Calcolo delle probabilità per le
scuole superiori
Laboratorio
Convegno "Il piacere di insegnare - il
piacere di imparare la matematica"
Alberto Gandolfi
[email protected]
Appunti completi disponibili su
http://bb.math.unifi.it/~gandolfi/didindex.html
Eventi casuali
• Il calcolo delle probabilità e la statistica costituiscono quella parte
della matematica e, più in generale, della scienza che si occupa di
fenomeni casuali.
Partiamo da due problemi.
• Problema 1: lanciando 1000 volte una moneta, quale sarebbe la
vostra reazione di fronte a 510 teste? E a
492, 459, 423, 397, 354, 299, 212, 154, 22?
• Problema 2: cercando la porta vincente tra 3, ne scegliamo una e
poi ci viene mostrata una porta non vincente tra le altre: conviene
cambiare la nostra scelta? O preferiremmo che la porta fosse aperta
prima di fare la scelta?
Probabilità
In questi problemi non si riesce a determinare con certezza
l'esito tra varie possibili alternative.
Due cause possibili:
- mancanza di informazioni
- l'indeterminatezza connaturata.
Ma non ci interessa: per l'indeterminatezza chiameremo tali
eventi "casuali".
Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova
quantità: la probabilità.
Caratteristiche della probabilità
- Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabile
ed utile in casi interessanti.
- Si determina attraverso processi logici.
- E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di
100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1].
Quest'ultimo metodo è conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% è
l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.
Interpretazioni della probabilità
• Esistono varie scuole su come definire la
probabilità:
• - Frequentista
• - Soggettiva
• - Bayesiana
• - Convenzionalismo
Obiettivi didattici
nell'insegnamento della probabilità:
• deduzione logica di una teoria da alcune ipotesi
• fornitura di alcuni elementi per l'interpretazione del
mondo reale, inclusi giochi, dati, sondaggi
• esemplificazione dell’uso di alcuni strumenti matematici
presentati nel corso
Prima formalizzazione
• Iniziamo da una formulazione elementare,
che può rimanere l’unica se si intende
esporre una parte limitata della teoria.
• Con qualche esempio si vede la naturalezza dell’uso
della terminologia insiemistica per descrivere le
probabilità:
- Tutte le realizzazioni possibili sono un insieme S
- Un evento è un sottoinsieme di S
- La probabilità è una funzione P sui sottoinsiemi di S
Probabilità uniformi
Alcune proprietà elementari
da derivare (o far derivare) rigorosamente
Calcolo combinatorio
Probabilità finite
• Per poter fare modelli di situazioni più
generali si considerano casi in cui
probabilità non sono tutte uguali.
• Si prendono come punti di partenza le prime tre
proprietà dimostrate nel caso uniforme:
Costruzione delle probabilità finite
• La teoria è molto elementare e tutti gli
esempi di spazi di probabilità finiti si
costruiscono come segue:
Probabilità dell’unione di eventi
• Talvolta è utile dedurre la probabilità da
quella di eventi più semplici.
Probabilità del complemento
• Nello stesso spirito di prima:
Indipendenza
Due direzioni dell’indipendenza
L’indipendenza naturalmente è utile quando
si usa senza verificarla. Questo pone
qualche problema di consistenza con
definizione precedente.
Per i corsi elementari accontentiamoci di
dire che omettiamo la verifica.
Indipendenza dei complementi
• Un risultato elementare che verifica che la
teoria si sta sviluppando coerentemente
riguarda l’indipendenza dei complementi:
Riepilogo primi calcoli delle
probabilità
Distribuzione di Bernoulli
• Con i metodi appena riassunti si ricava la
distribuzione di Bernoulli o Binomiale (n,p):
k
Prob k succ su 2k prove
10
0,176197
20
0,125371
30
0,102578
40
0,088928
50
0,079589
60
0,072685
70
0,067313
80
0,06298
90
0,059388
100
0,056348
110
0,053732
120
0,05145
130
0,049435
10
0,176197
100
0,056348
1000
0,017839
10000
0,005642
100000
0,001784
1000000
0,000564
10000000
0,000178
1E+08
5,64E-05
1E+09
1,78E-05
Foglio di calcolo
• Usando le funzioni di
un foglio elettronico di
calcolo si possono
calcolare alcune
probabilità. Ad
esempio il valore
della distribuzione
Binomiale(n, p). Qui
di fianco i valori di
p(k,2k,1/2).
1E+10
#NUM!
1E+11
#NUM!
1E+12
#NUM!
Osservazioni sulle monete
• Anche il numero di teste che ci aspettiamo
(n/2 su n) ha probabilità che tende a 0.
Quindi queste espressioni non servono
per il problema 1.
• E’ chiaro però che la probabilità di un
numero di successi minore o uguale a k
può non tendere a 0.
Riprenderemo la questione quando avremo più strumenti.
Interpretazioni della probabilità
• Vediamo i progressi fatti: sui problemi
(1) sappiamo scrivere le varie probabilità
(2) nessun progresso
Come interpretare le probabilità?
-
A priori ci si aspetta che specifici eventi di probabilità piccola
non si realizzino
-
A posteriori: si sarà realizzato qualche evento di probabilità
piccola, ma non era prevedibile quale.
Probabilità condizionate
• Talvolta interessa la probabilità di un
evento sapendo che un altro si è
realizzato.
Anche in questo caso ci sono due direzioni: a volte si ricava
P(A|B) dalla situazione concreta e lo si usa per ottenere uno
degli altri termini.
Probabilità totali o composte
Dimostrazione del teorema
Il problema del premio dietro alla
porta
•
Finalmente abbiamo gli strumenti per rispondere al problema 2:
Formula di Bayes
Formula di Bayes e probabilità condizionate sono usate ampiamente
nei calcoli di genetica.
Variabili aleatorie
• Una funzione X definita su un insieme S su cui sia
definita una probabilità P è detta variabile aleatoria
• La sua distribuzione è l’insieme dei valori x che assume
e delle relative probabilità P(X=x).
Valore atteso
• Con qualche esempio si vede che il valore
atteso o valor medio emerge sia come risultato
medio dopo molte prove che come valutazione
equa di un esperimento aleatorio.
Significato del valore atteso
Linearità del valore atteso
• Il valore atteso è lineare.
• Questa dimostrazione si può cominciare ad omettere.
Indipendenza di variabili aleatorie
La verifica che questa definizione generalizza l’indipendenza di
eventi è un po’ laboriosa dovendo considerare sottofamiglie di
eventi e si omette.
Misure della deviazione dal valor
medio
• Per valutare quanto in media una variabile
aleatoria si discosta dal suo valore atteso
si introduce la deviazione standard SD:
• per valutare la quale il primo passo è la
varianza:
Additività della varianza
• Sorprendentemente, la varianza è additiva
per variabili aleatorie indipendenti.
•
(volendo si può presentare agli studenti una dimostrazione)
Deviazione standard per il numero
di teste
Per cui per n lanci di una moneta, essendo p=1/2, la deviazione
standard è
½
Questo suggerisce già qualcosa sul problema delle monete, ma prima
di completare l’analisi introduciamo le variabili continue.
Variabili continue
• Finora si sono viste variabili aleatorie con
un numero finito di valori. Vari esempi
suggeriscono che a volte è utile
considerare variabili che assumono valori
sul continuo.
• Ad esempio se si spezza un bastoncino a
caso o si considera l’orario di un arrivo.
Densità delle variabili continue
• Le variabili aleatorie continue sono ben
descritte prendendo una densità di
probabilità f, analoga alla densità di
massa, che soddisfa:
• La probabilità poi si calcola con gli integrali
Esempi di variabili continue
Valore atteso di variabili continue
Funzione di distribuzione
• Un altro modo per descrivere una variabile
aleatoria è la funzione di distribuzione.
Non è un metodo intuitivo, ma talvolta è
molto utile:
Simulazione di una variabile
uniforme
Simulazione di variabili continue
Analisi di dati
• Per analizzare dati casuali (che interpretiamo come
realizzazioni di variabili aleatorie) si utilizzano le stesse
quantità calcolate però sui dati, e quindi dette empiriche:
indicate nei fogli di calcolo con funzioni tipo MEDIA,
DEV ST, VAR
•
Il valor medio empirico è anche detto media empirica e può essere a sua volta
pensato come funzione delle variabili aleatorie.
Convergenza della media empirica
Teorema centrale del limite
• Con qualche calcolo questo risultato permette di
stimare molto accuratamente la probabilità che
la somma di variabili indipendenti disti più di una
data costante dal valore atteso.
Illustrazione grafica del TCL
• Ci sono molti siti in cui si può vedere come
la distribuzione della somma di variabili
indipendenti converge ad una normale.
• Per le variabili Bernoulli si veda per
esempio
http://cnx.org/content/m11198/latest/
Stima della deviazione dal valore
atteso
Stima della deviazione della media
empirica dal valore atteso
• Abbiamo visto che la media empirica approssima il valore atteso,
ma il TCL permette di dare una stima più accurata:
• Questa osservazione si usa nei problemi di misura fornendo una
stima di quanto la media empirica delle misurazioni disti dalla
misura “vera”.
Variabili congiunte
• Spesso si considerano più variabili
aleatorie allo stesso momento. Queste
possono essere non essere indipendenti,
e quindi occorre una trattazione delle
distribuzioni congiunte.
• In un corso di scuola superiore conviene
però limitarsi ad un caso semplice: una
misura del grado di dipendenza di due
variabili aleatorie.
Correlazione
• Date due variabili aleatorie X ed Y si
introduce la covarianza:
• E poi la misura adimensionale della
dipendenza, detta correlazione:
Proprietà della correlazione
• La correlazione soddisfa:
• Quando r=1 oppure r=-1 c’è dipendenza
lineare tra X ed Y. Quando X ed Y sono
indipendenti r=0. Per cui r misura la
dipendenza di X ed Y
Correlazione empirica
• I fogli di calcolo forniscono di solito una
funzione, a volte indicata con
CORRELAZIONE che calcola questo
valore sui dati.
Test: un modello per pesi ed
altezze