Esperienza di una prima
nel calcolo dell’area di un cerchio di raggio 1
Simuliamo la
caduta della
pioggia
Liceo Scientifico “Filippo Buonarroti A.S.2004 / 2005
 Abbiamo considerato un quadrato
di lato 1 e all'interno un quarto di
circonferenza di raggio 1.
 Supponiamo che su questa
superficie cadono casualmente
delle gocce.
 Noi vogliamo sapere la
probabilità che una goccia cada
all'interno dell’arco di cerchio
n° di gocce interne
P=
tutte le gocce
 Abbiamo considerato i punti interni al quadrato e abbiamo
attribuito loro le coordinate X e Y, numeri a caso compresi fra 0 e 1
con la funzione random;
 ne abbiamo considerato la distanza dall’origine con il teorema di
Pitagora e ci siamo chiesti se questa distanza fosse minore o
maggiore di 1.
 Nel primo caso consideriamo l’evento “favorevole” e gli assegniamo
il valore 1, nel secondo lo consideriamo “non favorevole” e gli
assegniamo valore 0.
Y
0,39551
0,95985
0,61906
0,58654
0,72977
2
X
0,379512
0,261456
0,742466
0,000565
0,374054
X
0,61605
0,51133
0,86166
0,02376
0,61160
2
Y
0,156428
0,921313
0,383238
0,344028
0,532568
2
2
X +Y
0,53594
1,182769
1,125704
0,344593
0,906622
Probabilità che le gocce
cadano dentro o fuori
1
0
0
1
1
Per costruire l’arco abbiamo
 suddiviso il lato sull’asse X in 100 parti di ampiezza 0.01
 abbiamo calcolato la corrispondente ordinata
y = 1-x2
 abbiamo fatto una tabella in Excel con i valori di x e i corrispondenti
valori di y
x
radq(1-x2 )
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
1,0000
0,9999
0,9998
0,9995
0,9992
0,9987
Il grafico e’ un grafico a dispersione
 Abbiamo estratto 1000 punti a caso
e sommato tutti gli eventi favorevoli,
ovvero tutti gli 1
 Questo risultato lo abbiamo diviso
per la totalità degli eventi (ossia
1000) e abbiamo trovato un risultato
del tipo 0.792
 Abbiamo moltiplicato per 4 la
probabilità che le gocce cadano
dentro al quarto di cerchio
gocce interne
gocce interne /
totalita' delle
gocce
792
0,792
moltiplichiamo per 4
3168
3,168
 Allora abbiamo pensato di inserire in una colonna i dati presi
dai singoli gruppi, magari anche più volte e di cercare di capire
quale fosse il valore medio e il più frequente
 I valori sembravano variare fra 3.0 e 3.3, così abbiamo
suddiviso questo intervallo in intervallini di ampiezza 0.02 e
abbiamo considerato le frequenze
i dati presi erano 40 e la distribuzione e’ stata la seguente
valori
fasce
frequenza
cumulata
3,23
3,11
3,21
3,16
3,07
3,18
3,1
3,14
3,09
3,14
3,16
3,12
3,06
3,08
3,1
3,12
3,14
3,16
3,18
3,2
3,22
3,24
1
3
6
15
25
31
35
37
38
40
frequenza relativa
1
2
3
9
10
6
4
2
1
2
siamo stati fortunati !
 abbiamo fatto la media dei dati ottenuti dai gruppi e
abbiamo trovato 3.1445
 ma questo numero somiglia molto a π!
 abbiamo ripercorso il cammino fatto e ci siamo resi
conto che π e’ proprio l’area di un cerchio di raggio 1
 la nostra, oltre a essere una misura dell’area del
cerchio e’ anche una misura approssimata di π
area sotto la parabola
Y = x2
1
0,9
0,8
Area = 0.3305
0,7
Con 0 < x < 1
0,5
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
L’area sotto y =sin(x) per 0 < x < π
Su 2000 eventi si ottiene 2.005
il punto di vista dell’insegnante
 hanno imparato ad usare il foglio elettronico che e’ molto utile in
tante situazioni
 hanno affrontato un problema che mette insieme molti aspetti
della matematica anche se a livelli elementari, la probabilità,
l’algebra, la geometria, il piano cartesiano
 si sono impadroniti di uno strumento che verrà ripreso spesso per
il calcolo di aree (parabola, cicloide, funzioni ) prima di poterle
calcolare con gli integrali.
 si sono resi conto che anche in matematica le misure non sono
sempre esatte ma possono essere misure statistiche
il punto di vista dell’insegnante