Revisione
nov. 2015
Funzioni di Bessel:
rappresentazioni in serie di potenze in R
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series™
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846)
–
1
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
Fig. 0-1 – Grafico della funzione (x ; y ) ֏ J 0 ( ρ ) = z , con ρ = (x 2 + y 2 )1 / 2 (GNUplot™ [19]).
Fig. 0-2 – Grafico della funzione (x ; y ) ֏ J 1 ( ρ ) = z , con ρ = (x 2 + y 2 )1 / 2 .
–
2
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
Fig. 0-3 – Grafico della funzione (x ; y ) ֏ Ν 0 ( ρ ) = z , con ρ = (x 2 + y 2 )1 / 2 .
Fig. 0-4 – Grafico della funzione (x ; y ) ֏ Ν 1 ( ρ ) = z , con ρ = (x 2 + y 2 )1 / 2 .
–
3
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
4
INTRODUZIONE
Le Funzioni di Bessel costituiscono un sotto-insieme della famiglia { Cν : ν ∈ C } , continua vs. ν , delle Funzioni
Cilindriche, soluzioni dell’Equazione di Bessel Ordinaria (differenziale ordinaria del 2º ordine, omogenea, lineare),
definita nell’insieme complesso {z ∈ Cɶ := C \ { 0 , ∞ }} ( z = 0 è un punto di singolarità regolare, o fuchsiana,
mentre z = ∞ è un punto di singolarità essenziale) da
Lz [ φ ] ≡ z 2φ ′′ + z φ ′ + (z 2 − ν 2 ) φ = 0 ,
(1)
con φ = φ (z ) . Nel contesto dell’Analisi Operatoriale su una varietà hilbertiana,
Lz ≡ z 2
d2
d
+z
+ (z 2 − ν 2 ) ⋅
2
dz
dz
(1.1)
è un operatore differenziale lineare auto-aggiunto [12.3]; ν è il parametro che specifica il rango dell’Eq. (1) e delle sue
auto-soluzioni.
L’Eq. (1) emerge dai modelli fenomenologici più disparati della Fisica Teorica (e.g., in Meccanica Astronomica
Analitica, in Elettrodinamica Classica, in Fisica Quantistica), dell’Ingegneria (e.g., nella Teoria delle Comunicazioni
Radar, attraverso la Funzione -Q di Marcum), nella Teoria dei Numeri, nella Teoria della Trasformata di Fourier, in
Analisi Armonica in Statistica e Probabilità e, soprattutto, in occasione della separazione delle variabili in modelli
propagativi lineari a derivate parziali, condizionati ‘alla frontiera’ (boundary-value problems) e a simmetria cilindrica.
Per gli scopi dichiaratamente operativi di questo documento, non sembra opportuno partire dall’Eq. (1), definita in Cɶ ,
come base della discussione. Benché tale approccio sia quello fondamentale, la restrizione a R dell’Eq. (1) [12.1],
Lx [ y ] ≡ x 2y ′′ + xy ′ + (x 2 − ν 2 ) y = 0 ,
(2)
sarà considerata come il modello differenziale di riferimento, assumendo, oltre a x ∈ R \{ 0 } , che sia, al più,
y ≡ y (x ) ∈ C ∧ ν ∈ R . Il rango ν dell’Eq. (2) e delle sue soluzioni (cilindriche) è detto solitamente ma, forse, in
modo poco appropriato, ordine. Infatti, ν non va confuso con l’ordine di un’equazione differenziale, i.e., con quello
della derivata superiore presente in una tale equazione.
Circa fonti autorevoli sulla Teoria delle Funzioni di Bessel, si rimanda alla Bibliografia [1]. Vale la pena di ricordare,
comunque, che il loro studio sistematico, dopo i primi, occasionali riferimenti alla loro esistenza (J. F. Riccati, J.
Bernoulli, L. Euler), fu iniziato da F. W. Bessel nel 1824, in relazione con il problema delle perturbazioni orbitali nei
moti planetari.
□
L’integrale generale dell’Eq. (2) si costruisce, al solito, combinando linearmente due suoi qualsiasi integrali particolari
reciprocamente indipendenti. Se ν ∈ R \ Z , allora, gli integrali Ordinari di 1º tipo, J ν (x ) e J −ν (x ) , risultano
linearmente indipendenti tra loro. Invece, l’indipendenza lineare cessa se ν ≡ n ∈ Z , così che la soluzione cilindrica
standard associata a J n (x ) e linearmente indipendente da questa è dedotta, come limite vs. ν (forma indeterminata
∞ − ∞ ), dalla Funzione di Bessel Ordinaria di 2º tipo (o Funzione di Neumann)
N ν (x ) := ( cot ν π ) J ν (x ) − ( cscν π ) J −ν (x ) .
(3)
Però, si dimostra, diversamente da J ν (x ) , che N ν (x ) ∈ R solo se x ∈ R + , coerentemente con la presenza di un
termine logaritmico nella rappresentazione di N n (x ) in serie analitica in R + , specificamente, in serie generalmente
di potenze in R + .
La coppia { J ν (x ), N ν (x )} ⊂ R è riconosciuta, ∀ ν ∈ R , come il sistema fondamentale standard di soluzioni
linearmente indipendenti per l’Eq. omogenea (2); precisamente, il determinante wronskiano W (x ) di tale coppia vale
2 /(π x ) . D’altra parte, anche con la coppia di Funzioni di Bessel di 3º tipo (Funzioni Cilindriche di Hankel) di rango
ν , { H ν(1) (x ), H ν(2) (x )} , coniugate tra loro (in questo documento, la coniugazione complessa è indicata con l’apiceasterisco *) e definite dalle combinazioni
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
 H ν(1) (x ) := J ν (x ) + i N ν (x ) ≡ H ν(2) (x )∗

,
 (2 )
(1)
*
 H ν (x ) := J ν (x ) − i N ν (x ) ≡ H ν (x )
–
5
(4)
si costruisce, evidentemente, l’integrale generale dell’Eq. (2) (il loro wronskiano vale − 4i /(π x ) ).
A prima vista, la coppia (4) di soluzioni appare superflua; d’altra parte, in molti problemi fisici (di radiazione
elettromagnetica, di diffusione gassosa, di scattering di particelle, di propagazione generica calcolata a distanze da una
sorgente per le quali sia necessario il confronto con le lunghezze d’onda in gioco), è conveniente disporre di entrambi
i sistemi fondamentali { J ν , N ν } e { H ν(1) , H ν(2 ) } : in primo luogo, perché { J ν (x ), N ν (x )} ⊂ R per x ∈ R + e
ν ∈ R ; poi, perché H ν(1) (x ) e H ν(2) (x ) , fornendo valori esponenzialmente piccoli per x → + ∞ , si adattano meglio a
rappresentare soluzioni (e.g., fisiche) nel regime asintotico x ≫ 1 , dove, in generale, risultano coinvolti parametri
dispersivi complessi.
Nelle stime quantitative, può essere di importanza decisiva disporre di sistemi fondamentali di soluzioni soddisfacenti
numericamente. Per dare un’idea del problema, {e x , e − x } costituisce una coppia di soluzioni linearmente indipendenti
dell’equazione y ′′ + y = 0 , come pure risulta esserlo la coppia { cosh x , sinh x } . Con questa, però, si verificano
cancellazioni numeriche troppo drastiche, e.g., quando sia richiesta la stima di e − x ≡ cosh x − sinh x per 1 ≪ x ,
mentre, le coppie ‘miste’ { J ν (x ), H ν(1) (x )} e { J ν (x ), H ν(2) (x )} , rispettivamente, con W (x ) = 2i /(π x ) e − 2i /(π x ) ,
forniscono, per 0 < x ≪ 1 , soluzioni generali più stabili e rapidamente convergenti, quindi, meglio controllabili
numericamente nei problemi ‘alla frontiera’. La scelta della prima o dell’altra coppia si trova dipendere dal segno
della parte immaginaria della soluzione particolare ottenuta, come conseguenza prevedibile dell’effetto dei segni dei
parametri complessi presenti (e.g., di dispersione ottica per distanze intermedie (o di Fresnel) o grandi in un mezzo
elettromagnetico trasparente o, in un solido dielettrico, di dispersione deterministica à-la Kramers-Kronig).
Un passo ulteriore è costituito dalle Funzioni di Bessel di argomento immaginario, ± ix , note come Iperboliche (o
Modificate), di 1º e di 2º tipo, Ι ν e Κ ν , la prima regolare e l’altra irregolare. Queste risultano soluzioni particolari
dell’equazione differenziale del 2º ordine (ordinaria, omogenea e lineare)
x 2y ′′ + xy ′ − (x 2 + ν 2 )y = 0 ,
(5)
dove, analogamente che per J ν e per N ν , si assume x ∈ R , per I ν (x ) ; x ∈ R + , per Κ ν (x ) , e ν ∈ R , per
entrambe le funzioni. La coppia { I ν (x ) , K ν (x )} ⊂ R costituisce il sistema standard fondamentale di soluzioni
linearmente indipendenti per l’Eq. (5); infatti, si trova che W (x ) = − 1/x .
Infine, la definizione convenzionale di K ν (x ) – in forma di limite per ν → n ∈ Z – è data dalla Funzione di
Macdonald (cfr/c definizione (3) di Ν ν (x ) ),
K ν (x ) := (π /2) ( cscνπ ) ( I −ν (x ) − I ν (x )) .
(6)
□
Il rango ν = ± (m + 1 / 2) , dove è m ∈ Z 0+ ( := Z + ∪ { 0 } ), corrisponde alle cosiddette Funzioni di Bessel Sferiche,
Ordinarie e Iperboliche: j m , n m , hm(1) , hm(2 ) e i m , k m . Se considerate come funzioni quasi-cilindriche dello stesso
tipo, 1º o 2º tipo, la loro forma sintetica generale è
1 /2
π 
cm (x ) :=   Cm + 1 / 2 (x ) .
 2x 
(7)
Esse soddisfano, rispettivamente, in analogia con le Eq, (2) e (5), le equazioni differenziali auto-aggiunte (non di
Bessel ma riducibili a quella di Bessel mediante la trasformazione di funzione incognita u (x ) ֏ (π /(2x ))1 / 2 y (x ) ),
x 2u ′′ + 2xu ′ + (x 2 − m (m + 1)) u = 0 ,
(8)
x 2u ′′ + 2xu ′ − (x 2 + m (m + 1)) u = 0 .
(9)
Tutte – e sole – le Funzioni di Bessel Sferiche, sia Ordinarie che Iperboliche sono esprimibili in forma chiusa, in
termini di combinazioni di funzioni elementari (-potenze, goniometriche ed esponenziali), come mostrato più avanti.
Esse ricorrono nel trattamento della propagazione ondosa sferico-simmetrica, sia stazionaria che viaggiante.
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
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Osservazione 1
Dall’identità di derivazione ‘a catena’ y ′ ≡
dy
dy d (α x )
dy
1 dy
1
dy
=
⋅
=α
, seguono
=
≡ y ′(x ) e
dx
d (α x ) dx
d (α x )
d (α x )
α dx
α
d 2y
1 d 2y
1
= 2 2 ≡ 2 y ′′(x ) . Pertanto, l’omotetìa x ֏ α x , con α ∈ C \{ 0 } , estende le Eq. differenziali (2) e
2
d (α x )
α dx
α
(5) alle forme rispettive
x 2y ′′ + xy ′ + (α 2x 2 − ν 2 ) y = 0 ,
(10)
x 2y ′′ + xy ′ − (α 2x 2 + ν 2 ) y = 0 ,
(11)
dove, è y ≡ y (x ) . Le loro soluzioni particolari (cilindriche ordinarie generalizzate) sono, quindi, del tipo (si noti la
diversità tra gli argomenti delle funzioni nei due membri)
y (x ) ≡ Cν (α x ) .
(12)
Tale caratterizzazione si applica, in modo identico, alle Eq. (8) e (9) di Bessel Sferiche e alle loro soluzioni. Queste
risulteranno della forma (cfr/c Eq. (7))
1 /2
 π 
cm (x ) := 
 Cm + 1 / 2 (α x ) .
 2α x 
(13)
La discussione che segue sarà riferita prevalentemente all’argomento x ma l’esecuzione dell’omotetìa x ֏ α x non
dovrebbe creare problemi circa la scrittura delle relazioni corrispondenti.
■
____________________
Con il pensiero rivolto alle applicazioni numeriche, le varie Funzioni di Bessel saranno discusse, in questo documento
PDF, solo nelle loro rappresentazioni classiche in serie di potenze reali. Circa le loro rappresentazioni integrali di
frontiera (contour integrals) in C , fondamentali per l’analisi teorica e fonti immediate – quando non esclusive! – di
risultati importanti, si consulti la Bibliografia [1, 3, 5 ,6, 13].
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
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Rappresentazioni in serie di potenze reali delle
FUNZIONI di BESSEL
A.
Le Funzioni di Bessel Ordinarie di 1º e di 2º tipo
Si assuma che sia, al più, { x , ν } ∈ R 2 .
Si può determinare un integrale particolare dell’Eq. (2) con il metodo di Frobenius [1, 2, 11.1],
ottenendo la cosiddetta Funzione di Bessel Ordinaria di 1º tipo, di rango ν e di argomento x
(e.g., v. [2]), generatrice di tutti gli altri tipi di Funzioni di Bessel,
+∞
x ֏ J ν (x ) :=
∑
k =0
ν +∞
(− 1)k
x 
x 2k + ν ≡  
2k + ν
2
2
k !Γ (k + ν + 1)
∑
k =0
(− 1)k
x 2k .
2 2k k !Γ (k + ν + 1)
(14)
Convenzionalmente, come già indicato dall’Eq. (3), un secondo integrale linearmente indipendente
da J ν (x ) , ∀ ν ∈ R \ Z , viene costruito mediante J ν (x ) della forma
x ֏ Nν (x ) := (cotνπ ) J ν (x ) − (cscν π ) J −ν (x ) .
(15)
A sua volta, la struttura della funzione x ֏ N ν (x ) , nota come la Funzione di Bessel Ordinaria di
2º tipo, di rango ν ∉ Z e di argomento x , implica che J ν (x ) e J −ν (x ) sono linearmente
indipendenti tra loro.
Invece, per quanto riguarda le Funzioni di Bessel Ordinarie di 2º tipo e di ordine n ∈ Z 0+ , è
opportuno premettere i dettagli delle espressioni esplicite del simbolo
σ k , n := ψ (k + 1) + ψ (k + n + 1) ,
(16)
dove, è anche k ∈ Z 0+ e ψ è la Funzione Digamma, i.e., la funzione derivata logaritmica della
Funzione Γ . Dalle uguaglianze (e.g., v. [12.2], CAP. 4, Eq. (63), (65.1), e CAP. 5, ESER. (17.1),
ψ (k + 1) = − γ + ∑ p = 1 1/p ,
k
ψ (1) = − γ ,
(17.1)
allora, ∀ {k , n } ⊂ Z + , risulta
k +n
ψ (k + n + 1) = − γ + ∑ p = 1 1/p ≡ − γ + ∑ p = 1 1/p + ∑ p = 1 1/(k + p)
k
n
(17.2)
e, quindi, l’Eq. (16) assume l’espressione algebrica
σ k , n = − 2 γ + 2 ∑ p = 1 1/p + ∑ p = 1 1/(k + p) .
k
n
(18.1)
I casi particolari delle tre coppie parametriche { k , n } ≡ { 0 , 0 } , {k , 0 }k ≥ 1 e { 0 , n }n ≥ 1 non sono,
però, deducibili formalmente dall’Eq. (18.1). Essi vanno esaminati singolarmente, a partire dalla
definizione generale (16) e dalle uguaglianze (17.1). Si trova che
●
σ 0, 0 ≡ ψ (1) + ψ (1) = − 2 γ ,
●
σ k ≥ 1, 0 ≡ ψ (k + 1) + ψ (k + 1) = − 2 γ + 2 ∑ p = 1 1/p ,
(18.3)
●
σ 0, n ≥ 1 ≡ ψ (1) + ψ (n + 1) = − 2 γ + ∑ p = 1 1/p .
(18.4)
(18.2)
k
n
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
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Ora, la teoria [3, 4, 5] fornisce l’espansione di Hankel, sintetica ∀ n ∈ Z 0+ ∧ x ∈ R + ,
N n (x ) ≡ lim N ν (x ) =
ν →n
( − 1)kσ k , n
1
x +∞
x
−
x 2k + n −
2
J
(
)
ln
 n
∑
2k + n
↲
k !(k + n )!
2 k =0 2
π 
n −1
(n − j − 1)! 2 j − n 
− (1 − δ n , 0 ) ∑
x
.
↳
2 2j − n j !
j =0

(19)
Nell’Eq. (19), il fattore di switch (1 − δ n , 0 ) vale 0 o 1 secondo che sia n = 0 o n ∈ Z + .
Quindi, tenendo conto delle Eq. (18.2), (18.3), (18.4) e (18.1), si scrivono
k
1
x + ∞ ( − 1) σ k , 0 2k 
x 
N 0 (x ) =  2 J 0 (x ) ln − ∑
π
2 k = 0 (2 k k !)2

+∞
k
k

2 x
(− 1)  x
1
=  ln + γ + ∑ k 2  ln + γ − ∑  x 2k  ,
π 2
2
k = 1 (2 k !) 
p =1 p 

(20)
(− 1)kσ k , 1
1
x +∞
2
x 2k + 1 − 
N 1 (x ) =  2 J 1 (x ) ln − ∑ 2k + 1
π
k !(k + 1)!
x
2 k =0 2
k
2  x
1  x +∞
( − 1)k
1
1
 x
 2k + 1 1 
=   ln + γ −  + ∑ 2k + 1
ln + γ − ∑ −
x
−  .

2  2 k =1 2
k !(k + 1)!  2
2 (k + 1) 
x
π  2
p =1 p
↳
(21)
L’Eq. (19) equivale, ∀ n ∈ Z + , all’espansione generale esplicita uniformemente convergente
N n (x ) =
21 x
1
  ln + γ −
2
π  n ! 2
+∞
↳
+∑
k =1
n
∑
p =1
n
1  x 
  +
p   2  ↲
k
(− 1)k
1 1 n
1  2k + n
 x
ln
+
γ
−
− ∑
x
−
∑

2k + n
↲
2
k !(k + n )!  2
2 p = 1 k + p 
p =1 p
1 n − 1 (n − p − 1)! 2p − n 
x

↳ 2 p∑
2 2p − n p !
=0

−
(22)
( ∀ n ∈ Z − , si può applicare l’identità (43), v. P. 15).
□
L’integrale generale dell’Eq. (2) è sempre scrivibile, ∀ ν ∈ R , secondo la combinazione lineare
fondamentale cilindrica
y (x ) = c 1 J ν (x ) + c 2 Nν (x )
(23)
ma, se ν ∉ Z , potrebbe risultare più conveniente la forma analiticamente equivalente
y (x ) = c 1 J ν (x ) + c 2 J −ν (x ) .
(23.1)
Osservazione 2
Nelle applicazioni, e.g., in Elettrodinamica e in Fisica Quantistica, la divergenza logaritmica di N ν per x → 0 va
considerata seriamente circa l’esclusione di N ν dalla soluzione fisicamente significativa più generale.
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
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9
Fig. 1 – Grafici delle funzioni x ֏ J 0 (x ), J 1 (x ), J 2 (x ), J 3 (x ) .
Fig. 2 – Grafici delle funzioni x ֏ N 0 (x ), N 1 (x ), N 2 (x ), N 3 (x ) .
Osservazione 3
L’Equazione di Bessel come equazione Ipergeometrica Confluente
È interessante notare che l’Equazione di Bessel, nelle forme (2) o (5), è riconducibile alla classe più generale delle
equazioni differenziali Ipergeometriche Confluenti (proprietà condivisa, peraltro, da molte altre Funzioni ‘Speciali’),
i.e., la classe delle equazioni differenziali ordinarie lineari del 2º ordine della forma
xy ′′ + ( µ − x )y ′ − αy = 0 .
(24)
frequenti nell’Analisi e in ambiti applicativi importanti (i.e., nell’interazione coulombiana, in Fisica Quantistica).
Di queste, il metodo di Frobenius fornisce la Funzione Ipergeometrica Confluente (o Funzione di Kummer), 1 F1 ,
come integrale particolare quando µ ∉ Z 0− ( ≡ Z − ∪ { 0 } ) [12.1]. La funzione x ֏ 1 F1 (α , µ ; x ) è rappresentabile
dalla serie di potenze, convergente in R (uniformemente in ogni insieme compatto K ⊂ R ),
x ֏ 1 F1 (α , µ ; x ) :=
+∞
(α )k
∑ k !( µ )
k =0
xk .
(25)
k
Nell’Eq. (2), la trasformazione di variabile x ֏ w := 2ix , dà dw /dx = 2i e, quindi,
●
y ′(x ) ≡
dy (x )
dy dw
=
⋅
= 2i y ′(w ) ,
dx
dw dx
(26.1)
●
y ′′(x ) ≡
dy ′(x )
dw d
=
⋅
(2i y ′(w )) = − 4y ′′(w ) .
dx
dx dw
(26.2)
[Analogamente, si può incominciare dall’Eq. (5), eseguendo la trasformazione x ֏ w := 2 x .]
Con la sostituzione delle espressioni delle derivate (26.1) e (26.2) nell’Eq. (2) e la semplificazione successiva, si
ottiene l’equazione trasformata
w 2y ′′(w ) + w y ′(w ) − (w 2 / 4 + ν 2 ) y (w ) = 0 .
A questo punto, se si assume l’espressione della funzione incognita y (w ) della forma
(27)
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
y (w ) := w ν e − w / 2 φ (w ) ,
10
–
(28)
le rappresentazioni corrispondenti delle sue funzioni derivate 1a e 2a nella nuova funzione incognita φ risultano
●
y ′(w ) = ((ν w ν − 1 − w ν /2)φ + w ν φ ′) e − w / 2 ,
(28.1)
●
y ′′(x ) = ((ν (ν − 1)w ν − 2 − ν w ν − 1 + w ν / 4) φ + (2ν w ν − 1 − w ν ) φ ′ + w ν φ ′′ ) e − w / 2 .
(28.2)
Pertanto, con le espressioni (28), (28.1) e (28.2), qualche semplificazione e la divisione finale per w ν + 1e − w / 2 ≠ 0 nei
suoi membri, l’Eq. (27) prende la forma ipergeometrica confluente prevista
w φ ′′ + (2ν + 1 − w ) φ ′ − (ν + 1/2) φ = 0 ,
(29)
dove (cfr/c Eq. (24)), essendo α ≡ ν + 1/2 ∧ µ ≡ 2ν + 1 (da cui, ν ≡ (µ − 1)/2 , µ ≡ 2 α ), l’Eq. (25) porta a
concludere che l’Eq. (29) possiede l’integrale particolare
φ 1 (w ) ≡ 1 F1 (ν + 1/2 , 2ν + 1; w ) =
(ν + 1 /2)k
+∞
∑ k !(2ν + 1)
k =0
wk .
(29.1)
k
Come conseguenza delle Eq. (29.1) e (28), l’Eq. (27) è soddisfatta, necessariamente, dall’integrale particolare
y 1 (w ) = w ν e − w / 2 1 F1 (ν + 1 /2 , 2ν + 1; w ) ≡ w ν e − w / 2
+∞
(ν + 1/2)k
∑ k !(2ν + 1)
k =0
wk .
(30)
k
Si può controllare l’espressione ‘fine’ di y 1 (w ) esplicitando, per k ∈ Z + , i simboli di Pochhammer
(ν + 1/2)k ≡
(2ν + 1) (2ν + 3) (2ν + 5) … (2ν + 2 k − 1)
,
2k
(2ν + 1)k ≡ (2ν + 1) (2ν + 2) (2ν + 3) … (2ν + k )
e, quindi, semplificando la frazione
(2ν + 1) (2ν + 3) (2ν + 5) … (2ν + 2k − 3) (2ν + 2 k − 1)
(ν + 1/2)k
.
=
(2ν + 1)k
2 k (2ν + 1) (2ν + 2) (2ν + 3) … (2ν + k − 1) (2ν + k )
Con un controllo algebrico attento, si induce il risultato generale seguente:
 1 k /2  k − 1

+ 2 ,
 3k / 2 ∏ 
(ν + 1/2)k
r =1  r +ν
2

≡ 
(k − 1) / 2
(2ν + 1)k
1
 k


 r +ν + 2 ,
 2 ( 3k − 1 ) / 2 ∏
r =1 


per k pari ∧ ≥ 2 ,
(31)
per k dispari ∧ ≥ 3 ;
poi, utilizzando il Simbolo di Kronecker come ‘switch’ di parità tra le identità (31), l’integrale (30) prende la forma

w + ∞ 1  δ 1, ( −1)k
y 1 (w ) = w ν e − w / 2  1 + + ∑  3k / 2

2 k =2 k!  2

k /2
 k −1
r =1

∏  r +ν
 δ − 1, ( −1)k
+ 2  + ( 3k − 1 ) / 2
 2
(k − 1) / 2
∏
r =1
 k
 k 
 r + ν + 2   w  ,

 
dalla quale, infine, con il ritorno alla variabile originaria x ( ≡ − iw /2 , vs. Eq. (2)), risulta
y 1 (x ) = (2x )ν e
ν π

i
−x
 2

+∞

i k  δ 1, ( −1)k
 1 + ix + ∑
 k / 2

k =2 k!  2

k /2
k −1
r =1

∏  r +ν
 δ − 1, ( −1)k
+ 2  + (k − 1) / 2
 2
(k − 1 ) / 2
∏
r =1
 k
 k 
 r + ν + 2   x  .

 
(32.1)
Dalla teoria delle Funzioni Ipergeometriche, sia genericamente Gaussiane che specificamente Confluenti, è noto che
una seconda soluzione dell’Eq. (29), linearmente indipendente da φ 1 (w ) , ma deducibile da essa mediante la coppia
convenzionale di isometrie
 α := α + 1 − µ ≡ −ν + 1/2 ,

 µ := 2 − µ ≡ − 2ν + 1 ,
è pure di forma ipergeometrica confluente ed è data da
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
11
φ 2 (w ) = w 1 − µ 1 F1 (α , µ ; x ) ≡ w − 2ν 1 F1 ( − ν + 1 / 2, − 2ν + 1; x ) .
Allora, ancora mediante la trasformazione (28), si ricava la seconda soluzione particolare cercata dell’Eq. (27),
y 2 (w ) = w −ν e − w / 2
+∞
( −ν + 1 /2)k
∑ k !( − 2ν + 1)
k =0
wk ,
k
e, da questa, la sua x - rappresentazione,
y 2 (x ) = (2x ) −ν e
ν π

−i 
+ x
 2

+∞

i k  δ 1, ( −1)k
 1 + ix + ∑
 k / 2

k =2 k!  2

k /2
k −1
r =1

∏  r −ν
 δ − 1, ( −1)k
+ 2  + (k − 1) / 2
 2
(k − 1) / 2
∏
r =1
 k
 k 
+
2

  x  . (32.2)
 r −ν
  
L’integrale generale dell’Eq. (2), in forma equivalente a quella dell’Eq. (23), si scrive, mediante le Eq. (32.1) e (32.2),
y = c 1y 1 (x ) + c 2y 2 (x ) ,
dove, {c 1 , c 2 } ⊂ C è una coppia di costanti arbitrarie.
■
Esercizio 1
Per le Funzioni Cilindriche di Hankel (v. Eq.i (4)), si verifichino le identità
a.
H ν(1) (x ) = (− 1) −ν H −(1ν) (x ) ( ≡ H ν(2) (x )∗ ) ,
b.
H ν(2) (x ) = ( − 1) ν H −(2ν) (x )
( ≡ H ν(1) (x )∗ ) ,
valide ∀ ν ∈ R . Si osservi che (− 1)±ν ≡ e ±ν π i ≡ i ± 2ν ∈ C .
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
B.
–
12
Le Funzioni di Bessel Iperboliche di 1º e di 2º tipo
Con l’omotetìa x ֏ ix , l’Eq. (2) assume la forma (v. Eq. (5))
x 2y ′′ + xy ′ − (x 2 + ν 2 )y = 0 ,
(33)
Come punto di partenza, è necessario definire le identità di connessione tra le Funzioni di Bessel di
1º e di 2º tipo ordinarie con le Funzioni di Bessel di 1º e di 2º tipo cosiddette Iperboliche o
Modificate (i.e., di argomento immaginario), I ν e K ν , rispettivamente [3, 4, 5]:
J ν (ix ) := i ν I ν (x ) ,
(34.1)
N ν (ix ) := i ν + 1 I ν (x ) − (2/π ) i −ν K ν (x ) .
(34.2)
Ciò consente di scrivere l’integrale generale dell’Eq. (33) nella forma consueta
y (x ) = c 1 I ν (x ) + c 2 Kν (x ) .
(35)
L’Eq. (34.2) vale ∀ ν ∉ Z , con le definizioni convenzionali della Funzione di Macdonald,
π
K ν : x ֏ K ν (x ) ≡
2
(cscν π ) ( I −ν (x ) − I ν (x )) ,
K n : x ֏ K n (x ) ≡ lim K ν (x ) ,
ν →n
∀ν ∉ Z ,
(36.1)
∀n ∈ Z .
(36.2)
In ogni caso, si tenga presente la definizione generatrice [5]
K ν (x ) :=
π
2
i ν + 1 ( J ν (ix ) + i N ν (ix )) ,
(36.3)
nella quale, il fattore i ν + 1 ha l’effetto di rendere K ν (x ) ∈ R se anche x ∈ R .
Combinando le Eq. (34.1) e (36.1) nell’Eq. (34.2) e ricordando che I ν (x ) e I −ν (x ) risultano
linearmente indipendenti tra loro quando ν ∉ Z , si trova che
N ν (ix ) ≡ (i ν + 1 + i −ν cscν π ) I ν (x ) − i −ν (cscν π ) I −ν (x ) .
(36.4)
Pertanto, l’integrale generale (35) possiede, per ν ∉ Z , la forma analiticamente equivalente ma,
talvolta, più maneggevole della forma (35),
y (x ) = c 1 I ν (x ) + c 2 I −ν (x ) .
(37)
Il calcolo numerico richiede le espansioni in serie di potenze sia di I ν (x ) , ∀ ν , che di K n (x ) , con
n ∈ Z . La prima, si ottiene prontamente dall’Eq. (34.1), usando l’Eq. (15) direttamente:
I ν (x ) ≡ i −ν J ν (ix ) = i −ν
+∞
∑
k =0
+∞
=
∑2
k =0
2k + ν
( − 1)k
(ix )2k + ν
2k + ν
2
k !Γ (k + ν + 1)
1
x 2k + ν ,
k !Γ (k + ν + 1)
(38)
dalla quale, poi, mediante la definizione (36.1) della Funzione di Macdonald, si trova, ∀ ν ∉ Z ,
K ν (x ) :=
π
2 sinν π
+∞
∑
k =0
 2k
1  (x /2) −ν
(x /2)ν
−

x ;
2k
2 k !  Γ (k − ν + 1) Γ (k + ν + 1) 
(39)
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
13
K n (x ) , invece, può essere ricavato dalla variante-limite (36.2) applicando lo stesso procedimento
generatore dell’espansione (19) di N n (x ) . Si trova, ∀ {n , x } ⊂ Z 0+ × R + (v. [3, 4, 5]),
K n (x ) =
( − 1)n + 1
2
σ k,n


x +∞
− ∑ 2k + n
2
I
(
x
)
ln
x 2k + n  +
 n
2 k =0 2
k !(k + n )!

 ↲
(1 − δ n , 0 ) n − 1 ( − 1) j (n − j − 1)! 2 j − n
+
x
.
∑
↳
2
2 2j − n j !
j =0
(40)
Anche qui, tenendo conto delle Eq. (18.2), (18.3), (18.4), e (18.1), risultano esplicitamente
x 1 +∞ σ k, 0
K 0 (x ) = − I 0 (x ) ln + ∑ k 2 x 2k
2 2 k = 0 (2 k !)
+∞
x
1
= − ln − γ − ∑ k 2
2
k = 1 (2 k !)
K 1 (x ) = I 1 (x ) ln
k
1  2k
 x
ln
+
γ
−
∑
 2
x ,
p =1 p 

(40.1)
σ k,1
x 1 +∞
1
− ∑ 2k + 1
x 2k + 1 +
2 2 k =0 2
k !(k + 1)!
x
k
1  x +∞
1
1
1
 x
 2k + 1 1
 x
=  ln + γ −  + ∑ 2k + 1
ln
+
γ
−
−
x
+ ,
∑

 2
2  2 k =1 2
k !(k + 1)!  2
2 (k + 1) 
x
p =1 p
(40.2)
Fig. 3 – Grafici delle funzioni x ֏ I 0 (x ), I 1 (x ), I 2 (x ), I 3 (x ) .
Fig. 4 – Grafici delle funzioni x ֏ K 0 (x ), K 1 (x ), K 2 (x ), K 3 (x ) .
mentre, ∀ n ∈ Z + , si determina l’espansione uniformemente convergente generale ( ∀ n ∈ Z − ,
vale l’identità (47.k), P. 15)
n +1
K n (x ) = (− 1)
n
1  x
1 n 1  x 
ln + γ − ∑    +
 
2 p =1 p  2  ↲
 n!  2
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
14
k
1
1 1 n
1  2k + n 
 x
ln
+
γ
−
− ∑

 + ↲
∑
x
+
2
k
n
↳ k =1 2
k !(k + n )!  2
2 p =1 k + p 
p =1 p

p
n −1
1
(− 1) (n − p − 1)! 2 p − n
+ ∑
x
.
(41.2)
↳ 2 p=0
2 2p − n p !
+∞
+∑
Da un controllo sia dei grafici che delle espansioni rispettive in serie di potenze, si conclude che
soltanto le funzioni J n e I n , con n ∈ Z , hanno parità\disparità definita da (−1)n . Per ν ∉ Z , i
grafici, di J ν e di I ν restano confinati nel semipiano cartesiano destro, per ragioni evidenti di
rappresentabilità in R .
Circa le funzioni N ν e K ν , ∀ ν , l’assenza di parità definite e la presenza del termine logaritmico
interno, v. le Eq. (19) e (40), ne limitano, comunque, i grafici al semi-piano cartesiano destro.
■
Esercizio 2
Si verifichi l’identità seguente:
K ν (x ) ≡ −
π i 1 −ν
2
H ν(2) (− i x ) .
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
C.
–
15
Identità ricorsive
Si indichi con Β η ≡ J η ∨ N η la Funzione di Bessel ordinaria di 1º o di 2º tipo e di rango ν .
Essa soddisfa le identità seguenti (facilmente ricavabili), ∀ {ν , m} ⊂ R × Z :
●
Β m (x ) = (−1)m Β −m (x ) ,
●
Β ν + 1 (x ) =
2ν
Β ν (x ) − Β ν − 1 (x ) ,
x
(43)
●
d
ν
Β ν (x ) = Β ν (x ) − Β ν + 1 (x ) ,
dx
x
(44.1)
●
d
ν
Β ν (x ) = Β ν − 1 (x ) − Β ν (x ) ,
dx
x
(44.2)
●
d
1
Β ν (x ) = (Β ν − 1 (x ) − Β ν + 1 (x )) ,
2
dx
(44.3)
●
d ν
(x Β ν (x )) = xν Β ν − 1 (x ) ,
dx
(45)
●
d
(x −ν Β ν (x )) = − x −ν Β ν + 1 (x ) .
dx
(46)
(42)
Per le funzioni I ν e K ν , ∀ ν ∈ R , valgono identità analoghe a quelle espresse dalle Eq. (42), …,
(46) ma distinte per le due famiglie di Funzioni di Bessel Iperboliche. Infatti, si hanno
●
I m (x ) = I −m (x ) ,
●
I ν + 1 (x ) = −
∀m ∈ Z ,
●
K ν (x ) = K −ν (x ) ,
●
K ν + 1 (x ) =
●
ν
I (x ) + I ν + 1 (x ) ,
d
 x ν
I ν (x ) = 
dx
 I (x ) − ν I (x ) ,
ν
 ν − 1
x
●
ν
K (x ) − K ν + 1 (x ) ,
d
 x ν
K ν (x ) = 
dx
 − K (x ) − ν K (x ) ,
ν −1
ν

x
(49.i, k)
●
d
1
I ν (x ) = ( I ν − 1 (x ) + I ν + 1 (x )) ,
dx
2
●
d
1
K ν (x ) = − ( K ν − 1 (x ) + K ν + 1 (x )) ,
dx
2
(50.i, k)
●
d ν
(x I ν (x )) = xν I ν − 1 (x ) ,
dx
●
d ν
(x K ν (x )) = − x ν K ν − 1 (x ) ,
dx
(51.i, k)
●
d
(x −ν I ν (x )) = x −ν I ν + 1 (x ) ,
dx
●
d
(x −ν K ν (x )) = − x −ν K ν + 1 (x ) .
dx
(52.i, k)
2ν
I ν (x ) + I ν − 1 (x ) ,
x
2ν
K ν (x ) + K ν − 1 (x ) ,
x
(47.i, k)
(48.i, k)
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
D.
–
16
Le Funzioni di Bessel Sferiche Ordinarie di 1º e di 2º tipo
In altra Unità tematica (v. [12.1], P. 3-6), è mostrato che il cambiamento di funzione incognita in R
y (x ) := (α x ) −1 / 2 φ (x )
(53)
( α ∈ R + ) trasforma l’equazione differenziale (in forma normale), ∀ n ∈ Z ,
y ′′ + (2/x )y ′ + (α 2 − n (n + 1)/x 2 ) y = 0
(54)
– che non è di Bessel! – nell’Equazione di Bessel (in forma normale)
φ ′′ + (1/x ) φ + (α 2 − n (n + 1)/x 2 ) φ = 0 ,
(55)
di ordine semi-dispari n + 1/2 . Poiché n + 1/2 ∉ Z , allora, dalle Eq. (23.1) e (53), l’integrale
generale dell’Eq. (54) può essere scritto
y (x ) = x −1 / 2 (c 1 J n + 1 / 2 (α x ) + c 2 J − (n + 1 / 2 ) (α x )) .
(56)
D’altra parte, è immediato ricavare, dall’Eq. (3), assegnando ν ≡ n + 1/2 , che
N n + 1/ 2 (α x ) ≡ (− 1)n + 1 J − (n + 1/ 2) (α x ) ,
(57)
L’Eq. (54) è importante e molto frequente nelle applicazioni sia fisiche sia ingegneristiche che
riguardano la radiazione elettromagnetica, la diffusione stazionaria di un gas e la dinamica di una
particella libera in regime quantistico di confinamento sferico. I parametri α e n provengono,
rispettivamente, dalle caratteristiche fisico-geometriche del sistema e dal processo di separazione
delle variabili sferiche ( x ֏ r ) nell’equazione modellistica di propagazione.
L’associazione di x −1 / 2 con J n + 1 / 2 e con J − (n + 1 / 2 ) suggerisce la definizione delle Funzioni di
Bessel Ordinarie, cosiddette Sferiche, di 1º e di 2º tipo, che, a meno di fattori costanti, sono
definite per x ∈ R + e, convenzionalmente, date dalle espressioni rispettive (v. Eq. (13))
1/ 2
 π 
j n (α x ) := 
 J n + 1/ 2 (α x ) ;
 2α x 
(58.1)
1/ 2
n +1
nn (α x ) := (− 1)
1/ 2
 π 
 π 

 J − (n + 1 / 2) (α x ) ≡ 
 N n + 1 / 2 (α x ) ,
 2α x 
 2α x 
(58.2)
In tal modo, l’integrale generale (56) può essere scritto nella forma alternativa equivalente
y (x ) = c 1 j n (α x ) + c 2 n n (α x ) .
(59)
Per esso, come è evidente dalle Eq. (58.1) e (58.2), si può assumere che sia n ∈ Z 0+ , senza perdita
di generalità.
L’espansione in serie di potenze di j n (α x ) si ottiene sostituendo ν ≡ n + 1/2 nell’Eq. (14) e
applicando la definizione (58.1), per x ∈ R + . Si trova
j n (α x ) ≡
π 1/ 2 (α x )n
2n + 1
+∞
∑
k =0
(− 1)k
(α x )2k .
2k
2 k !Γ (k + n + 3/2)
(60)
Poi, il fattore Γ (k + n + 3 /2) nel termine generale dell’espansione può essere espresso mediante la
Formula di Duplicazione della Funzione Γ (e.g., v. [12.2], Eq. (45)), riscritta nella forma
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
Γ (w + 1/2) = π 1 / 2
–
Γ (2 w )
.
2
Γ (w )
17
(61)
2w − 1
Si ricordi che l’identità (61) è valida ∀ w ∉ Z 0− . L’identificazione w ≡ k + n fornisce il risultato
Γ (k + n + 3/2) ≡ Γ ( (k + n + 1/2) + 1) = (k + n + 1/2) Γ (k + n + 1/2)
Γ ( 2(k + n ) )
(2k + 2n + 1)
(2k + 2n − 1)!
= π 1/2
⋅ 2(k + n ) − 1
≡ π 1/ 2 (2k + 2n + 1) 2k + 2n
Γ (k + n )
2
2
2
(k + n − 1)!
(2k + 2n + 1) (2k + 2n − 1)! 2k + 2n
⋅
2 2k + 2n (k + n − 1)!
2k + 2n
(2k + 2n + 1)!
.
= π 1 / 2 2k + 2n + 1
2
(k + n )!
≡ π 1/2
(61.1)
Quindi, con l’identità (61.1), l’Eq. (60) diventa
+∞
j n (α x ) = (2α x )n ∑
k =0
(− 1)k (k + n )!
(α x )2k .
k !(2 k + 2n + 1)!
(62)
L’espressione (62) si rivela scarsamente efficiente per il calcolo numerico. La ragione tecnica di
questo sta nella presenza contemporanea – pesante per la memoria RAM! – di fattoriali dipendenti
dall’indice corrente k sia nel numeratore che nel denominatore del termine generale. L’utilità
della rappresentazione in serie (62), però, è altra, come apparirà tra breve.
□
Per quanto riguarda la rappresentazione di nn (α x ) in serie di potenze, è utile considerare qualche
dettaglio ulteriore. Se ν ≡ − (n + 1/2) nell’Eq. (2), si scrive l’espansione formale dell’Eq. (58.2),
per x ∈ R + ,
nn (α x ) = (− 1)n + 1
2 n π 1/2
(α x )n + 1
+∞
∑
k =0
(− 1)k
(α x )2k .
2k
2 k !Γ (k − n + 1/2)
(63)
È evidente che, ∀ n ∈ Z + , esiste sempre un numero finito di valori di k tali che k − n + 1/2 < 0 .
Allora, k − n + 1/2 ∈ (k − n , k − n + 1) così che, per prolungamento analitico (in senso reale), si
ha, in tale intervallo (e.g., v. [12.2], Eq. (10), (28) e, ancora, (45)),
 Γ (1/2)
1/2
 ( − n + 1/2) ≡ π ,

0
Γ (k − n + 1/2) = 
π 1 / 2 (2k − 1)!
 Γ (k + 1/2) =
,
 (k − n + 1/2)k
2 2k − 1 (k − 1)!(k − n + 1/2)k
se k = 0 ,
(63.1)
+
se k ∈ Z .
Dalla specificazione delle Eq. (62) e (63) per n = 0 , si determinano due risultati interessanti,
+∞
(− 1)k
1
(α x )2k ≡
∑
αx
k = 0 (2k + 1)!
sin α x
,
=
αx
j 0 (α x ) =
n 0 (α x ) = −
π 1/2
αx
+∞
∑
k =0
+∞
∑
k =0
(− 1)k
(α x )2k + 1
(2k + 1)!
(64.1)
+∞

( − 1)k
1 
( − 1)k 2 2k − 1 (k − 1)!
2k
(
x
)
=
−
1
+
(α x )2k 
α
∑

2k
2k
2 k !Γ (k + 1/2)
α x  k = 1 2 k !(2k − 1)!

Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
+∞

1 
(− 1)k
1
1
+
(α x )2k  = −
∑

α x  k = 1 (2k )!
αx

cos α x
,
≡ −
αx
= −
+∞
∑
k =0
–
18
( − 1)k
(α x )2k
(2k )!
(64.2)
combinando i quali, rispettivamente, con le Eq. (58.1) e (58.2), si trovano le espressioni
1/2
 2 
J 1 / 2 (α x ) = 
 sin α x ,
 π αx 
(65.1)
1/ 2
 2 
J −1 / 2 (α x ) = 
 cos α x .
 π αx 
(65.2)
Pertanto, ponendo l’identità ascendente (43) nella sua forma discendente equivalente
Β ν − 1 (x ) =
2ν
Β ν (x ) − Β ν + 1 (x ) ,
x
(66)
si calcolano (ν = ± 1/2 )
J 3 / 2 (α x ) ≡ J 1 / 2 + 1 (α x ) =
1
J (α x ) − J − 1 / 2 (α x )
α x 1/2
1/2
 sin α x

− cos α x  ,

 αx

1
J − 3 / 2 (α x ) ≡ J − 1 / 2 − 1 (α x ) = −
J (α x ) − J 1 / 2 (α x )
α x −1 / 2
1/2
 2   cos α x

= −
+ sin α x  .



 πα x   α x
 2 
=

 πα x 
(67.1)
(67.2)
Ritornando alle definizioni (58.1) e (58.2), si scrivono, allora,
1/ 2
 π 
j 1 (α x ) := 

 2α x 
J 3 / 2 (α x ) =
1  sin α x

− cos α x  ,

αx  αx

1/ 2
 π 
n1 (α x ) := 

 2α x 
J − 3 / 2 (α x ) = −
1  cos α x

+ sin α x  .

αx  αx

(68.1)
(68.2)
Con lo stesso procedimento, disponendo, ora, di J ±3 / 2 (α x ) e di J ±1/ 2 (α x ) , si trovano J ±5 / 2 (α x ) e,
quindi, j 2 (α x ) e n 2 (α x ) , e così via. Le espressioni di queste due ultime sono
1/2
 π 
j 2 (α x ) := 

 2α x 
1/ 2
 π 
n 2 (α x ) := 

 2α x 
1 
3
 3
J 5 / 2 (α x ) = 
−
sin α x −
cos α x ,
3

(α x )2
 (α x ) α x 
(69.1)
1 
3
 3
J − 5 / 2 (α x ) = − 
−
cos α x −
sin α x .
3

(α x )2
 (α x ) α x 
(69.1)
□
Le identità ricorsive generatrici successive generali ( bn ≡ j n ∨ n n ∨ hn(1) ∨ hn(2) ) si determinano
senza difficoltà per induzione:
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
2n + 1
bn (α x ) ,
αx
n
n +1
=
bn − 1 (α x ) −
bn + 1 (α x ) ,
2n + 1
2n + 1
–
19
●
bn + 1 (α x ) = − bn − 1 (α x ) +
(70.1)
●
d
bn (u )
du
(70.2)
●
●
●
●
u =αx
  1 d n sin u 
j n (α x ) = ( − 1) (α x )   ⋅ 

  u du  u 
n
n n (α x ) = ( − 1)
n
n +1
(70.3)
  1 d n cos u 
(α x )   ⋅ 

  u du  u 
u =αx
  1 d n e iu 
i (α x )   ⋅ 

  u du  u 
u =αx
n +1
h (α x ) = ( − 1)
(1 )
n
,
u =αx
n
n
  1 d n e −iu 
hn(2) (α x ) = (− 1)n i (α x )n   ⋅ 

  u du  u 
.
,
(70.4)
,
(70.5)
(70.6)
u =αx
L’andamento grafico delle prime Funzioni di Bessel Sferiche Ordinarie è riportato nelle Fig. 5 e 6.
Fig. 5 – Grafici delle funzioni x ֏ j 0 (x ), j 1 (x ), j 2 (x ), j 3 (x ) .
Fig. 6 – Grafici delle funzioni x ֏ n 0 (x ), n 1 (x ), n 2 (x ), n 3 (x ) .
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
E.
–
20
Le Funzioni di Bessel Sferiche Iperboliche di 1º e di 2º tipo
In geometrie di propagazione stazionaria a simmetria cilindrica (e.g., radiazione elettromagnetica
smorzata da un’antenna, diffusione smorzata di un gas di neutroni da una barra di combustibile
nucleare, etc.), la separazione delle variabili (cilindriche) nell’equazione differenziale modellistica
del 2º ordine a derivate parziali può fornire un’equazione radiale ( x ֏ ρ ≥ 0 ) del tipo
y ′′ + (2 /x )y ′ − (α 2 + n (n + 1)/x 2 ) y = 0 ,
(71)
dove, ancora (cfr/c Eq. (55)), si ha {α , n } ⊂ R + × Z 0+ .
Lasciandosi guidare dalle forme rispettive degli integrali generali (35) e (59) e tenendo conto delle
connessioni formali
Eq. (58.1)
Eq. (34.1)
j n (α x ) 
→ J n + 1 / 2 (α x ) 
→ I n + 1 / 2 (α x ) ,
α iα
Eq. (58.2)
Eq. (34.1)
n n (α x ) 
→ N n + 1 / 2 (α x ) ∧ J − (n + 1 / 2 ) (α x ) 
→ I − (n + 1 / 2) (α x ) ,
α ֏ iα
(72.1)
(72.2)
necessarie per costruire K n + 1 / 2 (α x ) con l’Eq. (36.1), è evidente che l’integrale generale dell’Eq.
(71) è esprimibile nella combinazione lineare
y = c 1 i n (α x ) + c 2 k n (αx ) ,
(73)
avendo definito, per x ∈ R + (v. Eq. (13)),
1/ 2
 π 
x ֏ i n (α x ) := 
 I n + 1 / 2 (α x ) ,
 2α x 
(74.1)
1/2
 2 
x ֏ k n (α x ) := 
 K n + 1 / 2 (α x ) ,
 πα x 
(74.2)
le cosiddette Funzioni di Bessel Sferiche Iperboliche o Modificate (cfr/c le Eq. (58.1) e (58.2)). I
grafici di quelle dei primi ranghi interi inferiori sono mostrati a P. 18.
Le espansioni in serie di potenze delle funzioni in e k n si determinano agevolmente combinando
le definizioni (74.1) e (74.2), rispettivamente, con l’Eq. (38) e (39).
Risultano, per x ∈ R + ,
i n (α x ) =
π 1 / 2 (α x )n
2
n +1
+∞
k =0
π 
k n (α x ) = ( − 1)  
2
n
∑2
2k
1/2 + ∞
∑
k =0
1
(α x )2k ,
k !Γ (k + n + 3/2)
(75.1)

1  (α x /2) − (n + 1)
(α x /2)n
2k
−

 (α x ) .
2k
2 k !  Γ (k − n + 1/2) Γ (k + n + 3 /2) 
(75.2)
Ora, l’analisi sviluppata per le funzioni di Bessel Sferiche Ordinarie alle P. 12-15 può essere
riformulata, riguardo alle Funzioni Sferiche Iperboliche, in modo sostanzialmente analogo; questa
è, certamente, una delle conferme più straordinarie e profonde del parallelismo strutturale esistente
tra la Goniometria Circolare e quella Iperbolica [11.4].
Per n = 0 , mediante le Id. (61.1), (63.1) e le proprietà fattoriali della Funzione Γ , si ottengono le
espressioni
i 0 (α x ) ≡
π 1/2
2
+∞
∑
k =0
1
π 1/ 2
2k
α
(
x
)
=
2 2k k !Γ (k + 3/2)
2
+∞
∑
k =0
1
2 2k + 1 k !
(α x )2k
⋅ 1/ 2
⋅ 2k
k ! π (2k + 1)! 2
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
+∞
=
1
∑ (2k + 1)! (α x )
k =0
2k
≡
sinh α x
,
αx
–
21
(76.1)
 1 +∞

1
1 +∞
1
2k
k 0 (α x ) = π 1/ 2 
−
∑
∑
 (α x )
2k
2k
 α x k = 0 2 k !Γ (k + 1/2) 2 k = 0 2 k !Γ (k + 3 /2) 
 + ∞ 1 2 2k − 1 (k − 1)! (α x )2k 1 + ∞ 1
2 2k + 1 k !
(α x )2k 
= π 1/ 2  ∑ ⋅ 1 / 2
⋅ 2k − ∑ ⋅ 1 2
⋅ 2k 
2 k = 0 k ! π (2k + 1)! 2
 k = 0 k ! π (2k − 1)! 2

+∞
+∞
1
1
= ∑
(α x )2k − ∑
(α x )2k
k = 0 (2k )!
k = 0 (2k + 1)!
cosh α x sinh α x
e −α x
≡
−
=
,
αx
αx
αx
(76.2)
entrambe in termini di funzioni elementari. Quando esse siano sostituite, rispettivamente, nelle Eq.
(74.1) e (74.2), si ottengono
1/2
 2 
I 1 / 2 (α x ) = 
 sinh α x ,
 π αx 
(77.1)
1/2
 π  −α x
K 1 / 2 (α x ) = 
 e ,
 2α x 
(77.2)
che costituiscono gli elementi generatori delle famiglie { I n + 1 / 2 (α x )} e { K n + 1 / 2 (α x )} . Iniziando
dalla famiglia di 1º tipo, l’Eq. (36.1) dà, per ν ≡ n + 1/2 ,
I − (n + 1 / 2 ) (α x ) = I n + 1 / 2 (α x ) + ( − 1)n
2
π
K n + 1 / 2 (α x )
(78)
e, quindi, assegnato n = 0 , risulta, dalle Eq. (77.1) e (77.2),
1/2
 2 
I −1 / 2 (α x ) = I 1 / 2 (α x ) + K 1 / 2 (α x ) = 

π
 π αx 
2
cosh α x .
(78.1)
Il processo generativo si può avviare specificando ν ≡ 1/2 nell’identità ricorsiva (48.i),
I 3 / 2 (α x ) ≡ I 1 / 2 + 1 (α x ) = −
1/ 2
 2 
=

 π αx 
1
I (α x ) + I −1 / 2 (α x )
α x 1/ 2
sinh α x 

 cosh α x −
.
αx 

(79.1)
Segue, dalla definizione (74.1),
1/2
 π 
i1 (α x ) ≡ 

 2α x 
I 3 / 2 (α x ) =
cosh α x sinh α x
−
.
αx
(α x )2
(79.2)
Con I 3 / 2 (α x ) e I 1 / 2 (α x ) a disposizione, si trova, ora, I 5 / 2 (α x ) con lo stesso metodo. Il risultato,
ponendo ν ≡ 3 /2 nell’identità ricorsiva (48.i), è
I 5 / 2 (α x ) ≡ I 3 / 2 + 1 (α x ) = −
3
I (α x ) + I 1 / 2 (α x )
α x 3/2
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
22
1/ 2
3 
3

 2  
=
1+
sinh α x −
cosh α x  .

2 


(α x ) 
αx
 πα x   

(80.1)
Infine, ricorrendo ancora all’Eq. (74.1), si determina
1/ 2
 π 
i 2 (α x ) ≡ 

 2α x 
3 
3
 1
I 5 / 2 (α x ) = 
+
sinh α x −
cosh α x ,
3 
(α x )2
 α x (α x ) 
(80.2)
e così via.
In generale, l’identità generatrice (cfr/c identità (70.1))
i n + 1 (α x ) = i n − 1 (α x ) −
2n + 1
i (α x ) ,
αx n
(81.1)
dimostrabile facilmente per induzione, velocizza la determinazione iterativa delle funzioni in .
Ad essa, si affianca l’identità ricorsiva nidificata, pure dimostrabile per induzione,
  1 d n sinh u 
i n (α x ) = (α x )n  


  u du  u 
,
(81.2)
u =αx
La ricerca delle espressioni delle Funzioni di Bessel Sferiche Iperboliche di 2º tipo è un po’ più
rapida, grazie alla simmetricità completa dell’identità ricorsiva (48.k) vs. l’ordine ν .
Pertanto, poiché si ha
1/ 2
 π 
K −1 / 2 (α x ) = 
e −α x ≡ K 1 / 2 (α x ) ,

 2α x 
l’applicazione dell’Eq. (48.k) dà (ν = 1/2 )
K 3 / 2 (α x ) ≡ K 1 / 2 + 1 (α x ) =
(82)
1
K (α x ) + K −1 / 2 (α x )
α x 1/ 2
1/2
1  −α x
 π  
=
 1 +
e
αx 
 2α x  
(82.1)
e, di conseguenza, dall’Eq. (74.2), si trova
1/2
1  −α x
 π 
 1
k 1 (α x ) ≡ 
+
e .
 K 3 / 2 (α x ) = 
2 
 2α x 
 α x (α x ) 
(82.2)
Ancora, si può costruire, assegnando ν = 3 /2 ,
K 5 / 2 (α x ) ≡ K 3 / 2 + 1 (α x ) =
1/2
 2 
=

 πα x 
3
K (α x ) + K 1 / 2 (α x )
α x 3/2
3
3  −α x

 1 + α x + (α x )2  e


(83.1)
e, da questa,
1/2
 π 
k 2 (α x ) ≡ 

 2α x 
3
3  −α x
 1
K 5 / 2 (α x ) = 
+
+
e
2
(α x )3 
 α x (α x )
(83.2)
ma, in generale, è di gran lunga più comodo ricorrere all’identità ricorsiva generatrice, analoga
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
23
all’identità (81.1) e, pure, dimostrabile facilmente per induzione,
k n + 1 (x ) = k n − 1 (x ) +
2n + 1
k n (x ) .
x
(84.1)
Infine, va ricordata l’identità ricorsiva nidificata, dimostrabile, come l’Id. (84.1), per induzione,
  1 d n e −α x 
k n (α x ) = (− 1)n (α x )n  


  u du  u 
.
(84.2)
u =αx
Fig. 7 – Grafici delle funzioni x ֏ i 0 (x ), i 1 (x ), i 2 (x ), i 3 (x ) .
Fig. 8 – Grafici delle funzioni x ֏ k 0 (x ), k 1 (x ), k 2 (x ), k 3 (x ) .
Osservazione 4
L’asserto a P. 3, per il quale, “Tutte – e sole – le Funzioni di Bessel Sferiche, sia Ordinarie che Iperboliche sono
esprimibili in forma chiusa, mediante combinazioni di funzioni elementari (potenze, goniometriche ed esponenziali)”,
è verificato.
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
24
Riepilogo delle rappresentazioni in serie reali delle
Funzioni di Bessel, Ordinarie e Iperboliche
ν
●
●
x 
x ֏ J ν (x ) :=  
2
+∞
∑
k =0
( − 1)k
x 2k ≡ i ν Ι ν ( − ix ) ;
2 2k k !Γ (ν + 1 + k )
(85)
x ֏ Ν ν (x ) := ( cot ν π ) J ν (x ) − ( cot ν π ) J −ν (x ) .
(86)
In particolare, ∀ ν ≡ n + 1/2 , l’Eq. (3) (o (86)) dà
N n + 1 / 2 (α x ) = ( − 1)n + 1 J − (n + 1 / 2 ) (α x ) ;
(86.1)
∀ ν ≡ n ∈ Z 0+ , si ricavano
+∞
k
2 x
( − 1)k  x
1  2k 
 ln + γ + ∑ k 2  ln + γ − ∑  x  ,
(
2
!)
2
k
p
π  2
k =1
p =1



+
N n (x ) := lim N ν (x ) ,
per n ∈ Z ,
N 0 (x ) =
(86.2)
ν →n
=
n
+∞
n
k
n
11
x
1  x 
( − 1)k
x
1
1  2k + n

2
ln
+
2
γ
−
−
 
∑
   + ∑ 2k + n
 2 ln + 2 γ − 2 ∑ − ∑
x
↲


+
+
2
p
2
2
k
!(
k
n
)!
2
p
k
p
π  n !
p =1
k =1
p =1
p =1


n −1
↳
−
∑
p=0
(n − p − 1)! 2p − n 
x
 ;
2 2p − n p !

(86.3)
●
x ֏ H ν(1) (x ) := J ν (x ) + i N ν (x ) ;
(87)
●
x ֏ H ν(2) (x ) := J ν (x ) − i N ν (x ) ;
(88)
●
x 
x ֏ I ν (x ) :=  
2
ν
●
+∞
∑2
k =0
2k
1
x 2k ≡ i −ν J ν (ix ) ;
k !Γ (ν + 1 + k )
x ֏ K ν (x ) := (π /2) (cscνπ ) (Ι −ν (x ) − Ι ν (x )) ≡ Κ −ν (x ) .
(89)
(90)
In particolare, ∀ ν ≡ n ∈ Z 0+ , si ricavano
+∞
k
x
1
1
 x
− γ − ∑ k 2  ln + γ − ∑  x 2k ,
2
2
k = 1 (2 k !) 
p =1 p 
+
K n (x ) := lim Κ ν (x ) ,
∀n ∈Z ,
K 0 (x ) = − ln
(90.1)
ν →n
n
1  x
1 n 1  x 
= ( − 1)n + 1   ln + γ − ∑    +
 n!
2 p =1 p   2  ↲
  2
+∞
↳
+∑
k =1
k
1
1 1 n
1  2k + n  1 n − 1 ( − 1)p (n − p − 1)! 2p − n
 x
ln
+
γ
−
−
+
x
.

x
∑
∑
 2 p∑
2 p =1 k + p 
2 2k + n k !(k + n )!  2
2 2p − n p !
p =1 p
=0

↳ (90.2)
Là dove compare, γ ≡ 0 .57721566 49 … indica la Costante di Euler-Mascheroni. Inoltre, nelle manipolazioni
numeriche, può rivelarsi utile la Proprietà di Iterazione della Funzione Γ per ottenere le identità
Γ (ν + 1 + k ) ≡ (ν + k ) (ν + k − 1) (ν + k − 2)… (ν + 2) (ν + 1)Γ (ν + 1) ≡ (ν + 1)k Γ (ν + 1)
≡ (ν + k ) (ν + k − 1) (ν + k − 2) … (ν + 2) (ν + 1)ν Γ (ν ) ≡ (ν )k + 1 Γ (ν ) ,
espresse in termini di simboli di Pochhammer (α ) m (v. [12.2], P. 15, Esercizio 1.1).
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
25
Riepilogo delle rappresentazioni in serie reali delle
Funzioni di Bessel Sferiche, Ordinarie e Iperboliche
1 /2
●
 π 
x ֏ j n (α x ) := 
 J n + 1 / 2 (α x )
 2α x 
π 1 / 2 /(α x )n + ∞
( − 1)k
=
(α x )2k
∑
n +1
2k
2
2
+
+
3
2
k
!
(
k
n
/
)
Γ
k =0
  1 d n sin u 
≡ ( − 1)n (α x )n   ⋅ 

  u du  u 
(91.1)
;
(91.2)
u =αx
1 /2
●
(91)
1/2
 π 
 π 
x ֏ n n (α x ) := ( − 1)n + 1 
 J − (n + 1 / 2 ) (α x ) ≡ 
 N n + 1 / 2 (α x )
 2α x 
 2α x 
2 n π 1/2 + ∞
( − 1)k
= ( − 1)n + 1
(α x )2k
∑
(α x )n + 1 k = 0 2 2k k !Γ (k − n + 1 /2)
  1 d n cos u 
≡ ( − 1)n + 1 (α x )n   ⋅ 

  u du  u 
(92)
(92.1)
;
(92.2)
u =αx
1/2
●
 π 
(2 )
*
x ֏ hn(1) (α x ) := j n (α x ) + i n n (α x ) ≡ 
 ( J n + 1 / 2 (α x ) + i N n + 1 / 2 (α x )) ≡ hn (α x )
 2α x 
  1 d n e i u 
= ( − 1)n + 1 i (α x )n   ⋅ 

  u du  u 
;
(93)
(93.1)
u =αx
1/2
●
 π 
*
(1 )
x ֏ hn(2 ) (α x ) := j n (α x ) − i n n (α x ) ≡ 
 ( J n + 1 / 2 (α x ) − i N n + 1 / 2 (α x )) ≡ hn (α x )
 2α x 
  1 d n e − i u 
= ( − 1)n i (α x )n   ⋅ 

  u du  u 
;
(94)
(94.1)
u =αx
1 /2
●
 π 
x ֏ i n (α x ) := 
 I n + 1 / 2 (α x )
 2α x 
π 1 / 2 (α x )n + ∞
1
=
(α x )2k
∑
2k
2n + 1
2
k
!
(
k
+
n
+
3
/
2
)
Γ
k =0
  1 d n sinh u 
= (α x )n   ⋅ 

u 
  u du 
;
(95)
(95.1)
(95.2)
u =αx
1 /2
●
 2 
x ֏ k n (α x ) := 

 πα x 
K n + 1 / 2 (α x )
π 
= ( − 1)n  
2
1 /2 + ∞
∑2
k =0
(96)

1  (α x /2)− (n + 1)
(α x /2)n
2k
−

 (α x )
k !  Γ (k − n + 1 /2) Γ (k + n + 3 /2) 
2k
  1 d n e − α x 
= ( − 1)n (α x )n   ⋅ 

  u du  u 
.
(96.1)
(96.2)
u =αx
■■■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
F.
–
26
Ortogonalità delle Funzioni di Bessel
La proprietà di ortogonalità funzionale riguarda, nel caso delle Funzioni di Bessel, le sole funzioni
J ν e quelle connesse moltiplicativamente alle J ν , i.e., le funzioni in , quando J ν ≡ J n + 1/ 2 , e le
funzioni nn e N n + 1 / 2 , quando J ν ≡ J − (n + 1 / 2) . La questione, fondamentale in Fisica Quantistica e
in Elettrodinamica, rientra nella Teoria delle Funzioni Ortogonali in un intervallo. Se ne può
trovare una discussione elementare e concisa, e.g., in [12.3], P. 10-13.
Il modo in cui l’ortogonalità va intesa e applicata alle funzioni J ν si fonda sulle due proposizioni
generali seguenti:
PROPOSIZIONI
●
La funzione x ֏ J n (x ) ≡ ( −1)n J −n (x ) , con n ∈ Z 0+ , possiede un numero infinito di radici
reali disposte simmetricamente rispetto all’origine, dove esiste la radice x = 0 solo se n ≠ 0 .
Tutte le radici di J n , con n ≠ 0 , sono semplici, eccetto x = 0 , che è di multiplicità n .
●
Le radici della funzione x ֏ J ν (x ) , quando sia ν ∈ ( − 1, + ∞ ) , sono di numero infinito, reali,
positive e tutte semplici [dal Teorema di Lommel (EUGEN C. J., VON, 1837-1899)]. ▲ (†)
Ora, sia ν ≥ − 1/2 e sia x ν , m la radice positiva m-sima di J ν , i.e., tale che J ν (x ν , m ) = 0 e che
0 < x ν , 1 < x ν , 2 < … < x ν , m < … , con m ∈ Z + . Fissato un valore qualsiasi L ∈ R + e definita la
successione numerica crescente di indice m
{α m }:= { x ν , m /L } ,
(97)
si consideri la successione associata di funzioni nell’intervallo ( 0, L ) , anch’essa di indice m,
{x ֏ J ν (α m x )} ≡ {x ֏ J ν (x ν , m /L)} .
(98)
Si dimostra [6] che tale successione di funzioni costituisce un sistema ortogonale in ( 0 , L ) vs. la
funzione-peso w (x ) = x , nel senso che
∫
L
0
J ν (α m x ) J ν (α r x ) x dx = (L2 /2) ( J ν + 1 (x ν , m )) 2δ m , r .
(99)
Come è evidente dalle Eq. (58.1) e (58.2), poiché le radici di J ν ≡ J n + 1/ 2 sono anche quelle di j n
mentre le radici di J ν ≡ J − (n + 1 / 2) sono anche quelle di nn e di N n + 1 / 2 , allora, si deducono
immediatamente gli integrali di ortogonalizzazione (con funzioni-peso w (x ) ≡ x 2 , per le funzioni
j n e nn , mentre w (x ) ≡ x , per le funzioni N n + 1 / 2 )
∫
∫
L
0
L
0
j n (α m x ) j n (α r x ) x 2 dx = (L2 /2) (x n + 1 / 2, m j n (x n + 1 / 2, m )) 2δ m , r ,
n n (α m x ) n n (α r x ) x 2 dx ≡
∫
L
0
(100.1)
N n + 1 / 2 (α m x ) N n + 1 / 2 (α r x ) x dx
= (L2 /2) (x − (n + 1 / 2), m n n (x − (n + 1 / 2), m )) 2δ m , r .
(100.2)
■
____________________
(†)
La questione delicata – molto importante nelle applicazioni – della determinazione delle radici delle Funzioni di
Bessel è affrontata nitidamente in [3], § 5.9-10-11, e, anche, in [1, 4, 6]; né vanno trascurate le tabelle in [9, 10].
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
27
Approssimazioni delle Funzioni di Bessel
1.a
Il Simbolo di Hankel
Sia assegnato ν ∈ R , tale che ν − 1/2 ∉ Z . Inoltre, sia k ∈ Z + .
Per ridurre il rapporto
g ν , k :=
Γ (1/2 + ν + k ) Γ ((1/2 + ν ) + k )
≡
Γ (1/2 + ν − k ) Γ ((1/2 + ν ) − k )
(101)
a forma algebrica, conviene iniziare dall’identità (e.g., v. [11.2], Eq. (26))
Γ (1/2 + x ) Γ (1/2 − x ) = π /cos π x ,
dal cui prolungamento massimale in R , si può scrivere, dopo il cambiamento x ֏ k − ν ,
Γ (1/2 + (k − ν ))Γ (1/2 − (k − ν )) =
=
π
π
≡
cos π (k − ν )
cos π k cosνπ + sin π k sinνπ
(− 1)kπ
,
cosν π
o, in modo equivalente,
Γ (1/2 − (k − ν )) =
(− 1)k π
.
(cosν π ) Γ ((1/2 − ν ) + k )
(101.1)
Sostituendo l’espressione (101.1) nel denominatore dell’Eq. (101), risulta
gν , k =
(− 1)k cosν π
π
Γ ((1/2 +ν ) + k ) Γ ((1/2 − ν ) + k ) .
(101.2)
Il prodotto tra le funzioni Γ nell’Eq. (101.2) può essere ridotto mediante la Proprietà Iterativa (9)
in [11.2]. Procedendo separatamente, per comodità, con ciascun Γ -fattore, si ha,
definito λ := 1/2 + ν ,
●
Γ ((1/2 + ν ) + k ) ≡ Γ (λ + k )
= (λ + k − 1) (λ + k − 2) … (λ + 2) (λ + 1)λ Γ (λ )
= (k − 1/2 + ν ) (k − 3 /2 + ν ) … (3 /2 + ν ) (1/2 + ν ) Γ (1/2 + ν ) ;
(101.3)
analogamente, dopo aver definito µ := 1/2 − ν ,
●
Γ ((1/2 −ν ) + k ) ≡ Γ (µ + k )
= ( µ + k − 1) ( µ + k − 2) … ( µ + 2) ( µ + 1) µ Γ ( µ )
= (k − 1/2 − ν ) (k − 3 /2 − ν ) … (3 /2 − ν ) (1/2 − ν ) Γ (1/2 − ν ) .
(101.4)
Sostituendo i prodotti (101.3) e (101.4) nell’Eq. (101.2), questa diventa
g ν , k = ( − 1)k
cosνπ
π
((k − 1/2)2 − ν 2 ) ((k − 3 /2)2 − ν 2 ) … ((3 /2)2 − ν 2 ) ((1/2)2 − ν 2 )
cosνπ
π
k fattori
1
(4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) … [4ν 2 − (2k − 3)2 ][4ν 2 − (2 k − 1)2 ]
2k
2
k
1
≡ 2k ∏ m = 1 (4ν 2 − (2m − 1)2 ) .
2
=
(101.5)
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
28
–
Si osservi che, per ν = ± (s − 1/2) , con s ∈ Z + , il prodotto (101.5) è nullo. Questo rende ragione
della condizione iniziale ν − 1/2 ∉ Z , con la quale, sono evitate le divergenze dei Γ -termini
nell’Eq. (101) quando (1/2 + ν ± k ) ∈ R 0− .
Mediante l’Eq. (101.5), viene introdotta la notazione sintetica hν , k , detta Simbolo di Hankel [3, 6],
utilizzata nella rappresentazione dei coefficienti di certe serie asintotiche relative alle Funzioni di
Bessel, come si vedrà nel § 1.b:
hν , k :=
gν , k
k!
=
Γ (1/2 + ν + k )
.
k !Γ (1/2 + ν − k )
(102)
La definizione (102) è estendibile anche a k = 0 , avendosi, per sostituzione diretta, hν , 0 = 1 .
Quindi, in forma algebrica, si scrive
hν , k
1


=  (4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) … (4ν 2 − (2 k − 1)2 )
≡

2 2k k !

per k = 0,
,
∏
k
m =1
(4ν 2 − (2m − 1)2 )
2k
2 k!
,
∀ k ∈ Z +.
↳
(102.1)
Per il Simbolo di Hankel, vale, ∀ k ∈ Z 0+ , la formula iterativa evidente
4ν 2 − (2k + 1)2
hν , k + 1 =
hν , k .
4 (k + 1)
(102.2)
■
1.b
Approssimazione asintotica per x ≫ 1 [8, 9]
Frequentemente (e.g., in molti problemi di Fisica Teorica), è necessario conoscere come una
funzione di Bessel qualsiasi, ordinaria o iperbolica, si comporta per valori ‘grandi’ (i.e., ≫ 1 ) del
suo argomento x . In questa circostanza, il computer è di scarso aiuto se usato ‘di forza bruta’,
senza un’analisi numerica preventiva, meditata e specifica!
□
Il punto di partenza convenzionale è la rappresentazione integrale seguente di K ν (x ) [1,
5, 6
],
valida ∀ ν ∈ ( − 1/2 , + ∞ ) e, qui, ristretta a x ∈ R + :
1/ 2
e −x
π 
K ν (x ) =  
 2 x  Γ (ν + 1/2)
∫
+∞
0
e −t t ν − 1/ 2 (1 + t /(2 x ))ν − 1 / 2dt .
(103)
La limitazione sui valori di ν è irrilevante, valendo, ∀ ν ∈ R , la proprietà di simmetria indiciale
K ν (x ) ≡ K −ν (x ) (v. Eq. (90) o (47.k)), verificabile elementarmente.
Nel seguito di questa discussione, si assumerà ν fissato.
Circa il calcolo dell’integrale nella rappresentazione (103), l’idea più immediata (e fuorviante!) da
cui si potrebbe essere indotti è quella di espandere (1 + t /(2 x ))ν − 1 / 2 come serie binomiale e, quindi,
di integrare termine-a-termine la somma ottenuta, confidando (?) nella sua convergenza uniforme
in R + . Ma neppure la condizione che sia, almeno, t < 2 x , può essere mantenuta definitivamente
durante l’integrazione in R + ! Dunque, la via analitica rigorosa è preclusa!
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
29
Resta l’approssimazione asintotica.
L’integrale (103) appartiene alla classe degli Integrali di Laplace [7]. La sua funzione integranda
contiene il fattore e −t , dominante per t → + ∞ e ∀ x finito. Ciò implica che la prosecuzione
formale nell’integrazione termine-a-termine – analiticamente non giustificabile – introduce solo un
errore piccolo esponenzialmente nel risultato, in forza del Lemma di Watson [2, 3, 5, 6, 7]. Anzi, il
Lemma di Watson fornisce il risultato esplicitamente, con l’integrale convergente proprio al valore
x -parametrico K ν (x ) .
□
1.c
Il Lemma di Watson (formulazione in R )
Sia f : R + ֏ R una funzione generalmente continua, tale che
f (t ) ~ t λ − 1 ∑ k = 0 c k t k
+∞
definitivamente per t = o (1) , con λ ∈ R + . Inoltre, la funzione integrale (à-la Laplace)
F (x ) =
∫
+∞
0
e − x t f (t )dt
sia, definitivamente, semplicemente convergente per x → + ∞ . Allora, per x → + ∞ , F possiede il comportamento
asintotico
F (x ) ~
∑
+∞
k =0
c k Γ (k + λ ) x − (k + λ ) . ▲
(I)
□
Nel caso della rappresentazione integrale (103) di K ν (x ) , si trasformi t ֏ xt nel differenziale integrando, ottenendo
la rappresentazione à-la Laplace-Watson
1 /2
π 
K ν (x ) =  
2
e − x xν
Γ (ν + 1 /2)
∫
+∞
0
e − x t t ν − 1 / 2 (1 + t /2) ν − 1 / 2 dt .
(II)
Nell’Eq. (II), si riconosce f (t ) ≡ t ν − 1 / 2 (1 + t /2) ν − 1 / 2 . Inoltre, per t = o (1) , vale definitivamente l’M-espansione
+∞
+∞
 1 ν − 1/2   k
Γ (ν + 1/2)
(ν + 1 / 2 ) − 1
f (t ) ≡ t ν − 1 / 2 ∑  k 
tk ,
∑
 t ≡ t
k
k 
k =0  2 
k = 0 2 k !Γ (ν + 1 / 2 − k )
dalla quale, si deducono
λ ≡ ν + 1/2 ,
ck ≡
Γ (ν + 1/2)
.
2 k k !Γ (ν + 1/2 − k )
L’espansione asintotica (104) segue per sostituzione diretta nell’Eq. (I) delle espressioni ottenute di c k e di λ.
□
Comunque, se si ignora il Lemma di Watson e si sostituisce l’espansione formale
(1 + t /(2 x ))ν − 1/ 2 =
ˆ
+∞
ν − 1/2 
k
∑
 k  (t /(2 x )) ≡

k =0 
+∞
Γ (ν + 1/2)
∑ Γ (ν + 1/2 − k ) (t /(2 x ))
k
k =0
nell’Eq. (103), scambiando le operazioni di integrazione e di somma di una serie (come sarebbe
lecito in regime di convergenza uniforme in un intervallo compatto), si determina, dall’Eq. (101),
1/2
π 
K ν (x ) =
ˆ  
 2x 
e −x
Γ (ν + 1/2)
+∞
∑
k =0
Γ (ν + 1/2)
k !Γ (ν + 1/2 − k ) (2 x )k
∫
+∞
0
e −t t ν − 1 / 2 + k dt
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
1/ 2
π 
ˆ   e −x
≡
 2x 
∑ k !Γ (ν + 1/2 − k ) (2 x )
k
k =0
1/2
30
Γ (ν + 1/2 + k )
+∞
π 
ˆ   e −x
≡
 2x 
–
+∞
hν , k
∑ (2x )
k
k =0
.
(104)
Il simbolo relazionale ˆ= significa: uguaglianza puramente formale.
Arrestando l’espansione formale (104) al termine di indice arbitrario k = M ( ∈ Z + ), secondo
l’accuratezza richiesta, si ottiene un’approssimazione di Κ ν (x ) , per 1 ≪ x , a meno di un errore
avente ordine di grandezza non-superiore di quello del primo termine trascurato. In generale, il
controllo numerico rivela un livello di accuratezza sorprendentemente elevato e stabile nonostante
sia il numero esiguo di addendi necessari sia, soprattutto, il carattere divergente della serie formale
stessa (verificabile, e.g., con il Criterio del Rapporto)! Ciò è tipico con le Serie Asintotiche [3, 5].
Correttamente, per x ≫ 1 , si ha
1/2
π 
K ν (x ) =   e − x
 2x 
M
h
∑ (2νx )
,k
k
k =0
+ O (x − (M + 1) )
1/2


4ν 2 − 1 (4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 25)
π 
~   e −x  1 +
+
+
+ …
2
3
1!8 x
2!(8 x )
3 !(8 x )
 2x 


↳ (105)
□
Hermann Hankel (1839-1873)
Per l’espressione (105), H. Hankel introdusse (1869) due
somme finite ausiliarie complementari, Φ ν (x ) e Ψ ν (x ) ,
rispettivamente funzioni pari e dispari di potenze negative
di x . Esse costituiscono, insieme, una sequenza ordinata
di M + 1 addendi ( M arbitrario) presi alternatamente da
una e dall’altra somma, iniziando da Φ ν (x ) , la somma pari.
Tali Somme di Hankel sono rappresentabili esplicitamente nelle forme seguenti:
Φ ν (x ) :=
M
h
∑ cos (k π /2) ⋅ (2νx )
k =0
≡ 1−
,k
k
(4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 25) (4ν 2 − 49)
+
−
↲
2!(8 x )2
4 !(8 x )4
(106.1)
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
↳
Ψ ν (x ) :=
−
h
M
≡
31
(4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 25) (4ν 2 − 49) (4ν 2 − 81) (4ν 2 − 121)
+… ,
6 !(8 x )6
∑ sin (k π /2) ⋅ (2νx )
,k
k =0
–
(106.2)
k
4ν 2 − 1 (4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 25) (4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 25) (4ν 2 − 49) (4ν 2 − 81)
−
+
−
↲
1!8 x
3 !(8 x )3
5!(8 x )5
↳
−
(4ν 2 − 1) (4ν 2 − 9) (4ν 2 − 25) (4ν 2 − 49) (4ν 2 − 81) (4ν 2 − 121) (4ν 2 − 169)
+….
7 !(8 x )7
I fattori goniometrici contenuti nei termini generali delle somme (106.1) e (106.2) selezionano gli
addendi non-nulli di queste al variare dell’indice k . Dalla loro forma, è immediato verificare che
K ν (x ) ~ (π /(2x ))1/ 2e − x (Φ ν (ix ) + Ψ ν (ix )) .
(107)
Infatti, in Φ ν (x ) e in Ψ ν (x ) , definite come somme di addendi di segno alterno, la trasformazione
x ֏ ix , rendendo tali segni tutti positivi, genera l’espansione asintotica (99). Inoltre, la somma
Φ ν (x ) , contenendo, lei sola, un addendo costante, domina definitivamente su Ψ ν (x ) , per x ≫ 1 .
L’espansione (107) è la generatrice delle espansioni asintotiche di tutte le altre Funzioni di Bessel
considerate. Dopo aver introdotta la notazione sintetica
ϑν := x − (2ν + 1)π / 4 ≡ ϑν (x ) ,
(108)
dall’identità (cfr/c Esercizio 1, P. 11)
Η ν(1) (x ) ≡ (2/π ) i − (ν + 1) K ν ( − ix ) ,
(109)
†
si ottiene facilmente ( )
H ν(1) (x ) ~ (2/(π x ))1/ 2e
i ϑν
(Φ ν (x ) + iΨ ν (x )) .
(110.1)
La funzione di Hankel Η ν(2) è la coniugata complessa di Η ν(1) . Quindi,
H ν(2) (x ) ~ (2/(π x ))1 / 2e
− i ϑν
(Φ ν (x ) − iΨ ν (x )) ;
(110.2)
poiché, rispettivamente, J ν (x ) ≡ Re H ν(1) (x ) e N ν (x ) ≡ Im H ν(1) (x ) , allora,
J ν (x ) ~ (2/(π x ))1 / 2 (Φ ν (x ) cos ϑν −Ψ ν (x ) sin ϑν ) ,
(111)
N ν (x ) ~ (2/(π x ))1 / 2 (Φ ν (x ) cos ϑν + Ψ ν (x ) sin ϑν ) ;
(112)
infine, sfruttando la connessione tra la Funzione di Bessel Iperbolica (o Modificata) di 1º tipo (o
regolare), Ι ν , e la Funzione di Bessel Ordinaria di 1º tipo, J ν (v. Eq. (89)), si trova che
I ν (x ) ~
ex
ex
(
Φ
(
ix
)
−
i
Ψ
(
ix
))
≡
ν
ν
(2π x )1 / 2
(2π x )1 / 2
M
∑
k =0
(− 1)k
hν , k
(2 x )k
.
(113)
____________________
(†)
Per una verifica dell’Eq (109), si sostituisca l’Eq. (3) nell’Eq. (87); poi, si esprimano le funzioni J ±ν mediante le
funzioni I ±ν (v. Eq. (85)) e, all’occorrenza, si ricordi che e − i π ν ≡ i − 2ν . Il resto è algebra semplice.
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
32
Osservazioni 5
a. J ν e Ν ν tendono a comportarsi come le funzioni coseno e seno, rispettivamente. Le loro radici appaiono spaziate
quasi regolarmente a intervalli di ampiezza ∆ x ≈ π ; la spaziatura ∆ x tende a π per x → + ∞ .
Pertanto, quando 1 ≪ x , stime meno raffinate di quelle fornite dalle Eq. (111) e (112) danno
1 /2
 2 
−1
J ν (x ) ~ 
 (cos ϑν + O (x )) ,
 πx 
(114.1)
1 /2
 2 
−1
N ν (x ) ~ 
 ( sin ϑν + O (x )) ,
 πx 
(114.2)
i.e., per x → + ∞ , le Funzioni di Bessel Ordinarie mostrano un comportamento oscillatorio, di modulazione
d’ampiezza (inviluppo) infinitesima come |x | −1 / 2 ;
b. si è visto che il comportamento asintotico di Η ν (x ) e di Η ν (x ) dipende definitivamente da quello di un
(1 )
(2 )
esponenziale complesso mentre quelli di Ι ν (x ) e di K ν (x ) dipendono da un fattore esponenziale reale crescente
e, rispettivamente, decrescente. Questo fenomeno, talvolta, è sufficiente per trascurare convenientemente l’una o
l’altra di tali funzioni nell’analisi asintotica;
c. Nel caso delle Funzioni di Bessel Sferiche, sia Ordinarie che Iperboliche, si ha ν = ± (m − 1/2) , con m ∈ Z 0+
(v. Osservazione 4). La serie formale (104) si riduce, allora, alla somma di un numero finito di addendi e le
approssimazioni asintotiche (107), …, (110) diventano soluzioni esatte.
■
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
2.
–
33
Approssimazioni asintotiche in regime infinitesimo ( 0 < x = o (1) )
Nel limite x → 0 + , l’analisi asintotica diventa più agevole di quella sviluppata per x ≫ 1 ,
potendo, in questo caso, usare direttamente le rappresentazioni in serie analitiche (85), …, (90.2).
Fissato, in generale, ν ∈ R + , salvo dove sia specificato altrimenti, ecco un elenco di risultati utili:
●
J 0 (x ) ~ 1 −
●
J ν (x ) ~
x2 x4
x6
x8
+
−
+
~ Ι 0 ( − ix ) ;
4 64 2304 147456
(115.1)
xν

x2
x4
x6
+
−
+
1 −
2 ν Γ (ν ) 
4 (ν + 1) 32 (ν + 1) (ν + 2) 384 (ν + 1) (ν + 2) (ν + 3) ↲
ν

x8
ν
 ~ i Ι ν ( − ix ) ,
6144 (ν + 1) (ν + 2) (ν + 3) (ν + 4) 
+
↳
(115.2)
valida ∀ ν ∈ R \ Z 0− ;
2
(ln x + γ − ln 2) + O (x 2 ) ~ −
2
Κ 0 (x ) ;
(116.1)
●
N 0 (x ) ~
●
N ν (x ) ~ −
●
H 0(1) (x ) ~ 1 + i
●
Η ν(1) (x ) ~ i
2 ν Γ (ν )
~ − i Ν ν (x ) ~ Η ν(2) (x )∗ ;
π xν
(117.2)
●
Ι 0 (x ) ~ 1 +
x2 x4
x6
x8
+
+
+
~ J 0 (ix ) ;
4 64 2304 147456
(118.1)
●
Ι ν (x ) ~
π
π
2 ν Γ (ν )
2
~ − K ν (x ) ;
π xν
π
2
π
(116.2)
(ln x + γ − ln 2) ~ 1 + i N 0 (x ) ~ H 0(2 ) (x )∗ ;
(117.1)
xν

x2
x4
x6
1
+
+
+
+

2 ν ν Γ (ν ) 
4 (ν + 1) 32 (ν + 1) (ν + 2) 384 (ν + 1) (ν + 2) (ν + 3) ↲
↳
+

x8
−ν
 ~ i J ν (ix ) ,
6144 (ν + 1) (ν + 2) (ν + 3) (ν + 4) 
(118.2)
valida ∀ ν ∈ R \ Z 0− ;
●
K 0 (x ) ~ − ln x − γ + ln 2 ~ −
●
K ν (x ) ~
π
2
N 0 (x ) ;
2 ν − 1 Γ (ν )
π
~ − N ν (x ) ~ K −ν (x ) .
ν
x
2
(119.1)
(119.2)
Osservazione 6
Nei casi in cui i valori di ν e di x sono diversi da quelli fin qui considerati – purché ammissibili – (e.g., in presenza
di simmetrie e, soprattutto, delle funzioni derivate delle Funzioni di Bessel, come nel calcolo di un wronskiano),
l’analisi asintotica va preceduta da trasformazioni opportune (reperibili dalla teoria) che riducano le espressioni in
gioco alle sole quattro funzioni fondamentali J ν , N ν , I ν e K ν ( H ν(1) e H ν(2) sono riconducibili a J ν e a N ν ).
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Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
3.
–
34
Ricette numeriche elementari per le Funzioni di Bessel
Nel trattamento numerico delle varie Funzioni ‘Speciali’, le Funzioni di Bessel presentano, spesso,
le difficoltà maggiori. Però, l’affidarsi in modo passivo alle routines dei pur migliori programmi di
calcolo (e.g., Maximafr-sfwr [14], SciLab fr-sfwr [16], Mathematica™, Maple™, Matlab™, …) non si
rivela sempre conveniente sia per la richiesta di interazione alquanto pesante con la memoria RAM
sia, soprattutto, per la difficoltà di un controllo locale accurato del processo effettivo di calcolo.
Qualsiasi routine generale, quand’anche ‘robusta’, andrebbe ‘governata’, adattandola al problema
specifico, mai subìta a occhi chiusi! La sana diffidenza del ‘prendi il meglio di ogni routine ma
programma e calcola in modo controllato ciò che ti serve’ risulta, alla lunga, remunerativa.
La pratica numerica da layman – filtrata attraverso perplessità e frustrazioni innumerevoli – mi ha
lasciato alcune ‘buone regole di ‘taglio’ in R + , condensate nella tabella sottostante e applicabili
nel range indiciale ν ∈ [ 0 , 15 ] , circa l’uso dell’una o dell’altra serie approssimante. Per ν > 15 ,
si consultino [6], cap. 13, [8] e [9]. La tabella è sempre in attesa di miglioramenti significativi!
Cν (x )
Serie Analitica
J ν (x )
Eq. (85), (115.1), (115.2),
per x ≤ 6
Eq. (112),
per x > 6
Ν ν (x )
Eq. (86), (86.1), (86.2), (86.3),
(110.1), (110.2),
per x ≤ 4
Eq. (113),
per x > 4
Ι ν (x )
Eq. (89), (118.1), (118.2),
per x ≤ 12 o per x ≤ ν
Eq. (114),
per x > 12 o per x > ν
Κ ν (x )
Eq. (90), (90.1), (90.2),
(119.1), (119.2),
per x ≤ 1.5
Eq. (107), (105),
per x > 1.5
Serie Asintotica
Infine, il tracciamento del grafico di qualsiasi funzione cilindrica Cν richiede cura per realizzare
un raccordo ‘regolare’ (smooth) tra il ramo analitico e quello asintotico. Necessariamente, devono
essere assicurate le condizioni di regolarità alla frontiera (∈ C 1 : smooth boundary conditions),
 Cν− (x 0 ) = Cν+ (x 0 )
,

−
+
 (d Cν (x 0 )/dx ) = (d Cν (x 0 )/dx )
(114)
dove, x 0 è l’ascissa del punto di raccordo tra i due rami. L’effetto appropriato sembra dipendere
sia dal numero di addendi di ciascuna serie (troncata), ‘aggiustato’ tenendo conto del valore di ν
(in un’ottica ‘fai-da-te’, un numero di addendi compreso tra 250 e 500 è, in generale, largamente
sufficiente per una serie analitica; per una serie asintotica, un impiego di 10 o 12 addendi può
rivelarsi, addirittura, eccessivo ... tutto dipende dal valore di x 0 ) sia dagli andamenti quanto più
‘regolari’ possibile di (d Cν (x 0 )/dx ) − , la derivata sinistra analitica, e di (d Cν (x 0 )/dx ) + , la derivata
destra asintotica, ciascuna nel semi-intorno rispettivo di x 0 e lì calcolata.
Talvolta, sorprendentemente, una scelta indovinata di x 0 , raffinata con pazienza (trial-an’-error)
o, più semplicemente, … ‘coraggiosa’, diversa dai valori indicati nella tabella precedente, può
rivelarsi di successo.
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Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
George Neville Watson (1886-1965),
autore del capolavoro monumentale e fondamentale
A TREATISE ON THE THEORY OF BESSEL FUNCTIONS
FUNCTIONS,
il riferimento definitivo sulla Teoria delle Funzioni di Bessel
–
35
Funzioni di Bessel: rappresentazioni in serie di potenze in R
–
36
Bibliografia
[1]
WATSON, G. N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2ND ED., CAMBRIDGE UNIV. PRESS, (1922; RIST.
1996).
[2]
APOSTOL, T. M., Calculus, 2ND ED., VOL. II, P. 182-184, JOHN WILEY & SONS, INC. (1969).
[3]
GATTESCHI, L., Funzioni Speciali, U.T.E.T. (1973).
4
OLVER, F. W. J., Asymptotics and Special Functions, ACADEMIC PRESS (1974).
5
LEBEDEV, N. N., Special Functions and Their Applications, DOVER PUBL.S (1965; RIST. 1972).
6
[]
TEMME, N. M., Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, JOHN
WILEY & SONS, INC. (1996).
[7]
ANDREWS, G. E. - ASKEY, R. - ROY, R., Special Functions, CAMBRIDGE UNIV. PRESS (1999).
[]
[]
8
[]
BENDER, C. M. - ORSZAG, S. A., Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, MCGRAW-HILL
PUBL. CO. (1978).
[9]
ABRAMOWITZ, M. - STEGUN, I. A., EDS., Handbook of Mathematical Functions, DOVER PUBL.S, INC., (1972) [RIF.:
AMS-55 ( ≡ APPLIED MATHEMATICS SERIES-55)].
[10] OLVER, F. W. J. - LOZIER, D. W. - BOISVERT, R. F. - CLARK, C. W., EDS., N.I.S.T. Handbook of Mathematical
Functions, CAMBRIDGE UNIV. PRESS (2010).
[WEB-LINK: http://dlmf.nist.gov/ ]
[11] PRESS, W. H. - FLANNERY, B. P. - TEUKOLSKY, S. A. - VETTERLING, W. T., Numerical Recipes - The Art of
Scientific Computing, 3RD ED., CAMBRIDGE UNIV. PRESS (2007).
[versione PDF scaricabile da:
http://www.cm-physmath.net/math_page.html ]
[12] documenti PDF correlati, scaricabili dal web-site dell’autore:
12.1
[ ]
[12.2]
[12.3]
[12.4]
http://www.cm-physmath.net/math_page.html :
Equazioni Differenziali Ordinarie Lineari del 2º ordine a coefficienti variabili: metodi di integrazione;
La Funzione Gamma: proprietà e applicazioni in R ;
Funzioni Ortogonali: metodi e risultati, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville;
La Goniometria Iperbolica: un modello strutturale.
[13] CARRIER, G. F. - KROOK, M. - PEARSON, C. E., Functions of a Complex Variable, P. 228-239, MCGRAW-HILL
PUBL. CO. (1966).
Math FREEWARE download links
(software rilasciati sotto la GNU General Public License):
14
[ ] Maxima ™:
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/ ;
[15] EMT ™ (Euler Mathematical Toolbox):
http://euler.rene-grothmann.de/download.html ;
[16] SciLab ™:
http://www.scilab.org/products/scilab/download ;
[17] FreeMat ™:
http://sourceforge.net/projects/freemat/files/FreeMat4 ;
[18] EffeDiX ™:
http://users.libero.it/prof.lazzarini/EffeDiX/index.htm ;
[19] GNUplot ™:
http://www.gnuplot.info/ .
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