Stabilità per E.D.O. (II):
IL METODO DIRETTO DI LYAPUNOV
19 maggio 2006
Roberta Pappadà
Introduzione
Il metodo diretto di Lyapunov è un importante metodo per lo
studio della stabilità delle soluzioni.
Si consideri il sistema dinamico autonomo
(1)
x  f ( x)
x  n
Il metodo diretto di Lyapunov si basa su particolari classi di
funzioni V (x ) , caratterizzabili in segno, dette funzioni di
Lyapunov; tali funzioni permettono di determinare la stabilità
o l’instabilità della soluzione di (1).
Nel seguito, senza perdere di generalità, si tratterà solo il caso
di stabilità della soluzione nulla.
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Premesse (1)
Si consideri il sistema dinamico autonomo
(1)
x  f (x )
dove x  ( x1 ,........, xn ) e f ( x)  ( f1 ( x),..........., f n ( x)) .
Si assume che f (x) soddisfi le seguenti condizioni:
(i) f (x) è definita e continua in
   x || x || a
dove con || x || si indica la norma euclidea di x ;
(ii) in ogni punto x0   è soddisfatta la condizione di
unicità delle soluzioni x(t ; t0 , x0 ) di (1) ;
(iii) f (0)  0 e quindi x(t; t0 ,0)  0 è una soluzione
di (1) .
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Premesse (2)
Si consideri una funzione scalare V (x ) continua con derivate
parziali prime continue nell’intorno

dell’origine.
Sono necessarie alcune definizioni preliminari.
Definizione:
La funzione V (x ) è detta definita positiva se :
(i) V (0)  0 ,
(ii) V ( x )  0 , per tutti i punti x  0 in .
Definizione:
La funzione V (x ) è detta semidefinita positiva se :
(i) V (0)  0 ,
(ii) V ( x )  0 , per tutti i punti x  0 in  .
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Premesse (3)
Definizione: derivata rispetto ad un campo vettoriale
La derivata V di una funzione V (x ) rispetto al campo
vettoriale f (x ) è definita dal prodotto scalare
V   V (x) : V ( x)  f ( x)
V ( x)
V ( x)

f1 ( x)  .......... 
f n ( x)
x1
xn
V  si calcola direttamente dalla conoscenza di V (x ) e del
campo vettoriale f (x).
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Premesse (4)
Sia x  x(t ) , t0  t  t1 , una soluzione di (1); allora, utilizzando
la regola di derivazione di funzioni composte, se la funzione V (x )
viene valutata lungo la traiettoria x(t ), si ottiene:
V ( x)
V ( x)


V ( x(t ))  V 
x1  ...... 
xn
x1
xn
V ( x)
V ( x)

f1 ( x)  ...... 
f n ( x)
x1
xn
Segue che la derivata di V lungo f descrive la variazione
temporale della funzione V (x ) quando è calcolata lungo una
soluzione x(t ) dell’equazione differenziale, ovvero V   V.
In seguito si indicherà con V  la derivata di V.
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Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov
Se esiste una funzione V (x ) definita positiva, tale che
V sia definita negativa, allora la soluzione x(t )  0 del
sistema x  f (x) è asintoticamente stabile .
Dimostrazione:
Dimostriamo che x(t )  0 è stabile.
Poiché V è definita positiva V ( x)  min V ( x)  0 per 0 || x || a .
Fissato   0 , sia m  min V ( x) ; allora m  0 .
|| x||
Poiché
V è continua e V (0)  0 , possiamo scegliere   0
t. c.
V ( x0 )  m se || x0 ||   . Inoltre V  definita negativa implica
che se t1  t 0 e || x0 ||   allora si ha :
V ( x(t1; t0 , x0 ))  V ( x(t0 ; t0 , x0 ))  V ( x0 )  m .
7
Ora supponiamo che per un certo t1  t0 risulti
|| x(t1 ; t0 , x0 ) ||  con || x0 ||   .
Ma allora si avrebbe
V ( x(t1; t0 , x0 ))  min V ( x(t1; t0 , x0 ))  m
e si giungerebbe ad una contraddizione.
Quindi se || x0 ||   , allora la soluzione x(t ; t0 , x0 ) è definita
per t  t0 e soddisfa || x(t1 ; t0 , x0 ) ||  .
Pertanto x(t )  0 è stabile .
Ora proviamo che x(t )  0 è asintoticamente stabile.
Fissato   0 , si suppone che    0 ,   0 e una soluzione
x(t ; t0 , x0 ) di (1) tali che  || x(t; t0 , x0 ) ||  , t  t0, || x0 ||   .
Inoltre, poiché V è definita negativa e || x(t; t0 , x0 ) ||   0,
d  0 t. c. V ( x(t ; t0 , x0 ))  sup V ( x(t ; t0 , x0 ))  d  0 , t  t 0.
t  t0
8
Ciò implica che
t
V ( x(t ; t0 , x0 ))  V ( x0 )   V dt  V ( x0 )  d (t  t0 ) ,
t0
ma per t sufficientemente grande il secondo membro della
disuguaglianza diventerà negativo
assurdo, poiché
per ipotesi V è definita positiva.
Quindi non esiste   0 t. c. || x(t ; t0 , x0 ) ||   , e poiché
V ( x(t ; t0 , x0 )) é una funzione positiva e decrescente, si ha:
lim V ( x(t ; t0 , x0 ))  0 ,
t 
da cui
lim || x(t ; t0 , x0 ) || 0
t 
Segue che la soluzione
x(t )  0 é asintoticamente stabile .
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Dal Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov segue, come
corollario, il Teorema di stabilità di Lyapunov :
Se esiste una funzione V (x ) definita positiva, tale
che V sia semidefinita negativa, allora la soluzione
x(t )  0 di x  f (x) è stabile .
Definizione: funzione di Lyapunov
Una funzione V (x ) che soddisfa le ipotesi del Teorema di
stabilità di Lyapunov è detta funzione di Lyapunov per
il sistema corrispondente .
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Interpretazione geometrica
dei Teoremi di stabilità di Lyapunov (1)
Consideriamo il caso n  2 .
Le curve V ( x, y )  c , con c costante piccola e positiva,
costituiscono una famiglia di curve chiuse concentriche
che includono l’origine.
Le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov implicano
che, per curve chiuse sufficientemente piccole, il campo
vettoriale definito dal sistema x  P ( x, y ) , y  Q( x, y )
non è mai diretto verso l’esterno.
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Interpretazione geometrica
dei Teoremi di stabilità di Lyapunov (2)
Le ipotesi del Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov
implicano che il campo vettoriale definito dal sistema è diretto
verso l’interno.
Ciò è facilmente intuibile tenendo presente che si suppone
Vdefinita positiva e V definita
negativa, e che, come già visto,
risulta:
d
V   V ( x(t ))  V ( x(t ))  x (t )
dt
 V ( x(t ))  f ( x(t ))
V c
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Esempi (1)

Data l’equazione del secondo ordine
x  q ( x)  0
con q differenziabile, q (0)  0 e xq( x)  0 ,
consideriamo il sistema corrispondente:
x  y
y  q (x)
Le ipotesi assicurano che (0,0) è l’unico punto fisso.
L’ energia totale del sistema è data da:
x
y2
V ( x, y ) 
  q( s )ds
0
2
energia cinetica
energia potenziale13
Esempi (2)


La funzione
La funzione
V è differenziabile;
V è definita positiva. Infatti:
V (0,0)  0 ;
V ( x, y )  0 per ( x, y )  (0,0) ;
xq( x)  0

V   Vx x  V y y  q ( x) y  y (q ( x))  0 .
Pertanto V è una funzione di Lyapunov e il punto fisso (0,0)
è stabile.

Per il sistema
x   y  x 3
y  x  y 3
consideriamo la funzione
V ( x, y)  x 2  y 2 .
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Esempi (3)


V è definita positiva;
V  è definita negativa. Infatti:
V   Vx x  V y y
 2 x(  y  x 3 )  2 y ( x  y 3 )
 2( x 4  y 4 )
Pertanto il punto fisso (0,0) è asintoticamente stabile.
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Teorema di instabilità di Lyapunov
Se esiste una funzione V tale che V sia definita positiva
ed in ogni intorno dell’origine esista un punto x0 per cui
vale V ( x0 )  0 , allora la soluzione x(t )  0 del sistema
x  f (x) è instabile .
Dimostrazione:
Sia R  0 , sufficientemente piccolo , tale che la palla
S ( R)  { x | || x || R }
sia contenuta in  . Sia M  max V ( x) ed M è finito in quanto
V
è continua.
Scelto r  0 tale che
|| x|| R
0  r  R , per le ipotesi esiste un punto
x0 tale che 0  || x0 ||  r e V ( x0 )  0 .
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Lungo la traiettoria C : x  x(t ; t0 , x0 ) , t  t0 , V ' è positiva
e quindi V ( x(t; t0 , x0 )) , t  t0 , è una funzione crescente e
V ( x(t; t0 , x0 ))  0 .
Segue che C non può avvicinarsi all’origine.
Inoltre, poiché V ' è definita positiva, si ha :
e quindi
inf V ( x(t ; t0 , x0 ))  m  0
t t 0
t
V ( x(t ; t0 , x0 ))  V ( x0 )   V dt  V ( x0 )  m(t  t0 ) ,
ovvero
t0
V ( x(t ; t0 , x0 ))  V ( x0 )  m(t  t0 ) per t  t0 .
Ma per t sufficientemente grande, il secondo membro
della disuguaglianza diviene più grande di M e quindi C
si allontana dalla palla S (R) .
Segue che la soluzione x(t )  0 è instabile.
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Esempio

Per il sistema
x  3x  y 2
y  2 y  x 3
consideriamo la funzione V ( x, y )  x  y .
V è continua con derivate parziali prime continue;
V (0,0)  0 e V ha valori positivi in ogni intorno dell’origine;
2



2
2
3



V  Vx x  V y y  2 x(3x  y )  (2 y)( 2 y  x )
 (6 x 2  4 y 2 )  (2 xy2  2 yx 3 )
e per | x | e | y | sufficientemente piccoli il segno di V ' è
determinato dal primo termine tra parentesi. Inoltre
V (0,0)  0 e quindi V ' è definita positiva in un intorno
dell’origine. Pertanto il punto fisso (0,0) è instabile.
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Conclusioni
I teoremi di stabilità ed instabilità di Lyapunov non
forniscono alcuna informazione circa la costruzione di una
funzione di Lyapunov di un sistema. Ciò costituisce la
principale difficoltà nell’applicazione del criterio.
 I teoremi forniscono condizioni sufficienti di stabilità.
Tali condizioni non sono necessarie.
 Le condizioni di stabilità sono locali. In alcuni casi l’intorno
dell’origine considerato potrebbe essere anche molto piccolo.
 Analogamente a quanto fatto per il sistema dinamico
autonomo x  f (x) , il metodo diretto di Lyapunov può
essere applicato allo studio della stabilità delle soluzioni
del sistema non autonomo x  f (t , x ) , dove
x  x(t )  ( x1 (t ),...., xn (t )) e f (t , x)  ( f1 (t , x),......, f n (t , x)) .

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