Funzioni derivabili in un intervallo
Studiamo le proprietà delle funzioni derivabili in un intero intervallo, tramite due teoremi
fondamentali e le conseguenze che portano.
Teorema (di Rolle). Sia f continua su [a, b] e derivabile in (a, b). Se f assume valori
uguali agli estremi di [a, b] allora ammette almeno un punto critico in (a, b).
In altri termini:
3
se f 5 C ([a, b]) è derivabile in (a, b)
2.5
2
e tale che f (a) = f (b) ,
1.5
1
0.5
allora <x0 5 (a, b) tale che f (x0 ) = 0.
0 0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
Osserviamo che la retta tangente in x0 è parallela alla secante per (a, f (a)) e (b, f (b)).
Dimostrazione. Poiché f è continua sul compatto [a, b], per il teorema di Weierstrass
<xm , xM 5 [a, b] tali che
f (xm ) = min f (x)
xM[a,b]
e f (xM ) = max f (x) .
xM[a,b]
• Se xm , xM sono entrambi agli estremi di [a, b], allora l’ipotesi f (a) = f (b) implica
f (xm ) = f (xM ), cioè min[a,b] f = max[a,b] f .
Allora f è costante su [a, b] e quindi f (x) = 0 per ogni x 5 (a, b).
• Se invece almeno uno tra xm , xM è interno ad [a, b], allora questo è punto di estremo
interno in cui f è derivabile e quindi è punto critico di f per il teorema di Fermat.
Teorema (di Lagrange). Sia f continua su [a, b] e derivabile in (a, b). Allora esiste
almeno un punto x0 5 (a, b) tale che
f (b) f (a)
= f (x0 )
ba
Ogni x0 5 (a, b) che realizzi tale uguaglianza è detto punto di Lagrange per f in (a, b).
In un punto di Lagrange, la retta tangente è parallela alla secante per (a, f (a)) e (b, f (b)).
Dimostrazione. Applichiamo il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria
g (x) = f (x) f (b) f (a)
(x a) .
ba
• g è continua su [a, b] e derivabile in (a, b) perché dierenza di funzioni che hanno tali
proprietà (f per ipotesi, l’altra perché a!ne).
• Si ha g (a) = f (a) e g (b) = f (b) f (b)3f (a)
b3a
(b a) = f (a), da cui g (b) = g (a).
Allora <x0 5 (a, b) tale che
0 = g (x0 )
Rolle
=
reg o le d i
d e riva z io n e
f (x0 ) f (b) f (a)
.
ba
Osservazione. Nessuna ipotesi dei teoremi di Rolle e Lagrange è condizione necessaria
alla tesi, ma tutte sono essenziali per la validità dei teoremi.
f non continua su [a, b]
f non derivabile in (a, b)
f (a) 9= f (b)
(nessun punto critico e
(nessun punto critico e
(nessun punto critico)
nessun punto di Lagrange)
nessun punto di Lagrange)
Conseguenze del teorema di Lagrange
Indichiamo con I un intervallo qualsiasi e con I l’insieme dei suoi punti interni.
Teorema (caratterizzazione delle costanti). Sia f continua su I e derivabile in I .
Allora
f è costante su I
+,
f (x) = 0 per ogni x 5 I .
Dimostrazione. , Già dimostrata.
+ Siano x1 , x2 5 I con x1 < x2 . Applicando il teorema di Lagrange sull’intervallo
[x1 , x2 ] I, risulta che esiste 1 5 (x1 , x2 ) I tale che
f (x2 ) f (x1 ) = f (1) (x2 x1 ) = 0
 ~} €
e quindi f (x2 ) = f (x1 ).
=0
Teorema (intervalli di monotonia). Sia f continua su I e derivabile in I . Allora
1) f è crescente su I +, f (x) 0 per ogni x 5 I 2) f (x) > 0 per ogni x 5 I =, f strettamente crescente su I.
Analogamente nel caso della decrescenza.
Dimostrazione. 1) , Sia x0 5 I . Essendo f crescente su I, per ogni x 5 I risulta
f (x) f (x0 )
0
x x0
e quindi f (x0 ) = lim
x<x0
#
+
perché f (x)
f (x0 ) se x x0 > 0
$
f (x0 ) se x x0 < 0
f (x) f (x0 )
0 per il corollario della permanenza del segno.
x x0
1) + Siano x1 , x2 5 I con x1 < x2 . Applicando il teorema di Lagrange sull’intervallo
[x1 , x2 ] I, risulta che esiste 1 5 (x1 , x2 ) I tale che
f (x2 ) f (x1 ) = f (1) (x2 x1 ) 0
 ~} €  ~} €
D0
>0
e quindi f (x2 ) f (x1 ).
2) Se f (1) > 0 in (), allora si ottiene f (x2 ) > f (x1 ).
()
Osservazione. Nel teorema precedente:
• l’equivalenza 1) riconduce la ricerca degli intervalli di monotonia di f (e dei suoi estremi)
allo studio del segno di f (x) (v. esempio seguente);
• l’implicazione 2) non può essere rovesciata, cioè la crescenza stretta non garantisce la
positività stretta della derivata:
ad esempio f (x) = x3 è strettamente crescente su R,
100
ma f (0) = 0.
50
-4
-2
00
2 x
4
-50
-100
Esempio. Studiare la monotonia di f (x) = log (x + 1) arctan x e determinarne gli
eventuali punti di estremo.
Esercizio. Studiare la monotonia di f (x) = log (x + 1) arctan x e determinarne gli
eventuali punti di estremo.
Svolgimento.
• Nulla si conclude per dierenza, perché log (x + 1) e arctan x sono entrambe crescenti.
• dom f = (1, +4) è un intervallo ed f è derivabile ovunque, quindi gli intervalli di
monotonia di f coincidono con quelli su cui f non cambia segno. Si ha
f (x) =
1
1
x (x 1)
=
x + 1 1 + x2
(x + 1) (1 + x2 )
per ogni x > 1
e quindi, studiando il segno di f (x) (per x > 1), si ottengono i risultati seguenti:
intervallo : (1, 0] [0, 1] [1, +4)
Si noti che la monotonia è sempre stretta,
segno di f :
0
0
0
perché f è in eetti sempre > 0 oppure < 0
monotonia di f :
(
)
(
all’interno degli intervalli considerati.
• Poiché f è crescente su (1, 0] e decrescente su [0, 1], si ha f (x) f (0) per ogni
x 5 (1, 1] e dunque x = 0 è un punto di massimo locale per f .
• Analogamente risulta che x = 1 è un punto di minimo locale per f .
• Nessuno dei due è punto di estremo globale perché lim f (x) = 4 e lim f (x) = +4.
x<1
x<+"