U.D. 2 – L’insieme R dei numeri reali
Contenuti previsti nell’unità:
• Richiami alle proprietà strutturali degli insiemi numerici N, Z e Q e generalizzazione del concetto di
operazione
• Z come ampliamento di N e Q come ampliamento
di Z
• L’irrazionalità di 2 e l’insieme R dei numeri reali
come ampliamento di Q
• Approssimazioni per arrotondamento e per troncamento: cenni al calcolo con numeri approssimanti
• Proprietà delle operazioni in R
• “Potenza del continuo” dell’insieme R
Obiettivi minimi richiesti
1. conoscere le principali definizioni e gli enunciati dei teoremi utili a descrivere i contenuti teorici nelle loro linee
essenziali; in part.: conoscere la def. di numero reale, razionale e irrazionale, le proprietà che caratterizzano l'insieme R, le dimostrazioni più semplici
2. calcolare per approssimazioni successive, con l'uso della
calcolatrice tascabile (CT), le cifre decimali esatte richieste di una radice di indice 2
3. fornire l'approssimazione di un numero reale per arrotondamento e per troncamento con la precisione richiesta
4. individuare le cifre esatte del risultato di addizioni e moltiplicazioni tra numeri reali positivi, di cui si conosca un
numero fisso di cifre decimali esatte
Per una riflessione sulle operazioni in N
4
6
Esempi
addizione
+
10
4
6
Esempi
moltiplicazione
6
4
4
6
x
24
6
4
–
–

2
–2
0,66666…
Operazione interna
o legge di composizione interna
Dato un insieme A, si dice operazione interna (o legge di
composizione interna) nell’insieme A una regola che permetta
di associare ad OGNI coppia di elementi di tale insieme UNO
e UN SOLO elemento dell’insieme stesso.
Se una certa operazione è interna in un dato insieme A, diremo che A è chiuso rispetto a tale operazione
Esempio 1 – Nell’insieme Z la sottrazione è un’operazione interna: infatti ad ogni coppia di numeri interi è possibile associare un
unico numero intero che ne è la differenza
p.e.
(12;5)  7
(92;113)  –21
La divisione non è un’operazione interna in Z: (2;4)  0,5Z
Un esempio per approfondire…
Esempio 2 – Sia dato un piano  e l’insieme I delle rette che gli appartengono; data una coppia a e b di rette del piano, ad essa si associa:
- la retta del piano bisettrice dell’angolo convesso formato da a e b, se a
e b sono incidenti (che esiste ed è unica per il postulato sulle bisettrici di
un angolo);
- la retta stessa, se a e b sono coincidenti;
- la retta del piano equidistante da a e b, se a e b sono parallele (essa è
parallela ad a e b ed è unica anche in conseguenza del 5° postulato di
Euclide).
Quella appena descritta è un’operazione interna in I
poiché è stata definita una regola che permette di associare ad ogni coppia di rette a tale insieme una ed una sola retta dello stesso insieme.
 non è necessario che l’insieme considerato sia numerico per poter
parlare di operazioni (leggi di composizione) interne!!
Riflettiamo insieme…
Chiuso rispetto all’operazione di:
N
Z
Q
Q-{0}
Addizione
SI
NO
SI
NO
SI
NO
SI
NO
Sottrazione
SI
NO
SI
NO
SI
NO
SI
NO
Moltiplicazione
SI
NO
SI
NO
SI
NO
SI
NO
Divisione
SI
NO
SI
NO
SI
NO
SI
NO
Aggiorna
Riflettiamo insieme…
Chiuso rispetto all’operazione di:
N
Z
Q
Q-{0}
Addizione
SI
SI
SI
NO
Sottrazione
NO
SI
SI
NO
Moltiplicazione
SI
SI
SI
SI
Divisione
NO
NO
NO
SI
Fatta salva la divisione per 0, l’insieme Q risulta chiuso rispetto alle
operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, che
per questo si chiamano operazioni razionali.
Altri quesiti……
L’insieme dei numeri interi pari è chiuso rispetto all’addizione?
E rispetto alla moltiplicazione?
risposte
L’insieme dei numeri interi dispari è chiuso rispetto
all’addizione?
E rispetto alla moltiplicazione?
risposte
Dall’insieme dei ni naturali a quello dei ni interi…
Z può essere considerato un
ampliamento di N: in Z, infatti, diventa possibile la sottrazione anche quando il minuendo è minore del sottraendo.
Q
Z
N
…e dall’insieme dei ni interi
a quello dei ni razionali
Q può essere considerato un ampliamento di Z: in Q, infatti,
diventa possibile la divisione anche quando il dividendo non è
un multiplo del divisore.
Quindi:
NZQ
Un’altra particolarità di Q
Abbiamo già osservato che Q è chiuso rispetto alle quattro
operazioni razionali.
Rispetto agli insiemi N e Z ha anche un’altra caratteristica:
Q è un insieme denso: dati due elementi distinti qualsiasi di
Q, esiste sempre un terzo numero in Q compreso tra i primi
due.
Al contrario, N è un insieme discreto: se consideriamo due
elementi distinti di N, non sempre è possibile trovare un
terzo elemento di N diverso dai primi due e che sia compreso tra di essi.
Per lo stesso motivo, anche Z è un insieme discreto.
Conosci altri insiemi non numerici che siano densi?
Compiti per gio. 13 ottobre
A) Studiare gli appunti
B) Esercizi:
B.1) Per ciascuno dei seguenti numeri, stabilire se esso
appartiene ad N, Z, Q e rappresentarlo su una retta (attenzione: ciascun numero può appartenere anche a più di un
insieme!) :
8;
-4/3;
-2;
9/4;
5;
0,5; -7; 15/5; 3,(3)
B.2) L’insieme dei numeri interi multipli di 3 è chiuso rispetto alla addizione? E alla moltiplicazione? (da dimostrare come nell’esempio per i numeri pari/dispari)
e-mail:
[email protected]
N0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 124897,…..
(insiemi
N,deiZnei naturali
Q) privati dello 0
Insieme
N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 124897,….. 
Insieme dei ni naturali
Z 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3, -4, +4, -5, +5, .…..
Insieme dei ni interi (relativi)
Q
m
{x | x è rappresentabile sotto forma di frazione
,
n
con m, n  Z, n  0
Z+  interi positivi
Z0+
Insieme dei ni razionali
 interi non negativi
ecc
RICORDIAMO: Tutti i numeri appartenenti a questi insiemi si
possono rappresentare su una retta sulla quale sia stato fissato: un
orientamento, un’origine, un’unità di misura
La somma di(risposte
due numeri pari
è sempre
quesiti
1 un
dianumero
7) pari; infatti,
se indichiamo con 2k e 2h due numeri pari qualsiasi (N.B. un
numero pari è sempre il doppio di un qualche numero intero k o
h), si ottiene:
2k + 2h = 2(k + h)
che è a sua volta un numero pari, essendo il doppio del numero
intero k + h
Si conclude, quindi, che l’insieme dei numeri pari è chiuso
rispetto all’operazione di addizione.
Analogamente si può dimostrare per la moltiplicazione tra
numeri pari:
2k · 2h = 2(2 · k · h)
(prova tu a spiegare a parole…)
La somma (risposte
di due numeriquesiti
dispari è 2
sempre
dia un
7)numero pari;
infatti, se indichiamo con 2k + 1 e 2h + 1 due numeri dispari
qualsiasi (N.B. un numero dispari è sempre il doppio di un
qualche numero intero k o h addizionato ad 1), si ottiene:
(2k+1) + (2h+1) = 2k + 2h + 2 = 2(k + h + 1)
che è ancora un numero pari, essendo il doppio del numero
intero k + h + 1
Si conclude, quindi, che l’insieme dei numeri dispari non è
chiuso rispetto all’operazione di addizione.
Per la moltiplicazione tra numeri dispari si dimostra invece:
(2k+1) · (2h+1) = 4kh + 2k + 2h + 1 = 2(2kh + k +
h)+1
che è ancora un numero dispari (prova tu a spiegare a parole…)