a pieno la serie storica. Così si è
implementato il GBMr1 e il GBMe1 e dal confronto possiamo vedere che il secondo si adatta
meglio.
Vediamo nel grafico sottostante i due modelli messi a confronto.
84
Grafico IV.35 Confronto tra BM, GBMr1 e GBMe1
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Con i due diversi modelli abbiamo cercato di “catturare” degli shock differenti ma altrettanto
significativi, ma come già messo in evidenza prima, il GBMe1 carpisce a pieno il crollo di vendite
che vediamo al tempo t=51, mentre il GBMr1 quasi ricalca il BM. Possiamo inoltre notare che il
GBMr1 tende a chiudere più velocemente il ciclo di vita della cucina rispetto al GBMe1. E anche
da ciò si può dire che quest‟ultimo modello sembra nleggere meglio la serie storica.
Nel momento in cui siamo giunti al fatto che il GBMe1 è il modello più valido tra quelli appena
visti, si è proseguito con un modello di Bass generalizzato con due esponenziali, utilizzando i dati
del primo, in modo tale che questi due modelli fossero nidificati. Si può vedere che così facendo
si sono ottenuti dei risultati migliori, giustificati oltre che da un R-quadro più alto anche dal
risultato ottenuto dal rapporto F che è risultato di 9,5.
Vediamo il grafico.
85
Grafico IV.36 Confronto tra vendite istantanee, GBMe1 e GBMe2
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbasse2)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
A questo punto si è deciso di fare un raffronto tra tutti i modelli utilizzati e nidificati nel modello
di Bass per poter appunto verificare quali tra quelli implementati ha ottenuto i risultati più
appropriati ai nostri dati. Si nota a occhio che il modello più indicato, che poi è esattamente quello
che si è valutato essere il più adeguato, è il modello di Bass generalizzato con uno shock
rettangolare e uno esponenziale. Questo perché come si può vedere capta molto bene gli shock
evidenziati soprattutto il crollo delle vendite che si è avuto a causa della crisi economica e
finanziaria mondiale.
Grafico IV.37 Confronto tra dati istantanei, BM, GBMr1, GBMe1, GBMe1r1
Grafico X-Y multiplo
12
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PRED basse1r1)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
mesi
86
72
84
96
108
In conclusione ci è sembrato rilevante fare un ultimo rapporto tra i due modelli con gli R-quadro
più forti. Questi sono il GBMe2 e il GBMe1r1.
Osserviamo il grafico prima di fare eventuali osservazioni.
Grafico IV.38 Confronto tra dati istantanei, BM, GBMe2 e GBMe1r1
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
CRYSTAL ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbasse1r1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Quindi, dopo aver lavorato su diversi modelli e aver ottenuto risultati, si può affermare che il
GBMe1r1 è quello che meglio capta le diverse vicissitudini della nostra linea di cucina Crystal.
Infatti, sebbene i due modelli quasi si sovrappongono in determinati periodi (es: dal tempo t=51
fino alla fine della serie di dati), il GBMe1r1 rispetto al GBMe2 riesce ad avvicinarsi in maniera
migliore, nei tempi precedenti, alla realtà del ciclo di vita della linea Crystal. Inoltre nel lavoro
svolto in precedenza si è visto come per ottenere la convergenza della somma residua dei quadrati
si sono dovute aumentare le iterazioni e le funzioni di chiamata sino ad 800 e questo denota che il
modello in questione non ha una struttura solida. Inoltre ad esempio, nel momento in cui stima i
parametri b1 e b2 restituisce degli intervalli di confidenza con segno opposto e anche qui il
significato a cui si giunge è che il modello non riesce a stimare se lo shock ipotetico viene
riassorbito oppure no nel tempo. Invece nel modello GBMe1r1 i risultati sono più lineari e solidi
ed è per questa serie di motivazioni che anche se sembrano simili, si è deciso di focalizzarsi di
quest‟ultimo modello.
87
V) TESS
Viene ora svolta l‟analisi del modello di cucina “TESS”, questo modello è stato commercializzato
in Estonia, Lettonia, Lituania, Ucraina, Uzbekistan, Kazakistan e Armenia a partire dal 2005.
Disegnata da Silvano Barsacchi, sul sito www.scavolini.it viene descritta come segue.
Tess, cucina aperta e living, interpreta le ultime tendenze, anche culturali,
legate al cibo e alla sua ritualità.
Una cucina al passo con i tempi, con soluzioni d'attualità che si addicono
a un moderno stile di vita. Dove materiali di prim'ordine, elettrodomestici
dell'ultima generazione e organizzazione perfetta lasciano campo
libero alla socialità e alla migliore espressione di sé.
88
89
V.1) Analisi dei dati
V.1.A Introduzione ai dati di vendita
La serie di dati disponibili inizia nel gennaio 2005 e arriva fino a novembre 2011; sono quindi
disponibili i dati di vendita relativi a 83 mensilità.
Tabella V-1. Vendite mensili del modello Scavolini Tess nel periodo 2005-2011.
GENNAIO
FEBBRAIO
MARZO
APRILE
MAGGIO
GIUGNO
LUGLIO
AGOSTO
SETTEMBRE
OTTOBRE
NOVEMBRE
DICEMBRE
2011
1
3
3
2
3
4
0
2
2
3
0
-
2010
3
0
3
0
3
8
8
0
1
8
1
6
2009
4
3
5
3
3
9
3
0
7
5
4
6
2008
1
1
4
3
1
6
12
2
6
6
1
3
2007
2
6
7
9
7
12
9
3
4
0
6
7
2006
5
0
4
3
4
8
4
0
4
3
3
8
2005
3
3
3
2
2
1
3
0
1
4
5
3
Attraverso l‟osservazione dei dati di vendita istantanei è possibile formulare delle prime ipotesi
sui modelli più adatti allo studio di questo particolare processo di vendita.
Notiamo dalla Tabella V-1 che i pezzi venduti in ogni mese sono pochi: si va da 0 a un massimo
di 12 unità. Tali numeri sono certamente dovuti a fattori di tipo economico. Le cucine Scavolini
sono, infatti, sinonimo di qualità e incarnano quei principi dell‟arredamento Made in Italy che ha
avuto tanto successo all‟estero.
Lo stile di cucina che caratterizza il modello Tess, fatto di inserti in acciaio e superfici sobrie e
moderne sembra renderla adatta soprattutto ad un pubblico più giovane e benestante interessato
all‟acquisto della prima casa. I mercati di riferimento sono, come analizzato, dei paesi non certo
“ricchi” e questo si riflette sulla struttura della società e la consistenza di quella fascia di
popolazione che può e vuole permettersi una cucina di qualità.
Proprio con riferimento a queste considerazioni ci aspettiamo di osservare un significativo calo
delle vendite nei periodi successivi alla crisi finanziaria del 2008.
90
A tal proposito si veda la Tabella V-2 dalla quale risulta come le vendite siano progressivamente
aumentate nel periodo 2005-2007 per calare poi nel periodo successivo salvo registrare un picco
locale nel 2009.
Tabella V-2. Aggregazione dati di vendita su base annuale
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
30
46
72
46
52
41
23
V.1.B Analisi delle vendite mensili
Grafico V.1 Dati di vendita mensili modello Tess, periodo 2005-2011
12
unità vendute
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Com'era prevedibile, data la limitatezza di pezzi venduti in ogni mese, abbiamo un grafico che
evidenzia l‟elevata variabilità tra le osservazioni. Questo complica l‟analisi poiché rende più
ardua16 l‟individuazione di un modello adatto.
Notiamo innanzitutto che a una crescita delle vendite in qualche modo identificabile nei primi 30
mesi, ovvero fino a giugno-luglio 2007. Tra i mesi 32° e 41° segue un brusco crollo che sembra
essersi normalizzato a partire dal mese 42° dopo al quale sembra esserci un graduale calo delle
vendite. Questo calo, avvenuto tra la fine del 2007 e l‟inizio del 2008 sembra coincidere con la
diffusione della crisi finanziaria negli Stati Uniti e sembra anticipare lo scoppio della crisi
economica, in termini reali, in Europa.
16
Si intende qui che la grande variabilità dei dati richiederà dei modelli parametricamente più complessi per
individuare una curva interpolante sufficientemente precisa.
91
I dati che si riferiscono ai mesi 43° e 54° sembrano discostarsi da trend locale e potrebbero essere
trattati attraverso l‟utilizzo di una media mobile a 5 o 7 termini. Tale procedura che potrebbe
essere particolarmente utile per la rilevazione del luglio 2008, ma nella seguente analisi
quest‟approssimazione non verrà attuata per la volontà di chi scrive di dare risalto a quello che
potrebbe essere un comportamento non casuale da parte degli acquirenti dei paesi considerati.
Tale concentrazione di vendite potrebbe, infatti, coincidere con una campagna pubblicitaria o
essere correlata con un fenomeno di anticipazione - o meglio posticipazione – dell‟acquisto
correlato con la dinamica relativamente più negativa delle vendite su entrambi i lati di tale
osservazione. Tale ipotesi sarà sviluppata in maniera più esaustiva nelle conclusioni al seguente
capitolo. Anche il comportamento delle vendite nella fase finale (ovvero negli anni 2010, 2011)
sembra essere molto particolare. Verrà analizzata nella seguente trattazione anche questa
dinamica al fine di stabilire se il processo è caratterizzato da un calo locale di vendite ad inizio
2010 o se piuttosto queste abbiano conosciuto un periodo più favorevole nei mesi successivi dello
stesso anno grazie al restyling della linea.
V.1.C Analisi della stagionalità
(a)
Analisi sui dati
Dal Grafico V.1 è possibile anche studiare le stagionalità presenti nel processo di vendita.
Da una prima analisi era sembrato che questo particolare processo non mostrasse che deboli segni
di stagionalità di difficile individuazione e quindi trattazione. Da un‟analisi più accurata è invece
emersa la presenza di una stagionalità nelle vendite.
Tale fenomeno è emerso sia dall‟utilizzo dalle procedure SARMA che sono state applicate ai
modelli che dallo studio dei dati. Tratteremo i risultati del primo tipo di analisi nel corso
dell‟analisi dei modelli di regressione non lineare e ci concentriamo sui dati.
Già solo dall‟analisi dei dati di vendita risulta chiara una correlazione tra le osservazioni mensili
relative ai diversi anni. Come si può vedere nella tabella Tabella V-3 è presente una forte
concentrazione delle vendite nei primi mesi d‟estate, soprattutto in giugno e nei mesi di ottobre e
in misura maggiore dicembre.
92
Tabella V-3. Aggregazione dati di vendita mensili.
7
16
19
20
22
23
25
29
29
33
39
48
AGOSTO
FEBBRAIO
GENNAIO
NOVEMBRE
APRILE
MAGGIO
SETTEMBRE
MARZO
OTTOBRE
DICEMBRE
LUGLIO
GIUGNO
Tale comportamento delle vendite, che trascura la numerosità delle stesse per mese in ogni anno,
ci aiuta a capire come si ripartisce l‟acquisto di cucine Tess, e verosimilmente anche di altri
modelli lungo l‟anno. La fortissima concentrazione di giugno e luglio potrebbe essere spiegata per
mezzo di una serie di ipotesi. Tali mesi potrebbero, infatti, essere favoriti dal clima più caldo che
permetterebbe alle famiglie di soffrire meno l‟assenza di una cucina nel proprio ambiente
domestico. La coincidenza del periodo con la fine dell‟anno scolastico potrebbe, considerato il
target ipotizzato in una clientela piuttosto giovane, potrebbe essere influenzata dall‟inizio delle
vacanze estive di ipotetici figli. Un altro fattore molto importante potrebbe essere rappresentato
dalla maggiore numerosità di matrimoni in quel periodo, come anche in quello successivo
(settembre-ottobre) che mostra dati comunque molto alti. Le considerazioni relative alle altre
vendite nel mese di dicembre sono sicuramente di diversa natura. La scelta potrebbe essere
guidata dalla volontà di preparare casa per le feste natalizie o dalle maggiori diponibilità
economiche legate alla Tredicesima.
Per quanto riguarda i mesi nei quali si concentrano le minori vendite, le osservazioni su agosto
possono essere fatte sulla base della scelta delle famiglie di andare in vacanza in quel periodo
come anche processi di anticipazione e posticipazione che fanno si che ad agosto il numero di
cucine Tess acquistate in 7 anni fosse di sole 7 unità.
Proprio un fenomeno di anticipazione della spesa a dicembre potrebbe indurre i potenziali
acquirenti a non acquistare cucine nei primissimi mesi dell‟anno. Gennaio e febbraio sono, infatti,
contraddistinti da una limitata numerosità di unità vendute. Allo stesso modo un processo di
93
posticipazione delle vendite potrebbe aver spinto gli acquirenti ad avere acquistato le cucine nel
mese di dicembre piuttosto che in quello di novembre.
(b)
Analisi tramite la trasformata di Fourier veloce (FFT)
Attraverso un algoritmo Fast Fourier Transform è possibile individuare tutte le frequenze presenti
nei dati a prescindere dai comportamenti locali anomali (Marcuzzi, 2011).
Se la distanza temporale tra due campioni consecutivi della sequenza delle vendite, ovvero il
periodo di campionamento
campionamento
è pari ad un mese, per il teorema di Shannon la frequenza di
(espressa in Hz)sarà pari ad uno.
Questo teorema pone condizioni necessarie e non sufficienti per individuare ampiezze e frequenze
ben definite su
.
Normalizzando la frequenza discreta ponendo
frequenza discreta normalizzata pari a
dove
avremo la
rappresenta il valore dell‟
17
picco
osservabile nel Grafico V.2.. Tali picchi indicano infatti una periodicità.
Grafico V.2. FFT applicata ai dati di vendita della cucina Tess
Nel grafico, tralasciando il valore relativo all‟osservazione 0 che individua il white noise,
possiamo osservare dei picchi, ordinatamente nelle frequenze discrete 29, 15 e 7 che seppur
deboli potrebbero essere interessanti.
17
Questo perché il grafico sulle ascisse si ferma a metà dei valori della serie, essendo il grafico della FFT
simmetrico.
94
⁄
Procedendo quindi al calcolo delle frequenze continue,
, otteniamo i valori 0,349397,
0,180722 e 0,084337 che rappresentano le frequenze dell‟evento periodico.
Se supponiamo che questo evento si ripeta da capo ogni mesi, allora otterremo che i tre eventi si
ripeteranno rispettivamente dopo 2.86, 5.53 e 11.86. Approssimando tali valori a numeri discreti
possiamo osservare come questi, soprattutto per la frequenza dei 6 e dei 12 mesi siano
perfettamente coerenti con quanto ipotizzato nel paragrafo più sopra. Le vendite istantanee fanno
registrare infatti i loro picchi minimi soprattutto nei mesi di agosto e febbraio.
La frequenza di 3 mesi che sembra essere più rilevante di quella di sei mesi, risulta però essere di
difficile interpretazione.
Possiamo concludere questa breve analisi sulla stagionalità concludendo che seppur non
fortemente evidenti, una serie di processi periodici sono presenti nella serie di dati analizzati.
Ricordiamo che l‟osservazione relativa al dicembre 2011, presente nel grafico seguente non è
disponibile.
Tabella V-4. Barre dei dati di vendita mensili con di primo (verde) e ultimo (rosso) decile di valori.
GENNAIO
FEBBRAIO
MARZO
APRILE
MAGGIO
GIUGNO
LUGLIO
AGOSTO
SETTEMBRE
OTTOBRE
NOVEMBRE
DICEMBRE
2011
2010
2009
2008
2007
2006
2005
1
3
3
2
3
4
0
2
2
3
0
0
3
0
3
0
3
8
8
0
1
8
1
6
4
3
5
3
3
9
3
0
7
5
4
6
1
1
4
3
1
6
12
2
6
6
1
3
2
6
7
9
7
12
9
3
4
0
6
7
5
0
4
3
4
8
4
0
4
3
3
8
3
3
3
2
2
1
3
0
1
4
5
3
V.1.D Scelta del modello
Per quanto concerne la scelta di un modello di analisi adatto, dalla figura si può evincere che
l‟andamento del processo di vendita ha, con le dovute specificazioni, la caratteristica forma “a
campana” delle serie a crescita limitata. L‟ipotesi che le dinamiche del processo di vendita di una
cucina siano caratterizzate da un ciclo di vita piuttosto limitato e soggetto a un calo nella fase
95
finale sembrano essere plausibili. Da una cucina di questo tipo, soprattutto nei paesi considerati,
ci si aspetta il comportamento delle vendite caratteristico di beni di lusso.
Per quanto riguarda l‟innovazione sul prodotto, escludiamo la possibilità di profondi
aggiornamenti alle linee di cucina ritenendo che Scavolini non intervenga radicalmente sui
proprio modelli, ma scelga piuttosto di mantenersi al passo coi tempi attraverso l‟introduzione di
nuove linee. Rientra in quest‟ottica il restyling sostanzialmente marginale del 2010.
Sulla base delle considerazioni sopra riportate si è deciso di iniziare l‟analisi del processo
stocastico discreto della serie di dati con un modello di Bass standard ed ampliarla poi a diverse
generalizzazioni dello stesso. Attraverso il GBM e il GuGu è possibile ottenere delle
generalizzazioni del modello di Bass traverso la modifica rispettivamente dell‟equazione
caratterizzante
( ) e della carrying capacity
( ) entrambe in funzione del tempo t. Il
Generalized Bass Model prevede infatti una modellazione delle dinamiche temporali mentre il
modello Guseo-Guidolin prevede l‟esistenza di un mercato potenziale variabile i funzione del
tempo (Guseo R. , 2004) (Guseo, Della Valle, & Guidolin, 2011). Per una trattazione più
dettagliata rimandiamo al capitolo III).
V.2) Bass Model
Ricordiamo brevemente che il modello di Bass descrive un processo di diffusione a partire dai
parametri
definiti a pagina 35.
Iniziamo quindi lo studio dei dati attraverso il modello di Bass standard con l‟analisi dei dati
cumulati di vendita.
96
Grafico V.3 Dati di vendita cumulati nel periodo 2005-2011.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Come è possibile notare nella Grafico V.3 la dinamica dei prezzi di vendita è molto tortuosa e
riflette quindi la grande variabilità già notata nel Grafico V.1.
Dall‟analisi del grafico dei dati di vendita cumulati è possibile formulare delle ipotesi su quella
che sarà la curva interpolante che otterremo con il modello. La caratteristica curva ad “S” che
otterremo, la cui forma è vagamente distinguibile già nel grafico sopra riportato, non ci permetterà
di catturare tutte quelle variazioni locali nelle dinamiche di vendita che determinano le
accelerazioni e i rallentamenti che possiamo notare nell‟immagine. Tra queste notiamo come per
primo salta all‟occhio l‟improvviso cambio di pendenza che osserviamo intorno all‟inizio del
2007 (rilevazione 25). Questo incremento di pendenza è successivamente compensato da un calo
della stessa. Questi fenomeni saranno oggetto di studio del paragrafo V.3) e successivi.
Come noto, il BM richiede la formulazione di ipotesi circa la dimensione del parametro
ovvero
la carrying capacity del mercato. Tale stima deve essere significativamente superiore al valore già
raggiunto. La stima dei parametri
è in questo primo approccio molto arbitraria18.
V.2.A Regressione non lineare secondo il BM
Variabile dipendente: TESS cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare:
18
Va in questo caso, ovviamente, tenuto conto dell‟ordine di grandezza che può caratterizzare tali
parametri, che si formula attraverso osservazioni empiriche su applicazioni precedenti del modello e su
ipotesi circa la il rapporto tra la quota di innovatori e quella di imitatori nel mercato di riferimento.
97
m*(1-EXP(-(p+q)*t))
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*t))
Stime dei parametri iniziali:
m = 500,0
p = 0,005
q = 0,01
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 10
Numero di chiamate di funzione: 46
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
Stima
350,286
0,00662785
0,0416462
Errore standard
asintotico
5,72343
0,000164037
0,00189986
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,98498E6
Residuo
2078,8
Totale
2,98706E6
Totale (Corr.) 822721,
G.l.
3
80
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
338,896
0,0063014
0,0378653
95,0%
superiore
361,676
0,00695429
0,045427
Media dei quadrati
994995,
25,985
R-quadrato = 99,7473 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,741 percento
Errore standard della stima = 5,09755
Errore assoluto medio = 3,92867
Statistica di Durbin-Watson = 0,271295
Il BM sembra interpolare bene i dati come si evince dal coefficiente di determinazione
che sottolinea la discreta bontà dell‟adattamento.
I parametri stimati dal modello inoltre rientrano in intervalli di confidenza al 95% molto stretti e
questo conferma la solidità del modello. La carrying capacity m secondo il BM risulta essere di
350 unità contro le 500 stimate all‟inizio dell‟analisi. Questo valore è piuttosto vicino al valore
dei dati finora venduti e andrà quindi valutato in riferimento a modelli successivi19.
I parametri p,q permettono di fare delle valutazioni sulla quota asintotica degli innovatori che in
base al rapporto
20
risulta essere compresa tra il 36% e il 24%.
19
Data la somiglianza tra le stime del mercato potenziale da parte del BM e del GBM sarà quindi
interessante formulare ulteriori ipotesi sul mercato potenziale attraverso l‟utilizzo di un modello quale il
GuGu che tende a descrivere degli andamenti più “morbidi” nelle fasi di chiusura del PLC.
20
Nelle applicazioni più comuni il rapporto
, si può quindi dire che la quota asintotica degli
innovatori nel modello in discussione assume un valore verosimile.
98
Grafico V.4 BM standard e dati cumulati di vendita.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
12
24
Residui anomali per TESS cum
Previsto
Riga Y
Y
Residuo
30
119,0 108,207 10,7932
31
128,0 112,947 15,0533
32
131,0 117,725 13,2746
33
135,0 122,538 12,4621
36
148,0 137,123 10,8765
36
48
mesi
60
72
84
96
Residuo
studentizzato
2,21
3,17
2,75
2,57
2,22
Dall‟analisi dei residui anomali possiamo vedere come questi siano individuati proprio dove il
modello di Bass si allontana di più dalle osservazioni. Vediamo infatti una serie di punti
nell‟intervallo [30,33] e il punto 36 che hanno residui piuttosto ampi, e tutti positivi, ad indicare la
maggiore grandezza dell‟osservato rispetto alle previsioni.
La statistica di Durbin-Watson (DW) che valuta i residui assume un valore pari a 0,271295 che
indica una correlazione significativa tra i residui.
Questa correlazione è osservabile anche nella figura seguente dove si vede chiaramente
l‟esistenza funzioni armoniche marcate attorno alla media nulla.
99
Grafico V.5 Residui - BM standard.
Residuo studentizzato
4
2
0
-2
-4
0
100
200
previsione dati cumulati
300
400
Procediamo quindi con un‟approssimazione del modello attraverso lo studio di un modello
ARMA.
V.2.B Affinamento SARMA
Questa procedura predice i valori futuri stimati con il modello di Bass rispetto alle osservazioni
iniziali (TESS cum-PREDbass1). In questo modo è possibile ottener un grafico molto chiaro
sull‟andamento delle previsioni, dei residui così calcolati, che verrà poi successivamente sommato
al modello di Bass per ottenere un riscontro grafico dell‟adattamento della stima rispetto ai dati
osservati.
E‟ stato selezionato il modello media mobile integrata autoregressiva (ARIMA). Questo modello
suppone che la migliore previsione per il dato futuro sia data da un modello parametrico che mette
in relazione il valore più recente con i valori e il rumore precedenti.
In particolare si è scelto, attraverso de-parametrizzazioni successive21 sono stati tolti al modello
iniziale quei parametri AR, MA, SAR, SMA che, avendo un P-value maggiore di 0,05, non sono
statisticamente significativi al livello di confidenza del 95,0%.
Si è così ottenuto il modello di previsione SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante. Tale
regressione si compone di un parametro autoregressivo e due parametri con stagionalità di ordine
21
Partendo da un modello ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12 + costante.
100
12 rispettivamente uno Auto Regressive e uno Moving Average. La scelta di una stagionalità di
ordine 12 è supportata dalle analisi svolte al paragrafo V.1.C.
(a)
Previsione – SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Variabile: (TESS cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,25342
1,74613
Convalida
Periodo
0,00407141
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,898588
0,0498699 18,0187
0,000000
SAR(1)
1,21902
0,121888
10,0011
0,000000
SMA(1)
1,15204
0,180224
6,39228
0,000000
Media
0,27718
2,2718
0,122009 0,903202
Costante
-0,00615652
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 5,15818 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,27116
Numero di iterazioni: 8
L'output sintetizza la significatività statistica dei termini nel modello di previsione. I termini con
P-value minori di 0,05 sono statisticamente significativamente diversi da zero al livello di
confidenza del 95,0%. Il P-value per i termini AR(1), SAR(1), SMA(1) è minore di 0,05, quindi è
significativamente diverso da 0. Allo stesso modo i parametri con un t-value maggiore di 2
risultano statisticamente rilevanti.
La deviazione standard stimata del rumore bianco di input è uguale 2,27116.
Possiamo notare l‟ottimo miglioramento dell‟adattamento ai dati osservati rispetto al modello di
Bass standard attraverso l‟analisi della varianza residua.
101
Se nel BM la varianza residua è pari a 2078,8 , la stessa nel modello con adattamento SARMA
, ovvero cala dell‟80,4%.
scende a
Possiamo anche vedere graficamente come il modello appaia ben centrato in riferimento alla
significatività delle statistiche t e dei P-value.
Grafico V.6 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante.
(TESS cum-PREDbass1)
18
attuale
previsione
Limiti al 95,0%
13
8
3
-2
-7
-12
0
20
40
60
80
100
Anche nel grafico22 del test sui residui (autocorrelazioni totali) ai vari lags, questi risultano non
significativi (sono all‟interno delle bande rosse).
22
La funzione di autocorrelazione dei residui mostra le autocorrelazioni stimate per testare l‟adeguatezza
del modello scelto.
102
Grafico V.7 Grafico del test sui residui
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Attraverso una rappresentazione grafica, su scala istantanea23, vengono ora confrontati i due
modelli qui presi in esame. Vediamo che il modello di Bass con affinamento
SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante offre un adattamento decisamente migliore rispetto
alle previsioni ottenute con il solo modello di Bass. Notiamo però la difficolta dell‟ultimo
modello a stimare i dati introno alle ultime osservazioni della serie con stime che scendono
addirittura sotto zero.
23
Partendo dai dati cumulati attraverso l‟operazione DIFF(…) si ottiene il dato istantaneo.
103
Grafico V.8 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del BM con e senza affinamento
ARIMA.
13
9
5
1
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbass1+FOREarimabass1)
DIFF(PREDbass1)
-3
-7
0
20
40
60
80
100
t
(b)
Previsione – SARMA(1,0,0)x(1,0,0)6 con costante
Ci limitiamo in questo caso a proporre un breve paragone tra modelli ottenuti con stagionalità
differenti. Non entreremo nel merito di queste differenze nell‟affinamento ARIMA dei modelli
successivi.
Variabile: (TESS cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 6
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)6 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Stima
Convalida
Statistica Periodo
Periodo
RMSE
2,35942
MAE
1,80063
MAPE
ME
0,0594246
MPE
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,893033
0,0521542
104
t
17,1229
P-value
0,000000
SAR(1)
1,11255
0,114651
9,70377
0,000000
SMA(1)
1,06688
0,177304
6,01721
0,000000
Media
-0,477034
3,87506
-0,123103 0,902338
Costante
0,00574282
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 5,67125 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,38144
Numero di iterazioni: 9
Possiamo vedere come nel passaggio da una approssimazione Sarma con stagionalità 12 ad una
con stagionalità 6 rimanga uguale il numero di parametri statisticamente rilevanti. Trattandosi in
questo caso di modelli differenti non risulta possibile fare un confronto tra i modelli24 con i
metodi finora utilizzati. Ci limitiamo quindi ad un confronto tra le varianze residue: tale valore ha
fatto registrare una variazione del 9,95% (da 407,49622 a 448,02875) e dimostra come la
stagionalità di ordine 6 sia meno forte di quella di ordine 12.
Analogamente riproponiamo l‟analisi con una regressione con stagionalità 3
(c)
Previsione – SARMA (1,0,0)x(1,0,1)3 con costante
Variabile: (TESS cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 3
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)3 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,53403
1,89853
Convalida
Periodo
-0,0126605
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,834839
0,0703806
SAR(1)
0,255127
0,63641
SMA(1)
0,068856
0,643545
Media
-0,26543
1,98437
Costante
-0,0326542
24
Il confronto tramite ̃
t
11,8618
0,400884
0,106995
-0,13376
P-value
0,000000
0,689588
0,915064
0,893932
è infatti possibile solo tra modelli nidificati.
105
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 6,42325 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,53441
Numero di iterazioni: 3
A conferma della debolezza di questa periodicità, le componenti stagionali SAR e SMA di ordine
3 risultano statisticamente non significative per t come per il P-value.
Per completezza di analisi riportiamo ora anche l‟applicazione della stessa procedura ad una
previsione priva di componenti stagionali.
(d)
Previsione – ARMA(1,0,0) con costante
Variabile: (TESS cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0) con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Stima
Convalida
Statistica Periodo
Periodo
RMSE
2,54768
MAE
1,96672
MAPE
ME
-0,00100821
MPE
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,863541
0,0560467 15,4075
0,000000
Media
-0,332411 1,97297
-0,168482 0,866624
Costante
-0,0453605
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 6,49124 con 81 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,54779
Numero di iterazioni: 1
Dal confronto tra questo modello e quello con stagionalità 12 presentato al paragrafo (a) a pagina
101 possiamo ricavare un valore
e una riduzione della varianza residua del
22,498% a dimostrazione che questa stagionalità è effettivamente presente; e in effetti ben si
concilia con le osservazioni relative all‟agosto di ogni anno.
106
V.3) Il Generalized Bass Model
L‟estensione del BM dei Bass, Krishnan e Jain del 1994 permette di inserire all‟interno del BM
degli shocks esogeni attraverso una funzione portante. Tale funzione agisce sul tempo
contraendolo o dilatandolo e permette quindi di descrivere degli impulsi locali.
Attraverso la caratterizzazione della funzione portante del GBM abbiamo cercato un modello che
fosse in grado di descrivere la serie storica con maggiore dettaglio rispetto al BM standard.
Analizzando i dati cumulati e la tabella dei punti anomali, del paragrafo V.2), si può vedere come
il BM non sia in grado di catturare alcuni comportamenti locali che sembrano discostarsi in
maniera significativa dalle previsioni del modello. L‟impulso localizzato nell‟intorno 25
dell‟intervallo [30,33] precedentemente individuato è stato studiato attraverso due diverse
funzioni caratterizzanti, basate sui parametri ottenuti attraverso le stime secondo il metodo di
Marquardt nel BM standard.
V.3.A GBM con shock esponenziale
Variabile dipendente: TESS cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare:
m*(1-EXP(-(p+q)*(t+ (c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t))))
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+ (c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t) )))
Stime dei parametri iniziali:
m = 350,0
p = 0,00663
q = 0,042
c1 = 1,0
b1 = -0,5
a1 = 25,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 23
Numero di chiamate di funzione: 183
Risultati della stima
Parametro
Stima
Errore standard
asintotico
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
95,0%
superiore
25
Qui fissato arbitrariamente come molto più ampio per permettere una migliore stima del modello al
software.
107
m
p
q
c1
b1
a1
394,488
0,00587896
0,0303334
4,36924
-0,759411
26,5879
8,39645
0,000101232
0,0015054
1,45938
0,27963
0,298774
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,98647E6
Residuo
590,613
Totale
2,98706E6
Totale (Corr.) 822721,
377,769
0,00567738
0,0273358
1,46324
-1,31623
25,993
G.l.
6
77
83
82
411,208
0,00608054
0,033331
7,27524
-0,202595
27,1828
Media dei quadrati
497745,
7,67029
R-quadrato = 99,9282 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9236 percento
Errore standard della stima = 2,76953
Errore assoluto medio = 2,17327
Statistica di Durbin-Watson = 0,89051
Dalla stima risultano degli intervalli di confidenza piuttosto stretti e precisi.
I parametri c1,b1, che indicano rispettivamente l‟intensità iniziale dello shock esponenziale e la
sua smemorizzazione da parte del sistema mostrano degli intervalli di confidenza relativamente
più ampi.
Questo ci permette di asserire che, essendo la natura dello shock esponenziale di difficile
individuazione, uno shock rettangolare possa risultare più adatto al modello in analisi.
Rimandiamo ulteriori considerazioni al paragrafo V.3.B.
La statistica R-quadrato indica che il modello adattato spiega 99,9282% della variabilità in [TESS
cum]. La statistica R-quadrato risulta quindi decisamente migliore rispetto a quella del modello
precedente, a conferma di tale fatto possiamo calcolare ̃
(
)
e quindi è
molto maggiore del valore minimo di accettabilità 0,5.
E‟ possibile calcolare in un altro26 modo la significatività del modello, attraverso un rapporto tra
gli R-quadro che tenga conto della numerosità delle osservazioni e del numero dei parametri dei
due modelli:
(
(
)(
)
)
(
)(
(
)
)
. Avendo così ottenuto un
possiamo osservare come il modello sia decisamente più preciso del modello di Bass
originario.
26
Si veda nell‟appendice per una migliore comprensione della formula qui descritta.
108
Si può vedere anche graficamente come questo modello permetta di interpolare in maniera
migliore i dati rispetto al precedente.
Grafico V.9 GBM con uno shock esponenziale e dati cumulati di vendita.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
A conferma di quanto intuibile dall‟osservazione del grafico, per alcuni intervalli il modello i
esame sembra essere ancora migliorabile.
Residui anomali per TESS cum
Previsto
Riga Y
Y
Residuo
27
91,0
89,6504 1,34956
31
128,0 121,975 6,0252
41
158,0 165,158 -7,15794
42
164,0 169,416 -5,41629
65
255,0 260,412 -5,41159
Residuo
studentizzato
2,25
2,37
-2,76
-2,04
-2,04
La statistica di Durbin-Watson (DW), pari a 0,89051, è sensibilmente superiore a quella ottenuta
con il modello più semplice e indica quindi una minore correlazione tra i residui.
Questo fenomeno è visibile graficamente nel Grafico V.10 nel quale l‟esistenza di funzioni
armoniche e quindi di una autocorrelazione dei residui non è evidente quanto nel Grafico V.5
relativo al BM standard.
109
Grafico V.10 Residui - GMB con uno shock esponenziale.
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
(a)
100
200
previsione
300
Affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Previsione - (TESS cum-PREDbasse1)
Variabile: (TESS cum-PREDbasse1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,95921
1,56305
Convalida
Periodo
-0,0144176
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,615844
0,0903462 6,81649
0,000000
SAR(1)
1,23565
0,101668
12,1538
0,000000
SMA(1)
1,17725
0,148496
7,92779
0,000000
Media
-0,11809
1,1116
-0,106234 0,915666
Costante
0,0106903
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 3,91293 con 79 gradi di libertà
110
400
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,97811
Numero di iterazioni: 9
Anche in questo caso abbiamo selezionato un processo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante in
cui compaiono i parametri stagionali SAR(1) e SMA(1) di ordine 12.
Vediamo qui un miglioramento del modello descritto dal drastico calo della varianza residua del
47,66% da 590,613 a 309.1215.
Grafico V.11 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante.
(TESS cum-PREDbasse1)
10
attuale
previsione
Limiti al 95,0%
6
2
-2
-6
-10
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Vediamo anche come il modello ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante risulta centrato per i
termini selezionati in base alla statistica t e al P-value.
111
Grafico V.12 Test sui residui del processo ARIMA .
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Dal confronto grafico tra le previsioni del modello generalizzato di Bass con uno shock
esponenziale
e
quelle
dello
stesso
modello
cui
si
somma
un
affinamento
ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante (FOREbasse1) vediamo che questo secondo modello
permette di avvicinare ulteriormente le previsioni alle osservazioni. Come nell‟affinamento
precedente anche in questo caso abbiamo dei problemi di stima per le previsioni future che
nel forecast assumono valori negativi non ammissibili per ovvie ragioni. Non sembra esserci
un lag sistematico, ma solo a livello di singoli punti, tra le osservazioni e le previsioni, e
questo indica la buona approssimazione che si è raggiunta
112
Grafico V.13 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con uno shock esponenziale
senza e con affinamento ARIMA.
13
10
7
4
1
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbasse1+FOREbasse1)
-2
-5
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
V.3.B GBM con shock rettangolare
Visto il migliore adattamento ottenuto attraverso l‟utilizzo del GBM che ci offre la
caratterizzazione della funzione
( ) nella sua forma esponenziale, proviamo ora a ripetere
l‟analisi considerando una diversa tipologia di impulso locale.
Un impulso rettangolare offre una diversa dinamica assorbimento della variazione dello scorrere
del tempo, caratterizzato da un aumento puntuale seguito da un livello localmente maggiore ma
costante e in conclusione un abbassamento puntuale che riporta il valore della caratterizzante ad
uno. Le variazioni possono ovviamente avvenire in entrambi i sensi.
(a)
bassr1
Variabile dipendente: TESS cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare:
m*(1-EXP(-(p+q)*(t+c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+c1*(b1-a1)*(b1<t))))
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+ c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+c1*(b1-a1)*(b1<t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 350,0
p = 0,00663
q = 0,042
c1 = 1,0
a1 = 24,0
b1 = 31,0
113
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 10
Numero di chiamate di funzione: 71
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
a1
b1
Stima
397,16
0,00578767
0,0299762
1,06725
24,688
30,4744
Errore standard
asintotico
7,91857
0,000106283
0,00134168
0,163818
0,564957
0,546875
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,98653E6
Residuo
533,64
Totale
2,98706E6
Totale (Corr.) 822721,
G.l.
6
77
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
381,392
0,00557603
0,0273046
0,741048
23,5631
29,3854
95,0%
superiore
412,928
0,00599931
0,0326478
1,39346
25,813
31,5634
Media dei quadrati
497755,
6,93039
R-quadrato = 99,9351 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9309 percento
Errore standard della stima = 2,63256
Errore assoluto medio = 2,04602
Statistica di Durbin-Watson = 0,895761
Possiamo osservare che anche in questo caso gli intervalli di confidenza al 95,0% sono piuttosto
stretti e rimarcano quindi l‟ottimo adattamento del modello a dei dati che nelle fasi iniziali di
questa analisi parevano essere caratterizzati da una forte variabilità.
Il parametro c1 che indica l‟intensità verticale dello shock mostra un intervallo di confidenza
piuttosto ampio [c1±30,56%] a prova della difficoltà di inquadrare in maniera precisa l‟intensità
dello stesso. Non vi sono, al contrario, state difficolta nell‟individuazione del segno dello shock.
L‟intervallo [a1,b] nel quale si verifica una accelerazione nello scorrimento del tempo (c1>0) è
ben definito dal modello e il punto di insorgenza dello shock, localizzato a metà del 24esimo
mese da questa analisi si avvicina molto a quello stimato dal modello con shock esponenziale
dove di localizzava a metà della rilevazione numero 2627. L‟inizio dello shock sembra qui
coincidere con dicembre 2006. Questa localizzazione dello shock risulta essere di difficile
interpretazione sulla base delle informazioni raccolte.
27
Questa considerazione viene fatta sulla base dell‟errore asintotico e dell‟intervallo di confidenza al
95,0%.
114
Nell'eseguire l'adattamento, il processo di stima è terminato con successo dopo 10 iterazioni, a
quel punto la somma residua dei quadrati sembrava raggiungere un minimo.
La statistica R-quadrato indica che il modello adattato spiega 99,9351% della variabilità dei dati
di vendita cumulati.
Come ipotizzato, l‟R-quadrato di questo modello è più alto e indica quindi un migliore
adattamento di questo tipo di shock rispetto al precedente.
A riconferma di ciò, anche il coefficiente di correlazione parziale multipla al quadrato ̃
(calcolato rispetto al modello di base) è leggermente più alto di quello relativo al
modello con uno shock esponenziale ̃ (
)
. Ricordiamo che un confronto
diretto tra i due modelli con uno shock non è possibile perché questi non sono nidificati.
Possiamo analogamente calcolare il rapporto F a partire dal coefficiente di determinazione dei due
modelli, dal numero delle osservazioni e dal numero dei parametri. Dato
e quindi
molto maggiore di 4, il GBM con uno shock rettangolare conferma essere un notevole passo
avanti in termini di spiegazione dei dati osservati rispetto al BM standard28.
Vediamo graficamente l‟interpolazione dei dati fornita da questo modello.
Grafico V.14 GBM con shock rettangolare e dati cumulati.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
mesi
28
Il miglioramento rispetto al modello con uno shock esponenziale è presente ma essendo 0,5 è piuttosto
marginale.
115
Residui anomali per TESS cum
Previsto
Riga Y
Y
Residuo
41
158,0 165,274 -7,27358
42
164,0 169,506 -5,50622
65
255,0 260,278 -5,27759
Residuo
studentizzato
-2,96
-2,19
-2,09
Osserviamo dalla tabella dei residui anomali che questo modello è in grado di catturare meglio lo
shock rispetto a quello precedente in quanto non compaiono più i residui anomali, posizionati
nell‟intorno dello shock, presenti nella tabella relativa al modello più semplice.
Per quanto riguarda l‟analisi del grafico dei residui, invece, valgono le considerazioni fatte per il
modello GBM con uno shock esponenziale. Risulta infatti molto meno evidente la forma armonica
dei residui studentizzati. Ciò però non ci porta ad escludere l‟esistenza di un autocorrelazione tra
gli stessi perché essi sembrano comunque, seppur in forma debole, essere delle martingale.
Grafico V.15 Residui – GBM con uno shock rettangolare.
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
(b)
100
200
previsioni
300
Previsione dei residui con un modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Variabile: (TESS cum-PREDbassr1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
116
400
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,85401
1,47203
Convalida
Periodo
-0,017922
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,621253
0,0903899 6,87304
0,000000
SAR(1)
1,2167
0,104029
11,6958
0,000000
SMA(1)
1,14995
0,15593
7,37479
0,000000
Media
-0,0731033 1,12243
-0,0651296 0,948235
Costante
0,00599996
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 3,51078 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,87371
Numero di iterazioni: 9
Il modello media mobile autoregressiva con due componenti stagionali di ordine 12
SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante sembra rappresentare la migliore previsione per il dato
futuro rispetto a modelli con parametrizzazioni differenti.
Anche in questo caso sono stati accettati i termini con P-value<0,05 al livello di confidenza del
95%.
Confrontando la varianza residua del modello “puro” e quella del modello con affinamento
SARMA otteniamo un calo della stessa da 533,64 a 277,3516. Questa riduzione spiega, come
atteso, una migliore approssimazione del secondo modello. Tuttavia questo miglioramento, dato
da una riduzione della varianza residua del 48,027%, è paragonabile a quello ottenuto nel caso
dell‟applicazione di un modello SARMA sul GBM con uno shock esponenziale.
117
Grafico V.16 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante.
(TESS cum-PREDbassr1)
9
attuale
previsione
Limiti al 95,0%
6
3
0
-3
-6
-9
0
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
Vediamo dalla figura in basso che il modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante pare centrato
per quanto riguarda le autocorrelazioni e i lag.
Grafico V.17 Test sui residui del processo ARIMA .
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
lag
118
20
25
Analizziamo ora il grafico in cui compaiono le previsioni istantanee del GBM con uno shock
rettangolare , i dati ottenuti sommando le previsioni dell‟affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12
con costante e le osservazioni istantanee.
Vediamo che in questo caso l‟avvicinamento delle previsioni ai dati osservati sembra superiore a
quelli precedenti. Riscontriamo il problema già noto verso la fine delle osservazioni.
Grafico V.18 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con uno shock rettangolare
senza e con affinamento ARIMA.
13
10
7
4
1
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbassr1+FOREbassr1)
-2
-5
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
V.4) GBM con due shocks
Visti i risultati ottenuti con l‟inserimento di un impulso –esponenziale o rettangolare- all‟interno
del modello di Bass, Krishnan, Jain (Bass, Krishnan, & Jain, 1994), abbiamo provato ad
aggiungere un secondo shock.
Abbiamo proceduto a formulare una serie di ipotesi sulla localizzazione del secondo shock
all‟interno della serie dei dati cumulati.
V.4.A GBM con due shock esponenziali
Sulla scorta dei risultati ottenuti dalle precedenti analisi, dalle tabelle sui residui anomali, e di
varie prove si è deciso di localizzare il secondo shock intorno al mese numero 36.
(a)
basse2
Variabile dipendente: TESS cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare:
119
m*(1-EXP(-(p+q)*(t+ (c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+ (c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))-1)*(a2
<= t))))
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+ (c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+ (c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))1)*(a2 <= t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 394,0
p = 0,00588
q = 0,0303
c1 = 4,369
b1 = -0,759
a1 = 26,59
c2 = -1,0
b2 = -0,5
a2 = 36,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 11
Numero di chiamate di funzione: 120
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
b2
a2
Stima
375,242
0,00590877
0,0352418
3,03386
-0,543477
26,5578
-2,71791
-1,52459
36,651
Errore standard
asintotico
6,82579
0,000084734
0,00180208
0,899413
0,186056
0,317395
6,02177
3,50998
0,640185
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,98661E6
Residuo
457,792
Totale
2,98706E6
Totale (Corr.) 822721,
G.l.
9
74
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
361,641
0,00573993
0,0316511
1,24173
-0,914203
25,9254
-14,7166
-8,5184
35,3754
95,0%
superiore
388,843
0,00607761
0,0388325
4,82598
-0,172752
27,1902
9,28076
5,46921
37,9266
Media dei quadrati
331845,
6,18638
R-quadrato = 99,9444 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9383 percento
Errore standard della stima = 2,48724
Errore assoluto medio = 1,87053
Statistica di Durbin-Watson = 1,04955
Il secondo shock si localizza in maniera relativamente precisa intorno alla trentaseiesima
osservazione e ha intensità iniziale c2 e parametro di smemorizzazione b2 negativi. Proprio
riguardo a questi due parametri va detto che sono caratterizzati, nella nostra stima, da intervalli di
confidenza estremamente ampi. Tali intervalli, rispettivamente [-14.72,9.28] e [-8.52,5.46]
120
comprendono anche il valore 0 e sono quindi contraddistinti da una stima approssimativa e una
forte variabilità all‟interno dell‟intervallo di confidenza.
Come si può subito osservare, l‟inserimento di un secondo impulso esponenziale ci ha permesso
di migliorare ulteriormente l‟affinamento del modello con un aumento di
da 99,9282% a
99,9444%.
Questo aumento è però piuttosto marginale, bisogna quindi valutare se sia tale da rendere questo
secondo modello, parametricamente più complesso, migliore del GBM con uno shock
esponenziale. Analizzando i risultati della stima possiamo vedere come il secondo shock si
presenta come un secondo impulso che si somma al primo. Lo stesso calcolo di ̃ che ci porta a
un risultato sensibilmente inferiore al valore di accettazione (0,2256) e suggerisce quindi che il
contributo dato dal secondo shock non è particolarmente significativo.
Se calcoliamo, invece, l‟indice
rispetto al modello con uno shock, otterremo un valore appena
maggiore alla soglia di significatività (5,654). Questo valore ci induce ad accettare con riserva
questo secondo modello e la maggiore complessità che esso comporta. Il coefficiente di
molto
vicina a 5 suggerisce infatti di utilizzare con una certa circospezione tale modello. Verrà ora
comunque svolta l‟analisi completa per il modello già fatta per i modelli precedenti per vedere
quale è l‟adattamento che esso offre se sommato ad una regressione lineare di tipo SARMA.
Ulteriori considerazioni sulla significatività relativa di questo modello verranno fatte in seguito.
Grafico V.19 GBM con due shock esponenziali e dati cumulati di vendita.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
121
Se facciamo un confronto grafico tra i due modelli (quello con uno e due shock esponenziali)
vedremo che l‟interpolazione dei dati non sembra aver subito un miglioramento che, seppur
presente, ne giustifichi appieno la maggiore complessità.
Dal Grafico V.20 possiamo vedere come, rispetto al modello con un solo shock esponenziale,
l‟autocorrelazione tra le osservazioni successive sia notevolmente diminuita.
Grafico V.20 Residui - GBM con due shock esponenziali.
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
previsto TESS cum
300
400
Dal Grafico V.21 invece è possibile notare come il modello con due shock esponenziali sembra
adattarsi meglio ai dati fatti registrare tra fine 2007 e metà 2008. Questo fatto è ovviamente
dovuto alla localizzazione e al segno del secondo impulso, che segue il primo e ha segno
negativo. Come nei casi precedenti, data l‟ampia variazione delle osservazioni sarà ora necessario
procedere con un modello di previsione del tipo Autoregressive Moving Average con stagionalità
di ordine 12 e costante.
122
Grafico V.21 Confronto tra differenziazioni di dati cumulati, previsioni del GBM con due shock esponenziali e
GBM con uno shock esponenziale.
15
Variabili
DIFF(TESS cum)
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbasse1)
12
9
6
3
0
0
(b)
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
Affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Variabile: (Tess cum-PREDbasse2)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,83145
1,38972
Convalida
Periodo
0,00581031
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,548682 0,0947658
SAR(1)
1,25709
0,0975077
SMA(1)
1,20447
0,141341
Media
-0,180506 0,886241
t
5,78988
12,8922
8,52169
-0,203676
P-value
0,000000
0,000000
0,000000
0,839130
123
Costante
0,0209437
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 3,41481 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,84792
Numero di iterazioni: 9
Procedendo con l‟analisi del modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante costruito sulla
differenza tra i dati osservati e i dati previsti dal GBM con due shock esponenziale possiamo
notare come sia possibile avvicinarsi ulteriormente alle osservazioni. La varianza residua ottenuta
pari a 269,76999 è minore del 41,07% rispetto a quella pari a 457,792 del modello più semplice
riportata nel paragrafo V.3.A. .
Dal grafico di sequenza temporale e dalla funzione di autocorrelazione dei residui rispetto ai
residui del modello cumulato verso le previsioni del modello GBM con due shock esponenziali
possiamo vedere come l‟adattabilità del modello sia piuttosto buona e come questo centrato
rispetto ai lag.
Grafico V.22 Sequenze temporali processo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante.
(Tess cum-PREDbasse2)
9
attuale
previsione
Limiti al 95,0%
6
3
0
-3
-6
-9
0
12
24
36
48
60
72
mesi
Vediamo che il modello risulta centrato anche nel test sui residui.
124
84
96
108
Grafico V.23 Test sui residui del processo SARMA .
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
E‟ possibile anche notare il migliore adattamento del modello così affinato nell‟intorno del
trentaseiesimo mese dove i dati sembrano adattarsi meglio al calo di vendite che la cucina
Scavolini Tess ha conosciuto in quel periodo. Rimane comunque migliorabile la stima nelle fasi
finali del ciclo di vita.
125
Grafico V.24 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con due shock esponenziali
senza e con affinamento SARMA.
12
8
4
0
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbasse2+FOREbase2)
-4
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
V.4.B GBM con due shock rettangolari.
Come nel caso precedente abbiamo poi provato a studiare le dinamiche di miglioramento dei
nostri modelli all‟inserimento di un secondo shock rettangolare.
Anche in questo caso abbiamo provato a localizzare il secondo impulso in varie parti della curva,
che come visto presenta molti ondeggiamenti che potrebbero prestarsi alla descrizione mediante
variazione della caratterizzante del GBM, ( ).
(a)
bassr2
Variabile dipendente: TESS cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare:
m*(1-EXP(-(p+q)*(t+c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+ c1*(b1-a1)*(b1<t)+ c2*(t-a2)*(a2<=t)*(t<=b2)+ c2*(b2-a2)*(b2<t))))
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+ c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+ c1*(b1-a1)*(b1<t)+ c2*(t-a2)*(a2<=t)*(t<=b2)+ c2*(b2-a2)*(b2<t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 397,0
p = 0,00579
q = 0,02997
c1 = 1,0725
a1 = 24,688
b1 = 30,4744
c2 = -0,5
a2 = 31,0
126
b2 = 39,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 7
Numero di chiamate di funzione: 79
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
a1
b1
c2
a2
b2
Stima
375,605
0,00587333
0,0352073
1,10026
25,467
31,0294
-0,251423
31,2607
39,9353
Errore standard
asintotico
7,98946
0,00021567
0,00484954
0,186923
0,528759
706,686
0,0735571
3094,67
1,70946
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,98665E6
Residuo
414,326
Totale
2,98706E6
Totale (Corr.) 822721,
G.l.
9
74
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
359,686
0,0054436
0,0255443
0,72781
24,4135
-1377,08
-0,397989
-6135,02
36,5292
95,0%
superiore
391,525
0,00630306
0,0448702
1,47272
26,5206
1439,14
-0,104857
6197,54
43,3415
Media dei quadrati
331850,
5,59901
R-quadrato = 99,9496 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9442 percento
Errore standard della stima = 2,36622
Errore assoluto medio = 1,74368
Statistica di Durbin-Watson = 1,08106
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,451823
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
5,59901
MAE
1,74368
MAPE 3,13632
ME
-0,0384819
MPE
0,300557
Convalida
Possiamo vedere come questo modello sia caratterizzato da una variabilità molto marcata nella
stima di alcuni parametri. La carrying capacity
e i parametri
, che sono eredità del modello
più semplice, infatti mostrano degli intervalli di confidenza molto più stretti. Il punto di inizio del
primo shock
e quello finale del secondo shock
sembrano anche essi essere piuttosto
centrati, come anche il segno dei due shock che sono chiaramente uno positivo e uno negativo.
127
Maggiori difficoltà si riscontrano nella fase di passaggio dallo shock positivo a quello negativo.
La stima dei parametri
che sono molto vicini sembra inficiare gli ottimi risultati che il
modello porta a livello di coefficiente di determinazione
. Tale coefficiente è il
più alto ottenuto finora nella nostra analisi sul processo di diffusione della cucine Tess. La
significatività del miglioramento è confermata da
rifiutata dall‟indicatore ̃
, quindi superiore alla soglia 4, ma è
e quindi minore di 0,5. Questi due coefficienti sono molto
bassi e indicano quindi un miglioramento piuttosto borderline rispetto ai modelli precedenti. Chi
scrive ritiene l‟analisi degli stessi rimane comunque molto interessante e la porterà quindi a
sviluppo.
Dall‟analisi del Grafico V.25 vediamo che sembra effettivamente esserci un miglioramento
nell‟interpolazione dei dati. Rimane tuttavia da definire se questo miglioramento sia significativo
in relazione all‟accresciuta complessità parametrica del modello, che è passato da 6 parametri
(
) a 9 parametri (
).
Grafico V.25 GBM con due shock rettangolari e dati cumulati di vendita.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Come aveva già visto per il modello di Bass, Krishnan e Jain del 1994 con una funzione
caratterizzante descrivente due shock esponenziali, anche in questo caso notiamo una riduzione
dell‟autocorrelazione dei residui. Le funzioni armoniche che erano facilmente distinguibili
nell‟applicazione del GBM con uno shock, nei casi con due shock non sono più di facile
individuazione.
128
Come già nel caso precedente, anche qui la Statistica di Durbin Watson tende29 verso 2 e vale
1,0533 indicando quindi che i residui della regressione sono, in media, molto distanti.
Osserviamo però come i residui appaiano leggermente più correlati rispetto al caso
precedentemente trattato, questo fatto potrebbe essere legato a una più rilevante componente
stagionale. Analizziamo questo fenomeno attraverso lo studio di due regressioni SARMA con un
numero di parametri differente.
Grafico V.26 Residui - GBM con due shock rettangolari.
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
previsto TESS cum
300
400
L‟adattamento del modello alla serie di dati sembra buono anche dall‟analisi dei dati istantanei. Il
Generalized Bass Model con due shock rettangolari riesce a catturare sia il drastico aumento di
vendite avvenuto nella prima metà del 2007 che il crollo e il periodo di stagnazione che sono
seguiti fino a metà del 2008.
29
Ricordiamo che la Statistica di Durbin-Watson è definita nell‟intervallo [0,4] e indica nei suoi estremi
un‟autocorrelazione rispettivamente positiva e negativa. Se vale due, per contro, 2 non c‟è autocorrelazione.
129
Grafico V.27 GBM con sue shock rettangolari e dati istantanei di vendita.
12
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbassr2)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
Dal confronto grafico tra le regressioni con rispettivamente uno e due shock rettangolari possiamo
vedere come le previsioni di queste si avvicinino molto (ad esclusione dell‟intervallo relativo al
secondo shock). Sembra addirittura che, per quanto riguarda il primo shock, il modello più
semplice sia in grado di dare una stima migliore del comportamento locale. Questa considerazione
è fatta sulla base della minore intensità dello shock singolo che sembra quindi essere meno
influenzato dal picco nella parte finale dell‟impulso locale. Il modello con due shock sembra
offrire anche una migliore dinamica di uscita nella fase finale delle osservazioni.
12
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbassr2)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
mesi
130
72
84
96
108
(b)
Affinamento SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante
Vediamo ora come migliora il modello attraverso l‟affinamento per mezzo di una procedura
autoregressiva. In questo caso, a differenza degli affinamenti sviluppati per i modelli precedenti
dove erano stati introdotti 3 nuovi parametri sono stati introdotti 6 nuovi parametri: due AR, un
MA, un SAR e due SMA. Tale maggiore complessità parametrica dovrebbe garantire un migliore
adattamento delle previsioni al processo osservato.
Previsione - (Tess cum-PREDbassr2)
Variabile: (Tess cum-PREDbassr2)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,62043
1,25556
Convalida
Periodo
0,0271156
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
t
P-value
AR(1)
1,46435
0,0984446
14,8749
0,000000
AR(2)
-0,547721
0,0986271
-5,55345
0,000000
MA(1)
0,996176
0,00338406 294,373
0,000000
SAR(1)
0,621803
0,102833
6,0467
0,000000
SMA(1)
0,607323
0,0827524
7,33904
0,000000
SMA(2)
-0,731652
0,0497092
-14,7186
0,000000
Media
-0,140275
0,172807
-0,811742 0,419475
Costante
-0,0044228
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 3,20853 con 76 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,79124
Numero di iterazioni: 20
Il modello media mobile integrata autoregressiva suppone che la migliore previsione per il dato
futuro sia data da un modello parametrico che mette in relazione il valore più recente con i valori
e il rumore precedenti. La scelta dei parametri è avvenuta, come nei casi precedenti, ad esclusione
progressiva. Attraverso la cancellazione di quel parametri che presentavano un P-value maggiore
131
di 0,05. Sono così stati ottenuti 6 parametri di cui e di componete stagionale di ordine 12 che
sottolineano la periodicità dell‟evento di frequenza 12 che abbiamo avuto modo di individuare
anche con la FFT nel paragrafo V.1.C(b). E‟ stato raggiunto l‟adattamento presente nel Grafico
V.28.
Grafico V.28 Sequenze temporali processo SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante.
(Tess cum-PREDbassr2)
7
4
1
-2
attuale
previsione
Limiti al 95,0%
-5
-8
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Dal test sui residui è possibile notare la centratura dei lag migliore finora ottenuta a dimostrazione
che in questo caso una regressione con 6 parametri statisticamente significativi risulta molto
efficiente nello spiegare i dati.
132
Grafico V.29 Test sui residui del processo SARMA .
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Il modello SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante risulta centrato, con riferimento alla statistica e
ai P-values. La varianza residua del modello, grazie alla previsione SARMA è scesa del 41,14%
da 414,326 a 243,848 segnalando un miglioramento nell‟interpolazione dei dati come è anche
possibile vedere nel grafico seguente. Rispetto al modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
applicato ai residui del modello generalizzato di Bass con due shock esponenziali notiamo un calo
della varianza residua del 9,6% che seppur modesto pare essere maggiore rispetto alla variazione
osservata a livello di coefficiente di determinazione
. Attribuiamo tale migliore adattamento
relativo alla formulazione della regressione con 6 parametri e quindi più precisa rispetto a quella
con 3.
133
Grafico V.30 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con due shock rettangolari
senza e con affinamento SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante.
12
8
4
0
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbassr2)
DIFF(PREDbassr2+FOREbassr2)
-4
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Vediamo che in questo caso l‟adattamento sembra essere molto più preciso rispetto ai casi
precedenti. Le sfasature longitudinali che avevano caratterizzato le precedenti previsioni risultano
essere in questo caso molto ridotte. Tali sfasature erano dovute all‟approssimazione causata dalla
riduzione del numero di parametri che ha inevitabilmente impoverito il modello di capacità
previsionale.
(c)
Affinamento SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Riportiamo ora brevemente per completezza d‟analisi il modello con lo stesso numero di
parametri rispetto alle applicazioni precedenti.
Variabile: (Tess cum-PREDbassr2)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Stima
Statistica Periodo
RMSE
1,75068
134
Convalida
Periodo
MAE
MAPE
ME
MPE
1,3481
-0,0105646
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,516735
0,097125
5,32031
0,000001
SAR(1)
1,25877
0,089164
14,1175
0,000000
SMA(1)
1,20787
0,129735
9,3103
0,000000
Media
-0,0610087 0,78227
-0,0779893 0,938034
Costante
0,0076294
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 3,12484 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,76772
Numero di iterazioni: 8
Notiamo come anche l‟applicazione di un modello con 3 parametri formulato come nelle analisi
dei precedenti residui risulti statisticamente definita e quindi centrata. Non sviluppiamo qui
l‟analisi grafica che sarebbe del tutto simile a quanto già visto e quindi facilmente intuibile.
Analizziamo però la variazione che l‟aggiunta di 3 ulteriori parametri ha apportato al modello.
La
varianza
del
processo
SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12
con
costante
rispetto
a
quello
SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante è 246,86 vs. 243,84. Tale variazione minima mette in
dubbio l‟utilità dell‟utilizzo di un modello più complesso. Approfondiamo.
Dal calcolo dei coefficienti di correlazione risulta ̃
davvero bassi che quindi
parametri ,
,
risultano dei valori
suggerirebbero di tralasciare l‟utilizzo di questo modello con 12
( )
( )
( )
( )
( )
( )-.
Dalla sintesi del modello SARMA però il parametro media mobile MA(1) che negli altri modelli
non compariva risulta essere statisticamente molto rilevante avendo una statistica
.
Anche le altre componenti nuove del modello con 6 parametri sembrano essere statisticamente
significative. L‟analisi di questo fenomeno potrebbe risultare molto interessante ma non rientra
nella sfera delle presenti capacità analitiche di chi scrive.
V.4.C GBM con uno shock rettangolare e uno esponenziale
Tale modello che sembrerebbe essere interessante per l‟individuazione di shock differenti non ha
dato però nella sua applicazione risultati ottimali (migliori rispetto al modello di partenza) ed è
quindi stata tralasciata la sua descrizione analitica.
135
V.5) Modello GBM con tre o più shock
Questo tipo di analisi non ha prodotto risultati soddisfacenti o, nella formulazione con più di 12
parametri non è supportato dal software di calcolo utilizzato. Si è tentato l‟utilizzo del GBM con 3
shock rettangolari ed esponenziali. In tali tentativi il sistema non ha prodotto risultati.
Nel tentativo di utilizzare degli shock armonici per descrivere quel moto ondulatorio che sembra
essere presente nell‟analisi dei dati cumulati ci si è scontrati con la possibilità di inserire un solo
shock armonico nell‟analisi a partire dalla formulazione presente nel file Ciclo6.sf330.
V.6) Altre caratterizzazioni del GBM
L‟utilizzo di modelli di Bass generalizzati che tenessero conto di diversi tipi di variazioni nei
prezzi è stato escluso dalla presente analisi per non appesantirla ulteriormente. Tale tipo di
modelli sembrano anche poter essere trascurabili nell‟analisi dei processi di vendita di beni quali
quelli trattati. Si tratta infatti di beni durabili con dei prezzi piuttosto alti ed estremamente
variabili in base alla scelta soggettiva di configurazione della cucina. Per questi motivi chi scrive
è convinto che modelli regressivi che tengano conto delle variazioni dei prezzi possano non
apportare un contributo fondamentale per la presente analisi.
V.7) Modello Guseo-Guidolin
Dopo aver studiato le implementazioni del modello di Bass, Krishnan, Jain al BM standard,
vediamo ora se i dati si adattano meglio a differenti tipi di modelli.
Il modello Guseo-Guidolin (Guidolin, 2011) ci permette infatti di tenere conto di un mercato
potenziale variabile, quindi influenzato da fattori esogeni. Le dinamiche della carrying capacity
dipendono dai processi di comunicazione ed adozione.
Variabile dipendente: TESS cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: K*SQRT( (1-EXP(-SQRT((qc-pc-0)^2 + 4*(qc+0)*pc)*t) )/((1/((-(qc-pc-0)SQRT((qc-pc-0)^2+4*(qc+0)*pc))/(-2*(qc+0))))-(1/((-(qc-pc-0)+ SQRT((qc-pc-0)^2
+4*(qc+0)*pc))/(-2*(qc+0)))) *EXP(-SQRT((qc-pc-0)^2 + 4*(qc+0)*pc)*t))) * (1-EXP(SQRT((qs-ps-0)^2+4*qs*ps)*t) )/ ((1/((-(qs-ps-0)- SQRT((qs-ps-0)^2+4*qs*ps))/(-2*qs)))-(1/(((qs-ps-0)+SQRT((qs-ps-0)^2+4*qs*ps))/(-2*qs))) *EXP(-SQRT((qs-ps-0)^2+4*qs*ps)*t))
Stime dei parametri iniziali:
K = 350,0
qc = 0,01
pc = 0,01
qs = 0,001
ps = 0,01
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
30
Tale file rappresenta, per la presente analisi, la struttura portante sulla quale vengono sviluppate tutte le
analisi grazie alla formulazione dei modelli in esso riportati.
136
Numero di iterazioni: 12
Numero di chiamate di funzione: 83
Risultati della stima
Parametro
K
qc
pc
qs
ps
Stima
540,244
0,072097
0,0151135
0,00543735
0,00882862
Errore standard
asintotico
389,84
0,0161467
0,00833798
0,0250948
0,0031036
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,98573E6
Residuo
1333,85
Totale
2,98706E6
Totale (Corr.) 822721,
G.l.
5
78
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-235,869
0,0399513
-0,00148621
-0,0445227
0,00264981
95,0%
superiore
1316,36
0,104243
0,0317131
0,0553973
0,0150074
Media dei quadrati
597146,
17,1007
R-quadrato = 99,8379 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8296 percento
Errore standard della stima = 4,13529
Errore assoluto medio = 3,18937
Statistica di Durbin-Watson = 0,419696
Nell'eseguire l'adattamento, il processo di stima è terminato con successo dopo 12 iterazioni, a
quel punto i coefficienti stimati sembravano convergere ai valori correnti stimati.
La statistica R-quadrato indica che il modello adattato spiega 99,8379% della variabilità in TESS
cum. La statistica R-quadrato adattata, che è più appropriata per confrontare modelli con un
numero differente di variabili indipendenti, è 99,8296%. L'errore standard della stima mostra che
la deviazione standard dei residui è 4,13529.
Possiamo ora confrontare il modello GuGu con l‟unico modello nidificato finora analizzato,
ovvero il modello di Bass standard31 tramite il calcolo di
̃
che risulta piuttosto
basso, ma considerando i valori ottenuti nelle analisi precedenti ci aspettiamo un valore
infatti
;
. Tale valore conferma la significatività del passaggio dal modello di Bass a
quello di Guseo e Guidolin. La maggiore complessità apportata dall‟aggiunta dall‟utilizzo di 5
parametri contro i 3 usati in precedenza sembra essere molto utile all‟analisi dei dati.
31
Il GuGu è infatti la generalizzazione BM standard, nel quale infatti abbiamo la particolare configurazione
del mercato potenziale come costante ovvero non dinamico e uguale in tutte le osservazioni.
137
Dall‟osservazione degli intervalli di confidenza risulta però evidente come si sia raggiunta una
convergenza della somma dei residui dei quadrati secondo il metodo di Marquardt nella quale è
presente una forte incertezza nella caratterizzazione di tutti i parametri;
variano
addirittura in intervalli con estremi di segno opposto.
Vediamo che da un punto di vista grafico, il modello sembra adattarsi in misura abbastanza buona
ai dati di vendita cumulati.
Grafico V.31 Modello Guseo-Guidolin e dati cumulati di vendita.
400
unità vendute
300
200
100
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Anche rispetto ai dati istantanei sembra esserci un buon adattamento. L‟adattamento pare essere
migliore di quello fornito da modello di Bass standard a riconferma del fatto che probabilmente si
è avuta una variazione nella dimensione del mercato potenziale. Purtroppo la fase iniziale sembra
essere catturata con minore efficacia rispetto al BM. Le dinamiche di diffusione dell‟informazione
sembrano essere molto buone e avvicinarsi quindi a quanto descritto dal modello di Bass.
La forte crescita registrata nel 2007 sembra essere imputabile più a un fattore esogeno che a
dinamiche relative al mercato potenziale. Il modello GuGu fornisce inoltre delle misure molto
diverse riguardo al mercato potenziale. Analizziamo in maniera più organica il confronto tra
modelli più sotto.
138
Grafico V.32 Modello Gu.-Gu. e dati istantanei di vendita.
12
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDGUGU)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
L'errore assoluto medio (MAE) di 3,18937 è il valore medio dei residui. La statistica di DurbinWatson (DW), valuta i residui per determinare se c'è una correlazione significativa in base
all'ordine in cui essi si presentano nel vostro file di dati, assume un valore molto basso pari a
0,419696 e indica quindi l‟esistenza di una correlazione positiva tra i residui. Tale
autocorrelazione è interpretabile anche osservando la forma armonica della distribuzione dei
residui intorno al modello.
139
Grafico V.33 Residui - Modello Guseo-Guidolin
Residuo studentizzato
4
2
0
-2
-4
0
(a)
100
200
previsto TESS cum
300
Affinamento con modello SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Previsione - (TESS cum-PREDGUGU)
Variabile: (TESS cum-PREDGUGU)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,21958
1,72441
Convalida
Periodo
-0,0579834
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,833232
0,0626279
SAR(1)
1,32102
0,0505471
SMA(1)
1,2882
0,0739071
Media
0,516566
1,72277
Costante
-0,0276543
140
t
13,3045
26,1343
17,43
0,299846
P-value
0,000000
0,000000
0,000000
0,765082
400
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 5,01608 con 79 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,23966
Numero di iterazioni: 10
Analizziamo ora i dati ottenuti con una regressione di tipo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
e li confrontiamo con quelli del modello BM standard.
Notiamo un calo della varianza residua del 2,75% rispetto all‟affinamento applicato al modello di
Bass. Tale calo (da 407,49 a 396,27) è molto basso e sembra quindi confermare la non necessità
dell‟utilizzo di tale modello. Proponiamo di seguito i grafici ottenuti attraverso il processo
SARMA.
Grafico V.34 Sequenze temporali processo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante.
(TESS cum-PREDGUGU)
13
attuale
previsione
Limiti al 95,0%
9
5
1
-3
-7
-11
0
20
40
60
80
100
141
Grafico V.35 Test sui residui del processo ARIMA .
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Vediamo che dal Grafico V.36 che l‟approssimazione delle previsioni ai dati osservati è molto
buona. Come si vede anche dal grafico precedente è presente un lag piuttosto variabile tra
osservazioni e previsioni. Tale lag è dovuto alla scelta di parametrizzazione del processo e sembra
tutto sommato accettabile.
Grafico V.36 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del modello Gu.-Gu. senza e con
affinamento ARIMA.
13
10
7
4
1
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDGUGU)
DIFF(PREDGUGU+FOREgugu)
-2
-5
0
12
24
36
48
60
mesi
142
72
84
96
108
V.8) Conclusioni
V.8.A Confronto tra modelli
In questo paragrafo vogliamo confrontare i risultati ottenuti tramite l‟applicazione di vari modelli
ai dati osservati.
Dato per assimilato il motivo del passaggio dal modello di Bass a quello generalizzato con
l‟inserimento di uno shock, confrontiamo ora graficamente i modelli.
Proponiamo brevemente una tabella riassuntiva dei valori R-quadro per ogni modello.
Tabella V-5. Confronto coefficienti di determinazione dei modelli analizzati
modello
BM
GBMe1
GMBr1
GBMe2
GBMr2
GuGu
𝑅
99,7473%
99,9282%
99,9351%
99,9444%
99,9496%
99,8379%
Allo stesso modo proponiamo una tabella riassuntiva di tutte le varianze residue ottenute dopo
l‟affinamento dei modelli mediante un processo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante.
Tabella V-6. Varianza residua per modello
modello
BM
GBMe1
GMBr1
GBMe2
GBMr2
GuGu
Var.
Residua
407,490
309,122
277,352
269,770
246,86
396,270
Come possiamo vedere nella progressiva complicazione dei modelli sono stati individuati valori
via via più bassi di varianza residua.
143
(a)
GBM con uno shock esponenziale v.s. GBM con uno shock rettangolare
Da questo primo confronto tra modelli alternativi entrambi nidificati nel BM possiamo notare
come il modello con uno shock rettangolare sembri interpretare meglio quello che entrambi i
modelli individuano essere lo shock.
La localizzazione dello shock in quell‟intorno sembra essere evidente anche sulla base dell‟analisi
grafica dei dati di vendita cumulati.
Grafico V.37. Confronto dati istantanei, previsioni basse1 e bassr1
15
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbassr1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Se aggiungiamo all‟analisi le previsioni ottenute attraverso l‟aggiunta della previsione SARMA
notiamo come la previsione costruita sul GBM
con uno shock rettangolare sembri non
sovrastimare l‟intensità dell‟impulso localizzato ad inizio 2007. Le due previsioni sembrano
comunque molto simili come era opportuno attendersi in base alla parametrizzazione del tutto
simile dei processi di affinamento costruiti sui residui.
144
Grafico V.38. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni SARMA sui modelli basse1 e bassr1
13
10
7
4
1
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbasse1+FOREbasse1)
DIFF(PREDbassr1+FOREbassr1)
-2
-5
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
(b)
GBM con due shock: due esponenziali v.s. due rettangolari
Dall‟analisi dei due modelli GBM con due shock ottenuti in precedenza è emerso come il modello
con due shock rettangolari sia in grado di interpretare meglio entrambi gli impulsi, soprattutto il
secondo, negativo. Tale shock sembra avere infatti natura rettangolare. Si è provato a localizzare
uno shock negativo nell‟intervallo [31,53] con uno shock positivo al suo interno ma il software
non ha riconosciuto tale struttura nei dati.
Grafico V.39. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni modelli basse2 e bassr2
12
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbassr2)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
145
Confrontando le previsioni SARMA applicate al modello possiamo riconoscere una maggiore
differenza nei lag a causa della differenziazione nel numero dei parametri di cui si è già discusso.
Il modello SARMA applicato al GBM con due shock rettangolari sembra on sovrastimare i dati e
quindi ad interpretarli meglio.
Grafico V.40. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni processi SARMA su modelli basse2 e bassr2
12
8
4
0
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbasse2+FOREbase2)
DIFF(PREDbassr2+FOREbassr2)
-4
0
(c)
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
BM standard v.s. GuGu
E‟ molto interessante anche il confronto tra le previsioni del BM e quelle del GuGu.
Si può notare qui una forte differenza nella struttura della serie.
Il modello di Guseo e Guidolin sembra non considerare la rapida crescita del 2007 come uno
shock esogeno ma come una mutazione del mercato potenziale poi riassorbita nelle osservazioni
successive. La stima delle fasi iniziali del processo sembra essere modellata con una certa cautela
dal modello più recente. Per la serie di dati in esame sembra però che le dinamiche di diffusione
della cucina Tess abbiano seguito un percorso di diffusione più simile a quello descritto nel caso
particolare del BM all‟interno delle famiglie di modelli di GuGu ovvero con il mercato potenziale
che raggiunge subito il suo valore asintotico.
Questa considerazione, alla luce del numero di cucine vendute sembra rappresentare uno scenario
verosimile in cui una forte campagna pubblicitaria, o il prestigio della marca hanno indotto un
numero relativamente alto di innovatori ad acquistare il prodotto nei primi 3 mesi. Il
146
comportamento successivamente sembra adattarsi alla curva del GuGu. Questo fenomeno
potrebbe indurci a localizzare uno shock nelle primissime fasi del processo.
Tale procedimento è stato provato ma rifiutato a causa della poca rilevanza dei risultati.
Grafico V.41Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni modelli GuGu e bass1
12
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDGUGU)
10
8
6
4
2
0
0
(d)
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
BM, GuGu, Bassr1, Bassr2
Proponiamo ora un confronto grafico tra vari modelli. Vengono qui rappresentati sui dati
istantanei di vendita quattro modelli piuttosto differenti tra loro. Ricordiamo che il BM ha 3
parametri, il GBM con uno shock 6 e con due shock 12, mentre il modello GuGu è caratterizzato
da 4 parametri. La scelta di inserire nel confronto i modelli con shock rettangolari deriva dal
miglior adattamento degli stessi rispetto a quelli con shock esponenziali. Dal Grafico V.42
possiamo vedere come le dinamiche evolutive descritte dai differenti modelli si differenzino in
maniera sostanziale. I modelli GBM con due shock rettangolari e GuGu sembrano poter spiegare
entrambi delle dinamiche molto adatte alle osservazioni esaminate. Il primo modello, che deriva
come noto dal BM e quindi dal GBM sembra interpretare bene la tendenza delle vendite nei
primissimi mesi di commercializzazione della cucina. L‟andamento sembra poi seguire meglio il
modello GuGu nei mesi successivi del 2005. Nel periodo 2006-2008 il modello di Bass, Krishnan
e Jain sembra invece essere più preciso. I due modelli sembrano grosso modo equivalersi nel
quinto e sesto anno di commercializzazione.
La fase più critica sembra essere quella finale.
Nella fase di chiusura infatti i modelli seguono strade piuttosto differenti.
147
Il modello di Bass standard si differenzia notevolmente dagli altri tre facendo osservare un calo
molto rapido delle vendite. Considerando che le vendite totali a novembre 2011 sono state 310
pare difficile pensare che, a meno di una uscita di produzione del modello la carrying capacity
possa essere di 350 unità.
Quasi troppo ottimistica potrebbe essere la previsione di 540 unità vendute alla fine del PLC
ottenuta attraverso il modello di Guseo e Guidolin.
Considerando il leggero restyling effettuato sul modello nel 2010 e i modesti effetti dello stesso
pare che il modello si stia avviando verso una fase finale della sua commercializzazione più
rapida di quella individuata dal modello GuGu.
Considerando l‟andamento del totale delle vendite per anno si potrebbe pensare che le previsioni
del modello GBM con uno shock rettangolare possa essere rispettato se il prodotto dovesse essere
venduto per poco più di due anni mentre la previsione del modello con due shock rettangolari
potrebbe garantire un ulteriore anno di vita al prodotto.
Grafico V.42. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni modelli GuGu, bass1, bassr1 e bassr2
12
Variabili
TESS ist
DIFF(PREDGUGU)
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbassr2)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Guardiamo rapidamente i grafici costruiti sui dati cumulati nei quali vengono evidenziate le due
fasi nelle quali i modelli si differenziano maggiormente, ovvero quella finale e quella coincidente
con quello che è stato individuato come uno shock positivo locale.
Vediamo come il Grafico V.43 confermi quanto detto sopra, dando ancora maggiore risalto alla
curva generata dalle previsioni del BM che sembra sottostimare decisamente le vendite nei
prossimi mesi.
148
Grafico V.43. Confronto tra dati cumulati di vendita e previsioni modelli GuGu, bass1 e bassr1 nell'intervallo
temporale [60,96]
400
300
Variabili
TESS cum
PREDGUGU
PREDbass1
PREDbassr1
200
60
72
84
96
mesi
Nel grafico relativo al comportamento locale intorno allo shock notiamo che anche qui il modello
è quello che più degli altri sottostima il picco locale. Il modello con più fattori presente nel
grafico, come da attesa, è quello che si avvicina meglio ai dati osservati.
Grafico V.44. Confronto tra dati cumulati di vendita e previsioni modelli GuGu, bass1 e bassr1 nell'intervallo
temporale [24,48]
250
150
Variabili
TESS cum
PREDGUGU
PREDbass1
PREDbassr1
50
24
36
mesi
48
149
V.8.B Considerazioni conclusive
(a)
Il prodotto
La presenta analisi è svolta su dati aggregati di paesi che mostrano delle dinamiche economiche e
comportamentali sicuramente tra loro molto differenziate. Tale disaggregazione spaziale non può
che influenzare la variabilità delle rilevazioni. Tale variabilità infatti è determinata da un
moltitudine di fattori esogeni che è molto difficile da determinare.
Il prodotto in questione è fortemente personalizzabile grazie ad un‟ampia gamma di colorazioni e
complementi disponibili. I dati relativi alle vendite non si riferiscono quindi ad un oggetto
omogeneo, ma ad un prodotto mutevole nella sua configurazione finale.
Il modello, commercializzato per la prima volta in Italia nel 200432, ha subito una
riconfigurazione nel 2010. Tale restyling ha riguardato l‟eliminazione delle maniglie dagli scaffali
a favore di scanalature che, seppur già presenti, hanno permesso di ottenere una cucina con delle
superfici molto omogenee e moderne. Proprio l‟assenza delle maniglie è caratteristica peculiare di
questo modello.
Come si può vedere anche dai dati di vendita istantanei della cucina Tess, è possibile infatti
distinguere una ripresa delle vendite nella seconda metà del 2010. Tale aumento è però stato
presto riassorbito e non viene registrato da nessuno dei modelli utilizzati.
Ricordiamo che rispetto alle altre linee presentate nella presente analisi la cucina Tess si colloca,
come mercato di riferimento, tra il modello Scenery (che si sovrappone in qualche misura alla più
vecchia Crystal) e la cucina Sax.
Per quanto riguarda le campagne di marketing a sostegno del prodotto, va sottolineato come
queste siano di difficile individuazione essendo esse organizzate congiuntamente dalla Casa
Madre e dai punti vendita. Proprio la presenza di molti punti vendita nei paesi considerati33 non
permette di individuare con precisione la presenza di campagne pubblicitarie. Tali campagne
inoltre, essendo esse in gran parte organizzate dai singoli rivenditori, sono caratterizzate da
estensione geografica e intensità molto differenti.
(b)
Le dinamiche del processo di vendita
Come accennato nei paragrafi introduttivi al modello era in una prima faste stata negata la
presenza di una forte componente stagionale tra le osservazioni analizzate. Sulla base dei risultati
32
Quindi un anno prima rispetto alla commercializzazione nei paesi di riferimento.
Si ricorda infatti che si sono qui trattati dati aggregati relativi ai mercati di: Estonia, Lettonia, Lituania,
Ucraina, Uzbekistan, Kazakistan e Armenia.
33
150
delle previsioni ottenute attraverso processi ARMA si è deciso di ampliare gli stessi con delle
componenti stagionali. I processi SARMA così ottenuti si sono dimostrati molto buoni nella
previsione dei dati e hanno permesso di iniziare ulteriori considerazioni a partire dalla rilevanza
statistica che i parametri stagionali hanno assunto in tali regressioni. Anche l‟osservazione sui dati
borderline all‟interno del campione ha permesso di isolare i mesi di agosto e febbraio stimolando
in tal modo la curiosità di chi scrive nella ricerca di un pattern periodico all‟interno della serie. Lo
studio attraverso l‟algoritmo di Fourier e la particolare configurazione dei dati ha permesso di
ottenere con una certa semplicità analitica dei risultati che hanno corroborato le ipotesi circa la
presenza di una componente stagionale non trascurabile. I risultati ottenuti dall‟utilizzo della FFT
sono risultati, al netto delle approssimazioni, molto coerenti con le aspettative e le frequenze di 12
e 6 mesi si integrano perfettamente nell‟ottica annuale e nei dati osservati. Anche le frequenze di
3 e 4 mesi, che sono risultate di più difficile individuazione e isolamento all‟interno della serie,
sono sottomultipli di 12 e si adattano perfettamente alla dinamica annuale che si può riscontrare in
un processo di vendita come questo. Per quanto riguarda la presenza di frequenze di ampiezza
maggiore a quella annuale, si noti come tale comportamento, che pur potrebbe adattarsi ad un
processo stocastico simile a quello analizzato, non sia emerso.
(c)
Difficoltà di approssimazione
Nell‟analisi dei dati di vendita sono emerse diverse difficoltà.

Ad un occhio esperto non potrà non sfuggire la sistematica presenza di un valore anomalo
in coincidenza del luglio 2008. In tale mese si sono infatti vendute 12 unità di prodotto,
come era già accaduto nel giugno dell‟anno precedente. La differenza tra le due
rilevazioni sta nei dati ratti registrare intorno a tale data. Nel caso del mese numero 43 il
dato sembra essere isolato e caratterizzato da una certa casualità. Si tenga presente che la
differenza rispetto al dato precedente è di 6 unità, che pur essendo molto rilevante in un
ottica relativa, dal punto di vista assoluto è abbastanza bassa. La probabilità di vendere 6
cucine in più in un mese dell‟anno, se distribuita su tutti i potenziali acquirenti in tutti i
paesi cui i dati si riferiscono, risulta essere piuttosto bassa.
Se osserviamo il comportamento delle vendite degli altri anni, potremmo anche attribuire
tale dato anomalo ad un fenomeno di posticipazione dell‟acquisto dalla primavera verso
l‟estate. Tale ipotesi è coerente anche con lo sviluppo del modelli GBM con due shock
che evidenziano come uno shock esogeno negativo abbia influenzato le vendite nel primo
quadrimestre del 2008.

Il dato relativo al trentesimo mese sembra attestarsi anch‟esso su un valore anomalo.
I modelli hanno però riconosciuto il comportamento del processo di vendita nell‟intorno
di tale osservazione ed è stato possibile modellare degli impulsi che tenessero conto di
151
questo valore. Il fatto che tutti i modelli utilizzati abbiano sottostimato l‟intensità di tale
osservazione lascia intuire una leggera casualità nell‟osservazione. Se si considera infatti
come casuale (non correlata con il trend locale) la vendita di un paio di cucine in quel
mese è possibile vedere come i modelli si adattino molto bene ai dati nell‟intorno del
giugno 2007.

Un altro andamento peculiare sembra essere quello che contraddistingue le primissime
fasi del processo di vendita. La vendita di tre modelli in ognuno dei primi tre mesi si può
ipotizzare essere la conseguenza di una forte campagna di marketing come già accennato
durante lo sviluppo dell‟analisi. Dal punto di vista di una modellazione con mercato
potenziale variabile tale campagna potrebbe aver avuto –matematicamente- l‟effetto di
portare il valore relativo al mercato potenziale verso il suo massimo fin dal principio della
serie. In altri termini, una campagna pubblicitaria potrebbe aver fatto crescere la quota di
innovatori favorendo così il fenomeno di cui si discute. Anche in questo caso tali
considerazioni vanno trattate con le dovute cautele perché si parla sempre di 3 cucine al
mese su una popolazione di potenziali acquirenti piuttosto vasta e variegata.

Diverse difficoltà sono emerse durante l‟individuazione degli shock locali.
Da una prima analisi era parso che l‟intero periodo fosse caratterizzato da una serie di
piccoli shock piuttosto periodici (motivo per il quale si è provato, senza successo,
l‟inserimento di un GBM con shock armonico).
Lo shock principale che si sviluppa tra le osservazioni 24 e 30 è indubbiamente di segno
positivo ed è seguito da un drastico calo delle vendite. Le vendite sembrano rimanere
basse per i due anni successivi salvo una più piccola impennata locale (nella quale si
registra il dato anomalo numero 43). Vi sono diverse possibili interpretazioni riguardo
alla forma della curva e alla localizzazione degli impulsi.
Va tenuto conto che attraverso l‟uso della funzione caratterizzante del GBM è possibile
ottenere dei risultati che possono apparire un poco forzati. Tali risultati, che
matematicamente possono avere una loro coerenza possono essere di difficile
interpretazione reale.
Per questo motivo è possibile che il modello fatichi a individuare alcuni shock duraturi a
favore di comportamenti locali che possono localizzarsi ai margini di tali shock.

Merita una citazione tra le problematiche affrontate anche la numerosità dei dati
disponibili.
Da una parte il periodo è piuttosto breve per poter effettuare delle analisi strutturate su
comportamenti stagionali di più ampio respiro.
Dall‟altra, i dati istantanei sono molto bassi.
152
Le unità vendute variano tra zero e 12 e fanno riferimento a una popolazione di potenziali
acquirenti molto estesa sia dal punto di vista numerico che da quello socioculturale; Ne
consegue che la componente aleatoria, non spiegabile attraverso regressioni
autoregressive, medie mobili, interpolazioni e frequenze è piuttosto ampia. A tal riguardo
basti pensare alla consistenza del rumore bianco nelle varie analisi e in misura ancora
maggiore nel grafico della FFT.

Va qui anche menzionato il fatto che non siamo purtroppo riusciti ad ottenere molte
informazioni sulle dinamiche di vendita da parte della ditta Scavolini. Sicuramente tali
informazioni sarebbero state di arricchimento nell‟analisi del processo di diffusione.

Un‟ultima considerazione, più tecnica, riguarda la rilevanza statistica del parametro MA
nel paragrafo V.4.B(c). Il parametro viene ottenuto attraverso una previsione SARMA sui
residui di un modello GBM. L‟analisi sui residui delle previsioni dei modelli precedenti
era stata affinata con una previsione SARMA (1,0,0)x(1,0,1)12 con costante, quindi priva
di componente moving average. Tale componente era stata infatti eliminata nella
costruzione di tutte le previsioni precedenti sulla base della statistica |t|<2 e del P-Value
minore di 0,05. Per il GBM con due shock rettangolari tale parametro è però risultato
essere molto significativo. Da un confronto tra le due previsioni adottate per affinare il
modello SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante e SARMA (1,0,0)x(1,0,1)12 con costante
sono risultati un coefficiente di correlazione parziale al quadrato molto basso e un
coefficiente F molto elevato.
La comprensione di questi comportamenti anomali potrebbe essere molto interessante.
V.8.C Osservazioni finali sull’analisi del processo di diffusione modello TESS
L‟utilizzo di modelli come quelli considerati nell‟ambito del marketing quantitativo ha prodotto
dei risultati che non hanno potuto che rappresentare una lieta sorpresa.
Questi modelli, una volta acquisite le competenze di base, sono di facile applicazione e tramite
software non particolarmente complessi come Statgraphics Centurion XVI permettono di ottenere
risultati davvero strabilianti.
Basti pensare, infatti, alla presente analisi che si basa sulla esclusivamente sulla tabella dei dati
delle vendite mensili e pochissime altre informazioni.
La possibilità di ottenere una serie di informazioni tanto ampia quanto si è visto nei precedenti
paragrafi rappresenta il punto di forza di questi strumenti analitici.
Dall‟analisi è risultato che il modello Tess di Scavolini ha avuto nel suo PLC nei paesi qui
considerati un comportamento tipico (al netto di shock locali) rispetto a quanto predetto dal
modello di Bass del 1969.
153
Il processo di vendita del modello qui riportato sembra favorire un buon adattamento di tutti i sei
modelli qui analizzati. Lo studio dei Coefficienti di determinazione ci permette di individuare
quelli modelli che sono più adatti a spiegare l‟andamento dei dati.
Nella scelta del modello migliore vanno pesati due fattori tra loro correlati. L‟individuazione del
modello migliore non può prescindere dalla necessità di coniugare nello stesso la maggiore
semplicità analitica possibile e la maggiore precisione. Se un aumento dei parametri non potrà che
migliorare una determinata regressione, si tratterà di trovare quel modello che dimostra apportare
un miglioramento significativo al modello anche in funzione del numero dei parametri.
Procedendo secondo una analisi step-by-step, il modello di Bass generalizzato con uno shock
rettangolare (bassr1) è sicuramente risultato essere il modello che ha portato un miglioramento
relativo34 maggiore35. In termini assoluti il modello più preciso è risultato essere il GBM con 2
shock rettangolari,
E‟stata svolta un analisi sulla variazione di significatività all‟aumentare del numero di parametri
nel paragrafo dedicato al modello bassr2.
Se il modello con uno shock rettangolare risulta rappresentare un miglioramento certo e
sostanziale rispetto al modello Bass originario, quello con due shock non può certo dirsi
altrettanto migliore rispetto a quello con uno shock.
Il modello con due shock ha però permesso di individuare un comportamento locale che al
modello al passo precedente è sfuggito.
Il modello con due shock può dirsi quindi, pur tenendo a mente che ̃
al contrario di
è poco significativo
, quello che meglio spiega le dinamiche di diffusione relative al processo di
vendita della specifica cucina Scavolini.
Tutti i sei modelli presentati nella presente analisi sembrano essere utili nell‟analisi dei dati. Il
contributo apportato da ognuno di essi ha permesso di arrivare a delle conclusioni circa la natura
degli shock e di comportamenti locali.
L‟affinamento SARMA ha poi permesso di lavorare sui residui (ottenendo così un processo
stocastico stazionario) per ricavare delle previsioni sulla base di parametri media mobile o
autoregressivi eventualmente con componente stagionale. Tali previsioni, escludendo dei lag
causati dall‟approssimazione si sono rivelati molto precisi e hanno permesso di migliorare
34
35
Si intende quindi rispetto al modello dal quale esso è stato sviluppato.
Misurato attraverso i coefficienti ̃
.
154
notevolmente le previsioni dei modelli della famiglia di Bass. Anche le previsioni ottenute
sembrano essere conformi alle osservazioni e alle aspettative di chi ha svolto l‟analisi.
Si può concludere l‟analisi ponendo enfasi sulla fase che il processo di vendita della cucina sta
attraversando. Tale fase è sicuramente quella di chiusura e l‟analisi lascia presagire
una
sostituzione del modello nel giro di qualche anno. Il leggero restyling del 2010 sembra non avere
allungato di molto il ciclo di vita del prodotto in Estonia, Lettonia, Lituania, Ucraina, Uzbekistan,
Kazakistan e Armenia.
Considerazioni di questo tipo potrebbero essere sicuramente di interesse del Produttore del
modello che avrebbe, a partire dai risultati delle previsioni, la possibilità di sviluppare dei piani
operativi molto efficienti, nonché misurare l‟efficienza delle campagne di marketing attuate nel
periodo di riferimento.
155
VI)SAX
Un‟altra delle linee di cucine che è stata fatta oggetto di analisi è la “SAX”, il cui design è stato
curato da Vuesse. La descrizione che il sito www.scavolini.it fornisce di questa linea di cucine è
la seguente:
Tante idee per realizzare il sogno di una cucine trendy.
Grande componibilità, ampia scelta di soluzioni, finiture inedite e design di ultima
tendenza.
Con la cucina Sax e le sue raffinate opportunità, la linea Scavolini Basic rende possibile
la realizzazione di un ambiente cucina moderno e personalizzato, capace di soddisfare
pienamente, per gusto e funzionalità, nuove esigenze abitative.
Anche questa linea accorda all‟acquirente la possibilità di personalizzare l‟ambiente come
preferisce, proponendo una vasta scelta tra colori e combinazioni.
156
Nella tabella che segue sono riportati i dati riguardanti le vendite istantanee della linea SAX.
Anche per questa linea i dati fanno riferimento alle vendite che interessano i paesi della Comunità
degli Stati Indipendenti e le Repubbliche baltiche, già elencati in precedenza, per il periodo
compreso tra gennaio 2005 e novembre 2011, per un totale di 83 rilevazioni mensili (t).
Tabella VI-1 Vendite mensili del modello Scavolini SAX nel periodo gennaio 2005-novembre 2011
SAX
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
GENNAIO
3
4
3
3
1
2
1
FEBBRAIO
2
0
3
6
7
3
5
MARZO
6
2
5
4
6
12
3
APRILE
3
6
3
1
2
3
8
MAGGIO
3
0
1
3
5
3
4
GIUGNO
4
3
4
0
9
3
18
LUGLIO
1
2
3
4
5
4
6
AGOSTO
1
0
3
0
1
0
1
SETTEMBRE 3
5
2
1
3
10
7
OTTOBRE
3
3
2
3
6
14
9
NOVEMBRE
2
5
5
3
9
13
3
DICEMBRE
6
3
0
4
11
16
-
157
Lo studio inizia con l‟analisi delle vendite istantanee: si è quindi proceduto alla creazione di un
grafico a dispersione che correlasse le vendite istantanee in funzione del tempo t, riportato qui di
seguito.
Grafico VI.1 Dati osservati di vendite mensili per la linea SAX (gennaio 2005-novembre 2011)
Dati osserv ati vendite istantanee linea SAX
18
unità vendute
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Dall‟esame di tali dati è possibile notare un andamento relativamente stabile fino al 2008, che
riflette una leggera flessione delle vendite rispetto al periodo precedente, dovuto soprattutto
all‟impatto iniziale della crisi economica e finanziaria; questo trend subisce però un notevole
incremento a partire invece dal 2009, con picchi di vendite molto alti, soprattutto nei mesi di
giugno, novembre e dicembre. Questo trend è giustificato dal costo più contenuto delle cucine
della linea SAX, che in tempi di crisi hanno riscosso maggiori vendite proprio in virtù di tale
peculiarità. Durante il 2010 le vendite hanno registrato una depressione nei primi mesi dell‟anno
(fatta eccezione per il mese di marzo), che tuttavia è stata riassorbita osservando picchi di vendite
molto alti nel periodo successivo al mese di agosto. Nel 2011, infine, le vendite mensili sono state
in media caratterizzate da valori relativamente alti , osservando nel mese di giugno il maggior
numero di vendite realizzate all‟interno di questa serie storica.
A un primo esame dei dati di vendita istantanei si evince una certa stagionalità, seppur poco
pronunciata, in quanto le vendite tendono a essere relativamente basse durante i mesi estivi di
luglio e soprattutto agosto, in controtendenza con i periodi immediatamente precedenti o
successivi. In particolare, la crescita delle vendite, che si osserva soprattutto nel periodo
successivo ad agosto, è un‟affermazione che trova riscontro in particolar modo nelle quantità di
158
pezzi venduti degli ultimi tre anni. A questo proposito vi è da fare un‟altra considerazione: i dati
istantanei non assumono la tipica forma “a campana” che normalmente si osserverebbe per
prodotti con cicli di vita avanzati; questa linea di cucine sembrerebbe bensì posizionarsi in una
fase iniziale del proprio ciclo di vita, testimoniato dall‟incremento delle vendite che si è potuto
osservare negli ultimi anni.
Prima di procedere alla scelta del modello più idoneo a descrivere l‟evoluzione delle nostre
vendite si è preferito analizzare i dati cumulati, in funzione del tempo, ricorrendo a una
rappresentazione grafica, così da poter avanzare alcune ipotesi circa i modelli da implementare.
Grafico VI.2 Dati osservati delle vendite cumulate della linea SAX (gennaio 2005-novembre 2011)
Dati osserv ati vendite cumulate SAX
unità vendute
400
300
200
100
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Analogamente a quanto è stato detto per i dati istantanei, è possibile individuare una certa stabilità
nel trend delle vendite mensili durante un primo periodo, cui segue un aumento della variabilità
delle vendite a partire dal 2008, registrando prima un rallentamento e successivamente dei
movimenti di crescita esponenziali.
VI.1) Modello di Bass Standard
Alla luce di quest‟analisi preliminare si è proceduto all‟applicazione del modello di Bass Standard
(BM) che, come è noto, permette di formulare previsioni sull‟evoluzione nelle vendite del
prodotto preso in analisi, fornendo una risposta circa la fase del ciclo di vita del prodotto in cui ci
159
si colloca al momento dell‟ultima rilevazione (in questo caso corrispondente al tempo t=83)
grazie alla stima del mercato potenziale (il parametro m)36.
Per le stime iniziali dei tre parametri m è stato posto pari a 500, numero sufficientemente
maggiore a quello delle vendite cumulate individuate al tempo t=83 (corrispondenti a 349); p è
stato posto pari a 0,01; mentre q pari a 0,1.
Si è quindi proceduto alla stima della funzione secondo il metodo Marquardt. Di seguito
riportiamo i risultati ottenuti e i grafici relativi:
VI.1.A Regressione non lineare – bass1
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m* (1-EXP(-(p+q)*t))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*t))
Stime dei parametri iniziali:
m = 500,0
p = 0,01
q = 0,1
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 941
Numero di chiamate di funzione: 4705
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
Stima
22988,2
0,0000892653
0,0156222
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-360174,
-0,00146612
0,00632517
Errore standard
asintotico
192537,
0,000781574
0,00467171
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,42575E6
Residuo
5862,9
Totale
2,43161E6
Totale (Corr.) 776123,
G.l.
3
80
83
82
95,0%
superiore
406151,
0,00164465
0,0249192
Media dei quadrati
808582,
73,2863
R-quadrato = 99,2446 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,2257 percento
Errore standard della stima = 8,56074
Errore assoluto medio = 7,67743
36
La funzione del BM,
.
/.
/ .
/(
), presenta una struttura che
prende in considerazione solo tre parametri: m, che identifica il mercato potenziale; p, corrispondente alla
quota asintotica degli innovatori; q, che rappresenta la quota asintotica degli imitatori, effetto del fenomeno
del “passaparola”. Le vendite istantanee vengono indicate da , mentre z esprime le vendite cumulate; di
conseguenza, (m – z) rappresenta il mercato residuo. Maggiori approfondimenti sulla funzione del modello
di Bass Standard vengono sviluppati nell‟Introduzione statistica.
160
Statistica di Durbin-Watson = 0,146457
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,925538
Analisi dei residui
Stima
Convalida
n
83
MSE
73,2863
MAE
7,67743
MAPE 10,6897
ME
2,16514
MPE
7,43022
Grafico VI.3 Applicazione del modello di Bass standard linea SAX
Modello Bass Standard SAX
400
SAX cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VI.4 Residui del modello di Bass standard linea SAX
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
2
1
0
-1
-2
0
100
200
prev isto SAX cum
300
400
161
L‟adattamento del modello ai dati a disposizione è misurato dal R-quadrato, che spiega il
99,2446% della variabilità delle vendite cumulate della linea SAX.
Come previsto dall‟esame dei dati istantanei, trovandosi di fronte a un prodotto che si posiziona in
una fase iniziale del proprio ciclo di vita, le difficoltà che il modello incontra nella stima precisa
dei parametri sono numerose. Infatti, al fine di ottenere la convergenza della somma residua dei
quadrati nel processo di stima, si è dovuto aumentare il numero delle iterazioni e delle chiamate di
funzione entrambe a 999. Le conseguenze di questo approccio si riscontrano immediatamente
nelle stime dei parametri: m risulta pari a 22988 pezzi, una cifra di gran lunga superiore alla stima
iniziale e decisamente poco credibile.
I parametri p e q risultano pari, rispettivamente, a 0,000089 e 0,0156, individuando una quota
asintotica degli innovatori, definita dal rapporto , che risulta pari a 175; questa corrisponde a una
percentuale relativamente molto bassa, pari circa al 4%, che, essendo normalmente compresa tra
l‟8% e il 36%, identifica pertanto un ampio ruolo degli imitatori nel processo d‟adozione del
prodotto. L‟instabilità del modello si riscontra inoltre anche nell‟esame degli intervalli di
confidenza al 95% corrispondenti a ogni parametro stimato: questi sono infatti esageratamente
ampi e presentano addirittura cambi di segno, denotando una decisiva debolezza del modello
applicato.
La statistica di Durbin-Watson, che valuta l‟autocorrelazione dei residui, è pari a 0,1465, un
valore relativamente piccolo da cui si evince una correlazione positiva dei residui, che trova
riscontro nella rappresentazione grafica corrispondente (Grafico VI.4 Residui del modello di Bass
standard linea SAX)
Il grafico sottostante descrive i dati istantanei e fornisce una rappresentazione del ciclo di vita
della linea SAX prevista dal modello di Bass standard.
Tale rappresentazione avvalora le valutazioni concernenti la fase del ciclo di vita in cui la linea
SAX è posizionato al momento attuale; essa riconferma pertanto le difficoltà del modello nella
realizzazione di stime attendibili, le quali, come è risaputo, risultano maggiormente precise nei
casi in cui è già stato raggiunto il picco massimo di vendite e dunque ci si appresta a osservare
una fase di chiusura del ciclo di vita (quale è il caso delle linee di cucine Tess e Crystal).
162
Grafico VI.5 Valori osservati e valori previsti dal modello di Bass standard linea SAX
Grafico X-Y multiplo
18
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Alla luce di una debolezza tanto pronunciata del modello di Bass standard, si è preferito
sviluppare un secondo BM, con un numero inferiore di iterazioni e di chiamate di funzione, da
considerare come riferimento per la successiva estensione del modello standard in modelli di Bass
generalizzati in grado di contenere shocks esogeni. Fissando quindi il numero di iterazioni e di
chiamate di funzione rispettivamente a 40 e 300, sono stati ottenuti i risultati che seguono:
VI.1.B Regressione non lineare – bass 1
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m* (1-EXP(-(p+q)*t))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*t))
Stime dei parametri iniziali:
m = 500,0
p = 0,01
q = 0,1
Metodo di stima: Marquardt
Stima interrotta perché è stato raggiunto il numero massimo di iterazioni.
Numero di iterazioni: 41
Numero di chiamate di funzione: 201
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
Stima
1304,82
0,0014909
0,0205016
Errore standard
asintotico
742,591
0,000810999
0,00418857
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,42427E6
Residuo
7334,87
G.l.
3
80
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-172,981
-0,000123043
0,0121661
95,0%
superiore
2782,63
0,00310484
0,0288372
Media dei quadrati
808091,
91,6858
163
Totale
Totale (Corr.)
2,43161E6
776123,
83
82
R-quadrato = 99,0549 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,0313 percento
Errore standard della stima = 9,57527
Errore assoluto medio = 8,68036
Statistica di Durbin-Watson = 0,118381
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,935617
Analisi dei residui
Stima
Convalida
n
83
MSE
91,6858
MAE
8,68036
MAPE 11,8034
ME
2,31535
MPE
8,06115
Grafico VI.6 Applicazione del modello di Bass standard linea SAX
Mo d ello Bass Stan d ard SAX
400
SAX cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VI.7 Residui del modello di Bass standard linea SAX
Grafico dei resid u i
Residuo studentizzato
2
1
0
-1
-2
0
164
100
200
mesi
300
400
Grafico VI.8 Valori osservati e valori previsti: confronto tra i due modell di Bass standard linea SAX
Grafico X-Y mu ltip lo
18
Variab ili
SAX ist
DIFF (PREDb ass1)
DIFF (PREDb ass1 b ))
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Le stime iniziali effettuate sono state identiche a quelle precedentemente applicate; la riduzione
del numero di iterazioni e di chiamate di funzione si riscontra immediatamente: l‟R-quadrato, che
misura l‟adattamento del modello ai dati, risulta pari a 99,0549%, osservando un peggioramento
rispetto al modello precedente. Le difficoltà per il modello nell‟elaborazione delle stime per i
parametri m, p e q, persistono ancora, come si evince dagli intervalli di confidenza corrispondenti
a ciascuno: questi sono infatti ancora molto ampi sia per m, sia per p (entrambi contengono infatti
il valore 0); si osserva invece un miglioramento relativo nella stima di q, che presenta un
intervallo di confidenza più ristretto.
Nel dettaglio, il mercato potenziale stimato da m viene definito pari a circa 1305 unità,
confermando nuovamente che, in conformità ai dati cumulati a disposizione, ci si trova in una
fase iniziale del ciclo di vita del prodotto37. Le stime per i parametri p e q sono pari,
rispettivamente, a 0,0014909 e 0,0205016; il rapporto
è pari a 13,75, descrivendo una quota
asintotica degli innovatori compresa tra il 15% e il 24% , una percentuale che in questo caso
rientra nella media dei processi di diffusione dei prodotti.
La statistica di Durbin-Watson risulta pari a 0,118381, un valore che non si discosta
particolarmente da quello osservato nel precedente BM.
Com‟è possibile notare, le rappresentazioni grafiche del secondo BM non si discostano
particolarmente da quelle relative al primo BM, fatta eccezione per una pendenza meno
37
Anche in questo caso si tratta tuttavia di una cifra molto alta per poter esser credibile, a maggior ragione
se si confronta tale dato con le stime realizzate sul parametro m che sono state sviluppate per le linee di
cucine Tess e Crystal, che tuttavia presentano dati cumulati relativamente vicini a quelli della linea SAX,
considerato inoltre che fanno riferimento allo stesso arco temporale di riferimento.
165
pronunciata per quanto concerne la crescita delle vendite nella rappresentazione del ciclo di vita
del prodotto.
VI.1.C Affinamento SARMA
Prima di entrare nello specifico dei GBM che sono stati implementati nell‟analisi, è opportuno
procedere con l‟affinamento del modello di Bass Standard attraverso l‟applicazione di un modello
della famiglia ARMA, in grado di fornire previsioni circa i valori futuri dei dati stimati con il
modello di Bass Standard38.
Si è proceduto al netto dei residui diretti, calcolati sottraendo ai dati cumulati della linea SAX i
valori previsti dal modello di Bass standard (SAX cum-PREDbass1), senza utilizzo del
regressore.
È
stato
applicato
il
modello
ARIMA(1,0,0)x(1,0,0)12,
risultato
di
de-
parametrizzazioni eseguite in conformità con la significatività statistica dei parametri39; di seguito
sono riportati i risultati ottenuti:
(a)
Previsione SARMA
Variabile: (SAX cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,0)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
3,11702
2,23045
Convalida
Periodo
0,167424
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,920605 0,044439
SAR(1)
0,280942 0,137737
Previsione storica: sì
38
t
20,7161
2,03969
P-value
0,000000
0,044641
Ulteriori approfondimenti nel paragrafo III).
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
39
166
Varianza stimata di rumore bianco = 9,74057 con 81 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 3,12099
Numero di iterazioni: 3
Si possono fare subito alcune considerazioni in base all‟output fornito dal modello: i risultati di
questo indicano una componente autoregressiva (AR) pari a 1, la cui serie non risulta differenziata
e presenta una media mobile (MA) fondamentalmente inesistente. Per quanto concerne il
comportamento stagionale fornito dal modello, è opportuno sviluppare una riflessione: la
componente SAR, per la parte stagionale autoregressiva, è pari a 1; tuttavia è facile notare come
la significatività statistica di tale contributo sia chiaramente molto debole, tanto da indurre a
considerare l‟eventualità di eliminarla. È stata ponderata tale scelta realizzando un controllo sulla
devianza residua ricorrendo a un coefficiente di correlazione parziale ̃ 2:
(
̃ =
(
)
(
) (
)
)
=
(
) (
(
)
)
= 0,0473
Corrispondendo un miglioramento inferiore al 5%, appare chiaro che il contributo fornito dalla
componente stagionale sia relativamente insignificante; si è quindi deciso per una sua
eliminazione. I nuovi risultati sono stati quindi i seguenti:
(b)
Previsione ARIMA
Variabile: SAX cum-PREDbass1
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
3,17788
2,33619
Convalida
Periodo
0,192644
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,925578 0,0415337 22,285 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 10,0991 con 82 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 3,17791
167
Numero di iterazioni: 1
Ci troviamo quindi di fronte a un modello previsionale che vanta solo una componente
autoregressiva (AR) pari a 1, la cui serie non risulta differenziata, la media mobile (MA) è
praticamente inesistente e non è individuato alcun contributo stagionale significativo.
Si può misurare, attraverso un confronto sulla varianza residua, un miglioramento incisivo
nell‟adattamento del modello ai dati osservati rispetto al modello di Bass standard: in
quest‟ultimo la varianza residua era pari a 5862,8, mentre nel modello attuale equivale a 828,13,
con una diminuzione dell‟86%.
I grafici sottostanti confermano che il modello si adatta particolarmente bene e risulta
decisamente centrato, anche per quanto concerne la rappresentazione grafica del test realizzato
sull‟autocorrelazione stimata tra residui a vari lag, che rispettano tutti i limiti di probabilità con un
livello di confidenza del 95%, suggerendo pertanto la casualità delle serie temporali.
Grafico VI.9 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)
Grafico delle sequenze temporali per SAX cum-PREDbass1
ARIM A(1,0,0)
SAX cum-PREDbass1
24
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
14
4
-6
-16
0
168
20
40
60
80
100
Grafico VI.10 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)
Autocorrelazioni dei residui per adattate SAX cum -PREDbass1
ARIM A(1,0,0)
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Si procede quindi con una rappresentazione grafica (Grafico VI.11) in grado di fornire un
confronto tra i dati relativi le vendite istantanee (linea blu), i valori previsti dall‟affinamento del
Bass standard attraverso il modello Arima (linea rosa) e il ciclo di vita del prodotto osservato dal
modello di Bass (linea rossa).
Osservando tale grafico si evince una considerevole capacità previsionale del modello di Bass
standard con affinamento ARIMA, che sembra quasi ricalcare i dati istantanei con lieve ritardo, e
conferma, nella parte previsionale circa le future vendite istantanee, il trend in crescita ipotizzato
dal BM.
169
Grafico VI.11 Confronto tra dati istantanei e previsioni del BM senza e con affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
18
15
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbass1+ FORbass1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
VI.2) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con uno shock
Dal momento che i risultati ottenuti con il modello di Bass standard hanno evidenziato alcune
mancanze, si è ritenuto di ricorrere a un‟estensione dello stesso attraverso l‟implementazione di
un Generalized Bass Model (GBM)40. Questo tipo di modello, come già ribadito, sviluppa il
modello standard di Bass introducendo una funzione di trasferimento (funzione positiva e
integrabile in domini limitati), ritratta dalla x(t), che è in grado di accelerare o decelerare il
processo di diffusione nel tempo. Questa funzione consente, infatti, di analizzare l‟impatto sia di
eventi endogeni, come decisioni manageriali su prezzo e attività di marketing, sia di circostanze
esogene che potrebbero generare shock, di diversa intensità ed eventuale tempo di riassorbimento,
alterando la densità della funzione di distribuzione.
Al fine di trovare il modello più adatto alla descrizione dei dati a nostra disposizione, sono state
sviluppate un buon numero di versioni distinte di GBM che descrivessero gli shocks nelle vendite
osservati. Di seguito sono riportati i risultati ottenuti dall‟applicazione di uno shock esponenziale
e di uno shock rettangolare, sviluppati in separata sede, per confronto tra i risultati da essi previsti.
Come già anticipato, si tratta di GBM che si sviluppano sulle stime dei parametri m, p e q ottenuti
40
Descritto nella seguente formula:
veda al capitolo Introduzione statistica.
170
.
/.
/ ( ), per maggiori approfondimenti si
dal secondo modello di Bass standard che è stato sviluppato nel precedente capitolo (con un
numero di iterazioni e di chiamate di funzione rispettivamente pari a 40 e 300).
VI.2.A GBM con uno shock esponenziale
Dall‟esame del grafico dei dati istantanei e cumulati è evidente, data la crescita prepotente che le
vendite subiscono negli ultimi tre anni, che ci si trova di fronte a uno shock esponenziale di
considerevoli dimensioni. Sulla base di tale osservazione, si è deciso di sviluppare un GBM con
uno shock esponenziale41 in grado rappresentare tale picco. È stato inoltre ipotizzato che, sebbene
la limitatezza dei dati non lo confermino, questo shock possa in realtà considerarsi anche come
uno shock non ancora del tutto riassorbito, bensì ancora in atto.
Nel tentativo di localizzare correttamente l‟impulso è stata individuata una soluzione molto
interessante stimando attorno al tempo t=50 (febbraio 2009) il parametro a1, trattando lo shock
esponenziale come positivo (c1) e considerando il parametro b1, che misura in genere il tempo di
assorbimento dello shock, anch‟esso come positivo, indicando pertanto un trend che si è
stabilizzato nel periodo successivo. Sono riportati di seguito i risultati e i grafici relativi.
(a)
Regressione non lineare – basse1
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t))))/
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+ (c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 1304,0
p = 0,00149
q = 0,0205
c1 = 1,0
b1 = 0,1
a1 = 50,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 12
Numero di chiamate di funzione: 91
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
41
Stima
387,209
0,00765582
0,00803509
Errore standard
asintotico
17,1216
0,0003827
0,00177067
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
353,115
0,00689377
0,00450923
La formula di un GBM con uno shock esponenziale è
approfondimenti si rimanda all‟Introduzione statistica.
(
)
95,0%
superiore
421,302
0,00841788
0,011561
; per ulteriori
171
c1
b1
a1
0,56255
0,0813472
48,2254
0,117324
0,00928486
1,53547
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,43068E6
Residuo
931,099
Totale
2,43161E6
Totale (Corr.) 776123,
0,328927
0,0628586
45,1679
G.l.
6
77
83
82
0,796173
0,0998357
51,2829
Media dei quadrati
405113,
12,0922
R-quadrato = 99,88 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8722 percento
Errore standard della stima = 3,47738
Errore assoluto medio = 2,43451
Statistica di Durbin-Watson = 0,857127
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,569829
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
12,0922
MAE
2,43451
MAPE 2,85054
ME
0,0425867
MPE
0,323065
Convalida
Grafico VI.12 Applicazione di GBM con uno shock esponenziale linea SAX
GBM con uno shock esponenziale SAX
400
SAX cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
mesi
172
72
84
96
108
Grafico VI.13 Residui del GBM con shock esponenziale linea SAX
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
5
3
1
-1
-3
-5
0
100
200
prev isto SAX cum
300
400
Il miglioramento rispetto al modello di Bass standard è consistente, come si può notare dall‟Rquadrato che risulta pari a 0,9988; il mercato potenziale stimato (m) è pari a 387, un numero
decisamente più credibile. Le stime per i parametri p e q sono 0,00765582 per il primo e
0,00803509 per il secondo, individuando, tramite il rapporto , una quota asintotica di innovatori
pari al 69%.
Gli intervalli di confidenza di queste stime sono relativamente stretti, asserendo una struttura
robusta del modello. Anche le stime dei parametri relativi allo shock (a1, b1 e c1) risultano ben
centrate: a1 viene stimato attorno al tempo t=48 (dicembre 2008); b1risulta pari a 0,08 e i suoi
intervalli di confidenza, entrambi positivi, confermano l‟ipotesi di uno shock che non ha subito
smemorizzazione; c1 corrisponde a 0,56, un numero in realtà inferiore a quello atteso, ma che
conferma comunque l‟intensità positiva dell‟impulso.
Quanto alla statistica di Durbin-Watson, stimata pari a 0,857, si nota un certo peggioramento
rispetto a quanto osservato nel modello di Bass standard, visibile anche nella rappresentazione
grafica dei residui che appaiono meno correlati tra loro.
Il guadagno relativo del passaggio dal modello semplice al modello esteso è misurato dal
coefficiente di correlazione multipla al quadrato ̃ =
, che, in questo caso, in un confronto
tra il modello Bass standard e questo GBM con shock esponenziale, risulta pari a ̃
=
= 0,873, una cifra che supera senza problemi la soglia di accettabilità di 0,5.
173
Per comprendere a pieno quanto sia incisiva la significatività delle componenti aggiuntive rispetto
al modello semplice, si può ricorrere a un altro calcolo che estende il rapporto individuato da ̃
includendo la numerosità delle osservazioni e del numero di parametri dei due modelli42:
=
(
)(
(
)
)
= 22,4. Anche in questo caso l‟esito ottenuto è un numero decisamente
maggiore rispetto alla soglia di accettabilità, pari a 4, confermando la maggiore precisione del
modello esteso nell‟interpolare i dati relativi alle vendite della linea SAX.
Il grafico sottostante riporta i dati istantanei in un confronto con le previsioni sul ciclo di vita
della linea SAX prevista al modello applicato GBM con uno shock esponenziale e BM: come
nelle ipotesi iniziali, il GBM con uno shock esponenziale sembrerebbe prevedere il
riassorbimento dello shock in un tempo futuro, individuando nella flessione delle vendite che ha
interessato gli ultimi cinque mesi, oggetto dell‟analisi, un trend al ribasso che si svilupperà molto
rapidamente, portando il prodotto alla chiusura del proprio ciclo di vita, in controtendenza con
quanto invece previsto dal modello di Bass standard.
Grafico VI.14 Valori osservati e valori previsti dal BM e dal GBM con shock esponenziale linea SAX
Grafico X-Y multiplo
18
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbasse1)
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Un risultato alternativo, ottenuto sempre con l‟applicazione di un GBM con uno shock
esponenziale, aveva portato a risultati distinti. Sebbene tale modello sia caratterizzato da una
struttura decisamente più debole, ci si può soffermare per un veloce confronto tra i due risultati.
42
Dove n = numerosità delle osservazioni, h = parametri del modello esteso, s = differenza tra parametri del
modello esteso e del modello semplice.
174
(b)
Regressione non lineare – basse1b)
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t))))/
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 1304,0
p = 0,00149
q = 0,0205
c1 = 2,0
b1 = -1,0
a1 = 68,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 366
Numero di chiamate di funzione: 2928
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
Stima
17771,5
0,000137903
0,00906072
2,27076
-0,240914
67,7964
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-1,10327E6
-0,00859125
-0,00765544
1,27409
-0,43334
4,25401
Errore standard
asintotico
562981,
0,00438374
0,00839478
0,500524
0,096635
31,9107
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,42909E6
Residuo
2513,89
Totale
2,43161E6
Totale (Corr.) 776123,
G.l.
6
77
83
82
95,0%
superiore
1,13881E6
0,00886706
0,0257769
3,26743
-0,0484892
131,339
Media dei quadrati
404849,
32,6479
R-quadrato = 99,6761 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,6551 percento
Errore standard della stima = 5,71383
Errore assoluto medio = 4,5536
Statistica di Durbin-Watson = 0,294863
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,852489
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
32,6479
MAE
4,5536
MAPE 6,05058
ME
0,831087
MPE
3,64117
Convalida
175
Grafico VI.15 Valori osservati e valori previsti dal BM e dal GBM con shock esponenziale (modello alternativo)
linea SAX
Grafico X-Y multiplo
18
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbasse1)
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
A differenza del GBM con shock esponenziale presentato sopra, in questo modello alternativo si è
individuato uno shock esponenziale il cui inizio è da corrispondersi al tempo t=68 (a1 è pari a
67,79), che coincide col mese di agosto 2010. L‟intensità di tale shock, sempre positiva, è valutata
in circa quattro volte quella individuata dallo shock del modello precedente, con un c1 pari a 2,27.
Una distinzione fondamentale consiste però nel fatto che il parametro b1 viene stimato come
negativo (-0,2409), indicando una smemorizzazione dello shock, che avviene per di più in un
periodo di tempo relativamente breve. È stato tuttavia deciso di scartare questo modello
alternativo poiché presenta una struttura molto debole, come si nota dagli intervalli di confidenza
esageratamente ampi e imprecisi e da un R-quadrato (0,996761) inferiore rispetto a quello
corrispondente al modello precedente, oltre a stime degli altri parametri poco puntuali (per
esempio m, che risulta pari a 17771, un numero, ancora una volta, poco credibile).
Si è ritenuto utile, per un confronto facilmente deducibile, riportare inoltre il grafico che correla i
valori osservati con i valori previsti dal BM e dal GBM con uno shock esponenziale alternativo,
che stimano il ciclo di vita del prodotto. Da tale rappresentazione grafica si evince come il ciclo di
vita per la linea SAX individuata dal GBM alternativo, a differenza del precedente, in seguito allo
shock e al suo corrispondente riassorbimento, preveda comunque una crescita positiva,
suggerendo, come il modello di Bass standard, che ci si trova in una fase del ciclo di vita
relativamente giovane, che non ha ancora raggiunto il suo picco massimo, e che pertanto rende
difficoltosa la sua stima.
176
VI.2.B Affinamento SARMA
Sono riportati di seguito gli esiti dell‟affinamento del primo GBM con shock esponenziale
presentato conseguito dall‟applicazione di un modello ARMA e i grafici relativi.
Previsione - (SAX cum-PREDbasse1)
Variabile: (SAX cum-PREDbasse1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,85926
1,43228
Convalida
Periodo
-0,0871806
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
1,42723
0,0940369
15,1774 0,000000
AR(2)
-0,591276 0,0945539
-6,25333 0,000000
MA(1)
1,01037
0,00156274 646,534 0,000000
SAR(1)
0,0889614 0,0511928
1,73777 0,086302
SAR(2)
1,50996
0,0979562
15,4147 0,000000
SMA(1)
0,115608
0,0732263
1,57877 0,118541
SMA(2)
1,41784
0,13921
10,1848 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 3,60534 con 76 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,89877
Numero di iterazioni: 12
177
Grafico VI.16 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
Grafico delle sequenze temporali per (SAX cum-PREDbasse1)
ARIM A(2,0,1)x(2,0,2)12
(SAX cum-PREDbasse1)
13
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
8
3
-2
-7
-12
-17
0
20
40
60
80
100
Grafico VI.17 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
Autocorrelazioni dei residui per adattate (SAX cum-PREDbasse1)
ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Anche in questo caso si è lavorato al netto dei residui diretti, calcolati con la formula (SAX cumPREDbasse1), ove SAX cum sta per i valori cumulati e PREDbasse1 corrisponde ai valori
previsti dal GBM con shock esponenziale. Il modello applicato, prodotto delle deparametrizzazioni realizzate nel rispetto della significatività statistica di ciascun parametro43, è
stato un ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12 senza costante.
Questo modello individua quindi una componente autoregressiva pari a 2, una componente media
mobile pari a 1 e le due componenti stagionali corrispondenti entrambe pari a 2, sottolineando un
contributo stagionale rilevante.
Il P-value e le statistiche t per ciascuna componente confermano entrambi una significatività
statistica indubbia; a conferma di ciò il modello appare graficamente ben centrato.
43
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
178
Notevole è inoltre la riduzione della varianza residua, che da 931,099 scende a 274, con una
riduzione del 70,57%.
Il grafico riportato di seguito fornisce un confronto tra i dati istantanei e previsti senza e con
affinamento SARMA, confermando una discreta capacità previsionale di quest‟ultimo, che
tuttavia registra una certa difficoltà di stima al tempo t=92 e 93 (agosto e settembre 2012), dove i
valori previsti risultano negativi.
Grafico VI.18 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock esponenziale senza e con
affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
20
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbasse1+FORbasse1)
16
12
8
4
0
-4
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
VI.2.C GBM con uno shock rettangolare
Si è visto in precedenza come la serie dei dati istantanei a disposizione illustri una discreta
flessione delle vendite in corrispondenza dell‟anno 2008; al fine di individuare tale impulso è
stato scelto di sviluppare un GBM che contenesse uno shock rettangolare44.
Sono state utilizzate come stime iniziali dei parametri m, p e q, quelle proposte dal modello di
Bass standard ottenuto con l‟impiego di un minor numero di iterazioni e di chiamate di funzione
(rispettivamente 40 e 300). E stata stimata quindi l‟intensità dello shock rettangolare (c1), che
individuava una depressione delle vendite, ponendola pari a -0,1; l‟arco temporale corrispondente
a tale depressione è stato invece ipotizzato come periodo compreso tra il tempo t=42 (a1) e t=51
44
L‟implementazione di uno shock rettangolare in un GBM permette di definire una finestra temporale
all‟interno della quale si prolunga un trend, in ribasso o in rialzo, delle vendite. La formulazione della x(t)
come funzione raffigurante uno shock rettangolare è la seguente:
. Per ulteriori
approfondimenti si rimanda al paragrafo Introduzione statistica.
179
(b1), corrispondenti a giugno 2008 e marzo 2009. I risultati che ottenuti, correlati dalle
corrispondenti rappresentazioni grafiche, sono stati i seguenti:
(a)
Regressione non lineare – bassr1
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+c1*(b1-a1)*(b1<t))))/
(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+c1*(b1-a1)*(b1<t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 1304,0
p = 0,00149
q = 0,0205
c1 = -0,1
a1 = 42,0
b1 = 51,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 187
Numero di chiamate di funzione: 1496
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
a1
b1
Stima
5153,75
0,000468673
0,0181255
-0,405127
26,8691
49,9005
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-24616,3
-0,00222694
0,00898852
-0,473823
24,0332
47,4221
Errore standard
asintotico
14950,4
0,00135372
0,00458853
0,0344989
1,42419
1,24463
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,4304E6
Residuo
1211,91
Totale
2,43161E6
Totale (Corr.) 776123,
G.l.
6
77
83
82
Media dei quadrati
405066,
15,7391
R-quadrato = 99,8439 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8337 percento
Errore standard della stima = 3,96725
Errore assoluto medio = 2,87409
Statistica di Durbin-Watson = 0,682649
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,643888
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
15,7391
MAE
2,87409
180
Convalida
95,0%
superiore
34923,8
0,00316429
0,0272624
-0,336431
29,705
52,3789
MAPE
ME
MPE
4,27492
0,377035
2,42267
Grafico VI.19 Applicazione di GBM con uno shock rettangolare linea SAX
GBM con uno shock rettangolare
400
SAX cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
Grafico VI.20 Residui del GBM con shock esponenziale linea SAX
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
4
2
0
-2
-4
0
100
200
prev isto SAX cum
300
400
Come si evince anche da un R-quadrato che risulta pari a 0,998439, il miglioramento rispetto al
modello di Bass standard è buono. Per ottenere la convergenza della somma residua dei quadrati
nel processo di stima il numero di iterazioni è stato posto pari a 200 e il numero di chiamate di
funzione pari a 400, togliendo in questo modo stabilità al modello. Gli effetti di tale azione si
sono riscontrati immediatamente, soprattutto nelle stime attinenti i parametri m, p e q. La stima di
181
m indica un mercato potenziale corrispondente a 5153, un numero ancora una volta poco
credibile. Le stime per i parametri p e q sono invece, rispettivamente pari a 0,000468673 e
0,0181255, per un rapporto
= 38,67 e una quota asintotica di innovatori conseguentemente
attorno al 10%. Gli intervalli di confidenza corrispondenti a tali parametri stime sono ampi e, fatta
eccezione per il parametro q, comprendono il valore 0, a riprova della difficoltà del modello
applicato nel procedimento di stima.
Per quanto concerne le stime dei parametri relativi allo shock (a1, b1 e c1): a1 è stimato attorno al
tempo t=27 (marzo 2007); b1 invece viene individuato attorno al tempo t=50 (febbraio 2009);
infine, c1 risulta pari a -0,405, avvalorando l‟intensità negativa dell‟impulso, che è ulteriormente
confermata da un intervallo di confidenza compreso tra due valori negativi. A differenza dei primi
tre parametri del modello, gli intervalli di confidenza di queste stime sono relativamente stretti.
La statistica di Durbin-Watson, stimata pari a 0,683, denota un certo peggioramento rispetto a
quanto osservato nel modello di Bass standard, illustrato anche nella rappresentazione grafica dei
residui che appaiono meno correlati tra loro.
Il guadagno relativo in termini di miglioramento del passaggio dal modello di Bass standard al
GBM con uno shock rettangolare, misurato dal coefficiente di correlazione multipla al quadrato
̃ , risulta pari a ̃ =
= 0,835, una cifra che supera senza problemi la soglia di
accettabilità di 0,5. Si è proceduto comunque al calcolo di F, che risulta invece pari a
(
)(
(
)
)
=
= 21,4, un esito decisamente maggiore rispetto alla soglia di accettabilità (pari a 4),
confermando un buona riuscita del modello esteso nell‟interpolazione dei dati relativi alle vendite
della linea SAX.
Sono riportati il confronto tra i dati istantanei e le previsioni sul ciclo di vita della linea SAX
risultanti dall‟applicazione del GBM con uno shock rettangolare, del GBM con uno shock
esponenziale e del BM nel grafico che segue. In tale rappresentazione, il GBM con shock
rettangolare, individuando la flessione nelle vendite corrispondenti al periodo a cavallo tra il 2007
e il 2008, in linea con gli effetti provocati dall‟impatto della crisi economica e finanziaria,
sembrerebbe prevedere un andamento crescente parallelo a quanto previsto dal modello di Bass
standard, in controtendenza invece con le previsioni del GBM con shock esponenziale, che
evidenzia invece, come già detto in precedenza, una decrescita delle vendite che porterà alla
chiusura del ciclo di vita del prodotto in tempi molto rapidi.
182
Grafico VI.21 Valori osservati e valori previsti dal BM e dai GBM con uno shock esponenziale e con uno shock
rettangolare linea SAX
Grafico X-Y mu ltip lo
18
Variab ili
SAX ist
DIFF (PREDb ass1)
DIFF (PREDb asse1)
DIFF (PREDb assr1)
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Si è proceduto quindi all‟affinamento del modello esposto attraverso l‟implementazione di un
modello di previsione ARMA. I risultati, come pure i grafici relativi, sono riportati di seguito.
(b)
Previsione - (SAX cum-PREDbassr1)
Variabile: (SAX cum-PREDbassr1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,15895
1,6537
Convalida
Periodo
-0,0387543
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,703418 0,0824067
SAR(1)
0,107357 0,0461961
SAR(2)
1,54661
0,092528
t
8,53594
2,32394
16,715
P-value
0,000000
0,022734
0,000000
183
SMA(1)
0,140402 0,0702587 1,99836 0,049163
SMA(2)
1,45422
0,13461
10,8032 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 4,81999 con 78 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,19545
Numero di iterazioni: 12
Grafico VI.22 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12
Grafico delle sequenze temporali per (SAX cum-PREDbassr1)
ARIM A(1,0,0)x(2,0,2)12
(SAX cum-PREDbassr1)
15
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
10
5
0
-5
-10
-15
0
20
40
60
80
100
Grafico VI.23 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12
Autocorrelaz ioni dei residui per adattate (SAX cum -PREDbassr1)
ARIM A(1,0,0)x(2,0,2)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
L‟output fornito dal modello di affinamento ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)1245, calcolato seguendo la
consueta procedura (SAX cum-PREDbassr1)46, identifica una componente autoregressiva pari a 1,
45
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
184
la cui serie non è stata differenziata, una componente media mobile fondamentalmente inesistente,
e due componenti stagionali per la parte autoregressiva e media mobile, corrispondenti entrambe a
2, evidenziando un contributo stagionale considerevole.
Dalla rappresentazione grafica il modello appare ben centrato; P-value e statistiche t per ciascuna
componente confermano entrambi una significatività statistica esplicita.
La riduzione della varianza residua, che da 1211,91 è scesa a 326,82, con una riduzione del 73%
circa, è anche in questo caso considerevole.
Le autocorrelazioni dei residui ai vari lag, come illustrato dal grafico corrispondente (Grafico
VI.23 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12), rientrano nei limiti di probabilità
indicati dal livello di confidenza al 95%.
È riportata quindi, di seguito, la rappresentazione grafica che permette il confronto tra i dati
istantanei e previsti senza e con affinamento SARMA: il GBM con shock rettangolare e
affinamento SARMA dimostra una discreta capacità previsionale, osservando solo due stime
negative, corrispondenti al tempo t=37 e 49 (gennaio 2008 e 2009), sintomo di difficoltà nella
stima delle previsioni.
Grafico VI.24 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock rettangolare senza e con
affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
18
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(FORbassr1)
14
10
6
2
-2
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
46
Dove SAX cum sta per i valori cumulati, e PREDbassr1 corrisponde ai valori previsti dal GBM con
shock rettangolare.
185
VI.3) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con due shocks
VI.3.A GBM con due shocks esponenziali
È stato precedentemente evidenziato come, applicando ai dati un GBM con shock esponenziale
distinto, i risultati divergessero considerevolmente; è stata quindi presa in considerazione l‟idea di
rappresentare i due shocks nello stesso modello, con un estensione del GBM che comprendesse
entrambe gli impulsi, ottenendo il risultato migliore tra i diversi modelli analizzati. Le stime che
sono state utilizzate nell‟elaborazione di tale modello esteso fanno riferimento al GBM con uno
shock esponenziale che è stato fatto oggetto di studio approfondito nel precedente capitolo; si può
pertanto sostenere che i due GBM siano nidificati tra loro, il che semplificherà il confronto
tramite strumenti come il coefficiente di correlazione multipla al quadrato.
I due impulsi sono stati stimati attorno ai distinti parametri a1 corrispondenti a ciascuno dei due
GBM con uno shock esponenziale (a1 e a2 al tempo t=68 e 48, agosto 2010 e settembre 2008).
Entrambi gli shocks sono stati valutati di intensità positiva, il primo maggiore del secondo, (c1 e
c2 sono posti rispettivamente pari a 2 e 1). Quanto ai parametri b1e b2, misure del tempo di
smemorizzazione degli shocks in questione, sono stati posti entrambi di segno positivo e di
piccolo valore, ovvero pari a 0,01.
Di seguito sono esposti la procedura e i risultati ottenuti.
(a)
Regressione non lineare – basse2
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione
da
stimare:
m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))1)*(a1<=t)+(c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))-1)*(a2<=t))))/
(1+(q/p)*EXP((p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1<=t)+(c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))-1)*(a2 <= t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 400,0
p = 0,007
q = 0,008
c1 = 2,0
b1 = -0,1
a1 = 68,0
c2 = 1,0
b2 = -0,1
a2 = 48,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 18
Numero di chiamate di funzione: 201
186
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
b2
a2
Stima
411,891
0,00724231
0,00695881
2,61823
0,0169911
67,9999
1,20726
0,00872014
50,2908
Errore standard
asintotico
176,174
0,00296114
0,0058161
0,596329
0,182883
0,887505
0,244524
0,0324163
0,845533
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,43093E6
Residuo
673,505
Totale
2,43161E6
Totale (Corr.) 776123,
G.l.
9
74
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
60,8566
0,00134211
-0,00463005
1,43002
-0,347412
66,2315
0,720037
-0,0558708
48,606
95,0%
superiore
762,926
0,0131425
0,0185477
3,80645
0,381394
69,7683
1,69449
0,0733111
51,9755
Media dei quadrati
270104,
9,10142
R-quadrato = 99,9132 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,9038 percento
Errore standard della stima = 3,01686
Errore assoluto medio = 2,19437
Statistica di Durbin-Watson = 1,05806
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,470597
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
9,10142
MAE
2,19437
MAPE 2,75206
ME
0,0321331
MPE
0,260012
Convalida
187
Grafico VI.25 Applicazione di GBM con due shock esponenziali linea SAX
GBM co n d u e sh ock esp o nenz iali
400
SAX cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VI.26 Residui del GBM con due shock esponenziali linea SAX
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
5
3
1
-1
-3
-5
0
100
200
prev isto SAX cum
300
400
Il successo nel miglioramento, rispetto al GBM con uno shock esponenziale, dell‟adattamento del
modello esteso con due shocks esponenziali viene misurato dall‟R-quadrato che spiega il
99,9136% della variabilità. Il mercato potenziale stimato (m) è pari a 436, un numero
relativamente verosimile. Le stime per i parametri p e q sono 0,00685712 per il primo e
0,00624711 per il secondo: il rapporto
risulta pari a 0,91, corrispondendo a una quota asintotica
di innovatori compresa tra il 70-80%, relativamente molto alta rispetto alla media.
188
Nonostante il numero di iterazioni e di chiamate di funzione non sia alto (il processo di stima è
terminato dopo 9 iterazioni), gli intervalli di confidenza di queste stime risultano molto ampi,
comprendendo cambi di segno e marcando una debolezza strutturale del modello.
I parametri stimati relativi allo shock (a1, b1, c1, a2, b2, c2) sono relativamente centrati, ma vi è
da fare un‟osservazione in particolare rispetto ai parametri b1 e b2: sebbene infatti le stime
indichino due valori positivi, qualora si osservino gli intervalli di confidenza asintotici
corrispondenti, si vede che i limiti vengono posti (quasi specularmente) tra valori negativi e valori
positivi e si denota una seria difficoltà del modello nel definire se vi sia un effettivo
riassorbimento degli shocks o se gli effetti di questi siano destinati a perdurare nel tempo.
Avvalendosi nuovamente del coefficiente di correlazione multipla al quadrato ̃ =
per
misurare il guadagno relativo del passaggio dal GBM con uno shock al GBM con due shocks
esponenziali si calcola che tale coefficiente è pari a ̃ =
= 0,28, una cifra che si
trova ben al di sotto della soglia di accettabilità; questo pertanto lascerebbe desumere che il
secondo shock (corrispondente al tempo t=68) in realtà non esista. Si è proceduto con il calcolo di
F per una riconferma di tale valore e il risultato ottenuto è stato
=
(
)(
(
)
)
= 3,45; anche in
questo caso si tratta di un numero inferiore alla soglia di accettabilità (pari a 4), che conferma
l‟ipotesi sull‟inesistenza reale di un secondo shock.
Di seguito è riportata la rappresentazione grafica che pone a confronto i dati istantanei e le
previsioni realizzate dal modello applicato GBM con uno e con due shocks esponenziali
(rispettivamente linea rossa e rosa).
Grafico VI.27 Valori osservati e valori previsti dai GBM con uno e due shock esponenziali a confronto linea SAX
Grafico X-Y mu ltip lo
18
Variab ili
SAX ist
DIFF (PREDb asse1)
DIFF (PREDb asse2)
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
189
Da questo grafico si evince come lo shock che inizia al tempo t=68 sia fondamentalmente
costruito sullo shock precedente. Le proiezioni future sul ciclo di vita del prodotto di entrambi i
modelli, semplice ed esteso, indicano una decrescita futura delle vendite, che potrebbe portare alla
chiusura del ciclo di vita del prodotto; differenza sostanziale a riguardo è il fatto che il GBM con
due shocks esponenziali prevede un processo di riduzione delle vendite decisamente più armonico
comparato al trend del modello semplice.
La statistica di Durbin-Watson è stimata pari a 1,06152 e denota un lieve peggioramento rispetto a
quanto osservato nel modello semplice. Si è a questo punto proseguito attraverso l‟applicazione
di un modello ARMA per un affinamento del GBM con due shocks esponenziali, di cui sono
riportati gli esiti ottenuti e i grafici corrispondenti.
(b)
Previsione - (SAX cum-PREDbasse2)
Variabile: (SAX cum-PREDbasse2)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,04514
1,53576
Convalida
Periodo
-0,0117684
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
1,15887
0,213234
5,43472 0,000001
AR(2)
-0,529771 0,113193
-4,68025 0,000012
MA(1)
0,588366 0,240279
2,44868 0,016612
SAR(1)
-0,813642 0,0562639 -14,4612 0,000000
SMA(1)
-1,11772
0,0684121 -16,3381 0,000000
SMA(2)
-0,759225 0,0452319 -16,7852 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 4,64622 con 77 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,15551
Numero di iterazioni: 21
190
Grafico VI.28 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12
Grafico delle sequenze temporali per (SAX cum-PREDbasse2)
ARIM A(2,0,1)x(1,0,2)12
(SAX cum-PREDbasse2)
12
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
8
4
0
-4
-8
0
20
40
60
80
100
Grafico VI.29 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12
Autocorrelaz ioni dei residui per adattate (SAX cum -PREDbasse2)
ARIM A(2,0,1)x(1,0,2)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Ancora una volta si è lavorato al netto dei residui diretti, calcolati con la formula (SAX cumPREDbasse2), dove SAX cum sta per i valori cumulati, e PREDbasse2 corrisponde ai valori
previsti dal GBM con due shocks esponenziali. Il processo di de-parametrizzazione delle
componenti in conformità alla loro significatività statistica47 ha prodotto un modello
ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12 senza costante. Questo modello osserva appunto una componente
autoregressiva pari a 2, una componente media mobile pari a 1, una componente stagionale per la
parte autoregressiva pari a 1 e una componente stagionale per la parte media mobile pari a 2,
evidenziando un contributo stagionale rilevante.
I valori di P-value e le statistiche t corrispondenti a ciascuna componente comprovano la loro
significatività statistica, sebbene si noti come per la componente media mobile tali valori siano
47
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
191
molto vicini alla soglia di non significatività statistica (statistica t pari a 2,44); tuttavia il modello
pare graficamente ben centrato.
Degna di nota è inoltre la riduzione della varianza residua che cala da un valore pari a 670,938 nel
modello “puro” a un valore pari a 32 nel modello con affinamento, con una riduzione del 95%.
Dal grafico rappresentante le autocorrelazioni stimate dei residui ai vari lag risulta che uno dei
coefficienti di autocorrelazione, corrispondente al lag 14, è statisticamente significativo in
corrispondenza di un livello di confidenza del 95%.
Il grafico riportato di seguito fornisce un confronto tra i dati istantanei e previsti senza e con
affinamento SARMA, da cui si evince una discreta capacità previsionale di quest‟ultimo,
soprattutto per quanto riguarda l‟area interessata dal secondo shock esponenziale. Sbaglia invece
nella stima, segnalando valori negativi al tempo t=14, 37 e 41 (febbraio 2006 e gennaio e maggio
2008).
Grafico VI.30 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con due shocks esponenziali senza e con
affinamento ARIMA
Grafico X-Y mu ltip lo
18
Variab ili
SAX ist
d iff(PREDbasse2)
d iff(PREDbasse2+ FORb asse2)
14
10
6
2
-2
-6
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
VI.4) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con shock misti
Sin dall‟inizio, è stato evidenziato come, a una prima analisi dei istantanei, si potesse descrivere
l‟andamento delle vendite come costante in un primo periodo, caratterizzato da una flessione in
prossimità dell‟anno 2008, cui seguiva un trend crescente delle vendite di tipo esponenziale. Tali
osservazioni hanno trovato poi conferma nelle applicazioni dei GBM in grado di descrivere tali
impulsi, in qualità di shock rettangolari ed esponenziali, che sono state esposte nei capitoli
precedenti.
192
Volendo correlare i due sintomi, iniziale flessione e successiva crescita esponenziale delle
vendite, in uno stesso modello, è stato sviluppato un GBM che considerasse uno shock misto48,
uno esponenziale e uno rettangolare. È stato preso come riferimento per l‟elaborazione delle stime
il modello di Bass standard, elaborato con un numero di iterazioni e di chiamate di funzioni non
sufficiente al raggiungimento della convergenza nel procedimento di stima, ma tuttavia
caratterizzato da una struttura relativamente più forte rispetto al BM ottenuto, aumentando il
numero delle stesse al fine di ottenere tale convergenza nella somma residua dei quadrati.
Le problematiche nell‟ottenere un risultato discreto dall‟applicazione di tale modello esteso sono
state numerose; si è infatti dovuta operare una drastica riduzione del numero di iterazioni, che
certamente non ha portato a una convergenza nella somma residua dei quadrati nel processo di
stima, ma se non altro ha permesso la visualizzazione del modello.
Per quanto concerne le stime iniziali dei parametri relativi i due shock, si è proceduto come segue:

Lo shock esponenziale è stato identificando di intensità positiva (c1 pari a 2,23), con
momento iniziale dello shock al tempo t=63 (marzo 2010) e con un b1 di piccole
dimensioni (0,01) e positivo, volendo quindi intendere una permanenza degli effetti dello
shock nel tempo successivo;

Lo shock rettangolare è stato invece trattato come shock negativo (c1 pari a -0,7),
compreso tra il tempo t=40 e t=50, corrispondenti al mese di aprile 2008 e febbraio 2009.
È riportato quindi l‟esito di tale applicazione, correlato dalle relative rappresentazioni grafiche.
(a)
Regressione non lineare – basse1r1
Variabile dipendente: SAX cum (z(t) cumulative)
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+c2*(ta2)*(a2<=t)*(t<=b2)+c2*(b2-a2)*(b2<t))))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))1)*(a1 <= t)+c2*(t-a2)*(a2<=t)*(t<=b2)+ c2*(b2-a2)*(b2<t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 1300,0
p = 0,001
q = 0,02
c1 = 2,23
b1 = 0,01
a1 = 63,0
c2 = -0,7
48
La formula del modello di Bass generalizzato con shock esponenziale e rettangolare è:
(
)
; per ulteriori approfondimenti su tale modello si rimanda paragrafo III).
193
a2 = 40,0
b2 = 50,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima interrotta perché è stato raggiunto il numero massimo di iterazioni.
Numero di iterazioni: 8
Numero di chiamate di funzione: 77
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
a2
b2
Stima
1788,87
0,00136529
0,017656
4,40115
-1,58585
69,988
-0,384749
28,0114
48,2702
Errore standard
asintotico
1537,64
0,00116055
0,00382341
3,00501
1,16889
1,05027
0,0365169
1,29765
1,16215
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
2,43082E6
Residuo
790,809
Totale
2,43161E6
Totale (Corr.) 776123,
G.l.
9
74
83
82
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-1274,95
-0,000947155
0,0100377
-1,58647
-3,91493
67,8953
-0,457511
25,4258
45,9546
Media dei quadrati
270091,
10,6866
R-quadrato = 99,8981 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8871 percento
Errore standard della stima = 3,26904
Errore assoluto medio = 2,53537
Statistica di Durbin-Watson = 0,970774
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,510363
Analisi dei residui
Stima
n
83
MSE
10,6866
MAE
2,53537
MAPE 4,04468
ME
0,353809
MPE
2,37349
194
Convalida
95,0%
superiore
4852,68
0,00367774
0,0252743
10,3888
0,743219
72,0807
-0,311987
30,5971
50,5858
Grafico VI.31 Applicazione di GBM con shock misto linea SAX
GBM con shock esponenziale e rettangolare
400
SAX cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VI.32 Residui del GBM con shock misto linea SAX
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
prev isto SAX cum
300
400
L‟R-quadrato ottenuto dall‟applicazione del GBM con shock misto risulta pari a 0,998981,
esprimendo un netto miglioramento rispetto al modello di Bass standard. Il parametro m, mercato
potenziale, corrisponde a una stima pari a quasi 1790, una cifra poco plausibile.
I parametri p e q sono stimati rispettivamente pari a 0,00136529 e 0,017656, individuando, con un
rapporto
pari a 12,93, una quota asintotica di innovatori attorno al 25%, in linea con la media
della gran parte di prodotti. Gli intervalli di confidenza asintotici corrispondenti a questi primi tre
parametri denotano l‟instabilità del modello: sono infatti molto ampi e nel caso di m e p
comprendono il valore 0.
Le osservazioni relative le stime dei parametri inerenti ai due shock (a1, b1, c1, a2, b2, c2) è
opportuno siano distinte per ciascuno shock separatamente.
Per quanto concerne lo shock esponenziale si nota che questo viene stimato con un‟intensità
nettamente superiore a quella prevista all‟inizio (c1 = 4,40, ovvero quasi il doppio di ciò che era
195
stato inizialmente stimato); il momento iniziale dello shock viene individuato molto vicino al
tempo t=70, corrispondente con il mese di ottobre 2010; per quanto concerne il parametro b1
invece, a dispetto delle ipotesi circa una permanenza degli effetti dello shock esponenziale, le
stime riportano un b1 negativo (-1,58), individuando quindi un tempo di smemorizzazione dello
shock esponenziale che porterà al suo riassorbimento (non ancora visibile). Vanno fatte tuttavia
alcune considerazioni anche in conformità degli intervalli di confidenza corrispondenti a tali
parametri: a parte a che pare ben centrato, c1 e b1 presentano intervalli di confidenza molto ampi
e comprendenti il valore 0, denotando la difficoltà del modello nel stimare puntualmente tali
parametri.
Nello specifico dei parametri corrispondenti allo shock rettangolare, si può affermare che questi
sono invece stimati con maggiore precisione: il parametro c2 (-0,385), che misura l‟intensità
dell‟impulso, conferma lo shock negativo delle vendite e gli intervalli di confidenza
corrispondenti alla stima di tale parametro sono compresi tra valori negativi, avvalorando la
puntualità della stima. Anche i termini a2 e b2, che delimitano il periodo corrispondente al calo
delle vendite, appaiono ben centrati, con corrispondenti intervalli di confidenza in genere non
eccessivamente ampi; unica nota aggiuntiva che si può fare a riguardo è la stima del parametro a2,
che individua come momento iniziale della flessione il tempo t=28, nell‟aprile 2007, ovvero con
quasi un anno di anticipo rispetto alle ipotesi avanzate inizialmente.
Facendo nuovamente riferimento al coefficiente di correlazione multipla al quadrato, al fine di
ponderare il guadagno relativo del passaggio dal modello di Bass standard al modello esteso con
shock misti, il risultato ottenuto è stato il seguente: ̃ =
= 0,892, una cifra che
denota un netto miglioramento; il corrispondente calcolo di F, con l‟obiettivo di pesare i parametri
aggiuntivi del modello esteso, fornisce invece tale risultato:
=
(
)(
(
)
)
= 11, un valore che
supera la soglia di accettabilità pari a 4, evidenziando comunque il contributo dei parametri
aggiuntivi.
La statistica di Durbin e Watson, pari a 0,970774, misura un peggioramento nella correlazione dei
residui rispetto al modello di Bass standard; si è quindi proceduto all‟affinamento del GBM
attraverso l‟utilizzo di un modello SARMA.
Viene riportata in seguito una rappresentazione grafica che mette a confronto dati istantanei e
previsioni sul ciclo di vita della linea SAX evidenziata dal modello applicato GBM con shock
misti. Infine, nel Grafico VI.34, è invece riprodotta una rappresentazione grafica dei distinti
modelli che sono stati finora fatti oggetto dell‟analisi, da cui si evince come tutti i modelli
applicati prevedano, con l‟eccezione dei GBM con uno e con due shock esponenziali, un trend di
196
vendite future in crescita, avvalorando l‟ipotesi che il ciclo di vita relativo alla linea di cucine
SAX sia ancora in una fase iniziale di crescita.
Grafico VI.33 Valori osservati e valori previsti dal GBM con shock misto linea SAX
Grafico X-Y multiplo
20
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbasse1r1)
16
12
8
4
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VI.34 Confronto tra dati istantanei e previsioni dei diversi modelli finora analizzati
Grafico X-Y multiplo
20
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbasse1r1)
16
12
8
4
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Come anticipato, si è proceduto quindi all‟affinamento del GBM attraverso l‟implementazione di
un modello SARMA. Vengono riportati di seguito gli esiti ottenuti e i grafici corrispondenti a
essi.
197
(b)
Previsione - (SAX cum-PREDbasse1r1)
Variabile: (SAX cum-PREDbasse1r1)
Numero di osservazioni = 83
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,18662
1,67566
Convalida
Periodo
-0,112842
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,494105 0,100558
4,91361 0,000005
SAR(1)
-0,308537 0,101395
-3,04293 0,003192
SAR(2)
1,20613
0,116098
10,3889 0,000000
SMA(1)
-0,648248 0,0972438 -6,66621 0,000000
SMA(2)
0,718571 0,157161
4,5722
0,000018
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 4,89149 con 78 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,21167
Numero di iterazioni: 11
Grafico VI.35 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12
Grafico delle sequenze temporali per (SAX cum-PREDbasse1r1)
ARIM A(1,0,0)x(2,0,2)12
(SAX cum-PREDbasse1r1)
13
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
9
5
1
-3
-7
-11
0
198
20
40
60
80
100
Grafico VI.36 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12
Autocorrelazioni dei residui per adattate (SAX cum -PREDbasse1r1)
ARIM A(1,0,0)x(2,0,2)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
Si è nuovamente lavorato al netto dei residui diretti, calcolati con la formula (SAX cumPREDbasse1r1), indicando con SAX cum i valori cumulati e con PREDbasse1r1 corrispondente
ai valori previsti dal GBM con shock esponenziale e rettangolare. Il modello definitivo, risultato
delle de-parametrizzazioni eseguite nel rispetto della significatività statistica di ciascun
parametro49, è stato un ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12 senza costante.
Viene individuata pertanto una componente autoregressiva pari a 1, una componente media
mobile inesistente e due componenti stagionali, corrispondenti alla parte autoregressiva e alla
parte media mobile, entrambe pari a 2, sottolineando un rilevante contributo stagionale.
La significatività statistica delle componenti è avvalorata da P-value e statistiche t lo che
confermano e il modello appare graficamente ben centrato. Grazie all‟implementazione
dell‟affinamento SARMA si è osservata una riduzione della varianza residua, che da 790,809 è
scesa a 381,5, del 51,75%.
Quanto alla rappresentazione grafica del test realizzato sull‟autocorrelazione dei residui ai diversi
lag, si nota che al lag 6 uno dei coefficienti di autocorrelazione dei residui risulta, seppur di poco,
statisticamente significativo a un livello di confidenza del 95%. Gli altri coefficienti invece
rientrano tutti all‟interno dei limiti di probabilità individuati.
Viene riportata quindi di seguito la rappresentazione grafica che pone a confronto dati istantanei e
previsioni del modello di Bass generalizzato con shock misti con e senza affinamento SARMA. É
possibile denotare una discreta capacità previsionale del modello con affinamento, che, tuttavia,
49
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
199
osserva alcune difficoltà di stima al tempo t=18, 29 e 66, (giugno 2006, maggio 2007 e giugno
2010), cui corrispondono previsioni negative. In sostanza, il modello sembra confermare una certa
variabilità nel trend di vendite previste per il prossimo anno, che tuttavia si mantengono in
crescita.
Grafico VI.37 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock misti senza e con affinamento
ARIMA
Grafico X-Y mu ltip lo
23
Variab ili
SAX ist
DIFF (PREDb asse1r1)
DIFF (PREDb asse1r1+ FORb asse1r1)
19
15
11
7
3
-1
0
12
24
36
48
60
mesi
200
72
84
96
108
VI.5) Conclusioni
VI.5.A Confronto tra modelli
Si propone ora una sintesi dei modelli che sono stati implementati nell‟analisi dei dati di vendita
relativi alla linea SAX allo scopo di un confronto conclusivo.
Viene proposta innanzitutto una tabella schematica dei distinti R2 e della varianza residua
(risultato dei corrispettivi affinamenti con modelli della famiglia ARMA) ottenuti
dall‟applicazione ai dati cumulati dei vari modelli di Bass, semplice e generalizzato.
Tabella VI-2Confronto coefficienti di determinazione dei modelli analizzati e della varianza residua
Modelli
R-quadrato
Varianza residua
BM
99,2446%
828,13
GBMe1
99,8439%
274
GBMr1
99,8800%
326,82
GBMe2
99,9136%
32
GBMe1r1
99,8981%
381,5
E‟ stato approfondito in precedenza il motivo per cui si è ricorso all‟utilizzo di un modello di Bass
generalizzato rispetto a un modello semplice. Anche da questo confronto, risulta che il modello
che meglio si adatta ai dati a nostra disposizione è il GBM con due shock esponenziali: questo
presenta infatti un R2 pari a 0,999136 e una varianza residua, risultato di un affinamento
ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12, uguale a 32 (una riduzione del 95% rispetto al modello “puro”).
Ricordiamo ad ogni modo che nell‟analisi del coefficiente di correlazione multipla al quadrato, il
GBM con uno e con due shock esponenziali, il cui confronto è possibile in quanto si tratta di
modelli nidificati, non ha ottenuto risultati positivi:
̃ =
= 0,28;
ulteriormente avvalorato da
=
(
)(
(
)
)
= 3,45.
Sulla base di tali verifiche, si evince infatti che appare superfluo considerare il secondo shock. Di
seguito, anche per un confronto visivo, riportiamo il grafico che mette a confronto dati istantanei
osservati e valori previsti dall‟applicazione dei due GBM, con uno e con due shock esponenziali.
201
Grafico VI.38 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno e con due shock esponenziali linea SAX
Grafico X-Y mu ltip lo
18
Variab ili
SAX ist
DIFF (PREDb asse1)
DIFF (PREDb asse2)
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Il secondo shock, com‟è possibile notare, si delinea infatti solo relativamente, nonostante sia
separato dal primo da un periodo di flessione delle vendite, comprese tra aprile e agosto
2010.Entrambe i modelli presentano previsioni simili relativamente il ciclo di vita, a dispetto di
quanto invece viene indicato dagli altri modelli; l‟unica differenza sostanziale consiste nel fatto
che, mentre il GBM con uno shock esponenziale presenta una chiusura incisiva e precipitosa, il
GBM con due shocks suggerisce invece un trend di chiusura del ciclo di vita più graduale.
In un altro confronto si riporta il grafico che mette in rapporto dati istantanei di vendita (su base
mensile) e dati previsti dagli affinamenti con modelli ARMA dei GBM con uno e con due shock
esponenziali. Entrambe i modelli denotano una capacità previsionale relativamente buona,
tuttavia, come già osservato nei precedenti capitoli, le previsioni risultanti dall‟affinamento del
GBM con due shocks esponenziali, non si dimostrano altrettanto precise quanto quelle formulate
dal GBM con un solo shock esponenziale, indicando in conformità di alcuni tempi t valori
negativi.
202
Grafico VI.39 Confronto tra valori osservati e valori previsti dall'affinamento ARMA dei GBM con uno e con
due shock esponenziali
Grafico X-Y mu ltip lo
20
Variab ili
SAX ist
D IFF (PR ED b asse1+F OR b asse1)
D IFF (PR ED b asse2+F OR b asse2)
16
12
8
4
0
-4
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Un altro confronto che può esser preso in analisi riguarda i risultati a confronto dei tre GBM, con
uno shock esponenziale, uno shock rettangolare e uno shock misto, e il modello di Bass Standard,
in quanto si tratta di modelli che nidificano il Bass standard al loro interno particolarizzandolo.
Grafico VI.40 Confronto tra modelli nidificati: Bass standard, GBM con uno shock rettangolare, uno shock
esponenziale e uno shock misto
Grafico X-Y multiplo
20
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbasse1r1)
16
12
8
4
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Da tale confronto si evince la particolarità del modello di Bass generalizzato con uno shock
esponenziale, che si dimostra l‟unico a prevedere un andamento futuro delle vendite decrescente.
203
Gli altri modelli sembrano infatti conformarsi all‟ipotesi di una crescita delle vendite di cucne
della linea SAX.
Uniamo infine tutti i modelli per un confronto totale, da cui si evince, come già detto in
precedenza, che solo i GBM che contengono uno e due shocks esponenziali, presentano previsioni
di trend decrescente.
Grafico VI.41 Confronto tra dati istantanei e previsioni dei diversi modelli finora analizzati
Grafico X-Y multiplo
20
Variabili
SAX ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse2)
DIFF(PREDbasse1r1)
16
12
8
4
0
0
12
24
36
48
60
mesi
204
72
84
96
108
VII) SCENERY
La linea “SCENERY” è l‟ultima delle linee di cucine della Scavolini che sono state analizzate,
nonché la più recente, in quanto è stata lanciata nel 2007, a differenza delle altre linee
precedentemente esaminate che invece sono entrate in commercio nel 2005.
Il design di questa cucina si deve a King & Miranda; di seguito è riportata la descrizione di tale
linea di cucine presente sul sito www.scavolini.it:
Una cucina con un programma molto articolato di materiali, finiture ed elementi, che
supera una valenza solo funzionale per diventare “scena” di relazioni familiari e sociali.
Una cucina italiana dall’appeal sofisticato, dove il design ispirato al nuovo concetto di
living imprime una forte spinta d’innovazione anche tecnologica. Scenery – progetto
culturale oltre che arredativo nella produzione di cucine Scavolini - ha ante in legno con
una grande varietà di texture e colori; e ante con finiture laccate, in laminato o in vetro
decisamente inedite. Le soluzioni must? La struttura della penisola e dell’isola “Mirage”
che tiene separata, con una parete a specchio movibile, la parte operativa della cucina. E
il nuovo elettrodomestico high-touch che unisce, in un solo elemento, cappa e
condizionatore.
205
Peculiarità della Scavolini, per ogni linea di cucina, è la possibilità di ampia personalizzazione
dell‟ambiente, a discrezione dell‟acquirente, grazie all‟offerta di un‟ampia gamma di colori e
combinazioni tra cui scegliere.
La linea ha avuto particolare successo al momento del suo lancio; ha conquistato quote di mercato
anche a scapito della linea CRYSTAL, conseguentemente al fatto che presentano caratteristiche
comuni (le due cucine sono infatti realizzate in vetro colorato).
Sono riportati di seguito in Tabella i dati relativi alle vendite istantanee, su base mensile, di cucine
della linea SCENERY nel periodo compreso tra gennaio 2007 e novembre 2011, per un totale di
59 rilevazioni (t), sempre con riferimento alle Repubbliche Baltiche, Ucraina, Uzbekhstan,
Kazakhstan e Armenia.
206
Tabella VII-1 Vendite mensili del modello Scavolini SCENERY nel periodo gennaio 2007-novembre 2011
SCENERY
2007
2008
2009
2010
2011
GENNAIO
2
3
1
1
0
FEBBRAIO
0
1
0
4
4
MARZO
4
4
0
4
5
APRILE
1
4
3
6
8
MAGGIO
8
6
4
5
6
GIUGNO
2
2
2
8
6
LUGLIO
15
2
5
8
7
AGOSTO
2
8
1
1
3
SETTEMBRE
2
0
3
5
4
OTTOBRE
4
4
8
14
6
NOVEMBRE
6
7
4
9
6
DICEMBRE
3
3
5
6
-
Come per le linee di cucina precedentemente analizzate, lo studio inizia con l‟analisi delle vendite
istantanee, in funzione del tempo t, riferito ai diversi mesi compresi nel periodo d‟analisi, come
riportato nel grafico seguente.
207
Grafico VII.1 Dati osservati di vendite mensili per la linea SCENERY (gennaio 2007-novembre 2011)
Dati osserv ati vendite istantanee SCENERY
15
unità vendute
12
9
6
3
0
0
12
24
36
mesi
48
60
72
A un primo esame dei dati è possibile notare come, nel periodo immediatamente successivo al
lancio della linea SCENERY, le vendite abbiano registrato un trend crescente che ha raggiunto
subito, nel mese di luglio 2007, il picco di vendite più alto (pari a 15 cucine) che sia mai stato
registrato all‟interno dell‟arco temporale a disposizione. Tuttavia, in seguito allo scoppio della
crisi economica e finanziaria proprio a cavallo tra il 2007 e il 2008, si assiste a un crollo delle
vendite, che mantiene un trend di vendite che non supera mai in genere le 8 cucine al mese
vendute. Particolarmente sofferto per le vendite di questa linea di cucine, è stato l‟anno 2009,
soprattutto in riferimento ai primi mesi: si notano infatti, in corrispondenza dei mesi di febbraio e
marzo 2009, due rilevazioni consecutive di vendite nulle.
A partire dall‟inizio del 2010, le vendite sembrano ripercorrere il trend in crescita che avevano
sperimentato al momento del lancio iniziale; fanno eccezione il mese di agosto, che registra
un'unica vendita, e il mese di ottobre 2010, in cui si registra invece una vendita eccezionale pari a
14 cucine.
Infine, il 2011 inizia osservando un‟altra rilevazione di vendite nulle in corrispondenza del mese
di gennaio, per riprendere poi un trend di crescita che si mantiene in una media attorno alle 5-6
cucine vendute al mese.
La scarsità di storia intesa come quantità di rilevazioni mensili, congiuntamente agli effetti
distorsivi dei dati di vendita a causa di una crisi che ancora non è giunta a termine, rendono
difficile l‟adattamento dei modelli previsionali di vendita, come vedremo in seguito. Trattandosi
inoltre di una linea relativamente recente, ci si trova con ogni probabilità a osservare una fase
208
iniziale del ciclo di vita del prodotto, di cui probabilmente sarebbe stata osservata una crescita
continua, se questa stessa non fosse stata alterata dall‟impatto della crisi.
È stata esaminata innanzitutto, al fine di formulare alcune ipotesi circa la scelta del modello più
idoneo a descrivere l‟evoluzione delle vendite, la rappresentazione grafica relativa ai dati
cumulati in funzione del tempo, che viene riportata di seguito.
Da questi si evince il trend crescente, che potrebbe esser descritto come uno shock esponenziale,
cui segue una successiva stabilizzazione del trend, che evidenzia un rallentamento tra il tempo
t=24 e t=44, corrispondente al periodo compreso tra novembre 2008 e agosto 2010, cui segue
quindi un movimento di crescita esponenziale che si riassorbe abbastanza rapidamente per
riallinearsi al trend medio osservato precedentemente alla flessione delle vendite.
Grafico VII.2 Dati osservati delle vendite cumulate della linea SCENERY (gennaio 2007-novembre 2011)
Dati osserv ati vendite cumulate SCENERY
300
unità vendute
250
200
150
100
50
0
0
12
24
36
mesi
48
60
72
VII.1) Modello di Bass Standard
Sulla base di queste considerazioni preliminari si è proceduto all‟implementazione del modello di
Bass Standard (BM) 50. Le stime iniziali dei tre parametri m, p e q sono state poste rispettivamente
pari a 500, un numero che supera di gran lunga il totale delle vendite cumulate (255) individuate
al tempo t=59; 0,01 per p e 0,1 per q. I risultati ottenuti e i grafici relativi sono proposti di
seguito.
50
La funzione del BM,
.
/.
/ .
/(
), presenta una struttura che
prende in considerazione solo tre parametri: m, che identifica il mercato potenziale; p, corrispondente alla
quota asintotica degli innovatori; q, che rappresenta la quota asintotica degli imitatori, effetto del fenomeno
del “passaparola”. Le vendite istantanee vengono indicate da , mentre z esprime le vendite cumulate; di
conseguenza, (m – z) rappresenta il mercato residuo. Maggiori approfondimenti sulla funzione del modello
di Bass Standard vengono sviluppati nell‟introduzione statistica.
209
VII.1.A Regressione non lineare – bass1
Variabile dipendente: SCENERY cum (z(t))
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*t))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*t))
Stime dei parametri iniziali:
m = 500,0
p = 0,01
q = 0,1
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 323
Numero di chiamate di funzione: 1615
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
Stima
3138,27
0,000974827
0,0122694
Errore standard
asintotico
16958,5
0,00564351
0,0119357
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
1,10053E6
Residuo
2615,44
Totale
1,10314E6
Totale (Corr.) 305059,
G.l.
3
56
59
58
R-quadrato = 99,1426 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,112 percento
Errore standard della stima = 6,83406
Errore assoluto medio = 6,015
Statistica di Durbin-Watson = 0,198821
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,898254
Analisi dei residui
Stima
n
59
MSE
46,7043
MAE
6,015
MAPE 13,9349
ME
1,10842
MPE
-3,49313
210
Convalida
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
-30833,7
-0,0103305
-0,0116408
Media dei quadrati
366843,
46,7043
95,0%
superiore
37110,3
0,0122802
0,0361796
Grafico VII.3 Applicazione del modello di Bass standard linea SCENERY
Modello Bass Standard SCENERY
300
SCENERY cum
250
200
150
100
50
0
0
12
24
36
48
60
72
84
mesi
Grafico VII.4 Residui del modello di Bass standard linea SCENERY
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
2
1
0
-1
-2
0
50
100
150
200
prev isto SCENERY cum
250
300
L‟R-quadrato, che spiega il 99,1426% della variabilità delle vendite della linea SCENERY,
misura un discreto adattamento del modello ai dati a disposizione.
Si nota immediatamente la difficoltà del modello nel portare a termine il processo di stima: al fine
di ottenere la convergenza della somma residua dei quadrati nel calcolo delle stime, si è dovuto
ricorrere a un aumento del numero delle iterazioni e delle chiamate di funzione. La conseguente
instabilità del modello si riflette quindi sulle stime dei parametri: m, corrispondente alla stima del
mercato potenziale, risulta pari a 3138 circa, una cifra sei volte la stima iniziale e decisamente
poco verosimile.
211
Le stime dei parametri p e q corrispondono, rispettivamente, a 0,000974827 e 0,0122694, e
identificano una quota asintotica degli innovatori, definita dal rapporto , che risulta pari a 12,6,
compresa tra il 24-15%, rientrando nella media ordinaria dei prodotti che normalmente prevedono
una quota di innovatori tra l‟8% e il 36%.
Gli intervalli di confidenza al 95%, in corrispondenza di ogni parametro stimato, sono
estremamente ampi e comprendono cambi di segno, a conferma della debolezza strutturale del
modello.
Il grafico sottostante fornisce una rappresentazione congiunta dei dati istantanei relativi alle
vendite mensili di cucine SCENERY e del ciclo di vita della linea della stessa prevista dal BM.
Tale rappresentazione sostiene le ipotesi che si sono prima avanzate sulla fase del ciclo di vita in
cui al momento presente possiamo collocarci. Come si evince dal grafico, attualmente, la linea
SCENERY sembrerebbe posizionarsi infatti in una fase iniziale del proprio ciclo di vita,
giustificando pertanto le difficoltà del modello nel conseguimento di stime attendibili. Come già
ripetuto per la linea SAX, le stime fornite dalle applicazioni del modello di Bass standard e delle
sue estensioni risultano infatti molto più puntuali in corrispondenza di un avvicinamento alla fase
di chiusura del ciclo di vita del prodotto.
Grafico VII.5 Valori osservati e valori previsti dal modello di Bass Standard linea SCENERY
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbass1)
12
9
6
3
0
0
20
40
60
80
100
mesi
Per quanto concerne la statistica di Durbin e Watson, che misura l‟autocorrelazione dei residui, si
osserva che è pari a 0,198821, un valore sufficientemente vicino allo zero tale da poter
confermare l‟esistenza di una correlazione positiva dei residui, che trova riscontro nella
rappresentazione grafica corrispondente (Grafico VII.4). Tale statistica suggerisce, pertanto, di
212
procedere attraverso un affinamento del modello di Bass standard con un modello ARMA. I
risultati ottenuti, e grafici corrispondenti, sono riportati di seguito.
VII.1.B Previsione - (SCENERY cum-PREDbass1)
Variabile: (SCENERY cum-PREDbass1)
Numero di osservazioni = 59
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,602
1,83725
Convalida
Periodo
0,0029226
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
0,927333 0,0515902 17,975
0,000000
SAR(1)
1,31742
0,11347
11,6103 0,000000
SMA(1)
1,26003
0,16047
7,85217 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 6,82741 con 56 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,61293
Numero di iterazioni: 11
Grafico VII.6 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12
Grafico delle sequenze temporali per (SCENERY cum-PREDbass1)
ARIM A(1,0,0)x(1,0,1)12
(SCENERY cum -PREDbass1)
25
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
15
5
-5
-15
0
20
40
60
80
213
Grafico VII.7 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12
Autocorrelazioni de i res idui per ada ttate (SCE NE RY cum-P REDba ss1 )
ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
4
8
12
16
20
lag
Si è operato al netto dei residui diretti, calcolati secondo la procedura che prevede la sottrazione
dei valori previsti dal modello di Bass standard ai dati cumulati della linea SCENERY
(SCENERY cum-PREDbass1), senza utilizzo del regressore.
Il modello, ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12, è stato ottenuto come risultato di de-parametrizzazioni
realizzate in conformità con la significatività statistica dei parametri51, che hanno portato a
individuare una componente autoregressiva (AR) pari a 1, una media mobile inesistente, e due
componenti stagionali, per la parte autoregressiva e media mobile, entrambe pari a 1.
Il modello appare graficamente ben centrato e i valori di P-value e statistiche t corrispondenti a
ciascuna componente confermano una discreta significatività statistica; si è tuttavia voluto operare
un confronto tra due modelli previsionali, uno con e uno senza componenti stagionali, al fine di
valutare il contributo stagionale apportato da SAR e SMA.
Si è realizzato quindi un controllo sulla devianza residua, ricorrendo a un coefficiente di
correlazione parziale ̃ 2 e al calcolo di F52, di cui sono riportati i risultati di seguito:
̃ =
(
(
(
=
51
(
)
(
(
)
(
) (
)
) (
))
)
)
(
= 0,2277 ;
) (
)
=4
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
52
Calcolata sui risultati ottenuti da ̃ , il test F comprende anche una valutazione sul peso dei parametri del
modello esteso rispetto al modello ridotto.Per ulteriori approfondimenti si rimanda nell‟Introduzione
statistica.
214
Sebbene ̃ indichi un miglioramento corrispondente al 22,77%, appare chiaro come il contributo
fornito dalle componenti stagionali sia particolarmente debole in conformità con l‟esito ottenuto
dal test F, che sfiora la soglia di accettabilità. Si è deciso comunque di non eliminare le
componenti stagionali, poiché la centratura del modello, dal punto di vista grafico, sembrava
comunque migliore con le componenti stagionali mantenute entrambe pari a 1.
Il miglioramento che l‟affinamento SARMA apporta nell‟adattamento del modello ai dati
osservati rispetto al modello di Bass standard “puro”, può esser misurato attraverso un confronto
sulla varianza residua. Questa cala, infatti, da un valore pari a 2615,44 a 382, con una
diminuzione dell‟85% circa.
Di seguito viene esposto, con una rappresentazione grafica (Grafico VII.8) ,un confronto tra i dati
relativi le vendite istantanee (linea blu), i valori previsti dall‟affinamento del Bass standard
attraverso il modello Sarma (linea rosa) e il ciclo di vita del prodotto osservato dal modello di
Bass (linea rossa).
Le previsioni sulle vendite future della linea SCENERY, conseguite dall‟affinamento del BM,
sembrano suggerire un ciclo di vita del prodotto non ancora in chiusura, ma che bensì pare sia
destinato a osservare un trend in crescita.
Grafico VII.8 Confronto tra dati istantanei e previsioni del BM senza e con affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbass1)
DIFF(FORbass1)
11
7
3
-1
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
215
VII.2) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con uno shock
I risultati ottenuti dall‟implementazione del modello di Bass standard hanno messo in luce alcune
mancanze, e anche in base alle considerazioni avanzate in precedenza, si è deciso di adoperare a
un‟estensione del BM, ovvero il Generalized Bass Model (GBM)53.
È stao innanzitutto sviluppato un GBM con uno shock esponenziale, in grado di contenere la
crescita impressionante che hanno osservato le vendite al momento del lancio della linea
SCENERY.
Separatamente, avendo coscienza di come la crisi abbia avuto un forte impatto sulle vendite, ci si
è preposti di trattare il periodo intercorrente tra agosto 2007 e la fine del 2009 come uno shock
rettangolare di intensità negativa. Il modello Bass Standard sviluppato in precedenza risulta
nidificato in entrambe le estensioni, al fine di anche di poter eseguire alcuni confronti.
VII.2.A GBM con uno shock esponenziale
Come anticipato, si è cercato di comprendere la crescita straordinaria, a seguito del lancio della
linea, verificatasi nei primi sette mesi di vita del prodotto attraverso un GBM con uno shock
esponenziale54 in grado rappresentare tale picco.
Si è voluto localizzare l‟impulso attorno al tempo t=2, corrispondente a febbraio 2007 (a1); lo
shock esponenziale è stato considerato di intensità positiva (con c1 pari a 1) e con un periodo di
smemorizzazione, indicato dal parametro b1 pari a -0,3, relativamente stretto, considerato il fatto
che tale crescita esponenziale ha osservato un riassorbimento complessivo al termine di primi
sette mesi. Sono riportati di seguito i risultati ottenuti dall‟applicazione del GBM con shock
esponenziale e i grafici relativi.
(a)
Regressione non lineare – basse1
Variabile dipendente: SCENERY cum (z(t))
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <=
t))))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 3140,0
p = 0,001
Descritto nella formula:
.
/.
/ ( ), questo modello sviluppa il BM introducendo
una funzione di trasferimento, positiva e integrabile in domini limitati, ritratta dalla x(t), da cui dipende la
capacità di accelerare o decelerare il processo di diffusione di un prodotto nel tempo. Questa funzione
permette di analizzare l‟impatto sia di eventi endogeni, come decisioni manageriali su prezzo e attività di
marketing, sia di circostanze esogene che potrebbero generare shock, di diversa intensità ed eventuale
tempo di riassorbimento, alterando la densità della funzione di distribuzione.
Si rimanda all‟appendice statistica per maggiori approfondimenti sul GBM.
54
(
)
La formula di un GBM con uno shock esponenziale è
; per ulteriori
approfondimenti si rimanda all‟appendice statistica.
53
216
q = 0,012
c1 = 1,0
b1 = -0,3
a1 = 2,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 275
Numero di chiamate di funzione: 2201
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
Stima
741,883
0,0000446564
0,0402032
30,216
-0,318956
0,968094
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
143,322
-0,00032814
0,0352766
-46,0357
-0,433474
-4,67548
Errore standard
asintotico
298,423
0,000185864
0,00245626
38,0165
0,0570948
2,8137
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
1,10236E6
Residuo
787,764
Totale
1,10314E6
Totale (Corr.) 305059,
G.l.
6
53
59
58
95,0%
superiore
1340,44
0,000417453
0,0451299
106,468
-0,204438
6,61167
Media dei quadrati
183726,
14,8635
R-quadrato = 99,7418 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,7174 percento
Errore standard della stima = 3,85532
Errore assoluto medio = 2,97027
Statistica di Durbin-Watson = 0,596861
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,684773
Analisi dei residui
Stima
n
59
MSE
14,8635
MAE
2,97027
MAPE 5,7955
ME
0,0564513
MPE
1,48674
Convalida
217
Grafico VII.9 Applicazione di GBM con uno shock esponenziale linea SCENERY
GBM con uno shock esponenziale SCENERY
300
SCENERY cum
250
200
150
100
50
0
0
12
24
36
48
60
72
84
mesi
Grafico VII.10 Residui del GBM con shock esponenziale linea SCENERY
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
50
100
150
200
prev isto SCENERY cum
250
300
Si nota un consistente miglioramento rispetto al modello di Bass standard, rilevabile dall‟Rquadrato che risulta pari a 0,997418.
Le stime dei parametri sono le seguenti: la stima del mercato potenziale (m) risulta pari a 742
circa, i parametri p e q sono pari, rispettivamente, a 0,0000446564 e a 0,0402032, specificando,
attraverso un rapporto
inferiore all‟ 1%.
218
pari a 900,28, una quota asintotica di innovatori estremamente piccola,
Queste stime vanno considerate nell‟ordine di intervalli di confidenza corrispondenti che
denotano poca precisione, essendo molto ampi e comprendendo, nel caso di m e p, il termine 0.
Per quanto riguarda le stime dei parametri relativi allo shock (a1, b1 e c1), si evidenzia come il
momento iniziale, indicato da a1 = 0,96 (gennaio 200), venga individuato nel primo mese di vita
della linea. Il parametro b1 risulta pari a -0,32; i suoi intervalli di confidenza appaiono
relativamente stretti (a differenza degli altri due parametri, a1 e c1, che invece prevedono
intervalli di confidenza che osservano cambi di segno) e compresi tra valori negatavi, a ulteriore
conferma della velocità di smemorizzazione dello shock. Infine, c1 corrisponde a un‟intensità pari
a 30 volte tanto l‟ipotesi iniziale.
La statistica di Durbin-Watson, pari a 0,596861, denota un lieve peggioramento rispetto a quanto
osservato nel modello di Bass standard, che si riflette anche nella rappresentazione grafica dei
residui, i quali appaiono meno correlati tra loro rispetto al grafico dei residui del BM.
Si è voluto misurare il miglioramento relativo del passaggio dal modello semplice al modello
esteso attraverso il calcolo del coefficiente di correlazione multipla al quadrato ̃ =
, che,
in un confronto tra il modello Bass standard e questo GBM con shock esponenziale, risulta pari a
̃ =
= 0,7, una cifra che supera senza problemi la soglia di accettabilità di 0,5.
É stato calcolato inoltre il rapporto F, che include la numerosità delle osservazioni e il numero di
parametri dei due modelli55, con lo scopo di comprendere quanto sia incisiva la significatività
delle componenti aggiuntive rispetto al modello semplice: il risultato è stato
=
(
)(
(
)
)
=
12,34. Anche in questo caso l‟esito ottenuto è un numero maggiore rispetto alla soglia di
accettabilità (pari a 4), a conferma della maggiore precisione del modello esteso
nell‟interpolazione dei dati relativi alle vendite della linea SCENERY.
Viene riportato di seguito un grafico che propone un confronto tra valori osservati e valori previsti
dalla differenziazione del GBM con uno shock esponenziale: come nelle ipotesi iniziali, il GBM
con uno shock esponenziale sembrerebbe prevedere, a seguito della crescita esponenziale delle
vendite, il riassorbimento dello shock in un tempo relativamente stretto. Le previsioni sul ciclo di
vita illustrano tuttavia come ci si collochi ancora in una fase iniziale, comprovando le difficoltà di
stima puntuale che i modelli applicati hanno incontrato.
55
Dove n = numerosità delle osservazioni, h = parametri del modello esteso, s = differenza tra parametri del
modello esteso e del modello semplice.
219
Grafico VII.11 Valori osservati e valori previsti dal GBM con shock esponenziale linea SCENERY
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbasse1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
(b)
Affinamento SARMA
Si è proceduto quindi all‟affinamento del GBM con uno shock esponenziale con l‟applicazione di
un modello ARMA. Di seguito sono riportati i risultati e i grafici corrispondenti.
Previsione - SCENERY cum-PREDbasse1
Variabile: SCENERY cum-PREDbasse1
Numero di osservazioni = 59
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,99977
1,47966
Convalida
Periodo
-0,10615
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
220
t
P-value
AR(1)
-0,357971 0,157915
-2,26686 0,027585
AR(2)
0,544851 0,113353
4,80668 0,000013
MA(1)
-0,844182 0,144135
-5,85688 0,000000
SAR(1)
0,143909 0,0600179 2,39776 0,020121
SAR(2)
1,6472
0,155004
10,6268 0,000000
SMA(1)
0,183526 0,0862201 2,12858 0,038046
SMA(2)
1,53549
0,213106
7,20529 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 4,14179 con 52 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,03514
Numero di iterazioni: 13
Grafico VII.12 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
Grafico delle sequenze temporali per SCENERY cum-PREDbasse1
ARIM A(2,0,1)x(2,0,2)12
SCENERY cum -PREDbasse1
21
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
16
11
6
1
-4
-9
0
20
40
60
80
221
Grafico VII.13 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
Autocorrelazioni dei residui per adattate SCENERY cum-PREDbasse1
ARIM A(2,0,1)x(2,0,2)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
4
8
12
16
20
lag
Le previsioni sono state realizzate sul calcolo della formula (SCENERY cum-PREDbasse1), ove
SCENERY cum sta per i valori cumulati e PREDbasse1 corrisponde ai valori previsti dal GBM
con shock esponenziale. Il modello applicato, prodotto delle de-parametrizzazioni realizzate nel
rispetto della significatività statistica di ciascun parametro56, è stato un ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12
senza costante. Questo modello individua quindi una componente autoregressiva pari a 2, una
componente media mobile pari a 1 e le due componenti stagionali corrispondenti entrambe a 2,
sottolineando un contributo stagionale rilevante.
La significatività statistica di ciascuna componente è avvalorata dai corrispondenti valori di Pvalue e statistiche t. Anche graficamente il modello appare ben centrato.
La riduzione della varianza residua, che da 788,764 scende a 215,37, con un calo del 72,7%, è
considerevole.
Viene riportato di seguito il grafico che pone a confronto i dati istantanei e quelli previsti, con e
senza affinamento SARMA; da tale rappresentazione grafica si evince una buona capacità
previsionale del GBM con affinamento, che suggerisce un trend delle vendite future in crescita, in
linea con le nostre ipotesi.
56
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
222
Grafico VII.14 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con uno shock esponenziale senza e con
affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbasse1+FORbasse1)
18
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
VII.2.B GBM con uno shock rettangolare
Alla luce di quanto detto prima, si è deciso di applicare ai dati un GBM con uno shock
rettangolare57 negativo, che descrivesse la flessione nelle vendite conseguente all‟impatto della
crisi. Questo tentativo ha comunque riscontrato una certa difficoltà nella comprensione totale di
tale shock delle vendite, dovuto alla relativa novità della linea, lanciata solo nel 2007, a pochi
mesi dallo scoppio della crisi.
Sono state utilizzate, come stime iniziali dei parametri m, p e q, quelle proposte dal modello di
Bass standard, al fine di un confronto tramite l‟utilizzo del coefficiente di correlazione.
Si è voluto localizzare lo shock tra il tempo t=7 (a1) e t=46 (b1), corrispondenti ad agosto 2007 e
gennaio 2010; l‟intensità dello shock rettangolare (c1) è stata trattata come negativa, con un
valore pari a -0,5. I risultati che ottenuti, comprensivi delle corrispondenti rappresentazioni
grafiche, sono stati i seguenti:
(a)
Regressione non lineare – bassr1
Variabile dipendente: SCENERY cum (z(t))
Variabili indipendenti: t
57
L‟implementazione di uno shock rettangolare in un GBM permette di definire una finestra temporale
all‟interno della quale si prolunga un trend, in ribasso o in rialzo, delle vendite. La formulazione della x(t)
come funzione raffigurante uno shock rettangolare è la seguente:
. Per ulteriori
approfondimenti si rimanda al paragrafo III).
223
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+ c1*(b1a1)*(b1<t))))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+c1*(t-a1)*(a1<=t)*(t<=b1)+ c1*(b1-a1)*(b1<t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 3000,0
p = 0,001
q = 0,01
c1 = -0,5
a1 = 8,0
b1 = 37,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 196
Numero di chiamate di funzione: 1570
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
a1
b1
Stima
634,467
0,00536183
0,0252312
-0,465357
18,4023
33,7625
Errore standard
asintotico
250,802
0,00191787
0,0081564
0,0462128
1,06293
1,08335
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
1,10252E6
Residuo
625,577
Totale
1,10314E6
Totale (Corr.) 305059,
G.l.
6
53
59
58
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
131,422
0,00151507
0,00887151
-0,558049
16,2703
31,5895
Media dei quadrati
183753,
11,8033
R-quadrato = 99,7949 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,7756 percento
Errore standard della stima = 3,4356
Errore assoluto medio = 2,71747
Statistica di Durbin-Watson = 0,802798
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,593637
Analisi dei residui
Stima
n
59
MSE
11,8033
MAE
2,71747
MAPE 11,8567
ME
-0,147438
MPE
-8,34841
224
Convalida
95,0%
superiore
1137,51
0,00920859
0,0415909
-0,372666
20,5343
35,9354
Grafico VII.15 Applicazione di GBM con uno shock rettangolare linea SCENERY
GBM co n u n o sh o ck rettang o lare
300
SCENERY cum
250
200
150
100
50
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VII.16 Residui del GBM con shock rettangolare linea SCENERY
Grafic o dei residui
Residuo studentizzato
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
0
50
10 0
15 0
20 0
pre v isto S CE NERY c um
25 0
30 0
Il miglioramento nell‟adattamento del modello esteso rispetto al modello di Bass standard è
notevole, come si evince anche da un R-quadrato che risulta pari a 0,997949. Il numero di
iterazioni è stato posto pari a 200 al fine di ottenere la convergenza della somma residua dei
quadrati nel processo di stima; tuttavia, il modello sembra mantenere una certa struttura e gli
intervalli di confidenza dei parametri stimati non sono troppo ampi. La stima di m indica un
mercato potenziale corrispondente a 634, un valore abbastanza verosimile. Le stime per i
parametri p e q sono invece, rispettivamente pari a 0,00536 e 0,02523, per un rapporto
pari a
4,7 che indica una quota asintotica di innovatori attorno al 36%.
225
Le stime dei parametri relativi allo shock (a1, b1 e c1) individuano a1 attorno al tempo t=18
(giugno 2008); b1 invece viene individuato attorno al tempo t=33 (settembre 2009); infine, c1
risulta pari a -0,465, avvalorando l‟intensità negativa dell‟impulso, che è ulteriormente
confermata da un intervallo di confidenza compreso tra due valori negativi.
La statistica di Durbin-Watson è stimata a un valore attorno a 0,803 ed evidenzia un certo
peggioramento rispetto a quanto osservato nel modello di Bass standard, illustrato anche nella
rappresentazione grafica dei residui, che appaiono meno correlati tra loro.
Il guadagno relativo in termini di miglioramento del passaggio dal modello di Bass standard al
GBM con uno shock rettangolare, misurato dal coefficiente di correlazione multipla al quadrato
̃ , risulta pari a ̃ =
= 0,76, una cifra che supera la soglia di accettabilità (0,5).
Si è inteso procedere comunque al calcolo di F, che risulta invece pari 13,44, corrispondente
anch‟esso a un esito maggiore rispetto alla soglia di accettabilità (pari a 4).
Il grafico sottostante propone un confronto tra dati istantanei e previsioni sul ciclo di vita della
linea SCENERY risultanti dall‟applicazione del GBM con uno shock rettangolare e del GBM con
uno shock esponenziale antecedentemente esposto; da tale rappresentazione si evince come
entrambi i modelli suggeriscano un collocamento della linea di cucine SCENERY in una fase
ancora crescente del proprio ciclo di vita. Il GBM con shock rettangolare identifica la flessione
nelle vendite in un periodo nettamente più ristretto a quello posto come obiettivo d‟analisi.
Un‟osservazione che si può avanzare sul GBM con uno shock esponenziale è che tuttavia
anch‟esso coglie in parte la flessione che interessa il periodo maggiormente colpito dalla crisi.
226
Grafico VII.17 Valori osservati e valori previsti dal GBM con shock esponenziale e dal GBM con shock
rettangolare linea SCENERY
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbasse1)
DIFF(PREDbassr1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Si è quindi deciso di procedere all‟affinamento del modello esposto attraverso l‟implementazione
di un modello SARMA, di cui sono riportati i risultati e i grafici corrispondenti.
(b)
Previsione - SCENERY cum-PREDbassr1
Variabile: SCENERY cum-PREDbassr1
Numero di osservazioni = 59
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,09717
1,48532
Convalida
Periodo
0,0777068
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
1,56188
0,101167
AR(2)
-0,725221 0,102405
MA(1)
1,00573
0,0158668
SAR(1)
1,3897
0,0680492
SMA(1)
1,3546
0,0976394
t
15,4387
-7,08188
63,3859
20,4219
13,8735
P-value
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
227
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 4,65298 con 54 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,15708
Numero di iterazioni: 15
Grafico VII.18 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12
SCENERY cum -PREDbassr1negativo
Grafico delle sequenze temporali per SCENERY cum-PREDbassr1negativ o
ARIM A(2,0,1)x(1,0,1)12
15
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
11
7
3
-1
-5
-9
0
20
40
60
80
Grafico VII.19 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12
Autocorrelazioni dei residui per adattate SCENERY cum-PREDbassr1negativ o
ARIM A(2,0,1)x(1,0,1)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
4
8
12
16
20
lag
In seguito a opportune de-parametrizzazioni dal modello di affinamento58, calcolato seguendo la
consueta procedura (SCENERY cum-PREDbassr1)59, è stato ottenuto un modello configurato
58
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
228
come un ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12; questo identifica una componente autoregressiva pari a 2, una
componente media mobile pari a 1, e due componenti stagionali per la parte autoregressiva e
media mobile, entrambe pari a 1, evidenziando un certo contributo stagionale, che risulta
statisticamente significativo dalla lettura dei corrispondenti valori di P-value e statistiche t.
Come si può notare dalla rappresentazione grafica, il modello appare discretamente ben centrato.
La riduzione della varianza residua osserva, passando da 625,577 a 251,26, una riduzione del 60%
circa.
I coefficienti di autocorrelazione dei residui ai vari lag, come si evince dal grafico corrispondente
(Grafico VII.19), rientrano tutti all‟interno dei limiti di probabilità indicati dal livello di
confidenza al 95%.
Di seguito è riportata la rappresentazione grafica che permette il confronto tra i valori osservati e i
valori previsti, con e senza affinamento SARMA: il GBM con shock rettangolare e affinamento
SARMA dimostra una buona capacità previsionale, suggerendo anch‟esso, come i precedenti
modelli, un trend di vendite future relativamente alte.
Grafico VII.20 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock rettangolare senza e con
affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbassr1+ FORbassr1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
59
Dove SAX cum sta per i valori cumulati, e PREDbassr1 corrisponde ai valori previsti dal GBM con
shock rettangolare.
229
VII.3) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con due shocks
VII.3.A GBM con due shocks esponenziali
È stato sottolineato in precedenza come fosse possibile individuare due shocks esponenziali,
corrispondenti il primo al periodo compreso tra i primi sette mesi dal lancio della linea
SCENERY e il secondo individuabile negli ultimi mesi prima della fine del 2010. Si è pertanto
deciso di applicare ai dati cumulati un GBM con due shocks esponenziali, con l‟obiettivo di
rappresentarli entrambi. Si è partiti dalle stime che sono state utilizzate nell‟elaborazione del
modello generalizzato con uno shock esponenziale, che è stato approfondito nel precedente
capitolo. Tale specificazione è indispensabile poiché, essendo i due GBM nidificati, sarà possibile
avvalersi di strumenti come il coefficiente di correlazione multipla al quadrato per un confronto
tra i due modelli.
I due impulsi sono stati inizialmente stimati attorno ai distinti parametri a1 corrispondenti a
ciascuno dei due GBM con uno shock esponenziale, il primo al tempo t=1 (gennaio 2007), il
secondo attorno a t=40 (aprile 2010). Entrambi gli shocks sono stati considerati di intensità
positiva, il primo ampiamente maggiore rispetto al secondo, (c1 e c2 sono posti rispettivamente
pari a 30 e 1). Quanto ai parametri b1e b2, misure del tempo di smemorizzazione degli shocks in
questione, sono stati posti entrambi di segno negativo e di piccolo valore, pari a -0,3 per il primo
shock e a -0,09 per il secondo.
Di seguito sono esposti gli esiti ottenuti da tale procedura e i grafici corrispondenti.
(a)
Regressione non lineare – basse2
Variabile dipendente: SCENERY cum (z(t))
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <=
t)+(c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))-1)*(a2 <= t))))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))1)*(a1 <= t)+ (c2/b2)*(EXP(b2*(t-a2))-1)*(a2 <= t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 740,0
p = 0,000045
q = 0,04
c1 = 30,0
b1 = -0,3
a1 = 1,0
c2 = 1,0
b2 = -0,09
a2 = 40,0
Metodo di stima: Marquardt
Stima raggiunta per la convergenza della somma residua dei quadrati.
Numero di iterazioni: 59
Numero di chiamate di funzione: 648
230
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
b2
a2
Stima
538,087
0,000150691
0,0368873
19,6837
-0,242505
0,850902
1,03145
-0,174675
40,2284
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
175,319
-0,000426723
0,0267903
-7,05817
-0,326328
-2,20287
0,290798
-0,465708
38,3312
Errore standard
asintotico
180,611
0,000287476
0,00502693
13,3139
0,0417326
1,52038
0,368747
0,144896
0,944529
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
1,10275E6
Residuo
398,281
Totale
1,10314E6
Totale (Corr.) 305059,
G.l.
9
50
59
58
95,0%
superiore
900,855
0,000728105
0,0469842
46,4256
-0,158683
3,90468
1,7721
0,116359
42,1255
Media dei quadrati
122527,
7,96562
R-quadrato = 99,8694 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8486 percento
Errore standard della stima = 2,82234
Errore assoluto medio = 1,96868
Statistica di Durbin-Watson = 1,14308
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,424856
Analisi dei residui
Stima
n
59
MSE
7,96562
MAE
1,96868
MAPE 5,20099
ME
-0,00933333
MPE
-0,040807
Convalida
231
Grafico VII.21 Applicazione di GBM con due shocks esponenziali linea SCENERY
GBM con due shock esponenziali SCENERY
300
SCENERY cum
250
200
150
100
50
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VII.22 Residui del GBM con due shocks esponenziali linea SCENERY
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
50
100
150
200
prev isto SCENERY cum
250
300
Il miglioramento, rispetto al GBM con uno shock esponenziale, dell‟adattamento del modello
esteso con due shocks esponenziali viene misurato dall‟R-quadrato che spiega il 99,8694% della
variabilità, non di molto superiore a quello del modello ridotto. Il mercato potenziale stimato, che
si basa sulla stima di m, risulta uguale a 538, una cifra inferiore rispetto a quella stimata dal
modello con un solo shock (742 circa), che comunque appare credibile. Le stime per i parametri p
e q sono 0,000150691 per il primo e 0,0368873 per il secondo e definiscono un rapporto
232
=
244,8, individuando una quota asintotica di innovatori attorno al 2%, una percentuale decisamente
molto piccola, che si deve probabilmente alla stima non precisa di p, i cui intervalli di confidenza
sono estremamente ampi e comprendono inoltre cambi di segno.
Intervalli di confidenza caratterizzati da un‟ampiezza relativamente grande, e che il più delle volte
è correlata dall‟inclusione del valore 0, è comune anche ai parametri stimati relativi allo shock
(a1, b1, c1, a2, b2, c2). Nel dettaglio, relativamente ai parametri b1 e b2, si nota che, mentre il
primo appare relativamente centrato, con intervalli di confidenza compresi tra due valori negativi,
a riconferma di un effettivo periodo di smemorizzazione, il secondo appare invece più incerto, per
quanto la stima sia comunque negativa, in corrispondenza proprio degli intervalli di confidenza
che invece attestano una relativa difficoltà nella sua individuazione esatta.
Procedendo al calcolo del coefficiente di correlazione multipla al quadrato ̃
=
per
misurare il guadagno relativo del passaggio dal GBM con uno shock al GBM con due shocks
esponenziali, risulta come ̃ sia pari a 0,49, ovvero un numero estremamente vicino alla soglia
di accettabilità e di difficile interpretazione. Si è quindi proseguito con il calcolo di F, al fine di
trovare un‟interpretazione più chiara; il risultato ottenuto è stato
=
(
)(
(
)
)
= 4,1. Anche in
questo caso si tratta di un numero che si colloca come borderline sulla soglia di accettabilità, il
che porta a dedurre che il secondo shock probabilmente non esista e si stia assistendo
semplicemente a un ripresa della crescita delle vendite.
Nel grafico riportato di seguito si propone un confronto tra i dati istantanei e le previsioni
realizzate dal modello applicato GBM con uno e con due shocks esponenziali (rispettivamente
linea rossa e rosa). Da tale rappresentazione, si evince che il GBM con due shock esponenziali
sembrerebbe prevedere una crescita futura delle vendite meno marcata rispetto al modello
generalizzato con un unico shock.
233
Grafico VII.23 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno e due shocks esponenziali linea SCENERY
Grafico X-Y mu ltip lo
15
Variab ili
SCENERY ist
DIFF (PREDb asse1)
DIFF (PREDb asse2)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Un‟ultima osservazione va fatta in merito alla statistica di Durbin-Watson, che risulta pari a 1,14,
indicando una poca correlazione dei residui, come dimostrato anche nel Grafico VII.22 Residui
del GBM con due shocks esponenziali linea SCENERY”. Procedendo infatti all‟implementazione
di un affinamento del GBM con due shock attraverso l‟utilizzo di un modello ARMA, si sono
incontrate alcune difficoltà. Di seguito sono riportati i risultati dell‟affinamento.
(b)
Previsione - (SCENERY cum-PREDbasse2)
Variabile: (SCENERY cum-PREDbasse2)
Numero di osservazioni = 59
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(3,0,2)x(3,0,4)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
1,29867
0,851005
Convalida
Periodo
0,0299089
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std.
AR(1)
0,487268 0,12938
AR(2)
0,71507
0,085606
AR(3)
-0,652369 0,115472
234
t
3,76617
8,35303
-5,64957
P-value
0,000461
0,000000
0,000001
MA(1)
0,187955 0,0846991 2,21909
0,031345
MA(2)
0,871849 0,127429
6,84187
0,000000
SAR(1)
0,30834
0,114772
2,68655
0,009949
SAR(2)
0,549635 0,13061
4,20823
0,000115
SAR(3)
0,893839 0,126535
7,06396
0,000000
SMA(1)
0,114804 0,164546
0,697701 0,488801
SMA(2)
0,482035 0,10624
4,53723
0,000040
SMA(3)
0,578312 0,194432
2,97436
0,004623
SMA(4)
0,853667 0,0954125 8,94712
0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 2,93119 con 47 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 1,71207
Numero di iterazioni: 29
Grafico VII.24 Sequenze temporali processo ARIMA(3,0,2)x(3,0,4)12
Grafico delle sequenze temporali per (SCENERY cum-PREDbasse2)
ARIM A(3,0,2)x(3,0,4)12
(SCENERY cum -PREDbasse2)
9
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
6
3
0
-3
-6
-9
0
20
40
60
80
Grafico VII.25 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(3,0,2)x(3,0,4)12
Autocorrelaz ioni dei residui per adattate (SCENERY cum-PREDbasse2)
ARIM A(3,0,2)x(3,0,4)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
4
8
12
16
20
lag
235
Ancora una volta si è lavorato al netto dei residui diretti, calcolati con la formula (SCENERY
cum-PREDbasse2), dove SCENERY cum sta per i valori cumulati, e PREDbasse2 corrisponde ai
valori previsti dal GBM con due shocks esponenziali. Il processo di de-parametrizzazione delle
componenti in conformità alla loro significatività statistica ha prodotto un modello
ARIMA(3,0,2)x(3,0,4)12 senza costante. A questo proposito dobbiamo aggiungere che, al fine di
ottenere una maggiore centratura del modello, si è iniziata la de-parametrizzazione da un modello
iniziale corrispondente a ARIMA(4,0,4)x(4,0,4)12+costante. Questo modello osserva quindi una
componente autoregressiva pari a 3, una componente media mobile pari a 2, una componente
stagionale per la parte autoregressiva pari a 3 e una componente stagionale per la parte media
mobile pari a 4, evidenziando un contributo stagionale rilevante.
I valori di P-value e le statistiche t corrispondenti a ciascuna componente comprovano la
significatività statistica di ciascun parametro. La riduzione della varianza residua che si è ottenuta
con tale modello è stata pari a 65% circa, passando da un valore di 398,281 nel modello “puro” a
un valore pari a 137,76 nel modello con affinamento. Dal grafico rappresentante le
autocorrelazioni stimate dei residui ai vari lag, risulta come uno dei coefficienti di
autocorrelazione, corrispondente al lag 12, sia statisticamente significativo in corrispondenza di
un livello di confidenza del 95%.
Il grafico riportato di seguito fornisce un confronto tra i dati istantanei e previsti senza e con
affinamento SARMA, da cui si evince una discreta capacità previsionale di quest‟ultimo,
soprattutto per quanto riguarda l‟area interessata dal secondo shock esponenziale. Sbaglia invece
nella stima segnalando valori negativi al tempo t=26 e t=68 (febbraio 2009 e agosto 2012).
Grafico VII.26 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con due shock esponenziali senza e con
affinamento ARIMA
Grafico X-Y mu ltip lo
15
Variab ili
SCENERY ist
DIFF (PREDb asse2)
PREDb asse2+F ORb asse2)
11
7
3
-1
0
12
24
36
48
60
mesi
236
72
84
96
108
VII.4) Il modello di Bass generalizzato (GBM) con shock misti
Nello studio dei modelli precedentemente sviluppati si è visto come siano consistenti sia lo shock
esponenziale che le vendite di cucine della linea SCENERY osservano al momento della loro
commercializzazione, sia lo shock rettangolare dovuto agli effetti della crisi economica e
finanziaria. Volendo rappresentare congiuntamente tali impulsi, si è quindi deciso di
implementare un modello di Bass generalizzato con uno shock misto, un esponenziale e un
rettangolare60.
È stato preso, come riferimento per l‟elaborazione delle stime, il GBM con uno shock
rettangolare, che pertanto risulta nidificato in questo GBM esteso. Nello specifico, per quanto
concerne le stime iniziali dei parametri relativi i due shock, si è proceduto come segue:

Lo shock esponenziale è stato identificato di intensità positiva (c1 pari a 1), con momento
iniziale dello shock al tempo t=2 (febbraio 2007) e con un b1 di piccole dimensioni e
negativo (-0,1), come misura del tempo di smemorizzazione dello shock.

Lo shock rettangolare è stato invece trattato come shock negativo (c1 pari a -0,5),
compreso tra il tempo t=18e t=35, corrispondenti al mese di giugno 2008 e novembre
2009.
Di seguito si riportano i risultati di tale applicazione e le corrispondenti rappresentazioni grafiche.
(a)
Regressione non lineare – basse1r1
Variabile dipendente: SCENERY cum (z(t))
Variabili indipendenti: t
Funzione da stimare: m*(1-EXP(-(p+q)*(t+(c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))-1)*(a1 <= t)+c2*(ta2)*(a2<=t)*(t<=b2)+c2*(b2-a2)*(b2<t))))/(1+(q/p)*EXP(-(p+q)*(t+ (c1/b1)*(EXP(b1*(t-a1))1)*(a1 <= t)+ c2*(t-a2)*(a2<=t)*(t<=b2)+ c2*(b2-a2)*(b2<t))))
Stime dei parametri iniziali:
m = 670,0
p = 0,005
q = 0,0242
c1 = 1,0
b1 = -0,1
a1 = 2,0
c2 = -0,5
a2 = 18,0
b2 = 35,0
Metodo di stima: Marquardt
60
La formula del modello di Bass generalizzato con shock esponenziale e rettangolare è:
(
)
; per ulteriori approfondimenti su tale modello si rimanda all‟Introduzione
statistica.
237
Stima raggiunta per la convergenza delle stime dei parametri.
Numero di iterazioni: 11
Numero di chiamate di funzione: 123
Risultati della stima
Parametro
m
p
q
c1
b1
a1
c2
a2
b2
Stima
433,227
0,00277407
0,0481187
6,84971
-0,602114
4,26825
-0,540426
22,9238
32,5682
Errore standard
asintotico
42,1736
0,000778864
0,0057257
2,5335
0,228106
0,584791
0,0743836
1,00096
0,854501
Analisi della varianza
Sorgente
Somma dei quadrati
Modello
1,10278E6
Residuo
363,726
Totale
1,10314E6
Totale (Corr.) 305059,
G.l.
9
50
59
58
Intervallo di confidenza al
asintotico
inferiore
348,519
0,00120967
0,0366183
1,76101
-1,06028
3,09366
-0,68983
20,9133
30,8519
Media dei quadrati
122531,
7,27452
R-quadrato = 99,8808 percento
R-quadrato (adattato per g.l.) = 99,8617 percento
Errore standard della stima = 2,69713
Errore assoluto medio = 1,99507
Statistica di Durbin-Watson = 1,17792
Autocorrelazione residua al lag 1 = 0,408118
Analisi dei residui
Stima
n
59
MSE
7,27452
MAE
1,99507
MAPE 4,51321
ME
0,0799168
MPE
1,13102
238
Convalida
95,0%
superiore
517,936
0,00433846
0,0596191
11,9384
-0,143949
5,44283
-0,391021
24,9343
34,2845
Grafico VII.27 Applicazione di GBM con uno shock misto linea SCENERY
GBM con uno shock esponenziale e rettangolare
300
SCENERY cum
250
200
150
100
50
0
0
12
24
36
48
60
72
84
mesi
Grafico VII.28 Residui del GBM con shock misto linea SCENERY
Grafico dei residui
Residuo studentizzato
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
50
100
150
200
prev isto SCENERY cum
250
300
L‟adattamento del GBM con shock esponenziale e rettangolare è misurato da un R-quadrato pari a
0,998808 ed esprime un sensibile miglioramento rispetto al GBM con uno shock rettangolare. Il
parametro m, mercato potenziale, corrisponde a una stima pari a circa 433, una cifra che si
dimostra in linea anche con i mercati potenziali stimati per le altre linee di cucine.
I parametri p e q sono stimati rispettivamente pari a 0,00277407 e 0,0481187 e individuano, con
un rapporto
pari a 17,35, una quota asintotica di innovatori compresa tra il 15-24%, percentuale
che rientra nella media che si individua generalmente per la maggior parte dei prodotti.
Per quanto concerne la stima dello shock esponenziale, si nota che questo viene stimato con
un‟intensità superiore a quella prevista all‟inizio (c1 = 6,85); per quanto concerne il momento
239
iniziale dello shock, a1 viene individuato attorno al tempo t=4, corrispondente al mese di aprile
2007; il parametro b1 viene identificato, secondo le previsioni, come un periodo di
smemorizzazione dello shock, il cui valore è stimato a -0,6.
Si osserva, nello specifico dei parametri corrispondenti allo shock rettangolare, che le stime finali
eseguite dal modello non differiscono particolarmente dalle stime iniziali ipotizzate. Il parametro
c2 (-0,54), misura dell‟intensità dell‟impulso, conferma la natura negativa dello shock delle
vendite, flessione che viene compresa nel periodo intercorrente tra a2 e b2, corrispondenti al mese
di ottobre/novembre 2008 e agosto 2009.
Gli intervalli di confidenza per ciascuno dei nove parametri risultano tutti relativamente stretti,
conferendo una struttura discretamente stabile al modello. Viene calcolato anche per questo
modello il coefficiente di correlazione multipla al quadrato, al fine di ponderare il guadagno
relativo del passaggio dal modello di Bass generalizzato con uno shock rettangolare al modello
esteso con shock misti; il risultato ottenuto è stato il seguente: ̃ =
= 0,42, una
cifra che non supera la soglia di accettabilità (pari a 0,5). Lo stesso esito si ottiene dal
corrispondente calcolo di F, effettuato con l‟obiettivo di pesare i parametri aggiuntivi del modello
esteso, che fornisce tale risultato:
=
(
)(
(
)
)
= 3,5. Si tratta di un valore che, ancora una
volta, non supera la soglia di accettabilità (pari a 4), evidenziando il fatto che il modello ha
difficoltà nel considerare il secondo shock.
La statistica di Durbin e Watson risulta pari a 1,999507, misurando un peggioramento nella
correlazione dei residui quasi del doppio rispetto al GBM con uno shock rettangolare.
Il grafico che segue mette a confronto i dati istantanei e le previsioni sul ciclo di vita della linea
SCENERY evidenziata dal modello applicato GBM con shocks misti, posto a confronto con il
modello di Bass generalizzato con uno shock rettangolare. Invece, nel Grafico VII.30, è stata
riprodotta una rappresentazione grafica dei distinti modelli che sono stati presi in esame nei
precedenti capitoli.
240
Grafico VII.29 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno shock rettangolare e dal GBM con shock
misto linea SCENERY
Grafico X-Y multiplo
15
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbassr1)
DIFF(PREDbasse1r1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Grafico VII.30 Confronto tra valori previsti dai distinti modelli linea SCENERY
Grafico X-Y mu ltip lo
Variab ili
SCENERY ist
DIFF (PREDb ass1)
DIFF (PREDb asse1)
DIFF (PREDb assr1)
DIFF (PREDb asse2)
DIFF (PREDb asse1r1)
18
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
Nel confronto possiamo osservare come tutti i modelli applicati stiano a indicare che ci si colloca
in una fase di ciclo ancora iniziale. Si possono distinguere principalmente due tendenze: il BM e il
GBM con shock esponenziale e rettangolare tendono a suggerire una crescita in futuro molto
pronunciata, mentre i rimanenti modelli di Bass generalizzati (con uno shock rettangolare, uno
shock esponenziale e due shock esponenziale) predicono invece una crescita che arriverà presto a
un culmine, per poi proseguire lentamente verso la chiusura del ciclo di vita della SCENERY.
Si procede quindi all‟affinamento del modello di Bass generalizzato con shock esponenziale e
rettangolare; di seguito sono riportati i risultati e i grafici relativi.
241
(b)
Previsione - SCENERY cum-PREDbasse1r1 da gbmr1
Variabile: SCENERY cum-PREDbasse1r1
Numero di osservazioni = 59
Indice iniziale = 1,0
Intervallo di campionamento = 1,0
Lunghezza della stagionalità = 12
Sintesi della previsione
Modello di previsione selezionato: ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12
Numero di previsioni generate: 12
Numero di periodi trattenuti per convalida: 0
Statistica
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
Stima
Periodo
2,25197
1,61505
Convalida
Periodo
-0,187303
Sintesi del modello ARIMA
Parametro Stima
Errore std. t
P-value
AR(1)
-0,226788 0,225806
-1,00435 0,319690
AR(2)
0,599352 0,129242
4,63744 0,000023
MA(1)
-0,789819 0,246487
-3,20431 0,002273
SAR(1)
1,32004
0,119364
11,059
0,000000
SMA(1)
1,26723
0,171794
7,37647 0,000000
Previsione storica: sì
Varianza stimata di rumore bianco = 5,16403 con 54 gradi di libertà
Deviazione standard stimata di rumore bianco = 2,27245
Numero di iterazioni: 10
Grafico VII.31 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12
Grafico delle sequenze temporali per SCENERY cum-PREDbasse1r1-1
ARIM A(2,0,1)x(1,0,1)12
SCENERY cum -PREDbasse1r1-1
11
attuale
prev isione
Lim iti al 95,0%
7
3
-1
-5
-9
-13
0
242
20
40
60
80
Grafico VII.32 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12
Autocorrelazioni dei residui per adattate SCENERY cum-PREDbasse1r1-1
ARIM A(2,0,1)x(1,0,1)12
1
Autocorrelazioni
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
4
8
12
16
20
lag
Lavorando al netto dei residui diretti, con la formula (SCENERY cum-PREDbasse1r1), indicando
con SCENERY cum i valori cumulati e con PREDbasse1r1 corrispondente ai valori previsti dal
GBM con shock esponenziale e rettangolare, si è ottenuto il modello definitivo, risultato dalle deparametrizzazioni eseguite nel rispetto della significatività statistica di ciascun parametro61,
ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12 senza costante.
Tale modello individua una componente autoregressiva pari a 2, una componente media mobile
pari a 1 e due componenti stagionali, corrispondenti alla parte autoregressiva e alla parte media
mobile, entrambe pari a 1.
I valori dati dai P-value e dalle statistiche t corrispondenti a ciascuna componente avvalorano la
loro significatività statistica; graficamente il modello appare inoltre ben centrato. Grazie
all‟implementazione dell‟affinamento SARMA si è osservata una riduzione della varianza residua
del 23% circa, che da 363,726 è scesa a 278,85.
Per quanto riguarda la rappresentazione grafica del test realizzato sull‟autocorrelazione dei residui
ai diversi lag, si nota che i coefficienti di autocorrelazione dei residui risultano rientrare tutti nei
limiti di probabilità individuati con livello di confidenza al 95%.
Viene riportata quindi di seguito la rappresentazione grafica che pone a confronto dati istantanei e
previsioni del modello di Bass generalizzato con shock misti con e senza affinamento SARMA.
61
Il modello iniziale consisteva in ARIMA(2,0,2)x(2,0,2)12+costante; si è proceduto quindi
all‟eliminazione dei parametri statisticamente non significativi, cui corrispondeva un P-value maggiore di
0,05 e una statistica t compresa tra ±2.
243
Dalla rappresentazione si evince una buona capacità previsionale del modello con affinamento, il
quale sembra suggerire una certa variabilità nel trend di vendite previste per il prossimo anno, che
tuttavia si mantengono in crescita su un valore medio relativamente alto.
Grafico VII.33 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock esponenziale e rettangolare senza e
con affinamento ARIMA
Grafico X-Y multiplo
15
12
9
6
Variabili
SCENERY ist
DIFF(PREDbasse1r1)
DIFF(FORbasse1r1)
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
VII.5) Conclusioni
VII.5.A Confronto tra modelli
Viene proposta di seguito una sintesi dei modelli che sono stati implementati nell‟analisi dei dati
di vendita relativi alla linea SCENERY con l‟obiettivo finale di un confronto conclusivo.
Come già argomentato, abbiamo trovato serie difficolta nel trattamento dei dati relativi la linea
SCENERY e l‟applicazione dei modelli BM e GBM: questa difficoltà è dipesa fondamentalmente
dal fatto che si tratta dell‟unica linea di cucine (tra quelle da noi analizzate) i cui dati partono dal
2007. Le complicazioni generate dalla relativa scarsità dei dati è stata aggravata inoltre dalla
situazione economico-finanziaria che ha interessato il globo, proprio a distanza di sette mesi daln
lancio della linea.
La tabella schematica sottostante riporta gli R2 e i dati relativi la varianza residua (risultato dei
corrispettivi affinamenti con modelli della famiglia ARMA) corrispondenti all‟applicazione dei
vari modelli di Bass, semplice e generalizzato ai dati cumulati.
Tabella VII-2Confronto coefficienti di determinazione dei modelli analizzati e della varianza residua
Modelli
BM
244
R-quadrato
Varianza residua
99,1426%
382
GBMe1
99,7418%
215,37
GBMr1
99,7949%
251,26
GBMe2
99,8694%
137,76
GBMe1r1
99,8808%
278,85
Il modello che meglio si è adattato ai dati a nostra disposizione è stato il GBM con shock misti, un
esponenziale e un rettangolare, che presenta un R2 pari a 0,998808. La varianza residua, derivante
da un affinamento ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12 senza costante, risulta pari a 278,85 (una riduzione
del 23% rispetto al modello “puro”).
Questo GBM con shock misto è stato creato sulla base dei risultati ottenuti dal GBM con uno
shock rettangolare, pertanto si è proceduto ad un confronto anche in considerazione di tale
caratterizzazione. Tuttavia il confronto risulta non essere positivo: ̃ =
:
=
(
)(
(
)
)
= 0,42 e
= 3,5. In base a tali valori, il primo shock sembra non assumere particolare
rilevanza. IL grafico sottostante riporta il confronto tra i due modelli.
Grafico VII.34 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno shock rettangolare e uno shock misto
Grafico X-Y mu ltip lo
15
Variab ili
SCENERY ist
DIFF (PREDb assr1)
DIFF (PREDb asse1r1)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
La differenza è comunque sostanziale nelle previsioni che fanno riferimento ai due modelli:
mentre il GBM con uno shock rettangolare prevede un andamento delle vendite future che
gradualmente si avvicina a una decrescita, il GBM con shock misto suggerisce invece un
andamento crescente molto pronunciato.
245
Per quanto riguarda le previsioni risultanti dall‟affinamento di entrambe i GBM con modelli della
famiglia ARMA, il grafico sottostante riporta il confronto tra valori osservati e valori previsti dai
due modelli affinati.
Grafico VII.35 Confronto tra valori osservati e valori previsti dall'affinamento ARMA dei GBM con uno shock
rettangolare e con uno shock misto
Grafico X-Y mu ltip lo
19
Variab ili
D IFF (PR ED b assr1+ F OR bassr1)
D IFF (PR ED b asse1r1+ FOR b asse1r1)
15
11
7
3
-1
0
12
24
36
48
60
72
84
mesi
Le previsioni corrispondenti ai due GBM affinati risultano relativamente precise nella loro
capacità di previsione e suggeriscono ad ogni modo entrambe un trend che si stabilizzerà attorno a
valori medi in rialzo rispetto al trend influenzato dalla flessione delle vendite.
Dal grafico conclusivo, che mette a confronto tutti i modelli utilizzati, si evince che solo il GBM
con shock misto, assieme al modello di Bass standard, prevede una crescita molto pronunciata
delle vendite future; al contrario, gli altri modelli applicati osservano un trend pur sempre in
crescita, ma che prevede una chiusura del ciclo di vita che dagli altri due modelli non è
osservabile nell‟orizzonte temporale considerato.
246
Grafico VII.36 Confronto tra i diversi modelli implementati
Grafico X-Y mu ltip lo
Variab ili
SCENERY ist
DIFF (PREDb ass1)
DIFF (PREDb asse1)
DIFF (PREDb assr1)
DIFF (PREDb asse2)
DIFF (PREDb asse1r1)
18
15
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
60
mesi
72
84
96
108
247
VIII) Confronto tra linee di cucine
VIII.1) Confronto sui dati cumulati e istantanei delle quattro linee di
cucine analizzate
Ci siamo proposti di sviluppare un confronto tra le diverse linee come conclusione finale di
questo elaborato, prestando particolare attenzione ai valori istantanei osservati, agli andamenti dei
dati cumulati e sviluppando i modelli, che meglio si sono adattati ai dati di ciascuna linea di
cucine, per un analisi comparativa completa.
Grafico VIII.1Valori cumulati a confronto delle diverse linee di cucine
Grafico X-Y multiplo
400
Variabili
SAX cum
CRYSTAL cum
TESS cum
SCENERY cum
300
200
100
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
mesi
Dall‟analisi delle vendite cumulate è possibile fare alcune osservazioni per coppie di linee: mentre
Tess e Crystal presentano un andamento relativamente simile che sembra portare verso una certa
stazionarietà dei valori cumulati; al contrario, Sax e Scenery, sono caratterizzate entrambe da un
andamento iniziale più stazionario, che tuttavia si inverte attorno al tempo t=48, come si evince
dal grafico relativo, per adottare un trend crescente decisamente più pronunciato.
I dati relativi alle vendite istantanee, con rilevazione su base mensile, sono stati opportunamente
suddivisi in coppie per il confronto. La linea Tess e Crystal sono state confrontate congiuntamente
in quanto presentano caratteristiche comuni: entrambe le linee, i cui dati fanno riferimento al
periodo compreso tra gennaio 2005 e novembre 2011, presentano una struttura che, già da una
prima analisi dei dati istantanei, denota la tipica forma a “campana” che suggerisce un di ciclo di
vita del prodotto in chiusura.
248
Grafico VIII.2 Valori osservati Tess e Crysta a confronto
Co nfro n to d ati o sserv ati linee CRYST AL e TESS
12
Variab ili
d iff(CRYSTAL cum )
d iff(T ESS cu m)
10
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Sono stati invece analizzati assieme i dati istantanei delle linee Sax e Scenery in quanto ambedue
presentano un andamento che suggerisce una crescita futura delle vendite. La Scenery in
particolare è una linea di cucine relativamente nuova, l‟unica i cui dati di riferimento partono dal
gennaio 2007. Mentre la Sax ha osservato un aumento delle crescite proprio in prossimità della
crisi, in conseguenza principalmente dei suoi prezzi relativamente contenuti, la Scenery, che
inizialmente è entrata con grande forza nel mercato, ha subito maggiormente gli effetti della crisi
a partire sin da agosto del 2007. Tuttavia, a partire dall‟autunno del 2010, ha sperimentato
nuovamente una crescita delle vendite, che anche dalle previsioni, sembra essere un evento
destinato a perdurare nel tempo.
Grafico VIII.3 Valori osservati Sax e Scenery a confronto
Grafico X-Y mu ltip lo
18
15
Variab ili
d iff(SAX cu m)
d iff(SCENERY cu m)
12
9
6
3
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
249
VIII.2) Confronto tra i modelli migliori
Confrontiamo ora quelli che si sono rivelati essere i modelli migliori per le quattro diverse cucine.
Come possiamo notare nel Grafico VIII.4le dinamiche di diffusione delle quattro diverse cucine
sono molto differenti e spiegabili al meglio in maniere altrettanto diverse.
Analizzando i grafici alla ricerca di quello che potrebbe essere un comportamento comune e
quindi dovuto a dei fenomeni congiunturali che hanno coinvolto le vendite nel loro insieme62.
Tale identificazione risulta essere molto difficile in quanto risulta ostico anche solo trovare degli
intervalli locali in cui le vendite dei quattro modelli si muovono in maniera simile. Nel corso del
2010 le 4 cucine sembravano aver imboccato una leggera crescita63 ma questa si è subito
affievolita portando le cucine Crystal e Tess verso la fine del suo ciclo di vita. La cucina Sax che
sembra qui essere in forte calo, invece sembra non essere ancora in fase di chiusura come
dimostrato dal altre applicazioni alla serie (paragrafo VI).
Grafico VIII.4. Confronto modelli migliori finale
10
Variabili
diff(PREDtess)
diff(PREDcrystal)
diff(PREDsax)
diff(PREDscenery)
8
6
4
2
0
0
12
24
36
48
mesi
60
72
84
96
Dal grafico risulta ardua anche l‟individuazione di un pattern comune in coincidenza della crisi
economica del 2007-2008 che sembra aver colpito in maniera differente i vari processi di vendita.
Il modello Scenery, lanciato nel 2007, nel bel mezzo della crisi ha conosciuto, nonostante la
congiuntura una primissima fase di vendita (7 mesi) molto buona ma ha poi incontrato maggiori
difficoltà. Ricordiamo che si tratta di un modello molto costoso e che quindi le dinamiche che
62
Possono essere questi causati sia dalla crisi economica globale che dalle sue conseguenze, e fattori
esogeni all‟azienda che da problemi interni all‟impresa stessa.
63
Ricordiamo che per la Tess era stato identificata una ripresa delle vendite a seguito del restyling del 2010
che poi non è stato possibile estrapolare mediante l‟inserimento di uno shock locale. Questo insuccesso era
causato da un comportamento successivo piuttosto negativo e dalla minore rilevanza relativa di tale shock
rispetto agli altri presenti nel PLC.
250
hanno influenzato il mercato di riferimento di tale modello possono essere più resilienti rispetto a
quelle che hanno interessato dei mercati meno ricchi.
Per quanto riguarda il numero di pezzi venduti vediamo come tutte e quattro le linee si attestano
su dei valori grossomodo simili. E‟ interessante notare, in questo frangente, come ognuna della
cucine abbia conosciuto un proprio periodo di maggior successo rispetto alle altre. Questo
successo a fasi alterne può essere correlato alle dinamiche relative alle campagne pubblicitarie e
ai gusti dei consumatori. A tal proposito notiamo come in una prima fase le maggiori vendite
abbiano riguardato la Crystal e la Tess, e come queste sembrino essere state sostituite nelle
preferenze dei consumatori dalle cucine Sax e Scenery. Soprattutto per quanto riguarda la Crystal
e la Scenery, abbiamo avuto conferma di tale sospetto al punto vendita Scavolini di Padova dove
ci è stata chiarito che la somiglianza tra i due modelli, consistente in superfici di vetro, ha fatto si
che la Scenery erodesse quote di mercato alla Crystal.
VIII.3) Commento finale
La presente analisi rappresenta un punto di partenza molto interessante per lo studio di dinamiche
di vendita di prodotti con cicli di vita limitati nel tempo.
Gli strumenti qui utilizzati sono piuttosto semplici ma permettono di ottenere dei risultati
straordinariamente verosimili anche grazie all‟utilizzo di un software commerciale come
Statgraphics Centurion XVI64. Tale programma è stato in alcune applicazioni limitante, per la sua
incapacità di elaborare stime molto complesse, ma tale limitazione non è stata un grande ostacolo
alla nostra analisi.
I risultati ottenuti sembrano inquadrare molto bene le dinamiche di vendita e chi scrive è sicuro
che l‟utilizzo di questo tipo di strumenti possa essere di arricchimento per molte imprese.
64
Qui usato nelle sue versioni 16.1.11 e 16.1.15.
251
Ringraziamenti
Ringraziamo per l‟aiuto fornitoci in sede di stesura della presente analisi il Prof. Guseo Renato e
la Dott.ssa Guidolin Mariangela.
252
Indice delle figure
Figura 1. http://www.esteri.it/rapporti/pdf/estonia.pdf ................................................................... 26
Figura 2. http://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=234 .............................. 28
Figura 3. http://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=151 .............................. 29
Figura 4. ://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=239 .................................... 30
Figura 5. http://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=76 ................................ 31
Figura 6. ://www.sace.it/CountryRiskFlash/jsp/showPdf.pdf?mapld=156 .................................... 34
Indice delle Tabelle
Tabella IV-1 Vendite mensili del modello Scavolini CRYSTAL nel periodo gennaio 2005novembre 2011 ............................................................................................................................... 46
Tabella IV-2 Confronto dei coefficienti di determinazione dei modelli analizzati e della varianza
residua ............................................................................................................................................ 84
Tabella V-1. Vendite mensili del modello Scavolini Tess nel periodo 2005-2011. ....................... 90
Tabella V-2. Aggregazione dati di vendita su base annuale........................................................... 91
Tabella V-3. Aggregazione dati di vendita mensili. ....................................................................... 93
Tabella V-4. Barre dei dati di vendita mensili con di primo (verde) e ultimo (rosso) decile di
valori............................................................................................................................................... 95
Tabella V-5. Confronto coefficienti di determinazione dei modelli analizzati ............................ 143
Tabella V-6. Varianza residua per modello .................................................................................. 143
Tabella VI-1 Vendite mensili del modello Scavolini SAX nel periodo gennaio 2005-novembre
2011 .............................................................................................................................................. 157
Tabella VI-2Confronto coefficienti di determinazione dei modelli analizzati e della varianza
residua .......................................................................................................................................... 201
Tabella VII-1 Vendite mensili del modello Scavolini SCENERY nel periodo gennaio 2007novembre 2011 ............................................................................................................................. 207
Tabella VII-2Confronto coefficienti di determinazione dei modelli analizzati e della varianza
residua .......................................................................................................................................... 244
Indice dei Grafici
Grafico IV.1 Dati osservati di vendite mensili per la linea SAX (gennaio 2005-novembre 2011) 47
Grafico IV.2 Dati osservati delle vendite cumulate della linea CRYSTAL (gennaio 2005 novembre 2011) .............................................................................................................................. 48
Grafico IV.3 Applicazione del modello di Bass Standard linea CRYSTAL .................................. 50
Grafico IV.4 Residui del modello di Bass Standard ....................................................................... 50
Grafico IV.5 Valori osservati e valori previsti dal modello di Bass Standard della linea
CRYSTAL ...................................................................................................................................... 51
Grafico IV.6Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0) ............................................................ 53
253
Grafico IV.7 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0) ............................................................ 54
Grafico IV.8 Confronto tra dati istantanei e previsioni del BM senza e con affinamento ARIMA54
Grafico IV.9 Vendite istantanee e GBM con uno shock rettangolare............................................ 57
Grafico IV.10 GBM con uno shock rettangolare e vendite cumulate ............................................ 58
Grafico IV.11 Residui del GBM con uno shock rettangolare linea CRYSTAL ........................... 58
Grafico IV.12 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0) ......................................................... 59
Grafico IV.13 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0) .......................................................... 60
Grafico IV.14 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBMr1 senza e con affinamento
ARIMA .......................................................................................................................................... 61
Grafico IV.15 Vendite istantanee e GBM con uno shock esponenziale ........................................ 64
Grafico IV.16 GBM con uno shock esponenziale e vendite cumulativa ....................................... 64
Grafico IV.17 Residui del modello di Bass generalizzato con uno shock esponenziale................ 65
Grafico IV.18 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0) ......................................................... 66
Grafico IV.19 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0) .......................................................... 67
Grafico IV.20 Confronto tra dati istantanei e GBMe1 con e senza affinamento ARIMA ............. 67
Grafico IV.21 Confronto tra vendite istantanee, BM, GBMr1 1 GBMe1 ..................................... 68
Grafico IV.22 Vendite istantanee e GBM con due shock esponenziali ......................................... 71
Grafico IV.23 Vendite cumulate e GBM con due shock esponenziali .......................................... 72
Grafico IV.24 Residui del modello GBMe2 .................................................................................. 73
Grafico IV.25 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0) ......................................................... 74
Grafico IV.26 Autocorrelazione dei residui del GBM con due shock esponenziali) ..................... 75
Grafico IV.27 Confronto tra dati istantanei e GBMe2 con e senza affinamento ARIMA ............. 75
Grafico IV.28 Vendite cumulate e GBMe1r1 ................................................................................ 79
Grafico IV.29 Residui riferiti al GBM con uno shock esponenziale e uno rettangolare ............... 79
Grafico IV.30 Confronto tra vendite istantanee e GBMe1r1 ......................................................... 80
Grafico IV.31 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0) ......................................................... 81
Grafico IV.32 Autocorrelazioni dei residui ARIMA (1,0,0) ......................................................... 82
Grafico IV.33 Confronto fra dati istantanei e GBMe1r1 con e senza affinamento ARIMA ......... 83
Grafico IV.34 Confronto tra: dati istantanei, BM, GBMe1r1 con e senza affinamento ARIMA .. 83
Grafico IV.35 Confronto tra BM, GBMr1 e GBMe1 .................................................................... 85
Grafico IV.36 Confronto tra vendite istantanee, GBMe1 e GBMe2 ............................................. 86
Grafico IV.37 Confronto tra dati istantanei, BM, GBMr1, GBMe1, GBMe1r1 ............................ 86
Grafico IV.38 Confronto tra dati istantanei, BM, GBMe2 e GBMe1r1 ........................................ 87
Grafico V.1 Dati di vendita mensili modello Tess, periodo 2005-2011 ........................................ 91
Grafico V.2. FFT applicata ai dati di vendita della cucina Tess .................................................... 94
Grafico V.3 Dati di vendita cumulati nel periodo 2005-2011. ...................................................... 97
Grafico V.4 BM standard e dati cumulati di vendita. .................................................................... 99
254
Grafico V.5 Residui - BM standard. ............................................................................................. 100
Grafico V.6 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante. .................... 102
Grafico V.7 Grafico del test sui residui ........................................................................................ 103
Grafico V.8 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del BM con e senza
affinamento ARIMA. ................................................................................................................... 104
Grafico V.9 GBM con uno shock esponenziale e dati cumulati di vendita. ................................. 109
Grafico V.10 Residui - GMB con uno shock esponenziale. ......................................................... 110
Grafico V.11 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante. .................. 111
Grafico V.12 Test sui residui del processo ARIMA . .................................................................. 112
Grafico V.13 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con uno shock
esponenziale senza e con affinamento ARIMA. .......................................................................... 113
Grafico V.14 GBM con shock rettangolare e dati cumulati. ........................................................ 115
Grafico V.15 Residui – GBM con uno shock rettangolare........................................................... 116
Grafico V.16 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante. .................. 118
Grafico V.17 Test sui residui del processo ARIMA . .................................................................. 118
Grafico V.18 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con uno shock
rettangolare senza e con affinamento ARIMA. ............................................................................ 119
Grafico V.19 GBM con due shock esponenziali e dati cumulati di vendita................................. 121
Grafico V.20 Residui - GBM con due shock esponenziali........................................................... 122
Grafico V.21 Confronto tra differenziazioni di dati cumulati, previsioni del GBM con due shock
esponenziali e GBM con uno shock esponenziale........................................................................ 123
Grafico V.22 Sequenze temporali processo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante. ................. 124
Grafico V.23 Test sui residui del processo SARMA ................................................................... 125
Grafico V.24 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con due shock
esponenziali senza e con affinamento SARMA. .......................................................................... 126
Grafico V.25 GBM con due shock rettangolari e dati cumulati di vendita. ................................. 128
Grafico V.26 Residui - GBM con due shock rettangolari. ........................................................... 129
Grafico V.27 GBM con sue shock rettangolari e dati istantanei di vendita. ................................ 130
Grafico V.28 Sequenze temporali processo SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante. ................. 132
Grafico V.29 Test sui residui del processo SARMA ................................................................... 133
Grafico V.30 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del GBM con due shock
rettangolari senza e con affinamento SARMA(2,0,1)x(1,0,2)12 con costante. ............................ 134
Grafico V.31 Modello Guseo-Guidolin e dati cumulati di vendita. ............................................. 138
Grafico V.32 Modello Gu.-Gu. e dati istantanei di vendita. ........................................................ 139
Grafico V.33 Residui - Modello Guseo-Guidolin ........................................................................ 140
Grafico V.34 Sequenze temporali processo SARMA(1,0,0)x(1,0,1)12 con costante. ................. 141
Grafico V.35 Test sui residui del processo ARIMA . .................................................................. 142
255
Grafico V.36 Confronto tra dati istantanei e differenziazioni di previsioni del modello Gu.-Gu.
senza e con affinamento ARIMA................................................................................................. 142
Grafico V.37. Confronto dati istantanei, previsioni basse1 e bassr1 ........................................... 144
Grafico V.38. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni SARMA sui modelli basse1 e
bassr1 ........................................................................................................................................... 145
Grafico V.39. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni modelli basse2 e bassr2 ...... 145
Grafico V.40. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni processi SARMA su modelli
basse2 e bassr2 ............................................................................................................................. 146
Grafico V.41Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni modelli GuGu e bass1........... 147
Grafico V.42. Confronto tra dati istantanei di vendita e previsioni modelli GuGu, bass1, bassr1 e
bassr2 ........................................................................................................................................... 148
Grafico V.43. Confronto tra dati cumulati di vendita e previsioni modelli GuGu, bass1 e bassr1
nell'intervallo temporale [60,96] .................................................................................................. 149
Grafico V.44. Confronto tra dati cumulati di vendita e previsioni modelli GuGu, bass1 e bassr1
nell'intervallo temporale [24,48] .................................................................................................. 149
Grafico VI.1 Dati osservati di vendite mensili per la linea SAX (gennaio 2005-novembre 2011)
..................................................................................................................................................... 158
Grafico VI.2 Dati osservati delle vendite cumulate della linea SAX (gennaio 2005-novembre
2011) ............................................................................................................................................ 159
Grafico VI.3 Applicazione del modello di Bass standard linea SAX .......................................... 161
Grafico VI.4 Residui del modello di Bass standard linea SAX ................................................... 161
Grafico VI.5 Valori osservati e valori previsti dal modello di Bass standard linea SAX ............ 163
Grafico VI.6 Applicazione del modello di Bass standard linea SAX .......................................... 164
Grafico VI.7 Residui del modello di Bass standard linea SAX ................................................... 164
Grafico VI.8 Valori osservati e valori previsti: confronto tra i due modell di Bass standard linea
SAX ............................................................................................................................................. 165
Grafico VI.9 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0) ......................................................... 168
Grafico VI.10 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0) ........................................................ 169
Grafico VI.11 Confronto tra dati istantanei e previsioni del BM senza e con affinamento ARIMA
..................................................................................................................................................... 170
Grafico VI.12 Applicazione di GBM con uno shock esponenziale linea SAX ........................... 172
Grafico VI.13 Residui del GBM con shock esponenziale linea SAX .......................................... 173
Grafico VI.14 Valori osservati e valori previsti dal BM e dal GBM con shock esponenziale linea
SAX ............................................................................................................................................. 174
Grafico VI.15 Valori osservati e valori previsti dal BM e dal GBM con shock esponenziale
(modello alternativo) linea SAX .................................................................................................. 176
Grafico VI.16 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12 ...................................... 178
256
Grafico VI.17 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12 ........................................ 178
Grafico VI.18 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock esponenziale senza e
con affinamento ARIMA .............................................................................................................. 179
Grafico VI.19 Applicazione di GBM con uno shock rettangolare linea SAX ............................. 181
Grafico VI.20 Residui del GBM con shock esponenziale linea SAX .......................................... 181
Grafico VI.21 Valori osservati e valori previsti dal BM e dai GBM con uno shock esponenziale e
con uno shock rettangolare linea SAX ......................................................................................... 183
Grafico VI.22 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12....................................... 184
Grafico VI.23 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12 ........................................ 184
Grafico VI.24 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock rettangolare senza e
con affinamento ARIMA .............................................................................................................. 185
Grafico VI.25 Applicazione di GBM con due shock esponenziali linea SAX ............................. 188
Grafico VI.26 Residui del GBM con due shock esponenziali linea SAX .................................... 188
Grafico VI.27 Valori osservati e valori previsti dai GBM con uno e due shock esponenziali a
confronto linea SAX ..................................................................................................................... 189
Grafico VI.28 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12....................................... 191
Grafico VI.29 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(1,0,2)12 ........................................ 191
Grafico VI.30 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con due shocks esponenziali
senza e con affinamento ARIMA ................................................................................................. 192
Grafico VI.31 Applicazione di GBM con shock misto linea SAX............................................... 195
Grafico VI.32 Residui del GBM con shock misto linea SAX ...................................................... 195
Grafico VI.33 Valori osservati e valori previsti dal GBM con shock misto linea SAX ............... 197
Grafico VI.34 Confronto tra dati istantanei e previsioni dei diversi modelli finora analizzati .... 197
Grafico VI.35 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12....................................... 198
Grafico VI.36 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(2,0,2)12 ........................................ 199
Grafico VI.37 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock misti senza e con
affinamento ARIMA .................................................................................................................... 200
Grafico VI.38 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno e con due shock esponenziali
linea SAX ..................................................................................................................................... 202
Grafico VI.39 Confronto tra valori osservati e valori previsti dall'affinamento ARMA dei GBM
con uno e con due shock esponenziali ......................................................................................... 203
Grafico VI.40 Confronto tra modelli nidificati: Bass standard, GBM con uno shock rettangolare,
uno shock esponenziale e uno shock misto .................................................................................. 203
Grafico VI.41 Confronto tra dati istantanei e previsioni dei diversi modelli finora analizzati .... 204
Grafico VII.1 Dati osservati di vendite mensili per la linea SCENERY (gennaio 2007-novembre
2011)............................................................................................................................................. 208
257
Grafico VII.2 Dati osservati delle vendite cumulate della linea SCENERY (gennaio 2007novembre 2011) ........................................................................................................................... 209
Grafico VII.3 Applicazione del modello di Bass standard linea SCENERY............................... 211
Grafico VII.4 Residui del modello di Bass standard linea SCENERY ........................................ 211
Grafico VII.5 Valori osservati e valori previsti dal modello di Bass Standard linea SCENERY 212
Grafico VII.6 Sequenze temporali processo ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12 ....................................... 213
Grafico VII.7 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(1,0,0)x(1,0,1)12......................................... 214
Grafico VII.8 Confronto tra dati istantanei e previsioni del BM senza e con affinamento ARIMA
..................................................................................................................................................... 215
Grafico VII.9 Applicazione di GBM con uno shock esponenziale linea SCENERY .................. 218
Grafico VII.10 Residui del GBM con shock esponenziale linea SCENERY .............................. 218
Grafico VII.11 Valori osservati e valori previsti dal GBM con shock esponenziale linea
SCENERY ................................................................................................................................... 220
Grafico VII.12 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12 ..................................... 221
Grafico VII.13 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(2,0,2)12....................................... 222
Grafico VII.14 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con uno shock esponenziale
senza e con affinamento ARIMA................................................................................................. 223
Grafico VII.15 Applicazione di GBM con uno shock rettangolare linea SCENERY ................. 225
Grafico VII.16 Residui del GBM con shock rettangolare linea SCENERY ................................ 225
Grafico VII.17 Valori osservati e valori previsti dal GBM con shock esponenziale e dal GBM
con shock rettangolare linea SCENERY ..................................................................................... 227
Grafico VII.18 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12 ..................................... 228
Grafico VII.19 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12....................................... 228
Grafico VII.20 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock rettangolare senza e
con affinamento ARIMA ............................................................................................................. 229
Grafico VII.21 Applicazione di GBM con due shocks esponenziali linea SCENERY ............... 232
Grafico VII.22 Residui del GBM con due shocks esponenziali linea SCENERY ...................... 232
Grafico VII.23 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno e due shocks esponenziali linea
SCENERY ................................................................................................................................... 234
Grafico VII.24 Sequenze temporali processo ARIMA(3,0,2)x(3,0,4)12 ..................................... 235
Grafico VII.25 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(3,0,2)x(3,0,4)12....................................... 235
Grafico VII.26 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con due shock esponenziali
senza e con affinamento ARIMA................................................................................................. 236
Grafico VII.27 Applicazione di GBM con uno shock misto linea SCENERY............................ 239
Grafico VII.28 Residui del GBM con shock misto linea SCENERY .......................................... 239
Grafico VII.29 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno shock rettangolare e dal GBM
con shock misto linea SCENERY ................................................................................................ 241
258
Grafico VII.30 Confronto tra valori previsti dai distinti modelli linea SCENERY ..................... 241
Grafico VII.31 Sequenze temporali processo ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12 ..................................... 242
Grafico VII.32 Autocorrelazioni dei residui ARIMA(2,0,1)x(1,0,1)12 ....................................... 243
Grafico VII.33 Confronto tra dati istantanei e previsioni del GBM con shock esponenziale e
rettangolare senza e con affinamento ARIMA ............................................................................. 244
Grafico VII.34 Valori osservati e valori previsti dal GBM con uno shock rettangolare e uno shock
misto ............................................................................................................................................. 245
Grafico VII.35 Confronto tra valori osservati e valori previsti dall'affinamento ARMA dei GBM
con uno shock rettangolare e con uno shock misto ...................................................................... 246
Grafico VII.36 Confronto tra i diversi modelli implementati....................................................... 247
Grafico VIII.1Valori cumulati a confronto delle diverse linee di cucine ..................................... 248
Grafico VIII.2 Valori osservati Tess e Crysta a confronto ........................................................... 249
Grafico VIII.3 Valori osservati Sax e Scenery a confronto .......................................................... 249
Grafico VIII.5. Confronto modelli migliori finale ....................................................................... 250
259