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PRGHOOLSUREDELOLVWLFLHYDULDELOLDOHDWRULH
1) Un fax può venir trasmesso a tre diverse velocità, a seconda di quali siano le condizioni di
traffico sulla connessione tra due macchine. Le velocità sono: alta (a) a 14.400 b/s, media
(m) a 9.600 b/s, bassa (b) a 4.800 b/s. In risposta ad una richiesta, una ditta invia o un fax
breve di due pagine (p2) o uno lungo di quattro pagine (p4).
Si consideri l’esperimento consistente nel monitorare la trasmissione dei fax, osservando la
loro lunghezza e la velocità di trasmissione. Ad esempio un’osservazione potrebbe essere hp2, cioè un fax breve trasmesso ad alta velocità.
a) Qual è lo spazio dei campioni dell’esperimento?
b) Quali uscite corrispondono all’evento A1 “fax a velocità media”?
c) Quali uscite corrispondono all’evento A2 “fax breve”?
d) Quali uscite corrispondono all’evento A3 “fax a velocità alta o bassa”?
e) A1, A2 e A3 sono eventi mutuamente esclusivi?
f) L’unione di A1, A2 e A3 copre tutto lo spazio dei campioni?
g) L’unione di A1, A2 e A3 costituisce una ripartizione dello spazio dei campioni?
2) Una fabbrica di circuiti integrati ha tre macchine X, Y e Z. Si consideri l’esperimento
consistente nel eseguire un test su un circuito integrato di ciascuna macchina. Il risultato del
test può essere: accettato D o respinto U. Un’osservazione consiste in una sequenza di tre
risultati, corrispondenti all’esame di un circuito proveniente rispettivamente dalla macchina
X, Y e Z. Ad esempio l’uscita DDU significa che i circuiti provenienti dalle macchine X e Y
hanno superato il test, mentre quello prodotto dalla macchina Z è risultato difettoso.
a) Qual è lo spazio dei campioni dell’esperimento?
b) Quali sono le uscite relative agli eventi:
ZI = {circuito della macchina Z respinto}
XD = {circuito della macchina X accettato}
c) Gli eventi ZI e XD sono mutuamente esclusivi?
d) Quali sono le uscite relative agli eventi:
C = {più di un circuito accettato}
D = {almeno due circuiti respinti}
e) C e D sono mutuamente esclusivi?
f) C e D costituiscono una ripartizione dello spazio dei campioni?
3) I programmi di un computer sono classificati in base alla lunghezza del codice sorgente e al
tempo di esecuzione. Quelli con più di 150 linee di codice sorgente sono considerati grossi
(G), quelli con un numero di linee inferiore o uguale a 150 sono considerati piccoli (P). I
programmi veloci (V) girano in meno di un decimo di secondo, quelli lenti (L) impiegano
un tempo maggiore o uguale a 0.1 s. L’esperimento consiste nell’osservare lunghezza e
tempo di esecuzione dei vari programmi. Da osservazioni statistiche si è dedotto che:
P[PV]=0.5, P[GV]=0.2 e P[GL]=0.2.
a) Qual è lo spazio dei campioni di questo esperimento?
b) Si calcolino le seguenti probabilità:
P[L]
P[G]
P[L ∪ G]
4) Si mescolino per bene tre carte: esse sono il 2, il 3 e il 4 di picche. Le carte vengono estratte
in sequenza. ( (L = 1, 2, 3) indica l’evento che la i-esima carta sia pari e 2L (L = 1, 2, 3)
indica l’evento che la i-esima carta sia dispari.
a) Quanto vale 3[( / ( ] (probabilità che la seconda carta sia pari data che la
prima era pari?)
b) Qual è la probabilità condizionata che le prime due carte siano pari, sapendo che
la terza è pari
c) Quanto vale 3[( / 2 ]?
d) Quanto vale 3[2 / 2 ]?
L
5) Al termine dei tempi regolamentari, una squadra di basket è indietro di un punto e un suo
giocatore si appresta a tirare due tiri liberi. Se egli fa esattamente un punto, l’incontro va ai
supplementari. La probabilità di andare a canestro al primo tiro è 0.5. Tuttavia, se il primo
tiro è stato buono, il giocatore si rilassa e nel secondo tiro va a canestro con probabilità
0.75, mentre se egli ha fallito il primo tiro, l’aumentata pressione riduce la probabilità di
successo per il secondo tiro, che diventa 0.25.
Qual è la probabilità che l’incontro vada ai tempi supplementari?
6) Una variabile aleatoria discreta V ha la seguente densità di probabilità:
I 9 (Y ) = FY ∑ δ (Y − L )
L =
a) determinare la costante F;
b) Trovare la probabilità che 9 ∈ [ [ = ,,.....
{
}
c) Trovare la probabilità che V sia un numero pari;
d) Calcolare P[9!].
7) Quando un utente preme il tasto “SEND” sul suo telefono cellulare, il telefono tenta di
avviare una procedura di connessione trasmettendo un messaggio di “SETUP” ad una
stazione base situata nei dintorni. L’apparato attende una risposta e se questa non arriva
entro 0.5 s, esso esegue un altro tentativo. Se non ottiene risposta dopo sei tentativi,
interrompe la procedura e dà un segnale di occupato.
a) Ipotizzando che le varie trasmissioni siano tra loro indipendenti e che la probabilità che
il messaggio di SETUP vada a buon fine sia S, qual è la densità di probabilità della
variabile aleatoria K, numero di messaggi trasmessi in un tentativo di connessione?
b) Qual è la probabilità che il telefono generi un segnale di occupato?
c) Se S = 0.9 e si desidera che la probabilità di ‘occupato’ sia minore di 0.02, qual è il
minimo numero per K necessario per raggiungere questo obiettivo?
8) Immaginate di andare a pesca e di attaccare P ami alla vostra canna. Ogni qualvolta
eseguite un lancio, ciascun amo ha probabilità S di aver agganciato un pesce,
indipendentemente da ciò che è successo agli altri ami. Qual è la densità di probabilità della
variabile aleatoria K, numero di pesci catturato con un lancio?
9) Ogni qual volta un bambino lancia il suo frisbee, il suo cagnolino lo piglia con probabilità
S, indipendentemente dal fatto che nel precedente lancio il frisbee sia stato preso o no.
Quando il cane prende il frisbee, esso scappa via con il frisbee e non lo si vede più. Il
bambino continua a lanciare il frisbee fino a che il cane lo piglia. Sia X la variabile
aleatoria: numero di volte in cui il frisbee è stato lanciato.
a) Qual è la densità di probabilità della variabile aleatoria X?
b) Che tipo di variabile aleatoria è K? (%HUQRXOOL %LQRPLDOH *HRPHWULFD 3DVFDO,
8QLIRUPH3RLVVRQ)
c) Se S = 0.2, quanto vale la probabilità che il bambino lanci il frisbee per più di
quattro volte?
10) Il numero K di autobus che arrivano ad una certa fermata in un intervallo di T minuti è una
variabile aleatoria di Poisson, con valore medio T/5.
a) Qual è la densità di probabilità della variabile aleatoria K?
b) Quanto vale la probabilità dell’evento: in un intervallo di 2 minuti arrivano tre
autobus?
c) Con che probabilità in dieci minuti non arriva nessun autobus?
d) Quale intervallo di tempo bisogna scegliere affinché la probabilità che in esso
arrivi almeno un autobus sia 0.99?
11) Il vostro computer si è guastato. Chiamate il tecnico dell’assistenza, il quale arriva entro un
massimo di quattro giorni. Il costo dell’intervento varia a seconda di quanto avete aspettato
per l’arrivo del tecnico. Il numero di giorni di attesa è una variabile aleatoria discreta D,
caratterizzata dalla seguente densità di probabilità:
I ' (G ) = .δ (G − ) + .δ (G − ) + .δ (G − ) + .δ (G − )
Il costo C del servizio in ¼è così valutato:
per 1 giorno di attesa


per 2 giorni di attesa

&=
 per 3 giorni di attesa
 per 4 giorni di attesa
a) Qual è il valor medio P ' del tempo di attesa?
b) Qual è il valor medio della deviazione ' − P ' ?
c) Qual è ol valor medio del costo C?
12) La variabile aleatoria X ha la seguente densità di probabilità:
 
    δ ([ − N )
I ; ([ ) =
N N =    
a) Che tipo di variabile aleatoria è X? (%HUQRXOOL %LQRPLDOH *HRPHWULFD 3DVFDO,
8QLIRUPH3RLVVRQ)
b) Calcolare la sua deviazione standard σ ; ;
c) Calcolare la probabilità dell’evento {P ; − σ ; ≤ ; ≤ P ; + σ ; }.
∑
13) Ogni test eseguito su un circuito integrato produce come risultato ‘accettato’ con
probabilità S o ‘respinto’ con probabilità S, indipendentemente dai risultati di prove
precedenti. Sia N la variabile aleatoria che esprime il numero di circuiti respinti in U prove e
sia X il numero di circuiti accettati nell’ultimo test (X oppure X ) . Indicare quante
e quali sono le possibili coppie di valori per le variabili aleatorie N e X. Esprimere la
probabilità di ciascun evento congiunto {1 = Q, ; = [}.
14) La funzione di distribuzione di una variabile aleatoria X è:
[ < −


); ([ ) = ([ + )/ ≤ [ ≤ 
[≥

a) Calcolare 3[[ > / ];
b) Calcolare 3[− / ≤ [ < / ];
c) Calcolare 3[[ < / ];
d) Qual è il valore da assegnare alla costante D affinché 3[; ≤ D ] = . ?
e) Qual è la densità di probabilità di X?
15) La variabile aleatoria X è uniformemente distribuita tra e . Sia < = J (; ) =
a)
b)
c)
d)
Calcolare ( [; ] e Var[; ].
Calcolare J (( (; )) e ( [J (; )].
Determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria Y.
Calcolare ( [< ] e Var[< ].
;
.
16) Una variabile aleatoria continua è detta ‘esponenziale’ se al sua densità di probabilità è del
tipo:
I ; ([ ) = DH − D[ per [ ≥ essendo D una costante positiva.
Sapendo che Y è una variabile aleatoria esponenziale con varianza pari a 25,
a) Si scriva la sua densità di probabilità;
b) Si calcoli il suo valore quadratico medio;
c) Si calcoli 3[< > ].
17) La variabile aleatoria continua X è uniformemente distribuita sull’intervallo [− , ). Qual è
la sua densità di probabilità?
a) Qual è la funzione di distribuzione della variabile X?
b) Quanto vale ( [; ]?
[ ]
Quanto vale ( [H ; ]?
c) Quanto vale ( ; ?
d)
18) Quando viene fatta una chiamata telefonica, con probabilità 0.2 la linea è occupata e con
probabilità 0.3 non si ottiene risposta. Quando si ottiene risposta, il tempo di conversazione
è una variabile aleatoria X, caratterizzata da una densità di probabilità esponenziale, con
valor medio 3 min. Sia W la variabile aleatoria ‘durata della conversazione’ in secondi
(W= 0 se non c’è risposta o se la linea è occupata).
a) Come sono fatte la densità di probabilità e la funzione di distribuzione di W?
b) Quanto valgono ( [: ] e Var[: ]?
19) La variabile aleatoria 8 è uniformemente distribuita tra e ed è posta all’ingresso di un
limitatore. La variabile aleatoria W rappresenta l’uscita del limitatore ed è definita da:
8 ≤
8
: = J (8 ) = 
8 >

Trovare la densità di probabilità, la funzione di distribuzione e il valore medio della
variabile W.
20) Due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente funzione di distribuzione congiunta:
( − H − [ )( − H − \ )
[ ≥ , \ ≥ );< ([, \ ) = 
altrove

a) Calcolare la 3[[ ≤ , \ ≤ ];
b) Esprimere le funzioni di distribuzione delle variabili X e Y.
21) La funzione
 − H −([+ \ ) [ ≥ , \ ≥ );< ([, \ ) = 
altrove

a) ha i requisiti per essere una funzione di distribuzione congiunta di due variabili
aleatori X e Y?
b) Se avete risposto “sì”, provate a calcolare la densità di probabilità congiunta.
c) Siete ancora convinti della vostra risposta?
22) Due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente densità di probabilità congiunta:
[ + \ ≤ , [ ≥ , \ ≥ F
I ;< ([, \ ) = 
altrove

a) Ricavare il valore della costante F;
b) Calcolare 3[; ≤ < ];
c) Calcolare 3[; + < ≤ ];
23) Entro il cerchio di raggio U centrato nell’origine due variabili aleatorie X e Y hanno la
seguente densità di probabilità congiunta:
( )
 π U 2
[ + \ ≤ U
I ;< ([, \ ) = 
altrove

Ricavare le densità di probabilità delle variabili aleatorie X e Y.
24) Due variabili aleatorie X e Y hanno la seguente densità di probabilità congiunta:
([ + \ ) 3 ≤ [ ≤ , ≤ \ ≤ I ;< ([, \ ) = 
altrove

a) Calcolare P [ = ( [; ] e σ [ = Var[; ].
b) Calcolare P \ = ( [< ] e σ < = Var[< ].
c) Calcolare la covarianza & ;< = ([(; − P ; )(< − P< )] .
d) Quanto vale P ; +< = ([; + < ]?
e) Quanto vale σ ; +< = Var[; + < ]?