Distribuzioni di probabilità
Sia X una variabile aleatoria discreta
definita su uno spazio campionario S :
f (x) = P (‘X=x’ )
f (x )
P(‘XA’)= x
A
Valore atteso di una variabile aleatoria discreta
n
E (X )   x i P (' X  x i ')
i 1
Esempio: Distribuzione di probabilità del
numero di episodi di otite media nei primi 2 anni
x
0
1
2
3
4
5
6
P(‘X=x’) .129 .264 .271 .185 .095 .039 .017
E(X)=0(.129)+1(.264)+2(.271)+3(.185)+4(.095)
+5(.039)+6(.017)=2.038
Varianza (della popolazione) di una variabile
aleatoria discreta
2
n
Var (x )     (x i   )2P (' X  x i ') 
i 1
n
  x i2P (' X  x i ')   2
i 1
Esempio:
Var (x )  02 (.129)  12 (.264)  22 (.271)  ...  (2.038)2 
 6.12  (2.038)2  1.967
  1.967
Funzione di distribuzione cumulativa
La funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.)
di una variabile aleatoria è indicata con F(X )
ed è definita da
F(x ) = P(‘X  x’)
Esempio
F(x) = 0
se x < 0
F(x) = .129
se 0  x < 1
F(x) = .393
se 1  x < 2
F(x) = .664
se 2  x < 3
…………..
…………….
Rappresentazione grafica della c.d.f.
cdf. per numero episodi otite media nei primi 2
probabilità
anni
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
numero episodi
Funzione a scalino = step function
8
Distribuzione di probabilità continua
Si riferisce a una variabile aleatoria continua
definita su un sottoinsieme S di R:
f (x )  0, x S
P (' X  A ')   f (x )dx
A
= area sotto il grafico di f di base A
 f ( x )dx  1
S
Distribuzione normale: formula
1
f (x ) 
e
 2
( x  )

2 2
 indica la media della popolazione
 indica la deviazione standard della
popolazione
2
Distribuzione normale: 3, 1
La probabilità che cada in un intervallo
centrato sulla media di raggio z volte la
deviazione standard dipende solo da z, da
cui segue la regola empirica.
z non è necessariamente un intero.
Esempio: la media della altezza di un
uomo adulto è 70 inches e =4.0 inches.
In base alla regola, 0.95 è la probabilità
che un uomo adulto scelto a caso abbia un
altezza compresa fra 62 e 78 inches.
Sia X una v. a. continua normale con media  e
deviazione standard :
1
P( -z < X <  +z )=
 2
 z
 e
 z 
( x   )2

2 2
dt
Funzione di distribuzione cumulativa
(t   )2

2 2
1 x
F (x ) 
e

 2 
 P (' X  x ')
1. 0  F(x)  1;
2. Monotona crescente
dt 
0,997
0,954
0,6827
0
0
1
2
z
3
Quando trattiamo un campione di dati provenienti
da una serie di misure e riteniamo che i dati
siano distribuiti secondo una normale, se
decidiamo di associare alla nostra stima una
incertezza pari a una deviazione standard
confidiamo che l’effettivo valore della grandezza
misurata giaccia nell’intervallo da noi definito con
una probabilità del 68%.
Distribuzione binomiale
Si applica a variabili aleatorie che possono
assumere solo 2 valori: ad esempio, un
certo evento si verifica oppure no. Possono
quindi essere codificate con 0 e 1. La
distribuzione binomiale descrive il possibile
numero di volte che la variabile assume il
valore 0 (rispettiv. 1) in una sequenza di
osservazioni, sapendo che la probabilità di
verificarsi di 0 in una osservazione è p.
Distribuzione binomiale
La probabilità di k successi in n
prove indipendenti sapendo che
la probabilità di successo in 1
prova è p:
n  k
P (' X  k ')    p (1  p )n k
k 
Lancio della moneta
Ad esempio, lanciando 4 volte una moneta
equa sappiamo che
P(‘Zero T’)=1/16
P(‘esatt. 1 T’)=4/16
P(‘esatt. 2 T’)=6/16 P(‘esatt. 3 T’)=4/16
P(‘esatt. 4 T’)=1/16
Se la moneta non è equa ma T ha
probabilità p:
n  k
n k
P(‘k T su n prove’)=   p (1  p )
k 
Distribuzione binomiale: grafico
Esempio
Nell’emocromo si misura anche il numero di
globuli bianchi. Questi si dividono in 5 categorie:
neutrofili, linfociti, monociti e basofili. Interessa la
distribuzione di neutrofili k su 100 globuli bianchi.
Qual è la probabilità che su 5 cellule 2 siano
neutrofili sapendo che la probabilità che 1 cellula
sia un neutrofilo è 0.6?
5
2
3
.6
.4
 .230




 2
 
Ricordiamo che
n   n 
k   n  k 
  

In quanto ad ogni sottoinsieme di k oggetti è
associato il suo complementare che ha n-k
oggetti. Qui i sottoinsiemi di k oggetti sono tanti
quanti quelli di n-k oggetti.
5 0 5
P (' X  0')    .6 .4  .0102
0
5 1 4
P (' X  1')    .6 .4  .0768
 1
5 2 3
P (' X  2')    .6 .4  .2304
 2
5 3 2
P (' X  3')    .6 .4  .3456
3
5 4 1
P (' X  4')    .6 .4  .2592
 4
5 5 0
P (' X  5')    .6 .4  .0778
5
Quando una statistica eseguita su una
campione stima un parametro della
popolazione, la stima dipende dal
campione e ci si pone la domanda quanto
la stima è prossima al valore del
parametro della popolazione.
Così la media campionaria, una
proporzione campionaria sono variabili
aleatorie e possiedono una distribuzione:
sampling distribution
 la proporzione di individui che votano per
la lista A
 la percentuale di donne facenti parte di
una giuria
 il numero medio di carcerati già
condannati ad una pena detentiva su un
campione di 100 detenuti del carcere XY
Distribuzione campionaria di medie
campionarie
La media Y è una variabile che
cambia da campione a campione.
La media della distribuzione
campionaria è uguale a , cioè,
misurandola su campioni di dimensione
n al tendere del numero dei campioni
all’infinito la media delle medie
campionarie tende alla media della
popolazione .
Errore standard
La deviazione standard Y della distribuzione
campionaria di Y si chiama errore standard.
Vale la formula:

Y 
n
Errore di campionamento
 -Y
Teorema centrale del limite
La distribuzione campionaria di Y un
campione random tende ad una
distribuzione normale al tendere della
dimensione del campione all’infinito.
Osservazioni:
La approssimata normalità della
distribuzione campionaria delle medie si
applica indipendente dal tipo della
distribuzione della popolazione!!!