Convegno Nazionale XIV ADM  XXXIII AIAS
Innovazione nella Progettazione Industriale
Bari, 31 Agosto - 2 Settembre 2004
INFLUENZA DEI DISALLINEAMENTI SULLA TRASMISSIONE DI
RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DRITTI
M. Beghini(1), F. Presicce(2), C. Santus(3)
(1)
(2)
Università di Pisa, [email protected]
Università di Pisa, [email protected]
(3)
Università di Pisa, [email protected]
Sommario
In questo articolo si analizzano gli effetti dei disallineamenti sulle ruote dentate cilindriche a denti
dritti e viene proposto un criterio per dimensionare la bombatura del fianco analizzando le principali
grandezze che definiscono la sollecitazione e il funzionamento cinematico dell’ingranaggio. È stata
condotta un’analisi parametrica in presenza di errori di disallineamento e i risultati sono stati
confrontati con la condizione ideale di perfetto montaggio. Sulla base di tali considerazioni si perviene
a una serie di indicazioni pratiche di progetto.
Parole chiave: ingranaggi, modifiche di profilo, bombatura, ottimizzazione, errore di
trasmissione.
1.
Introduzione
Nelle ruote dentate cilindriche a denti dritti di elevate prestazioni, grande importanza riveste
lo studio delle modifiche di profilo e del fianco dei denti per migliorare la cinematica ed il
trasferimento dei carichi tra le coppie di denti in presa. Tali aspetti sono stati affrontati in
passato da vari autori con metodi sperimentali e modelli semi-empirici e le normative hanno
recepito alcuni di questi risultati fornendo indicazioni per il progetto di organi di trasmissione.
Le moderne specifiche di prestazioni, specie in settori avanzati quali quello aeronautico,
impongono tuttavia l’impiego di più accurati strumenti di analisi per effettuare una
modellazione più fedele. Ad esempio, le prestazioni di un riduttore per velivoli da trasporto
civile sono:
-
Basso peso.
-
Basso livello di rumorosità acustica e di vibrazioni.
-
Elevata affidabilità.
-
Ridotto Time to market.
Tali caratteristiche sono spesso in reciproco contrasto e, in sede di progetto, è necessario
operare un trade off per ognuna di esse. La limitata flessibilità delle normative (AGMA, ISO,
DIN) nella progettazione degli ingranaggi impone, in particolare, una onerosa fase di
sperimentazione e collaudo del prototipo, che in genere, raddoppia i tempi di certificazione e
di commercializzazione della trasmissione.
Recenti strumenti software per l’analisi degli ingranaggi [1], che integrano affidabilità del
metodo agli Elementi Finiti e tempi di calcolo ridotti, permettono di ridurre
significativamente i tempi di prototipazione. Questo risultato è consentito dalla possibilità di
modellare complesse condizioni di ingranamento riproducendo gli errori di dentatura, le
cedevolezze degli alberi, dei cuscinetti, i disallineamenti, l’attrito e gli effetti dinamici.
Questo lavoro si propone di studiare l’influenza prodotta dal disallineamento degli alberi,
dalla deformazione della linea dei fianchi e dagli errori di elica propri del dente, sul
funzionamento di un tipico ingranaggio cilindrico a denti dritti per impieghi aerospaziali. Il
disallineamento può essere causato dal montaggio degli organi o dei supporti della
trasmissione ovvero da condizioni di carico del sistema. Sulla resistenza di ruote dentate
cilindriche a denti dritti il disallineamento può produrre effetti molto significativi, perché i
fianchi dei denti tendono ad entrare in contatto sullo spigolo dell’estremità di fascia e le
conseguenti locali sovrasollecitazioni possono portare localmente il fianco al rapido
deterioramento.
Nel presente studio è stato utilizzato un codice di calcolo che integra soluzioni analitiche del
contatto e modelli FEM [2]. Il codice permette di modellare ogni singolo dente
dell’ingranaggio, con modifiche di profilo, errori di spaziatura e d’elica nonché la bombatura
dei fianchi. Il codice risolve in modo completo il Loaded Tooth Contact Analysis (LTCA),
fornendo le sollecitazioni durante l’ingranamento, tenendo conto delle deformazioni sotto
carico [3]. L’ingranaggio è modellato in modo tridimensionale e con carico statico. Le ruote
sono state caratterizzate macrogeometricamente e microgeometricamente, definendo la
modifica di profilo che permette di evitare il contatto non coniugato di testa e ottimizzate in
modo da avere il minimo errore di trasmissione e sollecitazioni ottimali di contatto. Partendo
da una condizione ideale di denti perfettamente allineati per fianchi bombati e non bombati,
viene valutato l’effetto della bombatura sulle pressioni di contatto e sull’errore di
trasmissione. Successivamente, è preso in esame l’errore di allineamento, quantificato in base
alle deformazioni dell’albero, alle cedevolezze dei cuscinetti, ai difetti di montaggio e agli
errori di elica dei denti. I risultati in termini di pressione, sollecitazione a piede dente e errore
di trasmissione indicano valori ottimali di bombatura da scegliere in relazione al tipo di
trasmissione. Infine i risultati ottenuti sono confrontati con la normativa AGMA 2001-C95 in
termini di KM (fattore di distribuzione del carico).
Il presente studio si inserisce in una più ampia attività di ricerca nella quale, oltre alle analisi
LTCA, sono previste prove sperimentali atte a definire le caratteristiche di resistenza di nuovi
materiali per impieghi in trasmissioni aerospaziali. Tali attività sono svolte presso il
Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione dell’Università di Pisa in
collaborazione con AVIO Propulsione Aerospaziale S.p.A..
2.
Metodologia
2.1. Definizione geometrica della trasmissione e caratteristiche operative
L’ingranaggio oggetto dello studio è definito nella tabella 1 dove sono indicate le
caratteristiche operative nominali rispetto alle quali l’analisi è stata condotta.
2
Modulo normale
Angolo di pressione
Numero denti pignone/ruota
Larghezza di fascia
Coppia al pignone
m
αn
Z1/Z2
b
Mt
1.75 mm
22.5°
80/80
11 mm
500 Nm
Tabella 1. definizione geometrica dell’ingranaggio e condizioni operative
2.2. Definizione della modifica di profilo
Come primo passo dell’ottimizzazione, si effettua una modifica di profilo (spoglia) che
consiste nell’asportazione di materiale in testa dente secondo lo schema di figura 1
Profilo
spogliato
Circonferenza di
base
Figura 1. definizione parametrica della modifica di profilo
Evolvente
nominale
La spoglia è definita dalle seguenti caratteristiche:
-
entità dello scarico in testa dente (ve) determinato in modo da evitare il contatto non
coniugato di testa in ingresso ed in uscita dell’ingranamento;
-
Roll Angle di inizio spoglia (θP), che definisce il punto PS in cui la spoglia inizia;
-
equazione descrivente spoglia v(θ ) per θ > θP lungo il profilo.
Lo scarico massimo ve è calcolato sulla base della massima distorsione subita dal dente in
condizioni di coppia massima. Tale valore corrisponde all’interferenza massima in condizioni
di profilo non modificato.
Utilizzando il criterio del Consecutive Start Relief Roll Angle (CSRRA) descritto in [4], le
modifiche di profilo della dentatura possono essere ottimizzate per ottenere la minima
escursione dell’Errore di Trasmissione (PPTE), parametro che può essere considerato per
quantifica la rumorosità dell’ingranamento. L’applicazione di tale criterio porta alla
configurazione della figura 2, in cui si mostrano gli andamenti delle spoglie, in funzione
dell’ascissa angolare, lungo gli evolventi nominali del pignone e della ruota, in posizione
corretta di funzionamento.
3
Testa pignone
Testa ruota
Figura 2. applicazione del criterio CSRRA per la definizione delle modifiche di profile ottimali
La modifica di profilo v(θ ) è stata assunta parabolica. Questa scelta permette di evitare
discontinuità di curvatura nominale nel punto di inizio scarico. Tali discontinuità, tipiche della
più comune spoglia lineare, generano infatti locali sovra-sollecitazioni di contatto che
possono provocare riduzione della vita a fatica a compressione superficiale [5, 6].
2.3. Campo di variazione della modifica trasversale del fianco (bombatura)
Definito il profilo, l’ingranaggio è stato modellato in 3D, con i rispettivi corpi ruota. La
bombatura è stata parametrizzata tenendo conto dello schema in figura 3.
Larghezza di fascia
mA
Figura 3. definizione parametrica della bombatura
4
Anche per la bombatura è stata scelta una forma parabolica. Il massimo valore asportato sulle
estremità della fascia, mA, è stato fatto variare da 0 (assenza di bombatura), ad un valore
massimo calcolato in relazione all’entità degli errori di disallineamento.
Le cause di disallineamento sono state considerate con i seguenti errori indipendenti dal
regime di funzionamento:
-
errore di disallineamento degli alberi (posizione e gioco dei cuscinetti);
-
errore di realizzazione del dente prodotto dal particolare processo tecnologico usato;
Per l’errore di parallelismo degli alberi, sono state considerate le condizioni più sfavorevoli,
combinando il gioco radiale dei cuscinetti, dei supporti e dei centraggi (0.05°).
Per quanto riguarda l’errore di elica del fianco del dente, si è considerato il massimo valore
tollerato che vale 0.02°.
Gli errori dipendenti dalle condizioni di carico sono legati principalmente alla deformabilità
dell’albero. La freccia flessionale dell’albero, essendo la ruota montata in maniera simmetrica
non genera disallineamento, ma aumenta l’interasse effettivo di lavoro. Questo fenomeno
influisce sulle prestazioni vibrazionali dell’ingranamento, infatti l’allontanamento delle ruote
porta i fianchi dei denti in posizione di contatto diverse da quelle nominali di progetto. Le
modifiche di profilo che sono state ottimizzate in funzione del PPTE, hanno pertanto effetti
leggermente diversi da quelli nominali; in figura 4 si vede la conseguenza della flessione degli
alberi sui parametri di spoglia.
Testa pignone
Testa ruota
Figura 4. effetto di un aumento di interasse dovuto a flessione degli alberi
Il risultato di tale deformabilità è quindi un aumento del valore del PPTE. Per rimediare a tale
inconveniente, una volta stimato il massimo aumento di interasse con riferimento alla figura
4, si potrebbe, in fase di ottimizzazione del profilo, far partire la modifica da un punto più alto
di una quantità tale da compensare gli effetti di flessione calcolati. Nella nostra analisi tale
5
ridefinizione della spoglia non è stata considerata, essendo, in questo caso, trascurabili gli
effetti della freccia flessionale sull’andamento generale del PPTE.
In figura 5 è riportato l’andamento della deformazione torsionale della linea media del fianco
del dente, che, invece, influisce direttamente sulla uniformità della distribuzione del carico in
termini di riduzione e sbilanciamento assiale della zona reale di contatto.
valore della deformata in mm
deformata torsionale lungo la linea del fianco dente
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
larghezza di fascia
Figura 5. deformata della linea del fianco
3.
LTCA parametrica
I singoli contributi di disallineamento hanno permesso di stimare l’interferenza globale
d’estremità che può verificarsi durante il funzionamento dell’ingranaggio e che dovrà essere
compensata da un’opportuna bombatura del fianco. L’interferenza globale è stata considerata
per definire il valore medio del range di variazione di mA. Per ogni configurazione di
bombatura analizzata sono state considerate le seguenti caratteristiche:
-
errore di trasmissione o PPTE (indicatore di rumorosità);
-
pressione di contatto (indicatore di fatica superficiale);
-
massima tensione principale a piede dente (indicatore di fatica alla base del dente).
Ognuna di queste grandezze è stata calcolata in funzione della lunghezza del contatto durante
un periodo di ingranamento. È stata considerata la configurazione ideale senza disallineamenti
e la configurazione rappresentativa della peggiore condizione di disallineamento degli assi;
questo ha permesso di calcolare un fattore di sovraccarico introdotto da tali errori, che è stato
confrontato con il fattore di distribuzione del carico KM, calcolato con il codice GAnS che
implementa la normativa AGMA 2001-C95 e sviluppato presso il DIMNP [7].
La scelta della bombatura ottimale è stata effettuata considerando il contatto di testa. Questo
fenomeno si manifesta quando la regione di contatto include la zona di raccordo in testa
dente. A causa della forte curvatura locale, le sollecitazioni di contatto assumono un valore
elevatissimo. Sebbene le ruote siano state spogliate per evitare il contatto di testa, come
anticipato nel precedente capitolo, per configurazioni con disallineamento, tale fenomeno può
ripresentarsi a causa dell’errore d’elica. Se la bombatura non è efficace infatti tale errore non
6
è compensato e i denti possono entrare in contatto di testa. Nelle figure 6 è mostrato uno
studio FEM dettagliato del contatto di testa.
Figura 6. studio FE del contatto di testa
4.
Bombatura ottimale
Si riportano di seguito gli andamenti della massima pressione di contatto, della massima
tensione principale alla base del dente e del PPTE rilevati su un intero passo di ingranamento,
per il range analizzato di bombatura sul pignone e sulla ruota. Sono stati considerati 5 livelli
di mA, proporzionali al valore di materiale asportato sulle estremità di fascia, al livello 0
corrisponde un fianco non bombato, al livello 4 la bombatura massima, secondo quanto
descritto nel precedente paragrafo.
[MPa]
a)
7
[mm]
b)
c)
Figura 7. mappe nel dominio di variazione della bombatura in assenza di disallineamento.: a) massima tensione
principale a piede dente; b) PPTE; c) massima pressione di contatto.
8
Sono evidenti gli effetti negativi della bombatura sulle sollecitazioni e sulle prestazioni
dell’ingranamento. Per quanto riguarda la pressione di contatto, la bombatura produce infatti
una riduzione della fascia efficace. E’ tuttavia interessante notare come per le configurazioni
senza bombatura la pressione di contatto non assuma il valore minimo. Questo fatto è
spiegato dagli effetti di bordo lungo la larghezza di fascia come notato nella figura 8
Effetti di bordo
SEMI LARGHEZZA DI FASCIA
Figura 8. aumento della pressione sul bordo del dente in assenza di bombatura
La massima tensione principale a piede dente assume valori crescenti al crescere della
bombatura, a causa della dipendenza lineare della tensione dalla larghezza di fascia.
L’escursione dell’errore di trasmissione invece si mantiene quasi costante per bassi livelli di
bombatura, per poi crescere non linearmente. Questo andamento si spiega, osservando che
alla deformazione totale del dente, per elevati mA, diventano significativi anche effetti di
locale deformabilità dovute al contatto.
È stata condotta quindi l’analisi dell’ingranamento in presenza dei disallineamenti. Per quanto
riguarda la massima pressione di contatto si osserva l’effetto della sovra-sollecitazione dovuto
all’interferenza d’estremità, che si manifesta per bassi livelli di bombatura. Tale pressione
raggiunge il minimo in corrispondenza di un valore ottimale di bombatura relativa mArel, dove
mArel = mApignone + mAruota
Oltre tale livello ottimale di bombatura relativa, la sollecitazione di contatto ricomincia a
crescere a causa della eccessiva riduzione di fascia e del locale aumento della curvatura sul
fianco. La sollecitazione a piede dente segue l’andamento lineare osservato in assenza di
disallineamento, mentre per quanto riguarda l’escursione dell’errore di trasmissione si nota un
miglioramento globale rispetto alla precedente analisi in assenza di disallineamento [8].
a)
9
b)
c)
Figura 9. mappe nel dominio di variazione della bombatura di: a) massima tensione principale a piede dente; b)
PPTE; c) massima pressione di contatto. Presenza di disallineamento
10
Applicando il limite di accettabilità, rappresentato dal fenomeno del contatto di testa dente,
alla mappa della pressione di contatto, sia senza, sia in presenza di disallineamento, si è
cercata la configurazione di ottimo che presenti la minima escursione dell’errore di
trasmissione.
Zona di non accettabilità
Zona di non accettabilità
Livelli bombatura OTTIMA
Livello bombatura
pignone (mApignone)
mArel=cost
Livelli bomb ruota (mA
ruota
Livello bombatura
pignone (mApignone)
Livelli bomb ruota (mAruota)
)
a
b
Figura 10. Mappe della massima pressione di contatto al variare in ascissa della bombatura della ruota ed in
ordinata quella del pignone. a) senza disallineamenti; b)con disallineamenti
Configurazioni con la minore escursione
dell’errore di trasmissione. PPTE
mArel = ottima
Figura 11. applicazione del limite di accettabilità e scelta della configurazione di ottimo PPTE nel dominio di
variazione della bombatura .
Come si vede in figura 11, la funzione obiettivo PPTE è minima per un livello di mArel
costante e corrispondente ad un valore ottimale di 0.012 mm. Tali configurazioni sono sul
11
limite di accettabilità, oltre il quale cominciano effetti di contatto di testa; inoltre in tali
configurazioni la pressione di contatto massima rilevata sul fianco è la minima calcolata
nell’intero dominio di variazione delle bombature. Questo risultato suggerisce, inoltre,
essendo nullo il gradiente della funzione PPTE lungo il luogo dei punti a mArel ottima, di
modificare il fianco di una sola delle due ruote. Nelle figure 12 a), b), c) e d) si riportano i
risultati del processo di ottimizzazione.
Figura 12. risultati dell’analisi nelle condizioni: a) ruote non bombate non disallineate; b) ruote non bombate
disallineate; c) ruote con bombatura ottimale non disallineate; d) ruote con bombatura ottimale
disallineate
Nel grafico di figura 13 è riportato il confronto tra l’errore di trasmissione nel caso di
bombatura ottimale in presenza e in assenza di errore di allineamento. È evidente il sensibile
miglioramento in termini di escursione dell’errore di trasmissione, che l’introduzione di un
errore di allineamento ha sull’ingranamento di due ruote con mArel ottimizzata proprio per quel
valore del disallineamento.
12
0.051
TE assenza
di disallineamento PPTE(0.005697 mm)
TE presenza di disallineamento PPTE(0.005379 mm)
0.05
0.049
0.048
0.047
0.046
0.045
0.044
0.00E+00
2.00E- 05
4.00E-05
6.00E-05
8.00E-05
1.00E- 04
1.20E-04
i st a nt i di i n gr a na m e nt o
Figura 13. confronto dell’Errore di Trasmissione in presenza e non di errore di disallineamento
Infine si è confrontato il rapporto tra, la massima tensione principale ottenuta con il modello
3D in assenza di bombatura in configurazione di disallineamento e quella ottenuta in un
modello 2D, con il fattore di distribuzione del carico KM, che tiene conto della non uniformità
di distribuzione della forza sul dente lungo l’arco di contatto, dovuto all’accuratezza di
produzione, allineamento degli assi di rotazione, deformazioni elastiche degli elementi che
sostengono le ruote (alberi, cuscinetti e loro sedi, ecc.), deformazioni superficiali per effetto
del contatto Hertziano e inflessione dei denti sotto carico. Il KM è stato calcolato con il codice
GAnS che implementa la normativa AGMA 2001-C 95:
3D
σ Im
ax
=1.053
2D
σ Im ax
KM=1.158
Come si vede nel caso esaminato la normativa AGMA sovrastima del 10% tali effetti.
5.
Conclusioni
In questo lavoro è stato sviluppato un metodo per l’ottimizzazione delle principali
caratteristiche dell’ingranamento di ruote dentate cilindriche a denti dritti e bombati.
Un accurato ed efficiente codice ibrido che combina soluzioni FEM con soluzioni
semianalitiche del contatto è stato utilizzato per le analisi statiche dell’ingranamento.
L’ingranaggio è stato dapprima ottimizzato lungo il profilo delle dentature, ricavando i
parametri che definiscono la spoglia minimizzante l’escursione dell’errore di trasmissione e
tale da evitare il contatto non coniugato di testa.
Sono state quindi condotte analisi di tipo estensivo sul dominio di variazione delle bombature.
Queste hanno evidenziato come le principali caratteristiche (pressione di contatto, massima
tensione principale a piede dente e PPTE) presentino gradienti nulli lungo i luoghi dei punti a
bombatura relativa, mArel, costante. Questo risultato riduce alla sola variabile mArel
l’ottimizzazione del problema. Tra tutti i valori di mArel ricavati, si scelgono quelli che non
presentano contatto di testa e che inoltre minimizzano l’escursione dell’errore di trasmissione.
13
Bibliografia
[1]
Manfredi E., Presicce F., Santus C., “Strumenti Software per la progettazione di
ingranaggi”, in Progettare VNU Business Publications, Oct, Nov, Dec, 2003.
[2]
Vijayakar S., “A combined surface integral and finite element solution for a three
dimensional contact problem”. International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 31:525-545, 1991.
[3]
Beghini M., Facchini M., Presicce F., Santus C., “Analisi LTCA mediante metodi FEM
per lo studio di ingranaggi cilindrici a denti dritti”, in Atti del XXXIII Congresso AIAS,
Bari, Settembre, 2004.
[4]
Beghini M., Presicce F., Santus C., “A method to define profile modfication of spur
gear and minimize the Transmission Error” in Proc. Of AGMA Fall Technical Meeting,
Milwaukee, Oct., 2004.
[5]
Beghini M., Bragallini G.M., Presicce F., Santus C., “ Influence of the linear tip relief
modification in spur gears and experimental evidence”, in Proc. Of ICEM XII, Bari,
Sept., 2004.
[6]
Beghini M., Santus C., “Analysis of plane contact with discontinuous curvature”,
International Journal of Mechanical Sciences, 2004 (in press).
[7]
Cumbo F., Presicce F., “GAnS – Un software per la progettazione e la verifica delle
ruote dentate”, Organi di Trasmissione, Tecniche Nuove S.p.A. editore, Luglio,
Settembre, 2004.
[8]
Niemann G., Winter H., “Machinelemente Band II“, Getriebe allgemain,
Zahnradgetribe, volume 2. Grundhlagen, Stirnradgetriebe, Springer-Verlag, Berlin,
1983.
14