GRAFICI
Servono per dare immediatamente e
completamente le informazioni, che
riguardano l’andamento di una variabile
in funzione dell’altra.
La Geometria Analitica c’insegna che c’è
una corrispondenza biunivoca fra punto
del piano e coppia di numeri reali.
Si stabilisce sul piano un sistema di assi (
di solito ortogonali ) su ognuno dei quali
viene fissato un riferimento, individuato
dalla posizione dello zero, dal segmento
unitario l e dal verso positivo, indicato con
una freccia.
x  lx  Ux , unità di misura scelta per le x
y  ly  Uy , unità di misura scelta per le y
Ad ogni coppia (x,y) corrisponde quindi un
punto P nel piano avente come ascissa x e
come ordinata y.
L’insieme dei punti P, che soddisfano la
dipendenza funzionale y=y(x) al variare di
x nel suo insieme di definizione,
costituisce il grafico della funzione.
In laboratorio si useranno fogli di carta
millimetrata con scale lineari oppure
logaritmiche.
y = 0,1 x + 0,2
( -1 ≤ x ≤ 4 )
La scelta del segmento unitario ly sulla
scala y compatta troppo il grafico.
N.B. I segmenti unitari lx e ly sono tracciati
solo per maggior chiarezza : in generale è
buona norma non disegnarli sul grafico
La funzione da graficare è sempre la
stessa, ma ly è ora 10 volte più grande.
Il grafico ne guadagna in leggibilità.
Un altro esempio da non seguire
y = 0,1 x2 -0,3 x +5
(0≤x ≤5)
Su una scala millimetrata con ly lungo 10 mm,
y(3,5) =5,2 e non si può apprezzare la seconda
cifra decimale con una certa sicurezza.
Ora la funzione y è la stessa del grafico
precedente ma ly è ora cinque volte più
grande.
Maggiore leggibilità, maggiore precisione
con cui il grafico può essere utilizzato:
y(3,5) = 5,18
Precisione nelle letture su un
grafico
La scelta di lx e ly determina la precisione
con cui un grafico può essere utilizzato.
Infatti l'errore di lettura su un grafico,
fatto su scala millimetrata, è non minore
di 0.5 mm .
D'altra parte, se x è la grandezza fisica e
Ux la sua unità di misura e se Lx è la
lunghezza letta sul grafico e lx è il
segmento unitario, dalla relazione
x = (Lx / lx) ∙Ux si ricava che
Δx = ( 0,5 mm / lx) ∙Ux
sicché l'errore relativo vale
Δx / x = ( 0.5 mm ) / Lx
Un analogo discorso vale per la
coordinata y, per cui
Δy / y = ( 0.5 mm ) / Ly
Nel penultimo grafico Ly=52.0 mm, sicché
l'errore relativo Δy / y è circa 1 %.
Nell’ultimo grafico Ly=259.0 mm, sicché
l'errore relativo Δy / y è circa 0,2 %.
Derivazione grafica
Si sfrutta la relazione fra derivata di una
funzione e la retta tangente alla
curva corrispondente ( vedi figura ).
Si hanno le seguenti relazioni :
Lx / lx= ( x2-x1) / Ux
Ly / ly= ( y2-y1) / Uy
da cui, approssimando il rapporto
incrementale alla derivata, si ricava
dy / dx ≈ ( y2-y1) / ( x2-x 1 )=
= (Uy/Ux)∙( lx/ly )∙( Ly/Lx) = η ∙ ( Ly/Lx )
In definitiva, per ottenere una stima
grafica della derivata, basta moltiplicare
il rapporto Ly/Lx per la costante η , che ha
]-1
le dimensioni [η] = [y] [x , essendo il
rapporto Ly /Lx naturalmente
adimensionale.
Integrazione grafica
Si fa l'approssimazione per esempio che,
( vedi figura )
Se Lx e Ly sono le lunghezze misurate sul
grafico, corrispondenti a δxi e yi, allora
in cui la costante ψ vale (Uy∙Ux) / (ly∙ lx) ed
ha le dimensioni
[ ψ] = [y][x][L]-2
Grafici di misure
 È bene farli a misure ottenute, per
controllare l’andamento globale
 È bene farli anche durante la fase di
misura, per controllare se ci sono
sbagli grossolani…
Tra grafici di funzioni analitiche e grafici di
misure di grandezze fisiche ci sono due
differenze sostanziali.
 Le funzioni analitiche hanno in linea di
principio un numero infinito di punti,
mentre le misure ne hanno un
numero limitato
 Per le funzioni analitiche l’errore è al
più ± 0,5 mm se la lettura avviene su
un foglio di carta millimetrata. Per le
misure l’errore dipende dalle modalità
seguite per effettuare la misura.
Questo errore viene riportato sul
grafico con un segmento di lunghezza
corrispondente.
Facciamo l’ipotesi che vogliamo studiare
come varia la temperatura T di una certa
sostanza al variare del tempo t e di avere
ottenuto la seguente tabella, in cui sono
riportate le coppie di valori, con i relativi
errori, di t e T.
t±Δt (s)
T±ΔT (°C)
2,0± 0,6
2,0 ±0,5
5,0± 0,6
2,5± 0,5
6,6 ±0,6
3,2± 0,5
9,0± 0,6
3,4 ±0,5
11,0 ±0,6
3,9± 0,3
13,0± 0,6
4,6± 0,3
14,8 ±0,6
4,8± 0,3
Se gli errori fossero nulli, la curva che sul
grafico corrisponde a T=T(t) dovrebbe
passare per tutti i punti sperimentali.
La figura mostra due possibili andamenti
per T=T(t).
Tenendo conto degli errori, non è detto che
la curva passi per tutti i punti sperimentali.
È sbagliato tracciare la spezzata ( mostrata in
tratteggio), perché si introducono
discontinuità in corrispondenza dei punti
sperimentali.
Si può invece tracciare, per guidare l’occhio,
una curva continua che passi vicino ai punti
sperimentali, in base agli errori di misura.
Problema cruciale e delicato per
ogni sperimentatore :
come ricavare un’eventuale dipendenza
funzionale fra due grandezze fisiche a
partire da un numero limitato di coppie di
misura delle stesse grandezze.
Da un punto di vista geometrico, ∞ curve
passano per un numero finito di punti. Poi
bisogna tener conto degli errori…
Sembrerebbe un problema irrisolubile ma
Aiutano delle ragionevoli ipotesi, di cui
però bisogna controllare “a posteriori” la
validità.
Sembra piuttosto irragionevole pensare
ad un andamento del tipo illustrato in
figura se nel corso del riscaldamento non
si è riscontrata alcuna causa che possa
giustificare un riscaldamento così
improvviso fra 7 e 9 secondi.
Rette di massima e minima
pendenza
Se i dati ci suggeriscono un andamento di
tipo lineare, possiamo tracciare
le rette di massima e minima pendenza,
come in figura.
Se gli errori sono di tipo massimo,
queste rette devono passare all'interno di
tutti i rettangolini, centrati
sui punti sperimentali e aventi per base
l'errore sull'ascissa e per altezza
l'errore sull'ordinata.
Se scriviamo l'equazione di una retta
come y=a+bx, una volta determinati dal
grafico i valori di bmin e amax per la retta di
minima pendenza e i valori di
bmax e amin per la retta di massima
pendenza, possiamo ricavare
una stima dei parametri ( e dei relativi
errori ) della retta che meglio passa
per i punti sperimentali.
b=(bmax+bmin)/2 ± (bmax-bmin) / 2
a=(amax+amin)/2 ± (amax-amin) / 2
Caratteristiche dei “buoni”
grafici :
1. Titolo del grafico e relativo commento
2. Grandezze chiaramente indicate sugli
assi insieme con le dimensioni
espresse fra parentesi
3. Scale “umane” ( non ci deve essere
bisogno di una calcolatrice per
tracciare o leggere i punti )
4. Uso di frecce, per indicare parti
rilevanti del grafico
5. Non sono tracciati i segmenti unitari (
sono superflui !)
6. Non sono indicate sugli assi i valori né
delle ascisse né delle ordinate dei
punti sperimentali.
Un esempio di “buon” grafico tratto da
“Physical Review Letters”:
Altri esempi da “Physical Review Letters”:
da notare come sono riportate le barre di errore
e l’uso ( non consigliato) della spezzata nel primo
grafico.
Altri esempi particolari da “Physics
Letters”
Cosa hanno di strano questi due ultimi
grafici ?
La scala delle ordinate non è lineare (
ossia non vengono tracciati segmenti di
lunghezza proporzionale a quella
dell’unità di misura ).
La scala è invece logaritmica ( ossia
vengono tracciati segmenti di lunghezza
proporzionale a quella del logaritmo
dell’unità di misura ). Al numero 1
corrisponde un segmento di lunghezza
nulla ( loga 1 = 0 ), al numero 2
corrisponde un segmento di lunghezza
proporzionale a loga 2, al numero 10
corrisponde un segmento di lunghezza
proporzionale a loga 10 e così via.
Da ricordare :
 data la funzione esponenziale di base a
y = ax , il loga y è il numero tale che
a loga y sia proprio uguale ad y e quindi
coincide con l’esponente x.
 loga (x∙y) = loga x + loga y
 loga x y = y loga x
Le basi più comunemente usate sono l
base 10 e la base e. Questo ultimo
numero è irrazionale ed è noto come
numero di Neper, perché è stato il
matematico Neper a sceglierlo come base
del sistema di logaritmi, che furono
chiamati da allora anche neperiani. Il suo
valore è circa 2,71828….. Per semplicità il
logaritmo in base di un numero viene
scritto con il simbolo ln.
Infine è opportuno ricordare le formule della
derivata di una funzione esponenziale e di una
funzione logaritmica.
dax/dx = ax ln a
dex/dx = ex
dlogax/dx = (1/x) lna e
dlnx/dx = (1/x)
Inoltre si può ricavare che logax = (1/logba) logbx
e quindi un cambiamento della base comporta
soltanto una diversa scelta del fattore di
proporzionalità.
Nelle carte logaritmiche in commercio a fianco
delle scale vengono riportati i valori dei numeri
anziché i valori dei logaritmi : la stessa carta può
essere allora usata per logaritmi con basi
diverse, naturalmente con fattori di
proporzionalità differenti.
Un particolare tipo di carta logaritmica è quello
in cui un asse ha scala lineare e l’altro ha scala
logaritmica : si parla allora di carta
semilogaritmica.
Quando conviene usare scale
logaritmiche ?
 le grandezze da graficare hanno un
intervallo di valori che spazia di diversi
ordini di grandezza, per cui è
impossibile fare un grafico su scala
lineare ( a meno di non voler fare un
grafico stile “lenzuolo”…)
 le grandezze da graficare acquistano
un andamento più facilmente
controllabile.
Supponiamo che un certo modello teorico
preveda che l’andamento dei nostri dati
debba essere descritto dalla curva x∙ y = c,
con c costante, che rappresenta un’iperbole
equilatera, avente come asintoti gli assi
coordinati.
Sicuramente non è agevole rendersi conto a
prima vista che i nostri punti si dispongano
lungo l’iperbole se la scala è lineare. I punti
potrebbero disporsi ad esempio lungo un
ramo d’iperbole oppure lungo una
qualunque curva che non sia una retta.
Tuttavia se usiamo una scala logaritmica su
entrambi gli assi, dovremmo ottenere una
retta ( facilmente controllabile a vista …)
poiché
log (x∙ y ) = logx + logy = log c rappresenta
una retta nel piano ( log x, log y ).
Analoghe considerazioni si possono svolgere
per la funzione y = A∙ e –bx, che su scala
semilogaritmica nel piano ( x, ln y) diventa la
retta ln y = ln A – bx, che ha come pendenza
–b e come intercetta ln A.
Errori di lettura sulle scale
semilogaritmiche
Supponiamo di voler graficare i dati riportati
in tabella :
x
y
0.0
110
2.6
90
4.2
80
8.2
60
13.6
40
23.0
20
Questi dati sono descritti perfettamente
dalla funzione y = k aλ x che, su scala
semilogaritmica, diventa logay = λx +costante
che è l'equazione di una retta che ha λ come
pendenza ( vedi prossima figura ).
Il valore di k si ricava immediatamente,
perché y(0)=k=110. Il valore di λ può essere
ricavato in due modi :
 per via algebrica, applicando la
definizione di coefficiente angolare a due
diverse coppie di punti del piano (x,logay).
Se a=10 e le coppie di punti sono
(0.0,log10110) e (23.0,log1020) (conviene
sempre in casi analoghi scegliere i punti
più distanti fra loro )
λ10 = ( log10110 -log1020) / ( 0,0 -23,0 ) = -0,0322
Se a= e,
λe = ( ln 110 –ln 20) / ( 0,0 -23,0 ) = -0,0 741
 per via grafica (è utile quando non si ha a
portata di mano una tavola dei logaritmi
oppure una calcolatrice ).
λ10 = ( log10110 -log1020) / ( 0,0 -23,0 )
Il denominatore può essere espresso in
termini di lunghezze sul grafico come -115
mm/ 5 mm=-23, dove 115 mm è la
lunghezza del segmento che sull'asse x unisce
il punto x=0.0 con x=23.0, mentre 5 mm è la
lunghezza del segmento unitario.
Per quanto riguarda il numeratore, bisogna
ricordare che
L110=c10 log10110 ; L20=c10 log1020; L10=c10 log1010
con chiaro significato dei simboli, definiti
precedentemente. Quindi
L110-L20=c10 ( log10110 - log1020 )
ossia
log10110 - log1020 = (L110-L20)/L10
Per la carta in figura la casa costruttrice
garantisce per L10 il valore di 90 mm ( lo si
legge in basso, a fianco della dicitura Einheit
in tedesco e Unité in francese ). Dal grafico si
legge che L110-L20=67 mm, per cui
λ10 = ( (67/90) / (-115/5) ) = -0.0324
Sempre dal grafico si può ricavare $Le, ossia
la lunghezza del segmento compreso fra i
punti 1 e e=2.718..., ossia 39 mm.
λe = ( (67/39) / (-115/5) ) = -0.0747
I valori di λ10 e di λe ottenuti per via grafica
sono naturalmente leggermente differenti
dai valori ottenuti per via algebrica, a causa
degli inevitabili arrotondamenti sulla lettura
dei punti sul grafico.