Corso di Robotica 2
Calibrazione cinematica
Prof. Alessandro De Luca
Robotica 2
A. De Luca
A.A. 2008-2009
Cinematica diretta

set parametri di Denavit-Hartenberg (D-H) nominali
# "1 &
" =% M (
%% ((
$" n '

!
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" d1 %
" a1 %
$
'
$
'
d= M
a= M
$ '
$ '
$d '
$a '
# n&
# n&
# "1 &
%
(
!
"
=
M
r
=
f(α,
a,
d,
θ),
!
nom
% (
%" (
nell’ipotesi di giunti rotatori,
$ n'
le θ sono misurate da encoder
cinematica diretta nominale
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2
Necessità di calibrazione





piccole imprecisioni dovute a tolleranze di lavorazione
meccanica e all’assemblaggio dei bracci/giunti portano
ad errori di posa dell’E-E (parametri reali ≠ nominali)
tali errori sono amplificati dalla struttura a catena
cinematica aperta comune nei robot
il montaggio degli encoder sugli assi dei motori potrebbe
non far coincidere lo “zero” con quello nominale nella
cinematica diretta del robot (misura con “bias” costante)
obiettivo della calibrazione: recuperare il più possibile gli
errori di posa con una “correzione” del set di parametri
nominali di D-H
da effettuarsi in linea di principio, robot per robot…
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Sistemi di misura cartesiana - 1
tavola di calibrazione
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Sistemi di misura cartesiana - 2
sistema laser + triangolazione (teodoliti)
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Linearizzazione della cinematica diretta
Jacobiani parziali valutati in condizioni nominali
"r = r # rnom
!
“piccolo”
ottenuto da un
sistema di misura
esterno accurato
$f
$f
$f
$f
=
& "% + & "a + & "d + & "'
$%
$a
$d
$'
variazioni del primo ordine
. Δr.
r
r
nom
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teodoliti,
telecamere +
triangolazione
tavola di
calibrazione
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Equazione di calibrazione
& "$ )
(
+
"a +
"# = (
( "d +
(
+
' "% *
!
6 × 1 !# "r1 &
l
%
(
"r2 (
%
"r =
% M (
%
(
$ "rl '
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!
4n × 1
& #f
"=(
' #$
#f
#a
#f
#d
#f )
+
#% *
"r = # $ "%
6 × 4n
6 l× 4n # "1 &
% (
"2 (
%
" =
% M (
% (
$ "l '
(l >> n)
l esperimenti
!
"r = # "$
misure valutata sui incognite
parametri nominali
rango colonna pieno (per l sufficientemente grande)
!
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Sistemi lineari sotto- e sovradeterminati
rango pieno
Ax = b
A
x2
A
x2
3 equazioni
2 incognite
1 equazione
2 incognite
x
rango pieno
x
x1
x1
soluzione a norma minima
min
“soluzione” a norma
minima dell’errore
1 2
x , tra le x: A x = b
2
T
(
A =A A A
#
min
T "1
)
#
!
(
T
A = A A
x=A b
#
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1
2
Ax ! b
2
pseudoinversa
!
)
"1
AT
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Algoritmo di calibrazione
"r = # "$
#
(
T
"# = $ "r = $ % $
)
&1
$ % "r
" nom + #" = "'
!
"r '= # '"$
T
minimizza
1
# !$ " ! r
2
2
nuovo set di DH +
“bias” su misure di θ
…ITERANDO!
valutati sui nuovi valori ϕ’
!
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Commenti finali

metodo iterativo ai minimi quadrati (problema originario
non lineare nelle incognite, linearizzato con uno sviluppo di Taylor
al primo ordine)



può convenire calibrare per prime e separatamente le
grandezze con accuratezza peggiore (tipicamente il bias
sugli encoder), tenendo fisse ai valori nominali le restanti
esistono descrizioni cinematiche alternative a D-H, più
complesse ma meglio condizionate numericamente per
l’algoritmo di calibrazione
la stima accurata dei parametri reali è un problema più
generale in robotica, relativo a sensori (calibrazione
telecamera) e a modelli (identificazione coefficienti dinamici del
manipolatore)
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