I multipli comuni
Consideriamo in N0 l’insieme M6 dei multipli di 6
e l’insieme M8 dei multipli di 8:
M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …, 72, …}
M8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …, 72, …}
Eseguiamo l’intersezione
dei due insiemi:
M6 M8 = {24, 48, 72, …}
L’intersezione contiene i numeri multipli sia di 6 che di 8,
ovvero i multipli comuni a 6 e 8.
Dati gli insiemi dei multipli di due numeri naturali,
la loro intersezione costituisce l’insieme dei
multipli comuni a tali numeri.
Il minimo comune multiplo
Tornando alla rappresentazione degli insiemi M6 e M8,
osserviamo che 24 è il minore dei multipli comuni a 6 e a 8.
Il numero 24 viene detto
minimo comune multiplo
di 6 e 8 e si scrive:
m.c.m.(6, 8) = 24
In generale, in N0, se Ma ed Mb rappresentano gli insiemi dei
multipli di due numeri naturali a e b, si chiama minimo
comune multiplo (m.c.m.) dei due numeri il minore degli
elementi dell’insieme Ma Mb.
Il minimo comune multiplo di due o più numeri è
il minore dei multipli comuni a quei numeri.
Alcuni esempi
• Per trovare il minimo comune multiplo di 12 e 18 dobbiamo:
- scrivere in N0 alcuni multipli di 12 e alcuni multipli di 18:
M12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, …}
M18 = {18, 36, 54, 72, 90, …}
- cercare tra i multipli di 12 quelli che lo sono anche di 18:
M12 M18 = {36, 72, …}
- individuare tra questi il più piccolo.
Quello è il m.c.m. di 12 e 18, cioè:
m.c.m.(12, 18) = 36
Prova tu
Considera l’insieme M8 dei multipli di 8 e l’insieme M10
dei multipli di 10, rappresenta l’insieme dei multipli comuni
40; 80; 120; 160; …
M8 M10 = {.........................}
e determina il m.c.m.(8, 10): ……………….
40
Altri esempi
• Calcoliamo il m.c.m. fra 4, 6 e 9.
M4= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ..,72}
M6= {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …, 72, …}
M9= {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, …}
M4
M6
M9 = {36, 72, …}
m.c.m.(4, 6, 9) = 36
Prova tu
Determina il m.c.m.(3, 4, 5).
m.c.m.(3, 4, 5) = 60
Se un numero è multiplo dell’altro
Determiniamo il minimo comune multiplo di due numeri di
cui uno è multiplo dell’altro, per esempio m.c.m.(8, 16).
Si ha: M8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …}
M16 = {16, 32, 48, 64, 80, …}
Rappresentiamo gli insiemi
ed eseguiamo l’intersezione.
M8
M16 {16, 32, 48, 64, 80, …} = M16
m.c.m.(8, 16) =16
Dati due numeri a e b se b è multiplo di a,
allora il m.c.m.(a, b) = b.
Il m.c.m. fra due numeri primi tra loro
Determiniamo il m.c.m. fra numeri primi fra loro: 5 e 9.
M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ..., 90, ...}
M9 = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...}
M5 M9 = {45, 90, ...}
m.c.m.(5, 9) = 45
Notiamo che 45 = 5 × 9.
Determiniamo ora il m.c.m. fra 3 e 7, anch’essi primi fra loro.
M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ..., 42, ...}
M7 = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ...}
M3 M7 = {21, 42, ...}
m.c.m.(3, 7) = 21
Notiamo che 21 = 3 × 7.
Il m.c.m. fra due numeri primi fra loro è il loro prodotto.
Alcuni esempi
• Determiniamo il m.c.m. fra 7 e 35.
Poiché 35 è multiplo di 7 secondo 5, scriviamo:
m.c.m.(7, 35) = 35
• Determiniamo il m.c.m. fra 8 e 9.
I numeri 8 e 9 sono primi fra loro: infatti M.C.D.(8, 9) = 1.
Quindi:
m.c.m.(8, 9) = 72
Prova tu
• Considera l’insieme M8 dei multipli di 8 e l’insieme M4
dei multipli di 4; poiché M4 M8, allora:
m.c.m. (8, 4) = ...............
8
• Considera l’insieme M8 dei multipli di 8 e l’insieme M5
dei multipli di 5; poiché 8 e 5 sono ................................ primi fra loro
il m.c.m. (8, 5) = ............
8 × 5 = 40
Ricerca del m.c.m. con i fattori primi
Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri conviene,
a volte, utilizzare la scomposizione dei numeri in fattori primi.
Calcoliamo con questo metodo il m.c.m.(60, 18).
• Scomponendo abbiamo:
60 = 22 × 3 × 5
18 = 2 × 32
• Il m.c.m. deve essere multiplo di 60 e di 18, quindi deve
contenere tutti i fattori primi che compaiono in ognuna delle
due scomposizioni, cioè 2, 3 e 5.
• Per determinarlo, dobbiamo allora prendere:
22 che è multiplo anche di 2 (contiene anche il 2);
32 che è multiplo anche di 3;
5 perché 60 contiene anche il 5.
Quindi m.c.m.(60, 18) = 22 × 32 × 5 = 180.
Il m.c.m. di più numeri scomposti in fattori primi è dato
dal prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni,
presi una volta sola, col massimo esponente.
Alcuni esempi
• Calcoliamo il m.c.m.(48, 120).
Scomponendo in fattori primi otteniamo:
48 = 24 × 3
120 = 23 × 3 × 5
Prendendo i fattori primi comuni e non comuni col massimo
esponente abbiamo:
m.c.m.(48, 120) = 24 × 3 × 5 = 240
• Calcoliamo il m.c.m. di: 22 × 32
2 × 32 × 5 2 × 3 ×112
Moltiplichiamo tra loro tutti i fattori con il massimo esponente
che compaiono nelle scomposizioni:
m.c.m. = 22 × 32 × 5 × 112 = 21780
Prova tu
• Completa.
48 = 24 × 3
30 = 2 × 3 × 5
22
22 × 7
22 × 72
22 × 192
2 × 19
52
24 × 3 × 5 = 240
m.c.m.(48, 30) = ...........
m.c.m. =.......................
2 × 7 = 196
m.c.m. =.......................
2
2
22 × 192 × 52 = 36100
L’allineamento dei pianeti
Giove, Urano e Saturno sono
tre pianeti del sistema solare.
Come la Terra, anche questi pianeti
si muovono ruotando attorno al
proprio asse e attorno al Sole.
Per compiere un giro completo attorno al Sole, Giove impiega
12 anni, Urano 84 e Saturno 29.
Se quest’anno si trovassero allineati rispetto al Sole, fra
quanti anni si ripeterebbe il fenomeno?
Perché i tre pianeti si ritrovino allineati deve passare un
numero di anni multiplo di tutti e tre i periodi di rotazione.
Calcoliamo il m.c.m. dei tre periodi:
m.c.m. (12, 84, 29) = ……………….
2436
I tre pianeti saranno nuovamente allineati tra …………………….
203 anni
Esercitati
• Completa la frase scegliendo tra i termini e i simboli unione,
intersezione
intersezione, inclusione, , , , finito, infinito.
L’insieme dei multipli comuni a 5 e 2 è l’ ..............................
dell’insieme M5 dei multipli di 5 e dell’insieme M2 dei multipli di
2; si scrive M5 .......... M2 ed è un insieme ............................ finito
• Scrivi almeno 3 multipli comuni ai due insiemi
M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
10, 20,30
................................................................................................
• Completa le seguenti regole utilizzando i termini prodotto, più
grande, minore.
prodotto
Il m.c.m. tra due numeri è uguale al ..................... degli elementi
dell’intersezione dei due insiemi.
Il m.c.m. tra due numeri, uno multiplo dell’altro, è uguale al
numero ............................ più grande
Il m.c.m. tra due numeri primi è il loro ............................ prodotto
Esercitati
• Considera gli insiemi dei multipli sotto indicati e trova i
corrispondenti m.c.m.
M12 = {12, 24, 36, 48, ...}
M8 = {8, 16, 24, 32, 40, ...}
2 × 3 = 24
m.c.m.(12, 8) = .................
M10 = {10, 20, 30, ...}
M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
2 × 5 = 10
m.c.m.(10, 5) = .................
M5 ={5,10,15, 20, 25,30,...} M3 ={3, 6,9,12,15,18,21,24,...}
m.c.m.(5, 3) = .................
5 × 3 = 15
• Completa la regola utile a trovare il m.c.m. con il metodo
della scomposizione in fattori primi.
Dati 2 numeri scomposti in fattori primi, il m.c.m. è il
multiplo
............................ di tutti i fattori primi comuni e non comuni,
esponente
presi una sola volta, col massimo ............................
3
• 12 = 22 × 3
36 = 22 × 32
m.c.m.(12, 36) .......... × .......... = ..........
• 12 = 22 × 3
10 = 2 × 5
m.c.m.(12, 10) ........................ = ..........
22 × 32 = 36
22 × 3 × 5 = 60