Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Definizione e caratteristiche
I numeri naturali sono quelli che formano l’elenco illimitato e a tutti noto
0 1 2 3 4 5 6 7…..
L’insieme N si può rappresentare su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale sia
fissato un verso di percorrenza.
Scelto un segmento a di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine della semiretta lo riportiamo su di
essa consecutivamente in modo da posizionare i numeri naturali sulla semiretta stessa:
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Ordinamento
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Dalla rappresentazione grafica possiamo dedurre l’ordinamento di N:
Diciamo che a è minore di b, e scriviamo a < b, se il punto corrispondente ad a viene prima del punto
corrispondente a b sulla semiretta.
Diciamo che a è maggiore di b, e scriviamo a > b, se il punto corrispondente ad a segue il punto
corrispondente a b sulla semiretta.
2
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a + b è il numero naturale che si ottiene contando b
unità verso destra a partire da a:
1
3+6=9
0
1
2
3
2
4
3
5
4
6
L’operazione introdotta si chiama ADDIZIONE.
5
7
6
8
9
a+b=c
addendi somma
L’addizione è un’operazione interna ad N perche la somma di due numeri naturali è sempre un
numero naturale.
L’addizione è commutativa, cioè a + b = b + a
L’addizione è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c)
3
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a − b, se esiste, è il numero che addizionato a b dà a:
9−4=5
3
4
0
1
2
3
4
5
6
7
a−b=c
minuendo
Il numero c può non esistere (la sottrazione non è
un’operazione interna a N)
0
3
4
5
1
2
3
4
differenza
sottraendo
La sottrazione è possibile solo se a ≥ b
1
2
9
8
L’operazione introdotta si chiama SOTTRAZIONE.
5−7=?
1
2
5
6
7
8
9
4
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
La sottrazione non è né commutativa né associativa
La sottrazione gode della proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri a e b non cambia se
ad entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso numero:
a – b = (a + k) – (b + k)
= (a − k) – (b − k)
con
a≥keb≥k
5
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Una moltiplicazione tra numeri naturali è un modo abbreviato di scrivere una somma di addendi tutti
uguali tra loro:
ab
a+a+…+a
sgnifica
ab=c
b volte
fattori
24=8
1 volta
0
1
2 volte
2
3
3 volte
4
5
prodotto
4 volte
6
7
8
9
L’operazione di moltiplicazione ci porta alla definizione di multiplo:
Si dice che un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b secondo n se a = b  n.
Per esempio: poiché 5  4 = 20
ma anche
20 è multiplo di 5 secondo 4
20 è multiplo di 4 secondo 5
6
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
La moltiplicazione gode delle stesse proprietà dell’addizione:
è commutativa, cioè a
è associativa, cioè (a
b=ba
 b)  c = a  (b  c)
Vale inoltre la seguente proprietà:
proprietà distributiva rispetto all’addizione e, quando è possibile, alla sottrazione:
( a ± b)  c = (a  c) ± (b  c)
e
c  (a ± b) = c  a ± c  b
ESEMPI
(2 + 5)  4 = (2  4) + (5  4) = 8 + 20 = 28
6  (8 – 5) = 6  8 – 6  5 = 48 – 30 = 18
7
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Dati due numeri naturali a e b, con b ≠ 0, il numero c = a : b, se esiste, è il numero che, moltiplicato per
b, è uguale ad a:
a:b=c
L’operazione definita si chiama DIVISIONE.
se e solo se
cb=a
a:b=c
dividendo
Il numero c può non esistere, per esempio:
15 : 4 = ?
quoziente
divisore
Perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 4, dà come prodotto 15.
L’esistenza di c è garantita solo se a è multiplo di b, da cui deriva che la divisione non è un’operazione
interna a N.
8
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
La divisione non è né commutativa, né associativa.
La divisione gode delle seguenti proprietà:
proprietà invariantiva: il quoziente tra due numeri a e b non cambia se entrambi vengono
moltiplicati o divisi per uno stesso numero non nullo.
a : b = (a  k) : (b  k)
Per esempio:
12 : 4 = (12  5) : (4  5) = 60 : 20 = 3
a : b = (a : h) : (b : h)
Per esempio:
180 : 45 = (180 : 9) : (45 : 9) = 20 : 5 = 4
proprietà distributiva (solo a sinistra) della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (se
queste operazioni sono possibili in N):
( a ± b) : c = (a : c) ± (b : c)
Per esempio:
(15 + 20) : 5 = (15 : 5) + (20 : 5) = 3 + 4 = 7
(27 – 12) : 3 = (27 : 3) – (12 : 3) = 9 – 4 = 5
La divisione non è però distributiva a destra, per esempio:
60 : (12 + 3)
60 : 15 = 4
non è uguale a
(60 : 12) + (60 : 3)
5 + 20 = 25
9
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Qualunque siano i numeri naturali a e b, con b ≠ 0, si può dimostrare che esistono e sono unici due
naturali q e r tali che:
a=bq+r
con
0≤r<b
Il numero q si dice quoziente intero di a : b, il numero r è il resto di tale divisione.
ESEMPI
nella divisione 25 : 4, si ha che q = 6 e r = 1 perché 25 = 4  6 + 1
nella divisione 314 : 23, si ha che q = 13 e r = 15 perché 314 = 23  13 + 15
10
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Il numero 0 è l’elemento neutro dell’addizione,
infatti:
a+0=0+a=a
Inoltre:
a0=0a=0
Da quest’ultima proprietà segue la legge di annullamento del prodotto:
Il prodotto di due numeri è zero se almeno uno di essi è uguale a zero.
Il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione,
infatti:
a1=1a=a
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Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
• Insieme N dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4…}
• Insieme No: No = {1, 2, 3, 4…}
Operazioni
Proprietà
ADDIZIONE a + b
(interna)
commutativa
a+b=b+a
associativa
(a + b) + c = a + (b + c)
elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
invariantiva
SOTTRAZIONE a – b
(con a ≥ b)
a – b = (a + c) – (b + c)
a – b = (a − c) – (b − c)
con a ≥ c e b ≥ c
12
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Operazioni
Operazioni
MOLTIPLICAZIONE a  b
(interna)
Proprietà
commutativa
ab=ba
associativa
(a  b)  c = a  (b  c)
distributiva
a  (b +c) = a  b + a  c
elemento neutro
a1=1a=a
elemento assorbente
a0=0a=0
legge di annullamento del prodotto
se a  b = 0
DIVISIONE ESATTA a : b
(con b ≠ 0 e a multiplo di b)
a=0 o b=0 o a=b=0
invariantiva
a : b = (a  c) : (b  c)
a : b = (a : c) : (b : c)
distributiva
(a + b) : c = a : c + b : c
(a − b) : c = a : c − b : c
13
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
La potenza
Il prodotto di più numeri naturali uguali fra loro si abbrevia mediante il simbolo di potenza. Se a è un
numero naturale e n è un numero naturale maggiore di 1, si pone
a  a  a…  a
an =
a
n volte
1
se n > 1
00 non ha significato.
se n = 1
se n = 0 e a ≠ 0
Proprietà delle potenze
esempio: 34  32 = 34 + 2 = 36
 am  an = am + n
 am : an = am − n
con m > n
esempio: 34 : 32 = 34 – 2 = 32
 (am)n = am  n
esempio: (34)2 = 3 4  2 = 3 8
 (a  b)n = an  bn
esempio: (2  3)4 = 24  34
 (a : b)n = an : bn
esempio: (8 : 2)3 = 83 : 23
14
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Criteri di divisibilità
Un numero è divisibile per:
 2 se termina per cifra pari (0 è ritenuto cifra pari)
 3 o 9 se lo è la somma delle due cifre
 5 se termina per 0 o per 5
 4 o 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra, o termina con due zeri
 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o
viceversa) è divisibile per 11 o è zero.
15
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Numeri primi e primi tra loro
Se un numero maggiore di 1 non ha altri divisori all’infuori di se stesso e dell’unità, si dice primo.
Ci sono infiniti numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, … ma ad oggi non si conosce una
regola che li possa generare tutti.
Un numero che non è primo si può scomporre in modo unico nel prodotto di fattori primi.
Ad esempio: 288 = 25  32
Due numeri si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni all’infuori dell’unità.
16
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Il massimo comun divisore
Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro massimo comun divisore il maggiore fra i divisori comuni.
Per indicarlo si scrive M.C.D. (a,b)
ESEMPIO
I divisori di 40 sono 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Quindi M.C.D. (40, 36) = 4
I divisori di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Per determinare il M.C.D. tra due o più numeri si segue la regola:
Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto dei soli fattori
comuni, prendendoli una sola volta, con il minimo esponente.
Seguendo l’esempio precedente:
40 = 23  5
36 = 22  32
Quindi M.C.D. (40, 36) = 22 = 4
17
Gli insiemi N e Z
I numeri naturali
Il minimo comune multiplo
Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro minimo comune multiplo il più piccolo fra i multipli comuni.
Per indicarlo si scrive m.c.m. (a, b).
ESEMPIO
I multipli di 15 sono 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …
I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
Quindi m.c.m. (15, 12) = 60
Per determinare il m.c.m. di due o più numeri si segue la regola:
Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto di tutti i fattori
comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente.
Seguendo l’esempio precedente:
15 = 3  5
12 = 22  3
Quindi m.c.m. (15, 12) = 22  3  5 = 60
18
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Definizione e caratteristiche
Spesso nella vita quotidiana si utilizzano numeri preceduti da un segno –
Ad esempio la temperatura di – 5° gradi indica che siamo 5 gradi sotto lo zero.
Sulla retta orientata, partendo dall’origine, possiamo muoverci in senso opposto rispetto a quello
indicato dalla freccia.
4
3
2
1
0
1
2
3
4
Possiamo cioè costruire la rappresentazione grafica dei numeri negativi.
Ai numeri così costruiti si dà il nome di numeri interi o anche numeri interi relativi. I numeri che
sono preceduti dal segno + si dicono positivi e si trovano a destra dello zero, quelli preceduti dal segno
– si dicono negativi e si trovano a sinistra dello zero; il numero zero non è né positivo né negativo e si
scrive senza alcun segno.
−4
−3
−2
−1
0
+1
+2
+3
+4
19
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Definizione e caratteristiche
L’insieme dei numeri relativi si indica con Z:
Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Sottoinsiemi di Z:
Insieme degli interi senza zero:
Z0 = {…, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, …}
Insieme degli interi positivi:
Z+ = {1, 2, 3, 4, …}
Insieme degli interi positivi:
Z− = {…, −4, −3, −2, −1}
Nei numeri positivi il segno + può essere sottinteso
20
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Definizione e caratteristiche
Alcune definizioni:
 numeri concordi: numeri con lo stesso segno
 numeri discordi: numeri con segni diversi
 valore assoluto di un numero: numero stesso senza segno
 numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto e segno diverso
es. −7, −9 ; +3, +27
es. +2, −3 ; −2, +3
es. |−7| = 7 ; |+7| = 7
es. +7 , − 7
21
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Ordinamento
L’ordinamento dei numeri relativi corrisponde a quello dei punti associati sulla retta orientata dei numeri.
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Quindi:
 tra due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del negativo
es. +7 > −8
 lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo
es. 0 > −3 ; 0 < +2
 tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore
es. +7 > +5 perché |+7| >|+5|
 tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore
es. −2 > −8 perché |−2| = 2 < |−8| = 8
22
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Addizione
La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri attribuendo al
risultato lo stesso segno degli addendi.
ESEMPI
(+5) + (+7) = + (5 + 7) = +12
(−4) + (−3) = − (4 + 3) = −7
La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza fra i valori assoluti dei numeri (il
maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore.
ESEMPI
(+12) + (−8) = + (12 − 8) = +4
(−26) + (+15) = − (26 − 15) = −11
23
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Differenza e somma algebrica
La differenza a – b di due numeri interi è il numero c che, addizionato a b, restituisce a; si calcola facendo
la somma del primo con l’opposto del secondo.
ESEMPIO
(+5) − (+7) = (+5) + (−7) = −2
La sottrazione può sempre essere eseguita in Z e rappresenta l’operazione inversa dell’addizione.
Poiché una sottrazione può sempre essere trasformata in un’addizione, si parla in generale di somma
algebrica.
Quindi l’espressione:
(+2) − (+3) = (+2) + (−3)
si trasforma in
+2 – 3
omettendo il
segno di addizione e le parentesi
24
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Moltiplicazione, divisione e potenza
Il prodotto di due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e
attribuendo al risultato il segno indicato nella seguente tabella:

+
−
+
+
−
−
−
+
ESEMPI
(+3)  (+5) = +15
(−3)  (−5) = +15
(+3)  (−5) = −15
(−3)  (+5) = −15
25
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
Moltiplicazione, divisione e potenza
La divisione a : b tra due numeri si può eseguire solo se il valore assoluto di a è multiplo del valore
assoluto di b. In questo caso il quoziente c = a : b è un numero intero che ha :
 per modulo il quoziente dei moduli di a e b
 segno negativo se a e b sono discordi
 segno positivo se a e b sono concordi
ESEMPI
(+24) : (−6) = −4
(+24) : (+6) = +4 (+15) : (−4) = non esiste in Z
(−24) : (+6) = −4
(−24) : (−6) = +4
26
Gli insiemi N e Z
I numeri interi relativi
La potenza
La potenza an con a  Z e n  N viene definita come nell’insieme dei numeri naturali.
 se a è un numero positivo, il valore della potenza è ancora positivo qualunque sia l’esponente:

(+3)4 = +81

(+2)5 = +32
Il prodotto di due numeri positivi è sempre positivo
 se a è un numero negativo, il segno della potenza dipende dall’esponente:
• se n è pari si ha un numero positivo:
(−5)2 = +25
(−2)4 = +16
• se n è dispari si ha un numero negativo:
(−2)5 = −32
(−3)3 = −27
Il prodotto di un numero pari di numeri negativi è sempre positivo, il prodotto di un numero dispari di
numeri negativi è sempre negativo.
27