Fenomeni elettrici. I primordi
già gli antichi Greci osservarono fenomeni di «elettrizzazione», ad es. dell’ambra «ελεκτρον»
Questi studi furono ripresi in modo sistematico dagli «elettricisti» del XVIII-
La materia ordinaria è elettricamente neutra; tuttavia, strofinando i corpi
• alcuni si caricano per strofinio (isolanti o dielettrici)
• altri non mostrano fenomeni evidenti perché non trattengono la carica (conduttori)
vetro - bachelite
bachelite - bachelite
vetro - vetro
2 tipi di «elettrizzazione»: vetrosa (positiva) e resinosa (negativa) [B. Franklin, 1747]
Forza elettrostatica fra due cariche elettriche puntiformi
Misure di C.A. de Coulomb con bilancia a torsione. Circa 1785.
q1
q2
+
caratteristiche della forza
q1
segno altrimenti attrattiva
• diretta lungo la congiungente
• proporzionale a q1 e q2
• varia inversamente con il quadrato
della distanza
q2
-
-
q1q 2
r
2
F21
r
F12
q1 +
F = k
F21
r
F12
• repulsiva se q1,q2 hanno lo stesso
in modulo:
+
F12
F21
r
Legge di Coulomb
- q
2
Legge di Coulomb
Si può usare questa legge per definire l’unità di carica (es. C.G.S)
F =k
q1 q 2
Nel SI si la carica si definisce a partire dalla corrente elettrica (unità
fondamentale, definita in base a fenomeni magnetici) a k si determina
sperimentalmente.
r2
[q] = C = As
L’unità di carica SI è il Coulomb. E’ una grandezza scalare.
Nel vuoto, la costante k vale:
k = 8.9876⋅10
9
In elettrostatica 1C è una carica molto grande:
Nm2
C2
Es. fra due cariche di 1C alla distanza di 1m,
la forza vale 9.0.109 N
In genere, la legge di Coulomb nel vuoto si scrive nella forma:
F =
1
4 πε
0
q1q 2
r2
con
ε0 = 8.854187817620... × 10−12 C2/Nm2
costante dielettrica del vuoto
Valida a rigore per cariche puntiformi, ma anche per distribzione sferiche di carica (v. Teor. Gauss)
Aspetti microscopici
La materia è formata in gran parte di particelle elettricamente cariche. Tuttavia l’atomo è neutro, e
quindi la materia ordinaria è neutra.
qP = 1.000000001 q
protone: qp= +e
neutrone: qn= 0
e = 1.602176565(35)×10−19 C
elettrone: qe= -e
“atomo di ossigeno”
1g di materia contiene circa NA/2 protoni e altrettanti elettroni
NA= 6.022.1023 è il numero di Avogadro. a 48240 C positivi e altrettanti negativi !
Es.1. Calcolare la forza elettrica fra due palline di carbonio di 1,0g, a 2,0cm di distanza, nell’ipotesi
che
qP=1.000000001|qe| (differenza di 1 parte per miliardo). [52 kN]
Es.2. Un corpo di 1,0g di C ha carica +1,0µC. Calcolare la frazione di elettroni mancanti. (1 su 48.109)
Limite attuale (“Review of Particle Physics”, 2012) :
q p + qe
e
< 1.0 ⋅10−21
La carica è quantizzata (Millikan, ~1910)
tutte le particelle conosciute hanno carica multipa di «e»
alcune particelle esotiche:
il “decupletto” di barioni
fanno eccezione i «quark» che hanno
carica frazionaria, ma non si trovano
mai liberi (confinamento)
up (u)
down (d)
charm (c)
top (t)
strange (s) bottom(b)
+2/3 e
-1/3 e
La carica elettrica si conserva
bachelite
dopo aver caricato la bacchetta per strofinio,
il panno e la bacchetta si attraggono
panno
Decadimento β-
n → p + e +ν
q=0 q = +e q = -e
Annichilazione elettrone-positrone
q=0
e + e+ → γ + γ
Anche nei casi più complessi come in una collisione nucleare ultrarelativistica, in cui sono
create migliaia di particelle esotiche, la carica complessiva resta invariata
Legge di Coulomb. Effetto del “mezzo”
Se le due cariche sono immerse in un mezzo omogeneo (dielettrico o materiale isolante)
tutto rimane come prima, ma la costante risulta inferiore
Si preferisce scrivere la legge di Coulomb nella forma:
cost. dielettrica
del vuoto
F =
1
4 πε
q1q 2
r
2
ε 0 → ε = ε 0ε R
costante dielettrica
relativa
ε: cost. dielettrica
del mezzo
in pratica
F =
F0
εR
εR è così prossimo a 1 che assumeremo
ε aria = ε0 Vero in generale per i gas.
Alcune costanti dielettriche relative
Acqua
Etanolo
Benzene
Olio
Vetri
Marmo
Teflon
Resina eposs.
aria secca
80.1
25.7
2.28
2.2
3.8-9.5
8
2.2
4
1.000536
Il principio di sovrapposizione
La forza che agisce su una carica q0 in presenza di più cariche elettriche
è pari alla somma vettoriale delle forze esercitate da ogni singola carica.
r
r
r
F0 = F01 + F02
in modulo:
1
q1q 0
4πε 0 r012
q2
q1
1
q 2 q0
4πε 0
r022
r10
r
 1 q1

1 q2
F0 = q 0 
rˆ +
rˆ 
2 10
2 20 
4πε 0 r20
 4πε 0 r10

r
F01
r20
q0
r
F02
si può estendere ad un numero arbitrario di cariche, e a distribuzioni “continue” di carica
definizione di densità di carica volumica, superficiale e lineare
Campo Elettrico.
Data distribuzione di cariche (fisse), una carica di prova q0 è soggetta in ogni punto ad una
forza F (campo di forza).
q1
q2
r01
r02
La forza che agisce su q0 dipende da q0 e dalla distribuzione
di carica. Ad es. se q0 raddoppia ...... conviene separare i due
contributi introducendo il campo elettrico
Si definisce campo elettrico
r
F01
q0
r
F02
r
r F
E=
q0
[E ] = N
C
=
kg ⋅ m
As 3
E è un campo vettoriale (che dipende solo dalla distribuzione di carica che lo genera)
r
r
Noto E in un punto, la forza agente su una carica q0 in quel punto vale F0 = q 0 E
Campo elettrico: solo una comoda definizione?
è più ccorretto interpretarlo come proprietà dello spazio modificato dalle cariche elettriche
(si propaga con una velocità finita, trasporta energia, quantità di moto ....)
1. Campo elettrico generato da una carica puntiforme
q1
r
F10
Se q0 è a distanza r da una carica puntiforme q1, la forza agente su q0 vale:
r
F01
q1 q 0
F (r ) =
4πε 0 r 2
1
q0
da cui
direzione e verso del campo elettrico sono
E (r ) =
F
1 q1
=
q 0 4πε 0 r 2
• radiale uscente se q1>0
• radiale entrante se q1<0
2. Campo elettrico generato da due cariche puntiformi
r
r
r
F20
r r
r
r
F
21
F
q1
12
F0 = F01 + F02 = q0 E
q
2
r
F10 r
r
r
r
r
r
r
F01 F02
F
F01
q0
E =
=
+
= E1 + E 2
r
q0
q0
q0
F
02
Il campo elettrico di più cariche è la somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle singole cariche.
Linee di forza del campo elettrico
Il campo elettrico si rappresenta graficamente
mediante linee di forza.
cioè linee che in ogni punto sono tangenti al campo
e orientate come il campo stesso.
le linee di forza del campo elettrico hanno origine da
cariche positive e terminano su una cariche negative
carica puntiforme positiva
due cariche opposte
due cariche identiche (positive)
Campo elettrico generato da un dipolo elettrico
r
r
p = qd
d
-q
si chiama dipolo (o momento di dipolo) elettrico
del sistema di cariche -q e +q.
q
La definizione di dipolo elettrico può essere generalizzata ma ci limiteremo all’esempio dato.
Campo e potenziale elettrico generati da un dipolo elettrico (in P e Q)
r
E+
r
E−
-q
-d/2
Q
q
O d/2
P)
EP ≅
Q)
EQ ≅
P
r
r
E− E+
1
2p
4πε 0 r 3
1
p
4πε 0 r 3
(r distanza da O)
Campo elettrico generato da un anello circolare unif. carico (sull’asse)
r
dER
densità lineare di carica
Q = 2π R ⋅ λ
θ
r
dE ′
r
θ
r
dE
dEZ =
1
dq
cos θ
2
4πε 0 r
z
R
dq = λdl
cos θ =
contribuscono solo
le componenti z
dq′ = λdl
z
r
1
dqz
dE Z =
4πε 0 r 3
E TOT =
1
Qz
1
Qz
=
4πε 0 r 3
4πε 0 R 2 + z 2
approssimazione a grande distanza
(
)
3/ 2
Campo elettrico generato da un disco unif. carico (sull’asse)
r
dE
Q = πR ⋅ σ
2
dq = σ dS
densità superficiale di carica
θ
r’
z
R
dE =
1
(
dS = 2πrdr
r
zdq
4πε 0 r 2 + z 2
dr
)
E TOT
3/ 2
zσ
=
2ε 0
R
∫ (r
0
rdr
2
+z
)
2 3/ 2
E TOT =
σ
2ε 0

1 −


2
2 
R +z 
z
Campo elettrico generato da un piano infinito uniformemente carico
r
dE
il campo è ortogonale al piano ...
r’
θ
z
r
... e si calcola dal precendente per
non dipende dalla distanza dal piano!
R→∞ E =
σ
2ε 0
Carica in un campo elettrico
Abbiamo visto che una carica elettrica genera un campo elettrico nello spazio circostante.
Come risponde una carica elettrica al campo elettrico generato dalle altre cariche?
Una particella di carica q, in un campo elettrico E, è soggetta ad una forza
Se non agiscono altre forze, e la particella ha massa m:
r
r
F = qE
r
r
ma = q E
r
E
Il moto di una particella carica in un campo elettrico uniforme, la traiettoria è parabolica
qE

a
=
 y
m

a x = 0
qE

(
)
v
t
v
t
=
+
 y
0y
m

v x (t ) = v0 x
qE 2

(
)
y
t
=
y
+
v
t
+
t

0
0y
2m

 x (t ) = x0 + v0 x t
http://www.scienze.unipd.it/tutorjunior/2008_2009/stam.html
Lavoro della forza elettrostatica
La forza elettrostatica è conservativa. (in analogia con la forza gravitazionale)
r
LE = −∆U
− LE = ∆U = U F − U i
la variazione di energia potenziale elettrica
è uguale al
lavoro della forza elettrica cambiato di segno
l’energia potenziale è definita a meno di una costante. In genere, si pone
Se le cariche sono inizialmente a distanza infinita Ui=0,
U (∞ ) = 0
− LE = U F
L’energia potenziale del sistema è pari al lavoro compiuto dalle forze elettriche per portare le
cariche da distanza infinita alla posizione finale, cambiato di segno.
LApp = U F
L’energia potenziale è pari al lavoro compiuto dalle forze esterne
per portare le cariche dall’infinito alla posizione finale.
Energia potenziale di un sistema di due cariche puntiformi
q1
q2
+
F12
ponendo
F21
r
q1q2
U (r ) =
4πε 0 r
1
U (∞ ) = 0
si trova:
con segno!
+
questa si può interpretare come:
• energia potenziale di q nel campo della carica q
• energia potenziale di q nel campo della carica q
• energia potenziale del sistema di cariche q e q
1
2
2
1
1
2
Potenziale Elettrico
In presenza di più cariche puntiformi, il principio di sovrapposizione implica che
q1
U 0 = U 10 + U 20 + K = ∑ U k 0
q2
(somma algebrica)
k
r01
r
F01
r02
Analogamente al campo elettrico si definisce il potenziale elettrico:
q0
r
F02
U0
V=
q0
J kg ⋅ m 2
[V ] = =
=V
3
C
As
U 0 = q0V
Energia potenziale della carica q0 nel
campo generato dalle altre cariche.
Potenziale elettrico nella posizione di q0
(generato dalle altre cariche)
V è il potenziale generato dalle altre cariche nella posizione di q0
Numericamente, esso rappresenta l’energia potenziale di una carica di 1C nel punto considerato
V è un campo scalare, definito a meno di una costante additiva.
Potenziale Elettrico
Generato da una carica puntiforme.
Generato da 2 o più cariche puntiformi
q1
q
q2
r01
r
F01
q0
U0 =
V =
1
qq0
= q0V
4πε 0 r
U0
1 q
=
q0
4 πε 0 r
r02
q0
r
F02
1
q1q0
1 q 2 q0
U0 =
+
+K
4πε 0 r01
4πε 0 r02
U0
1 q1
1 q2
V=
=
+
+K
q
4πε 0 r01 4πε 0 r02
V = V1 + V 2 + K
somma algebrica dei potenziali generati da q1, q2, ...
Rappresentazione di campo elettrico e potenziale elettrico
V è un campo scalare
Rappresentazione:
curve di livello (2D), superfici di livello (3D)
Si chiamano
curve / superfici equipotenziali
Relazione fra Potenziale e Campo elettrico
nello spostamento infinitesimo, di una
carica q il lavoro della forza elettrica vale
dalla definizione di potenziale
ovvero
r r
dL = qE ⋅ ds
dL = − dU = − qdV
r r
dV = − E ⋅ ds
se lo spostamento avviene lungo una linea di forza, nello stesso verso del campo elettrico
dV = − Eds < 0
il potenziale elettrico diminuisce lungo una linea di forza.
se lo spostamento è ortogonale al campo elettrico
r r
E ⋅ ds = 0
cioè
dV = 0
siamo dunque su una superficie equipotenziale,
viceversa
una superficie equipotenziale è in ogni punto ortogonale al campo elettrico.
Relazione fra Potenziale e Campo elettrico
Se una carica q0 si sposta da A a B nel campo generato da altre cariche.
B
r r
∆U = U B − U A = −LC.E. = −∫ FEl ⋅ ds
ma
r
r
FEl = q0 E
B
r r
∆U = −q0 ∫ E ⋅ ds
A
ricordando che
A
B
r r
∆V = VB −VA = −∫ E ⋅ ds
U = q0V
A
Se ds è lo spostamento lungo una linea di forza:
dV = −Eds
⇒
dV
E=−
ds
B
più rapidamente varia V, maggiore è il campo
elettrico (in modulo)
Ciò si esprime dicendo che il campo
elettrico è il gradiente del potenziale.
A
In una regione in cui E=0 V è costante,
e viceversa (v. conduttori in equilibrio).
Dipolo elettrico
r
r
p = qd
d
-q
si chiama dipolo (o momento di dipolo) elettrico
del sistema di cariche -q e +q.
q
La definizione di dipolo elettrico può essere generalizzata ma ci limiteremo all’esempio dato.
Campo e potenziale elettrico generati da un dipolo elettrico (in P e Q)
r
E+
r
E−
-q
-d/2
P)
Q
Q)
q
O d/2
P
r
r
E− E+
2p
EP ≅
4πε 0 r 3
1
EQ ≅
p
4πε 0 r 3
1
1
p
VP =
4πε 0 r 2
VQ = 0
Dipolo elettrico
Comportamento di un Dipolo elettrico in un campo elettrico uniforme
Se il campo elettrico è uniforme
r
r
r
F = qE + − qE − = 0
d
sul dipolo agisce una coppia di momento
r r
r
τ = p×E
momento nullo, equilibrio stabile,
U min.
momento nullo, equilibrio instabile, U max.
momento massimo
Il momento tende ad orientare il dipolo parallelamente al campo elettrico
Energia potenziale del dipolo
r r
U = −p⋅E