Instabilità torsionale e flesso-torsionale (svergolamento)
(aggiornamento 07-01-2010)
Instabilità torsionale (Ballio §9.2.4)
Nelle sezioni doppiamente simmetriche (centro di taglio coincidente col baricentro) l’avvitamento è
una possibile modalità di collasso. Per queste sezioni esso è disaccoppiato dall’instabilità
flessionale e si ha:
σ cr =
G IT
I0
(a)
In particolare questa forma di instabilità va controllata per le
sezioni a croce, per le quali la (a) diviene:
σ cr =
G t2
b2
essendo t lo spessore. Si ha infatti:
b t3
3
1
4
I 0 = 2 t ( 2 b) 3 = t b 3
12
3
IT = 4
1
Svergolamento (Ballio §9.3)
Il fenomeno viene anche chiamato:
-
Stabilità della flessione piana
-
Stabilità laterale
-
Stabilità flesso-torsionale
Lo svergolamento è dovuto alla forza di compressione che agisce su una parte della sezione e che
può provocare sbandamento laterale e torsione, senza che il profilo riesca a manifestare le sue
risorse flessionali.
Dipende da:
-
rigidezza flesionale intorno all’asse debole
-
rigidezza torsionale (IT, Iω)
-
lunghezza libera (distanza tra sezioni impedite di traslare orizzontalmente e quindi di
ruotare)
-
vincoli esterni
-
quota del punto di applicazione del carico
2
Nella figura le travi secondarie impediscono lo sbandamento dell’ala superiore della trave
principale.
Nel caso di trave soggetta a momento costante, con vincoli di appoggio torsionale, il momento
critico elastico è dato dalla relazione:
M cr =
π
π2 EI
EI z GIT 1 + 2 ω
L
L GIT
(1)
appoggio torsionale
teorico (forcella)
M
appoggio torsionale
pratico
M
Nel caso di momento variabile lungo l’asta, il valore del momento massimo che determina
l’instabilità è maggiore.
Il punto di applicazione del carico influenza il valore del momento critico: un carico applicato
all’estradosso è più instabilizzante.
Normativa italiana CNR 10011
La CNR 10011/85 indica due metodi approssimati che permettono di evitare il calcolo del
momento critico e considerano critica una distribuzione di momento flettente definita da un
momento equivalente Meq
Meq = 1.3 Mm con la limitazione 0.75 Mmax < Meq < Mmax per travi appoggiate o continue
Meq = Mm con la limitazione 0. 5 Mmax < Meq < Mmax per travi a mensola
essendo Mm il momento medio lungo la trave:
Mm =
∫ Mdx
L
Se il carico è applicato all’estradosso, si deve applicare un ulteriore coefficiente di sicurezza
pari a 1,4.
3
Metodo ω1
σ=
Il coefficiente ω1 è funzione del rapporto
ω1M eq
W
≤ σadm
hL
bt f
ω1 =
fy
hL
0.585E bt f
Il metodo è applicabile per travi a doppio T laminate o saldate (con rapporti dimensionali definiti) e
deriva dalle considerazioni che seguono.
Se nella (1) si trascura la rigidezza torsionale secondaria EIω/L2 rispetto alla primaria GIT, la
tensione critica si scrive:
σcr , D =
II
1 π
π
EI z GIT =
EG z T
WL
L
W
Per le travi a doppio T del sagomario si ha:
I z IT
bt
≅ 0.3 f
W
h
σcr , D = π EG 0.3
bt f
bt
bt
= π 206000 ⋅ 80000 0.3 f = 121000 f
hL
hL
hL
N / mm 2
Nello spirito delle tensioni ammissibili si può scrivere:
σ≤
σcr , D σadm
=
ν
ω1
ω1 =
→ ω1 =
f
σadm ν
= y
σcr , D
σcr , D
f y hL
f y hL
=
121000 bt f 0.585E bt f
Metodo dell’ala isolata
E’ un metodo a favore di stabilità, applicabile a qualsiasi trave, anche nel caso di corrente
compresso controventato con una trave orizzontale reticolare (ad esempio per le vie di corsa).
Se si trascura la rigidezza torsionale primaria GIT, la stabilità è affidata alla rigidezza flessionale,
intorno all’asse z-z, dell’ala compressa considerata isolata dall’anima (v. figura).
4
N eq
L
z
z
N eq
y
tf
y
z
bf
z
Si verifica quindi l’ala a carico di punta soggetta alla forza assiale Neq:
N eq = ∫ σdA =
ala
M eq
M
Sy ≅ eq
Iy
d
Si verifica l’asta col metodo ω o χ, con la curva di stabilità c o d, usando come lunghezza di libera
inflessione la luce L e come momento d’inerzia quello dell’ala intorno all’asse z:
I1z =
t f b3f
12
→ i=
bf
12
→ λ=
L
i
Eurocodice 3 edizione 1992 §5.5.2 – Instabilità flesso-torsionale delle travi
M b , Rd = χ LTβ w Wpl, y f y / γ M1 → M b, Rd = χ LT M c, Rd
Il coefficiente χLT di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale è uguale al coefficiente χ per carico
di punta e si ricava in funzione della snellezza adimensionale λ LT , analoga alla snellezza λ per
carico di punta:
λ LT =
M pl
M cr
⎛
⎜λ =
⎜
⎝
N pl
N cr
⎞
per carico di punta ⎟
⎟
⎠
Mcr è il momento critico di svergolamento calcolato in campo elastico. Nell’appendice F sono
riportate le formule per vari casi di carico; per momento costante vale la (1). Altre formule sono
reperibili in letteratura. In casi particolarmente complessi si può ricorrere ad un’analisi di buckling
con un programma agli elementi finiti, discretizzando la trave con elementi plate.
Si devono adottare i valori di χ della curva a per sezioni laminate e della curva c per sezioni saldate.
Se λ LT < 0.4 non è necessaria la verifica a svergolamento.
5
NTC – D.M. 14-1-2008
Le Norme Tecniche per le Costruzioni e l’EC3:2005 usano un approccio simile a quello
dell’EC3:1992, senza però fornire le formule per il calcolo del momento critico elastico.
6
Se si assume β= 1, la (4.2.51), a parte il fattore f di distribuzione del momento
flettente, coincide con l’espressione di χ per la verifica a carico di punta. Anche
l’espressione di Φ LT con λ LT, 0 = 0,2 coincide con l’espressione di Φ per la verifica
a carico di punta. A favore di sicurezza si possono quindi usare i valori di χ. Se
invece si usa β=0,75 e λ LT, 0 = 0,4 si ottengono valori maggiori di χLT.
7
ESEMPIO 1
Calcolare il carico massimo ammissibile (applicato all’estradosso) per la trave di figura
q
Wy,el = 836 cm3
h = 250 mm
bf = 260 mm
L=10 m
Particolare appoggi
tf = 12.5 mm
HE 260 A
Fe 360 (S 235)
σadm = 156 N/mm2
fyk = 235 N/mm2
R
R
CNR 10011 metodo ω1
1 2 qL2
qL2
qL2
Mm =
L=
→ M eq = 1.3M m =
L3 8
12
9.23
2
qL
0.75M max =
< M eq < M max O.K.
10.7
Poiché il carico è applicato all’estradosso, il coefficiente ω1 va moltiplicato per 1.4
1.4 ω1 M eq ≤ σ adm W = 156 ⋅ 836 = 130.4 kNm
hL
235
= 769 → ω1 =
769 = 1.50
bf t f
0.585 ⋅ 206000
M eq ≤
130.4
9.23 ⋅ 62.1
= 62.1 kNm → q adm =
= 5.73 kN / m
1.4 ⋅ 1.5
10 2
Se la trave fosse controventata il carico ammissibile sarebbe quasi doppio:
q adm =
8σadm W 8 ⋅ 156 ⋅ 836
=
= 10.4 kN / m
L2
100
CNR 10011 metodo dell’ala isolata
snellezza ala λ =
ω N eq
Af
≤ σ adm
L
10000
=
= 133 → ω(curva c) = 2.89
i z 260 / 12
→ N eq ≤
156 ⋅ (260 ⋅12.5) −3
10 = 175 kN
2.89
8
M eq ≤ N eq d = 175 ⋅ (250 − 12.5)10 −3 = 41.6 kNm
q adm =
9,23 ⋅ 41.6
= 3.84 kN / m
100
Il metodo dell’ala isolata dà risultati molto più cautelativi.
Eurocodice 3:1992
2
⎫
⎧
π2 EI z ⎪ ⎛ k ⎞ I w (kL) 2 GIT
⎪
2
⎜
⎟
M cr = C1
(
C
z
)
C
z
+
+
−
2 g
2 g⎬
2
2 ⎨ ⎜
⎟
(kL) ⎪ ⎝ k w ⎠ I z
π EI z
⎪⎭
⎩
con : k = 1 k w = 1 C1 = 1.132 C 2 = 0.459 z g = 125 mm (ordinata di q rispetto al baricentro)
I z = 3668 cm 4
mom. inerzia
I w = 516400 cm 6
I T = 52.37 cm 4
mom. inerzia settoriale o costante di ingobbamento
mom. inerzia torsionale
E = 210000 N/mm 2
M cr = 1.132 ⋅ 760236
G = 80769 N/mm 2
{ 14095 + 55639 + 3292 − 57.38}10
−6
= 183.2 kNm
M pl = f yk Wpl = 235 ⋅ 919.8 ⋅10 −3 = 216.2 kN
λ LT =
M pl
M cr
=
216.2
= 1.086 → χ(curva a ) = 0.605
183.2
216.2
= 124.6 kNm
1.05
8 ⋅ 124.6
q
=
= 9.97 kN / m → q adm = Ed = 6.64 kN / m
100
1.5
M b , Rd = χ LT M c, Rd = 0.605 ⋅
q Ed
Il carico ammissibile è leggermente superiore a quello ottenuto col metodo ω1 (qadm=5.73
kN/m).
La verifica può essere eseguita immediatamente con il programma Profili.
9
Il coefficiente k determina la lunghezza di libera inflessione kL dell’ala compressa nel suo piano:
k=0.5
k=0.7
vista in pianta
Il coefficiente kw tiene conto del vincolo all’ingobbamento delle sezioni di estremità e anch’esso
assume i valori 0.5 (2 vincoli) 0.7 (1 vincolo). Realizzare un vincolo all’ingobbamento pienamente
efficiente è difficile e quindi si assume solitamente kw=1.
Ingobbamento
parzialmente
impedito
10
NTC e Eurocodice 3:2005
Le NTC e l’EC3 prevedono per le travi laminate con sezione a doppio T l’uso della curva di
instabilità b, più gravosa rispetto alla curva a, ma il cui effetto è mitigato dalla possibilità di usare
per il calcolo di χLT i valori λ LT, 0 =0,4 e β=0,75.
Secondo le NTC la snellezza λ LT va calcolata in base al valore del momento critico elastico Mcr
corrispondente alla distribuzione uniforme.
λ LT =
Mcr=200,7 kNm
M pl
= 1,038
M cr
Usando la curva di instabilità b e calcolando χLT con λ LT , 0 =0,4 e β=0,75 si ottiene:
[
(
)
Φ LT = 0,5 1 + α LT λ LT − λ LT , 0 + β λ
χ LT =
1
Φ LT + Φ
2
LT
− βλ
2
LT
]= 1,0125
=0,6764
2
LT
Il coefficiente riduttivo χLT va amplificato col fattore f di distribuzione del momento flettente:
[
]
[
]
f = 1 − 0,5(1 − k c ) 1 − 2,0(λ LT − 0,8) 2 = 1 − 0,5(1 − 0,94) 1 − 2,0(1,038 − 0,8) 2 =0,973
χ LT , mod =
χ LT 0,6764
=
= 0,695 <
f
0,973
1
2
λ LT f
= 3,47
216,2
= 143,1 kNm
1,05
8 ⋅ 143,1
q
=
= 11,4 kN / m → q adm = Ed = 7,63 kN / m
100
1,5
M b , Rd = χ LT , mod M c, Rd = 0,695 ⋅
q Ed
Il carico ammissibile è superiore a quello ottenuto al punto precedente (6,64 kN/m). Con questa
impostazione non si tiene però conto del fatto che il carico è applicato all’estradosso. Il confronto
va quindi eseguito nel caso di carico applicato al baricentro, per il quale si ha Mb,Rd=140,6.
11
Circolare 2-2-2009
Questa formula è evidentemente applicabile solo al caso di diagramma del momento variabile
linearmente.
Ad esempio per MB=0 si ha ψ=1,75 e il momento critico diventa:
EJ z GJ T = 210000 ⋅ 3668 ⋅10 4 ⋅ 80769 ⋅ 52,37 ⋅10 4 = 5,708 ⋅1011 Nmm2
2
6
⎛ π ⎞ EJ ω
⎛ π ⎞ 210000 ⋅ 516400 ⋅ 10
⎟⎟
1 + ⎜⎜
= 1+ ⎜
= 1,119
⎟
4
⎝ 10000 ⎠ 80769 ⋅ 52,37 ⋅ 10
⎝ L cr ⎠ GJ T
M cr = 1,75 ⋅
2
π
5,708 ⋅ 1011 ⋅ 1,119 / 106 = 351,3 kNm
10000
con:
12
I z = 3668 cm 4
mom. inerzia
I w = 516400 cm
6
I T = 52.37 cm 4
mom. inerzia settoriale o costante di ingobbamento
mom. inerzia torsionale
E = 210000 N/mm 2
G = 80769 N/mm 2
Questo valore è in discreto accordo con quello più affidabile ricavabile con la formulazione
dell’EC3 edizione 1992, implementato nel programma profili, che fornisce Mcr=377 kNm.
13
CALCOLO DEL MOMENTO CRITICO ELASTICO CON PROGRAMMA
AGLI ELEMENTI FINITI
Le versioni più recenti di numerosi programmi commerciali agli elementi finiti contemplano,
nell’analisi di buckling, oltre all’instabilità flessionale (instabilità euleriana), anche l’instabilità
flesso-torsionale.
Se si schematizza la trave con elementi “beam”, che sono implementati secondo la teoria classica
delle travi e quindi trascurano la rigidezza bi-flessionale (non è presente il momento d’inerzia
settoriale Iw fra le caratteristiche meccaniche della sezione), si otterrà una stima generalmente a
favore di sicurezza del momento critico. Si tenga inoltre presente che normalmente, se si caricano i
dati delle sezioni dalle librerie dei profili contenute nei programmi, non vengono caricati i valori dei
momenti di inerzia torsionali IT, che vengono invece calcolati con la formula approssimata
I T = ∑ bt 3 / 3 , senza tener conto del contributo dei raccordi che non è affatto trascurabile nel
calcolo di I T .
Nella mesh di figura la trave dell’esempio 1 è discretizzata con 10 elementi beam. I vincoli sono le
tre traslazioni e la rotazione torsionale agli estremi. Si applica all’asse baricentrico un carico
distribuito di 18,18 kN/m che determina un valore del momento massimo Mmax=227,2 kNm,
momento critico elastico nel caso di carico applicato al baricentro (non è possibile modellare
l’effetto del carico applicato all’estradosso). Questo valore del momento critico è fornito dal
14
programma profili in base alla formula generale contenuta nell’edizione 1992 dell’EC3, e coincide
anche col valore dato dal programma LTBeam (vedi più avanti).
L’analisi di buckling agli elementi finiti fornisce il moltiplicatore critico mcr=0,739 (Mcr=167,9). Il
valore è notevolmente inferiore all’unità perché l’analisi con elementi beam trascura la rigidezza biflessionale e inoltre il programma usa per il momento d’inerzia torsionale il valore IT=37,02 cm4
anziché 52,37. Se si trascura la rigidezza bi-flessionale EIw, la trave si comporta come se avesse una
sezione rettangolare di piccolo spessore, per la quale il Timoscenko, nel volume “Theory of elestic
stability” fornisce la formula (6.39) del carico critico:
(qL) cr =
28,3 EJ z GJ T 28,3 210000 ⋅ 3668 ⋅10 4 ⋅ 80769 ⋅ 37,02 ⋅10 4 −3
=
10 = 135,8 kN
L2
10000 2
Il valore del momento critico è quindi Mcr=169,8 kNm, in buon accordo col risultato dell’analisi
agli elementi finiti.
Per poter tener conto della rigidezza bi-flessionale, è necessario modellare la trave con elementi
“plate”.
Con il carico distribuito di 18,18 kN/m applicato al baricentro, l’analisi di buckling fornisce il
moltiplicatore critico mcr=0,865 (Mcr=196,5 kNm). Questo valore del momento critico è inferiore al
valore di 227,2 kNm dato dal programma profili. Il motivo è legato al fatto che nel modello agli
elementi finiti non si possono inserire i raccordi fra anima ed ali che fanno aumentare notevolmente
15
la rigidezza torsionale primaria legata al momento d’inerzia torsionale IT. Nel programma profili si
può però inserire un profilo definito dall’utente, nella tipologia “Saldati Simmetrici”, con i dati
dell’HE260A, ma senza raccordi.
In questo modo si ha IT=37,02 cm4 e per la verifica a svergolamento si ha Mcr=198,7 kNm, in buon
accordo col valore (Mcr=196,5) ricavato con l’analisi FEM.
Se nell’analisi FEM il carico viene applicato all’estradosso, si ottiene mcr=0,675 (Mcr=153,4),
valore in buon accordo con quello (Mcr=155,5) fornito dal programma profili:
16
CALCOLO DEL MOMENTO CRITICO ELASTICO COL PROGRAMMA
LTBeam
E’ disponibile gratuitamente in internet il programma LTBeam per il calcolo del momento critico
elastico di travi variamente vincolate e caricate. Il programma è stato sviluppato da CTICM (Centre
Technique Industriel de la Construction Métallique - France) nell’ambito di un programma europeo
di ricerca parzialmente finanziato dalla Comunità Europea per il Carbone e l’Acciaio (ECSC
Project N° 7210-PR183 : "Lateral torsional buckling of steel and composite beams" - 1999-2002).
Si presentano le schermate per il calcolo del momento critico dell’esempio 1 con carico distribuito
applicato all’estradosso.
17
Il valore del momento critico coincide praticamente con quello dato dal programma profili
(Mcr=183,2).
18
ESEMPIO 2
L=2 m
150
200
q
15
Verificare a svergolamento secondo le NTC (D.M. 14-1-2008) la mensola di figura. Acciaio S275.
20
Poiché l’ala è tesa, non si può applicare il metodo dell’ala isolata.
Per il calcolo del momento critico elastico non si possono usare le formule dell’Eurocodice
(edizione 1992) che non valgono nel caso delle mensole.
Per il calcolo del momento critico si può ricorrere ad un programma agli elementi finiti. Con la
mesh di figura si ottiene Mcr=438 kNm.
Con il programma LTBeam si ottiene un valore leggermente maggiore (Mcr=496 kNm).
Poiché la sezione ha modulo di resistenza a flessione Wy=216000 mm3, il momento critico di 496
kNm determinerebbe una tensione σcr=2296 MPa >> fy. L’instabilità avviene quindi in campo
plastico.
Snellezza adimensionale (usiamo per semplicità il Wel):
19
λ LT =
Wy f y
216000 ⋅ 275 ⋅ 10−6
59,4
=
=
= 0,346 → χ LT = χ(curva c) = 0,926
M cr
496
496
L’instabilità riduce quindi la resistenza a flessione al 92%:
M b ,Rd = χ LT M c ,Rd = 0,926 ⋅
59,4
= 52,4 kNm
1,05
Allo stato limite ultimo la trave può portare il carico:
q Ed = 2 ⋅ M b ,Rd ⋅ L2 = 2 ⋅ 52,4 / 2 2 = 26,2 kN / m
Si noti che se si esegue l’analisi di buckling sulla mesh con elementi beam, si ottiene in questo caso
una stima a sfavore di sicurezza con Mcr=731 kNm.
20
Aste inflesse (Ballio §9.5.3.2)
Spesso le condizioni reali di vincolo sono più favorevoli di quelle ideali.
Le travi secondarie costituiscono un vincolo elastico per quelle principali
I carichi possono avere un effetto stabilizzante anche se applicati all’estradosso
Le vie di corsa devono spesso essere controventate con tralicciatura
21