Revisione
ott. 2015
Determinazione di serie di potenze reali dalle
Funzioni Generatrici
di Bernoulli e di Euler
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series™
Determinazione
azione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatricii di Bernoulli e di Euler –
Jakob Bernoulli (1655-1705)
Leonhard Euler (1707-1783)
1
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
2
Operazioni formali con le serie di potenze
Sia z ≠ 0 un punto ordinario per la funzione f : z ֏ f (z ) , con z ∈ C . Generalmente, nel caso
di un’espansione in serie di potenze intorno a z = z 0 , i calcoli si semplificano se si esegue la
traslazione z := w + z 0 . Il centro di espansione diventa, allora, il punto ordinario w = 0 per la
funzione trasformata fɶ : w ֏ fɶ (w ) . Infine, al risultato del problema originario, si arriva con la
traslazione inversa w := z − z 0 .
1.
L’algoritmo formale M , prodotto (à-la Cauchy) di due serie di potenze
Il prodotto di due serie di potenze, distinte da indici indipendenti k ∧ m ∈ Z 0+ , convergenti,
almeno una anche assolutamente (Teorema di Mertens), nello stesso cerchio centrato in z = 0 ,
(∑
+∞
k =0
)( ∑
a kz k
+∞
m =0
)
bm z m ,
(1)
corrisponde a una serie doppia ottenuta moltiplicando ciascun termine di una serie-fattore per
ciascun termine dell’altra. In tal senso, il prodotto (1) è commutativo. Esso può essere riordinato in
una serie semplice legando tra loro gli indici muti n e k opportunamente, in pratica, mantenendo
sempre k ≤ n . Il prodotto (1) risulta, allora, rappresentato nella forma di Cauchy:


M: 


2.
(∑
+∞
k =0
a kz k
↳
)( ∑
cn =
∑
+∞
m =0
n
k =0
)
∑
≡ ∑
bm z m ≡
a k bn − k
+∞
n =0
n
m =0
c nz n :
↲
(2)
a n − m bm .
L’algoritmo formale D , divisione di due serie di potenze
L’espansione in serie di potenze del rapporto
∑
∑
+∞
k =0
+∞
a kz k
b z
m =0 m
m
≡
∑
+∞
n =0
c nz n ,
(3)
rimanda all’algoritmo M . Infatti, dalla forma equivalente
∑
+∞
k =0
a kz k ≡
(∑
+∞
m =0
bm z m
)( ∑
+∞
n =0
)
c nz n =
∑
+∞
k =0
(
∑ b c )z
k
m =0
m
k −m
k
,
(3.1)
ak
si ottengono le uguaglianze termine-a-termine, con la condizione b 0 ≠ 0 ,
a0
a 0 = b 0c 0 ,
i.e.,
c0 =
a 1 = b 0c 1 + b1c 0 ,
i.e.,
c1 =
1
(a 1 − b1c 0 ) ,
b0
a 2 = b 0c 2 + b1c 1 + b 2c 0 ,
i.e.,
c2 =
1
(a 2 − (b 2c 0 + b1c 1 ) ) ,
b0
a 3 = b 0c 3 + b1c 2 + b 2c 1 + b 3c 0 ,
i.e.,
c3 =
1
(a 3 − (b 3c 0 − b 2c 1 − b 1c 2 ) ) ,
b0
a 4 = b 0c4 + b1c 3 + b 2c 2 + b 3c 1 + b 4c 0 ,
i.e.,
c4 =
1
(a 4 − (b 4c 0 + b 3c 1 + b 2c 2 + b1c 3 ) ) , etc..
b0
b0
,
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
3
Pertanto, vale l’algoritmo formale generale
 ∑ +∞ a k z k
+∞
k =0

≡
c zn :
∑
+∞
=0 n
n
m
↲
 ∑
b z
D:  m =0 m

a0
1
n
∧ cn =
c0 =
a n − ∑ m = 1 bm c n − m ,

↳
b0
b0

(
(4)
)
per il quale, il calcolo dei coefficienti c n risulta auto-generativo cumulativamente (auto-iterativo).
3.
L’algoritmo formale P , potenza intera positiva di una serie di potenze
In linea di principio, noti i coefficienti a k , il calcolo dei coefficienti cn per l’uguaglianza
(
∑ k = 0 a kz k
+∞
)
p
∑
=
+∞
n =0
c nz n ,
(5)
∀ p ∈ Z + , corrisponde a p applicazioni sequenziali dell’algoritmo M . L’estensione al caso
(
∑ m = 0 bm z m
+∞
)
−p
≡
1
(∑
+∞
m =0
bm z
m
)
p
=
∑
+∞
n =0
c nz n
fa seguire, alla p - iterazione di M , l’applicazione dell’algoritmo D , con
(5.1)
∑
+∞
k =0
a k z k ≡ 1 , i.e.,
con a 0 = 1 ∧ a k ≡ 0 ∀ k ≥ 1 .
L’onerosità evidente di questo procedimento elementare è superabile mediante la Formula di (J. C.
P.) MILLER [1]. Una sua giustificazione rigorosa si fonda sulla teoria delle serie formali di potenze
definite nel campo C e sulle operazioni di composizione di gruppo pertinenti. Probabilmente, la
formula era già nota a Euler in una qualche versione primitiva non giustificata formalmente.
L’algoritmo auto-generativo formale P di Miller è definito, con la condizione a 0 ≠ 0 ,


P: 


(
∑ k = 0 a kz k
+∞
↳
)
p
≡
∑
+∞
n =0
c 0 = a 0p ∧ c n =
cn z n :
1
na 0
↲
∑
n
k =1
((p + 1) k − n ) a k c n − k .
(6)
Non c’è bisogno di ricordare che, nelle applicazioni analitiche, la legittimità dei risultati dipendenti
dagli algoritmi M , D e P va verificata accuratamente circa le condizioni di convergenza delle
serie formali di potenze risultanti.
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
4
I Polinomi di Bernoulli
Si consideri la famiglia di Funzioni Generatrici di Bernoulli
x ֏
xe α x
:= G B (x ; α ) ,
ex −1
(7)
parametrica vs. α ∈ R . Sia il numeratore che il denominatore sono M-espandibili. Inoltre,
benché GB (x ; α ) possegga una discontinuità eliminabile in x = 0 a ogni ordine di derivazione, è
sempre possibile assegnare, ∀ n ∈ Z 0+ , il valore numerico G B(n ) (0 ; α ) ≡ lim G B(n ) (x ; α ) .
x →0
Dunque, l’espansione di GB (x ; α ) in Uδ ( 0 ) in serie di potenze è lecita, unica (per il Teorema di
Unicità) e determinabile dall’applicazione dell’algoritmo di divisione D tra le M-espansioni delle
funzioni x ֏ xe α x e x ֏ e x − 1 . Tale procedimento si rivela operativamente più efficiente del
calcolo derivazionale diretto degli M-coefficienti GB(n ) (0; α ) dell’espansione cercata.
Con l’algoritmo D , che si presta bene alla programmazione simbolica, si scrive
x ∑ n = 0 (α x )n /n !
x e αx
≡
=
+∞
ex −1
∑ x n /n ! − 1
+∞
n =0
∑ (α /n !) x
∑ (1/(n + 1)!) x
+∞
n
n
n =0
+∞
n
n =0
≡
+∞
∑c
n
(α ) x n .
n =0
Poi, con le Eq. (4), si determina la forma dei coefficienti parametrici c n (α ) :
c 0 (α ) ≡ 1 ,
c n (α ) ≡
αn
n!
n
−∑
c n − k (α )
k =1
(k + 1)!
, ∀n ∈ Z + .
(7.1)
Il calcolo auto-iterativo dei coefficienti iniziali dà
c 0 (α ) = 1 :=
c 1 (α ) =
α1
1!
B 0 (α )
0!
−
c0
2!
,
=α −
1
1
1  B 1 (α )
≡  α −  :=
,
2 1! 
2
1!
 c1 c 0 
1  2
1  B 2 (α )
− +  =
,
 α − α +  :=
2!  2! 3 !  2! 
6
2!
α 3  c2 c1 c 0 
1  3 3 2 1  B 3 (α )
− + +  =
c 3 (α ) =
,
 α − α + α  :=
3 !  2! 3 ! 4 !  3 ! 
2
2 
3!
c 2 (α ) =
α2
 c 3 c 2 c1 c 0 
1  4
1  B 4 (α )
3
2
− +
+
+  =
,
 α − 2α + α −  :=
4 !  2! 3 ! 4 ! 5!  4 ! 
30 
4!
α 5  c 4 c 3 c 2 c 1 c 0  1  5 5 4 5 3 1  B 5 (α )
c 5 (α ) =
− +
+
+
+  =
,
 α − α + α − α  :=
5!  2! 3 ! 4 ! 5! 6 !  5! 
2
3
6 
5!
c 4 (α ) =
c 6 (α ) =
α4
 c5 c 4 c3 c2 c1 c0 
1
5
1
1  B 6 (α )
− +
+
+
+
+  =  α 6 − 3α 5 + α 4 − α 2 +
, etc. .
 :=
6 !  2! 3 ! 4 ! 5! 6 ! 7 !  6 ! 
2
2
42 
6!
α6
I polinomi Bn (α ) , ciascuno normalizzato rispetto al valore fattoriale del proprio ordine, n ! , sono
noti come i Polinomi di Bernoulli [2, 3]. Quindi, in Uδ (0) , la loro funzione generatrice si scrive
G B (x ; α ) ≡
x eαx
=
ex −1
+∞
Bn (α )
n =0
n!
∑
xn .
(8)
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
5
I Numeri di Bernoulli
L’assegnazione α ≡ 0 nell’Eq. (8) seleziona la funzione particolare
x ֏ G B (x ; 0) := g B (x ) ≡ x /(e x − 1) ≡ (u /2) ( coth (u /2) − 1) =
∑
+∞
n =0
(Β n /n !) x n ,
(9)
detta la funzione generatrice dei Numeri di Bernoulli. Pertanto, questi sono definiti da
Β n := Bn (0) .
(10)
Probabilmente, il metodo più agevole per determinare le costanti Β n è quello eseguito sulla forma
equivalente dell’espansione (9),
e x − 1 +∞ Β n n
1≡
∑ x =
x n =0 n!
+∞
∑
n =0
+∞
Βn n
1
n
x ⋅∑
x ,
(n + 1)!
n =0 n!
mediante l’algoritmo formale M di prodotto à-la Cauchy di due serie di potenze, Eq. (2), e il
Principio di Identità delle serie. Le prime due applicazioni di M danno
1≡
1 Β0
⋅
,
1! 0 !
⇒ Β0 = 1;
0 ≡
1 Β1 1 Β 0
⋅
+ ⋅
,
1! 1! 2 ! 0 !
⇒ Β1 = −
1
.
2
Poi, ancora dall’Eq. (9), il fatto che la funzione
x ֏ g B (x ) − Β 0 − Β 1x ≡
∑
+∞
n =2
(Β n /n !) x n
≡ (x / 2) ( coth (x / 2) − 1 ) − 1 + x / 2 = (x / 2) coth (x / 2) − 1
è pari implica la nullità dei Numeri Bernoulli di indice dispari > 1 , i.e., Β 2n + 1 ≡ 0 , ∀ n ∈ Z + ,
così da avere, necessariamente,
(x /2) coth (x /2) = 1 + ∑ n = 1 (Β 2n /(2n )!) x 2n .
+∞
(11)
Per n ∈ Z + , i coefficienti Β 2n si ottengono cumulativamente rispetto ai coefficienti già calcolati,
mediante applicazioni ripetute di M . È facile verificare che i risultati
0 ≡
1 Β2 1 Β1 1 Β0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
1! 2! 2! 1! 3! 0!
⇒ Β2 =
0 ≡
1 Β4 1 Β2 1 Β1 1 Β0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
1! 4 ! 3 ! 2 ! 4 ! 1! 5 ! 0 !
⇒ Β4 = −
0 ≡
1 Β6 1 Β4 1 Β2 1 Β1 1 Β0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
1! 6 ! 3 ! 4 ! 5 ! 2 ! 6 ! 1! 7 ! 0 !
⇒ Β6 =
0 ≡
1 Β8 1 Β6 1 Β4 1 Β2 1 Β1 1 Β0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
1! 8 ! 3 ! 6 ! 5 ! 4 ! 7 ! 2 ! 8 ! 1! 9 ! 0 !
⇒ Β8 = −
1
,
6
1
,
30
1
,
42
1
, etc.,
30
sono deducibili dalla formula auto-iterativa, dimostrabile per induzione,
n −1
Β 2k
1
Β 2n := − (2 n )! ∑
.
2
k = 0 (2 n − 2 k + 1)!(2 k )!
(12)
L’Eq. (11) è un punto di partenza per la determinazione in R di alcune espansioni importanti in
serie di potenze, o della forma di Maclaurin o di quella di Laurent (i.e., contenente anche potenze
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
6
negative di x ). La dilatazione x ֏ 2 x nell’Eq. (11) dà la rappresentazione di Laurent (in R )
coth x =
2n
1 + ∞ 2 Β 2n 2n − 1
+∑
x
.
x n = 1 (2 n )!
(13)
La trasformazione euleriana successiva x ֏ ix nell’Eq. (13) genera l’espansione goniometrica
circolare corrispondente. Infatti, poiché
 1 + ∞ 2 2n Β 2n

cot x ≡ i coth ix = i  + ∑
(ix )2n − 1  ,
 i x n = 1 (2 n )!

tenendo conto che i 2n ≡ ( − 1)n , risulta
cot x =
n 2n
1 + ∞ ( − 1) 2 Β 2n 2n − 1
+∑
x
.
x n =1
(2 n )!
(14)
La legittimità delle espansioni (13) e (14) dipende dall’eventualità che il valore del raggio di
convergenza della loro parte di Maclaurin, evidentemente identico per entrambe, cada o meno in
( 0 , π ) . Per tale scopo, si consideri la F-espansione in serie della restrizione 2π -periodica della
funzione u ֏ cos ξ u nell’intervallo [ − π , π ] , parametrica in ξ ∈ R \ Z ,
cos ξ u =
+∞

sin π ξ  1
(− 1)n
+
2
cos nu  .
ξ
∑

2
2
π ξ
n =1 ξ − n

(15)
Assegnando u = π nell’Eq. (15), si ottiene l’uguaglianza
+∞
1 1
1 
cot π ξ =  − 2 ξ ∑ 2
,
2 
π ξ
n =1 n − ξ 
che, con la compressione ξ := x /π ( ⇒ x ≠ nπ ), diventa
cot x =
+∞
1 2x +∞
1
1
x /(n π )2
− 2∑ 2
≡
−
2
.
∑
2
x π n = 1 n − (x /π )2
x
n = 1 1 − (x /(n π ))
(16)
Per la forma equivalente dell’Eq. (16)
+∞
x cot x = 1 − 2 ∑
n =1
(x /(n π ))2
,
1 − (x /(n π ))2
sotto la condizione |x | < π , vale, ∀ n , la rappresentazione in serie doppia
+∞
+∞
2k
 x 
x cot x = 1 − 2 ∑ ∑ 
 ,
n =1 k =1  n π 
(17)
dedotta dal risultato classico per la somma della Serie Geometrica generale,
∑
+∞
k =k0
q k = q 0 /(1 − q ) ,
k
Nell’Eq. (17), le corrispondenze sono k 0 ≡ 1 ∧ |q | ≡ (x /(n π ))2 < 1 ∀ n .
Poiché la serie doppia nell’Eq. (17) è a termini di segno uniforme (positivo), le sue somme parziali
possono essere scambiate, conservando il carattere e la somma della serie doppia. Inoltre, anche gli
indici (muti) k e n possono essere scambiati indifferentemente tra loro poiché variano su insiemi
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
7
numerabili identici [4]. Pertanto, una rappresentazione equivalente dell’Eq. (17) è
+∞
 + ∞ 1  (− 2) 2n
 x 
x cot x = 1 − 2 ∑ ∑ 
≡
1
+
∑  ∑ 2n  π 2n x

n =1 k =1  k π 
n =1 k =1 k

+∞
( − 2) ζ (2 n ) 2n
≡ 1+ ∑
x ,
2n
+∞
2n
+∞
π
n =1
(18)
in termini della Funzione ζ di Riemann di ordine positivo pari.
Confrontando l’Eq. (18) divisa per x ≠ 0 con l’Eq. (14), il Principio di Identità delle serie lascia
emergere la relazione tra i Numeri di Bernoulli e la Funzione ζ di Riemann (n ∈ Z + ) :
Β 2n ≡
( − 1)n − 1 2 (2 n )!
ζ (2 n ) ,
(2π )2n
(19)
utilizzabile, con l’identità auto-generatrice (12), per determinare rapidamente le forme chiuse delle
somme delle Serie di Riemann di ordine pari.
L’Eq. (19) consente di stimare asintoticamente (vs. n ) il rapporto | Β 2n /Β 2 (n + 1) | , necessario per il
calcolo del raggio di convergenza, nella variabile χ := x 2 (si noti: x 2n + 1 ≡ x χ n ), di qualsiasi
espansione in serie di potenze nei cui coefficienti compaiano i Numeri di Bernoulli come fattori.
Poiché lim ζ (2 n )/ζ (2 (n + 1)) = 1 + , si trova che
n → +∞
Β 2n
2π 2
π2
~
~ 2 .
(n + 1) (2 n + 1)
Β 2 (n + 1)
n
(20)
Allora, è immediato verificare che le espansioni (13) e (14) risultano correttamente convergenti
per |x | ∈ (0 , π ) mentre l’espansione (9) di g B (x ) converge per | χ | 1 / 2 ≡ | x | ∈ [ 0 , 2 π ) .
■
ESERCIZIO 1
Si dimostri per induzione vs. n ∈ Z
+
che vale la formula auto-iterativa generale (cfr/c Eq. (12))
n −1
Β n := − (n !) ∑
k =0
Βk
k !(n + 1 − k )!
.
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
8
Applicazioni ulteriori
1.
Se si sostituisce l’espressione (14) nell’identità tan x ≡ cot x − 2 cot 2 x , per |x | ∈ ( 0 , π /2 ) , si
ottiene
tan x =
+∞
( − 1)n − 1 2 2n (2 2n − 1) Β 2n
n =1
(2 n )!
∑
x 2n − 1 .
(21)
Confrontando l’Eq. (21) con l’identità euleriana tanh x ≡ − i tan ix , si scrive formalmente
tanh x = − i
+∞
( − 1)n − 1 2 2n (2 2n − 1 − 1) Β 2n
n =1
(2n )!
∑
(ix )2n − 1
e, dunque, poiché i 2n ≡ (− 1)n , risulta
tanh x =
+∞
2 2n (2 2n − 1) Β 2n
n =1
(2 n )!
∑
x 2n − 1 .
(22)
La validità delle Eq. (21) e (22) è prolungabile all’intervallo ( − π / 2 , π / 2 ) .
2.
Se si sostituisce l’espressione (14) nell’identità csc x ≡ cot (x / 2) − cot x , per |x | ∈ ( 0 , π ) , si
ottiene
csc x =
n −1
2n − 1
− 1) Β 2n 2n − 1
1 +∞ (− 1) 2 (2
+∑
x
.
(2 n )!
x n =1
(23)
Confrontando l’Eq. (23) con l’identità euleriana csch x ≡ i csc ix , si scrive formalmente
 1 + ∞ (− 1)n − 1 2 (2 2n − 1 − 1) Β 2n

csch x = i  + ∑
(ix )2n − 1  ,
(2 n )!
 ix n = 1

che, ricordando ancora l’uguaglianza i 2n ≡ (− 1)n , si semplifica nella rappresentazione
2n − 1
− 1) Β 2n 2n − 1
1 + ∞ 2 (2
csch x = − ∑
x
,
x n =1
(2 n )!
(24)
anch’essa valida per |x | ∈ ( 0 , π ) .
3.
I Numeri di Bernoulli compaiono nelle espansioni in serie di potenze, queste uniformemente
convergenti su intervalli compatti appropriati, di varie funzioni composte trascendenti.
3.1
Poiché d ln |cos x | /dx = − tan x , allora, per |x | ∈ [ 0 , π /2 ) , dall’Eq. (21), si scrive
x
ln cos x ≡ − ln sec x = − ∫ tan u du =
0
+∞
( − 1)n 2 2 n (2 2n − 1) Β 2n
n =1
(2 n )!
∑
∫
x
0
u 2n − 1du ,
portando alla conclusione che
ln cos x =
3.2
+∞
(− 1)n 2 2n − 1 (2 2n − 1) Β 2n
n =1
n (2 n )!
∑
x 2n .
(25)
Iniziando, analogamente, dall’identità d ln |sin x | /dx = cot x , tenendo conto dell’Eq.(14),
allora, per |x | ∈ ( 0 , π ) , si ottiene l’identità
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
x
∫π
ln |sin x | ≡ ln |sin x | − ln |sin (π /2)| =
=
∫π
(1/u + ∑ ( (− 1) 2
+∞
|x |
/2
n
2n
n =1
= ln |x | − ln
π
2
n =1
n (2 n )!
(− 1)n 2 2n − 1 Β 2n
n =1
n (2n )!
∫π
/2
cot u du
)
( − 1)n 2 2n − 1 Β 2n
+∑
|x |
Β 2n /(2n )!) u 2n − 1 du
+∞
+∞
≡ ln | x | + ∑
/2
cot u du ≡
9
(x 2n − (π /2)2n )
x 2n − ln
π
2
+∞
( − 1)n π 2n Β 2n
n =1
2 n (2 n )!
−∑
.
(†)
Poiché l’uguaglianza (†) non è un’equazione ma un’identità, essa, come tale, deve valere
∀ x ∈ ( − π , 0) ∪ (0 , π ) . Ora, poiché il membro sinistro non contiene costanti additive,
+∞
( − 1)n π 2n Β 2n
n =1
2 n (2 n )!
l’identità (†) sussiste se e solo se risulta − ln (π /2) − ∑
≡ 0.
Quindi, insieme con la rappresentazione cercata,
+∞
( − 1)n 2 2n − 1 Β 2n
n =1
n (2 n )!
ln |sin x | ≡ ln |x | + ∑
x 2n ,
(26)
valida per |x | ∈ ( 0 , π ) , si determina la somma interessante, per x = π / 2 :
+∞
(− 1)n − 1π 2n Β 2n
n =1
2 n (2 n )!
∑
ln (π /2) =
,
(27)
Da questa, segue che, essendo Β 2n < 0 per n pari, allora, (− 1)n Β 2n < 0 ∀ n ∈ Z + .
3.3
Combinando le Eq. (26) e (25), si scrive prontamente, ∀ |x | ∈ [ 0 , π /2 ) ,
ln |tan x | ≡ − ln |cot x | = ln |sin x | − ln |cos x |
+∞
(− 1)n 2 2n − 1 Β 2n 2n + ∞ ( − 1)n 2 2n − 1 (2 2n − 1) Β 2n 2n
= ln |x | + ∑
x −∑
x .
n (2 n )!
n (2 n )!
n =1
n =1
Dalla semplificazione conclusiva, risulta, in termini dei Numeri di Bernoulli,
+∞
ln |tan x | = ln |x | + ∑
( − 1)n + 1 2 2n (2 2n − 1 − 1) Β 2n
n =1
3.4
n (2 n )!
x 2n .
(28)
Le Eq. (26) e (28) possono essere lette, alternativamente, come le espansioni correlate,
per |x | ∈ [ 0 , π ) e ∀ |x | ∈ [ 0 , π /2 ) , delle due applicazioni rispettive seguenti:
sin x
ln
=
x
ln
tan x
=
x
+∞
∑
n =1
+∞
∑
n =1
(− 1)n 2 2n − 1 Β 2n
n (2 n )!
x 2n ,
(− 1)n + 1 2 2n (2 2n − 1 − 1)Β 2n
n (2 n )!
(29)
x 2n .
(30)
A questo punto, applicando le identità euleriane pertinenti alle Eq. (25), (26), (28), (29) e (30), è
immediato scrivere le espansioni in serie di potenze, in forme definitive in un intorno di x = 0 ,
delle funzioni composte
x ֏ ln (cosh x ) ≡ ln (cos ix ) ≡ − ln ( sech x ) ,
(31)
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
10
x ֏ ln |sinh x | ≡ ln | − i sin ix | ≡ − ln (csch x ) ,
(30)
x ֏ ln ( ( sinh x )/x ) ≡ ln | − i ( sin ix )/x | ≡ − ln ( (csch x )/ |x |) ,
(32)
x ֏ ln |tanh x | ≡ ln | − i tan ix | ≡ − ln |coth x | ,
(33)
x ֏ ln ( (tanh x )/x ) ≡ ln | − i (tan ix )/x | ≡ − ln ( (coth x )/x ) .
(35)
ricordando ancora, all’occorrenza, che (ix )2n ≡ ( − 1)n x 2n .
Inoltre, tutte le espansioni relative alle funzioni specificate dalle Eq. (13), (14), (21), …, (35) sono
rappresentabili, in modo equivalente, mediante la Funzione ζ di Riemann di argomento positivo
pari, dall’identità (19).
Ad esempio, per x ∈ ( 0 , π ) , si trova, con l’Eq. (26), che
ln (csch x )
ln (− i sin ix )
ln |sin ix |
= −
≡ −
x
x
x
n 2n − 1
2n − 1
+
∞

(− 1) 2
Β 2n
Β 2n 2n − 1
1
ln x + ∞ 2
= −  ln |ix | + ∑
(ix )2n  = −
−∑
x
x
n (2 n )!
x
n
(
2
n
)!
n =1
n
=
1

n −1
+∞
2n − 1
(− 1) 2 (2 n )!
ln x
2
⋅
≡ −
−∑
ζ (2 n ) x 2n − 1
2n
π
x
(
2
)
n = 1 n (2 n )!
ln x + ∞ (− 1)n
= −
+∑
ζ (2 n ) x 2n − 1 ;
2n
x
n =1 n π
(36)
come pure, la somma (27), ha la rappresentazione alternativa
ln (π /2) =
+∞
ζ (2 n )
n =1
2 2n n
∑
.
(37)
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
11
I Polinomi di Euler
Analoga a x ֏ GB (x ; α ) , Eq. (7), si consideri la famiglia di Funzioni Generatrici di Euler
x ֏
2e η x
:= G E (x ; η ) ,
ex +1
(38)
parametrica vs. η ∈ R . Entrambe le quantità che, rispettivamente, ne costituiscono il numeratore
e il denominatore, sono M-espandibili in R .
Procedendo come con i Polinomi di Bernoulli, si dividono tra loro le espansioni delle funzioni
x ֏ 2e η x e x ֏ e x + 1 , con l’obiettivo della costruzione dell’espansione formale della famiglia
GE (x ; η ) , coincidente con l’espansione effettiva di questa, per il teorema di unicità:
2e η x
n
c
x
(
)
:
=
≡
η
∑ n
ex + 1
n =0
+∞
∑
∑
+∞
n =0
+∞
n =0
(2η n /n !) x n
(1/n !) x n + 1
=
∑
+∞
n =0
(2η n /n !) x n
2 + ∑ n = 1 (1/n !) x n
+∞
∑
∑
+∞
≡
a (η ) x n
n =0 n
+∞
b xn
n =0 n
.
Specificati i coefficienti a n (η ) ≡ 2η n /n ! , ∀ n ∈ Z 0+ mentre b 0 ≡ 2 ∧ bn ≡ 1/n ! , ∀ n ∈ Z + ,
dalle Eq. (4) di definizione dell’algoritmo D , si trova la forma dei coefficienti parametrici c n (η ) :
c 0 (η ) ≡ 1 ,
c n (η ) ≡
ηn
n!
−
1 n c n − k (η )
, ∀n ∈ Z + .
∑
2 k =1 k !
(38.1)
Per i primi sette coefficienti, con un calcolo auto-iterativo, risultano le definizioni polinomiali
c 0 (η ) = 1 :=
c 1 (η ) =
c 2 (η ) =
c 3 (η ) =
c 4 (η ) =
c 5 (η ) =
c 6 (η ) =
E 0 (η )
0!
;
E 1 (η )
1 c0
1
1
1
− ⋅
= η − ≡ η −  :=
;
1! 2 1!
2 1! 
2
1!
η1
η2
2!
η3
3!
η4
4!
η5
5!
η6
6!
−
E 2 (η )
1  c1 c 0 
1 2
;
 +  = (η − η ) :=
2  1! 2!  2!
2!
−
E 3 (η )
1  c 2 c1 c 0 
1  3 3 2 1
+  =
;
η − η +  :=
 +
2  1! 2 ! 3 !  3 ! 
2
4
3!
−
E 4 (η )
1  c3 c2 c1 c 0 
1
+
+  = (η 4 − 2η 3 + η ) :=
;
 +
2  1! 2 ! 3 ! 4 !  4 !
4!
−
E 5 (η )
1  c 4 c 3 c2 c1 c0 
1  5 5 4 5 2 1
+
+
+  =
;
η − η + η −  :=
 +
2  1! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !  5 ! 
2
2
2
5!
−
E 6 (η )
1  c5 c 4 c3 c2 c1 c0 
1
+
+
+
+  = (η 6 − 3η 5 + 5η 3 − 3η ) :=
, etc.
 +
2  1! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 !  6 !
6!
I polinomi En (η ) , ciascuno normalizzato vs. il valore fattoriale del proprio ordine, n ! , sono noti
come i Polinomi di Euler (v. [3], P. 14-16). Quindi, in Uδ (0) , la loro funzione generatrice si scrive
G E (x ; η ) =
2e η x
≡
ex + 1
+∞
∑
n =0
En (η )
n!
xn .
(39)
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
12
I Numeri di Euler
L’assegnazione η ≡ 1 /2 nell’Eq. (39) seleziona la funzione particolare
x ֏ GE (x ; 1/2) := g E (x ) ,
≡
2e x / 2
x
≡ sech =
x
e −1
2
+∞
En (1/2)
∑
n!
n =0
+∞
En
∑2
xn ≡
n =0
n
n!
xn ,
(40)
detta la funzione generatrice dei Numeri di Euler (cfr/c Eq. (10)), la definizione dei quali è
E n := 2 n En (1/2) .
(41)
Poiché x ֏ g E (x ) è una funzione pari, questo implica necessariamente che, ∀ n ∈ Z 0+ , risulta
E2n + 1 (1/2) ≡ E 2n + 1 = 0 . Quindi, la rappresentazione (40) si riduce a
g E (x ) ≡ sech
x
=
2
+∞
∑
E2n (1/2)
(2 n )!
n =0
x 2n ≡
+∞
∑2
n =0
E 2n
2n
(2 n )!
x 2n ,
(42)
caratterizzata dai soli Numeri di Euler di indice pari, E 2n ≡ 2 2n E2n (1/2) .
Con la dilatazione x ֏ 2 x , l’Eq. (42) genera l’espansione formale
sech x =
+∞
E 2n
∑ (2n )! x
2n
.
(43)
n =0
Come per i Numeri di Bernoulli (v. P. 5-6), il metodo più agevole per la determinazione delle
costanti E 2n resta il ricorso alla rappresentazione equivalente dell’Eq. (43),
+∞
1 ≡ cosh x ⋅ ∑
n =0
E 2n
(2 n )!
x 2n =
+∞
∑
n =0
+∞
E 2 n 2n
1
x 2n ⋅ ∑
x ,
(2 n )!
n = 0 (2 n )!
alla quale, si applica l’algoritmo M del prodotto formale tra due serie di potenze, Eq. (2), rispetto
alla variabile χ := x 2 , insieme con il Principio di Identità delle serie.
Il calcolo esplicito,
1≡
1 E0
⋅
,
0 ! 0!
⇒ E0 = 1,
0 ≡
1 E2 1 E0
⋅
+ ⋅
,
0 ! 2! 2! 0 !
⇒ E 2 = −1 ,
0 ≡
1 E4 1 E2 1 E0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
0 ! 4 ! 2! 2! 4 ! 0 !
⇒ E4 = 5 ,
0 ≡
1 E6 1 E4 1 E2 1 E0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
0 ! 6 ! 2! 4 ! 4 ! 2! 6 ! 0 !
⇒ E 6 = − 61 ,
0 ≡
1 E8 1 E6 1 E4 1 E2 1 E0
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
,
0 ! 8 ! 2! 6 ! 4 ! 4 ! 6 ! 2! 8 ! 0 !
⇒ E 8 = 1385 , etc. ,
indica che i Numeri di Euler E 2n , ∀ n ∈ Z + , sono alternatamente ≷ 0 per n pari\dispari e che si
auto-generano mediante la formula ricorsiva ( E 0 = 1 )
n −1
E 2n := − (2 n )! ∑
k =0
E 2k
(2 n − 2 k )!(2 k )!
.
(44)
13
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
Ritornando all’Eq. (43), la sostituzione euleriana x ֏ ix fornisce l’espansione formale
sec x =
+∞
∑
( − 1)n E 2n
n =0
(2 n )!
x 2n ,
(45)
che, quando sia legittima, è convergente per |x | ∈ [ 0 , π /2 − ε ] , insieme con l’espansione associata
(43). Nel caso dei Numeri di Euler, il controllo delle Eq. (43) e (45) mostra che la determinazione
del raggio di convergenza (eventuale) comune dipende dall’andamento asintotico del rapporto
|E n /E 2(n + 1) | , analogamente alle conclusioni raggiunte per i Numeri di Bernoulli (cfr/c Eq. (20)).
Tale questione può essere affrontata osservando che la funzione meromorfa (da C in C )
f : z ֏ sec z
ha poli tutti semplici in corrispondenza di z ≡ (2ν + 1) π /2 := pν , con ν ∈ Z . I valori dei residui
ai poli sono dati da
z − pν
 1 d0

w
bν = lim 
(z − pν ) sec z )  ≡ lim
≡ lim
(
0
z → p ν 0 ! dz
w → 0 cos (w + (2ν + 1) π / 2)

 z → p ν cos z
w
= lim
≡ ( − 1)ν + 1 ,
w → 0 ± sin w
avendo posto w := z − (2ν + 1) π /2 ≡ z − pν e controllando la parità/disparità di ν .
Allora, per il Teorema di espansione di Mittag-Leffler [5, 6], si scrive
+∞
+∞
1 
1
 1
 1
sec z = sec 0 + ∑ bν 
+
≡ 1 + ∑ b −n 
+

n =1
ν = −∞
 z − pν pν 
 z − p −n p − n
+∞
1 

 1
 + ∑ bn  z − p + p  .
n
n 
 n =0 
Poi, osservato che p n ≡ p − (n + 1) , lo sviluppo esplicito prosegue con
  1
1
1   1
+
+
secz = 1 +  − 
+


  z − π / 2 π /2 
 z + π /2 − π / 2

 
1
1
+
 + 
  z − 3 π /2 3 π / 2

 −



1
1  
1
1  
1
1 
−
+
−
+
+
+
+ …



 z + 3 π 2 − 3 π /2   z − 5 π /2 5π /2   z + 5 π /2 − 5 π /2 


 
 


−π
3π
− 5π
4
4

 4

= 1+ 2
+ 2
+ 2
+ … −  −
+
− …
2
2
2
z − (3π /2)
z − (5 π /2)
 z − (π /2)
  π 3π 5π

+∞
1
3
5
( − 1)n

 4
= 1 + 4π  2
−
+
−
…
−
∑
2

9 π 2 − 4z 2 25 π 2 − 4z 2
 π − 4z
 π n = 0 2n + 1
+∞
+∞
(− 1)n (2 n + 1)
4
(− 1)n (2 n + 1)
−1
≡ 1+∑
− tan 1 = ∑
.
2 2
2
2 2
2
π
n = 0 (2 n + 1) π − 4z
n = 0 (2 n + 1) π − 4z
(46)
Ora, la restrizione C \ { (2ν + 1)π /2}ν ∈ Z ց R \ { (2ν + 1)π /2}ν ∈ Z del dominio di f ≡ sec fornisce
l’espansione ( x ≡ Re z ),
sec x =
+∞
∑
n =0
( − 1)n (2 n + 1)
4
≡
2 2
2
(2 n + 1) π − 4 x
π
+∞
∑
n =0
 ( − 1)n
1
⋅

x2
 2n + 1 1 −

(2 n + 1)2 (π /2)2






(46.1)
14
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
che, sotto il vincolo sufficiente |x | ∈ [ 0 , π /2 ) , è rappresentabile come serie doppia,
sec x ≡
4
π
+∞
∑
n =0
2k
( − 1)n + ∞ 
x

≡
∑

2 n + 1 k = 0  (2 n + 1)π /2 
+∞
+∞
∑∑
n =0 k =0
( − 1)n 2 2 (k + 1)
x 2k ,
2k + 1 2k + 1
(2 n + 1) π
(46.2)
Infatti, in tale circostanza, nel termine generale della somma (46.1), è riconoscibile la somma della
x2
serie geometrica di ragione ρ =
( < 1) .
2
( (2 n + 1)π /2)
Per le ragioni identiche a quelle che legittimano l’Eq. (17), si può porre l’espansione (46.2) nella
forma in cui gli indici (muti) del termine generale sono scambiati tra loro, i.e.,
sec x =
+∞
∑
n =0
 2n
2 2 (n + 1)  + ∞
( − 1)k
x ≡
2n + 1  ∑
2n + 1 
π
 k = 0 (2 k + 1)

+∞
∑
n =0
2 2(n + 1)
π 2n + 1
β D (2 n + 1) x 2n ,
(47)
dove, β D (2 n + 1) è la Serie di Dirichlet di ordine positivo dispari.
Il confronto tra i termini generali delle espansioni (47) e (45), conduce all’identità analoga a quella
espressa dall’Eq. (19),
E 2n ≡
(− 1)n 2 2 (n + 1) (2 n )!
π 2n +1
β D (2 n + 1) ,
(48)
utilizzabile, con l’identità auto-generatrice (44), per determinare rapidamente le forme chiuse delle
somme delle Serie di Dirichlet di ordine dispari (v. Appendice).
Poiché lim β D (2 n + 1) /β D (2 (n + 1) + 1) = 1 − , la stima asintotica (vs. n )
n → +∞
E 2n
E 2 (n + 1)
~
π2
8 (n + 1) (2 n + 1)
~
π 2 /16
n2
(49)
implica la convergenza delle espansioni (43) e (45) in ogni cerchio di raggio | χ |1/ 2 ≡ |x | < π /2 .
Pertanto, dall’Eq. (47), si deduce l’espansione (prevedibile) equivalente alla (43),
sech x ≡ sec ix =
+∞
∑
n =0
(− 1)n 2 2 (n + 1)
π
2n + 1
β D (2 n + 1) x 2n .
(50)
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
15
La Funzione di Hurwitz come acceleratrice di convergenza di serie
Per completezza di discussione, va ricordata una rappresentazione alternativa di β D , riconducibile
alla cosiddetta Funzione ζ H di Hurwitz (†), una generalizzazione della Funzione ζ di Riemann.
La Funzione ζ H , implementata in quasi tutti i programmi di calcolo, è utilizzabile come algoritmo
accelerativo efficace nella determinazione delle somme di certe classi di serie. Ne sono presentate,
anche, alcune proprietà essenziali in R , utili in varie circostanze.
La rappresentazione convenzionale in serie di ζ H in R è
x ֏ ζ H (x , q ):=
+∞
1
∑ (k + q )
k =0
x
.
(51)
ζ H è definita nel dominio (1 , + ∞) , essendo q ∈ R + un parametro. Inoltre, la rappresentazione
(51) converge uniformemente in ogni intervallo compatto di ( 1 , + ∞ ) . Quando q = 1 , è
immediato osservare che, ζ H si riduce alla Funzione ζ di Riemann.
PROPOSIZIONE
La Funzione β D di Dirichlet,
x ֏ β D (x ) :=
+∞
∑
k =0
( − 1)k
,
(2 k + 1)x
(52)
definita per x ∈ (1, + ∞) , è fattorizzabile, in ogni intervallo compatto di ( 1, + ∞ ) , nel prodotto tra
una funzione esponenziale decrescente e la differenza tra due Funzioni di Hurwitz. ▲
La verifica è semplice: separando gli addendi di indice pari da quelli di indice dispari nella serie
(52), è ammissibile scrivere
+∞
∑
k =0
(− 1)k
1
1
1
1
1
1
1
1

  1

=  1 + x + x + x + x + … −  x + x + x + x + x + …
x
(2 k + 1)
5
9
13
17
7
11
15
19

 3

≡
+∞
∑
k =0
+∞
1
1
−
=
∑
x
(4k + 1) k = 0 (4k + 3)x
+∞
∑
k =0
+∞
4 −x
4 −x
−
∑
(k + 1/ 4)x k = 0 (k + 3 / 4)x
≡ 2 − 2x (ζ H (x , 1/ 4) − ζ H (x , 3 / 4)) ,
(53)
avendo sostituito i valori q = 1/ 4 , 3/ 4 nell’Eq. parametrica generale (51).
Come esempi pertinenti, dopo aver sostituito x := 2 n + 1 , con n ∈ Z + , le espressioni (48) e (50)
diventano, rispettivamente,
(− 1)n (2 n )!
E 2n ≡ 2n 2n + 1 (ζ H (2 n + 1 , 1/ 4) − ζ H (2 n + 1 , 3 / 4)) ,
2 π
+∞
( − 1)n
sech x ≡ sec ix = ∑ 2n 2n + 1 (ζ H (2 n + 1, 1/ 4) − ζ H (2n + 1, 3 / 4)) x 2n .
n =0 2 π
(54)
(55)
■
____________________
(†) HURWITZ (ADOLF, 1859-1919), allievo di KUMMER, di WEIERSTRASS, di KRONECKER e di KLEIN. Professore a
Königsberg e a Zurigo, studiò le Superfici di Riemann e le Equazioni Modulari nella Teoria dei Numeri Algebrici.
16
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
ESERCIZIO 2
In modo analogo all’Eq. (53), per la cosiddetta Funzione λ , si ricava la rappresentazione seriale
x ֏ λ (x ) :=
+∞
1
∑ (2 k + 1)
k =0
x
≡ 2 − 2x (ζ H (x , 1/ 4) + ζ H (x , 3 / 4)) ,
(56.1)
uniformemente convergente in ogni intervallo compatto del dominio ( 1 , + ∞ ) .
D’altra parte, si verifichi che esiste la rappresentazione alternativa, più semplice,
x ֏ λ (x ) ≡ 2 − x ζ H (x , 1/2) .
(56.2)
ESERCIZIO 3
Si verifichi che, ∀ {a , b } ⊂ R + , è ammissibile esprimere le serie generali seguenti nelle forme di
Hurwitz rispettive:
+∞
x ֏
k =0
+∞
x ֏
1
∑ (ak + b)
∑
k =0
x
≡ a − x ζ H (x , b /a ) ,
( − 1)k
≡ a − x (ζ H (x , b /a ) − 2 1 − x ζ H (x , (a + b )/(2a ))) ,
x
(ak + b)
(57)
(58)
entrambe uniformemente convergenti in ogni intervallo compatto del dominio ( 1 , + ∞ ) . L’Eq. (58)
è applicabile al calcolo numerico delle somme β D (p ) di Dirichlet (v. Appendice).
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
17
RAPPRESENTAZIONI INTEGRALI IN R DELLA FUNZIONE DI HURWITZ
MEDIANTE LA FUNZIONE GAMMA
Nella rappresentazione integrale convenzionale (di Legendre) della Funzione Γ ,
∫
x ֏ Γ (x ) =
+∞
0
t x − 1e −tdt ,
si esegua la sostituzione della variabile t := (k + q ) ω , dove ω è la nuova variabile di integrazione.
Segue che dt := (k + q ) d ω e, quindi, senza alcun cambiamento del dominio di integrazione, risulta
Γ (x ) =
∫
+∞
0
( (k + q ) ω )
x −1
∫
e − (k + q ) ω (k + q )d ω ≡ (k + q )x
+∞
0
ω x − 1 e − k ω e −q ω d ω .
Con le restrizioni {k , q } ∈ Z 0+ × R + ∧ x ∈ ( 1 , + ∞ ) , vale sempre l’uguaglianza
Γ (x )
1
=
(k + q )x
∫
+∞
0
ω x − 1 e − k ω e −q ω d ω ,
i cui membri, sommati da 0 a M vs. l’indice k , danno luogo alla forma equivalente
M
Γ (x ) ∑
k =0
1
=
(k + q )x
M
∑∫
k =0
+∞
0
ω x − 1e − k ωe −q ωdω .
L’integrale a destra è uniformemente convergente in R + . Allora, passando al limite M → + ∞ , è
ammissibile (e.g., dal criterio di Weierstrass) scambiare tra loro le operazioni di integrazione e di
somma di una serie, i.e., assorbire la sommatoria esterna nell’integrale precedente:
+∞
Γ (x ) ∑
k =0
1
=
(k + q )x
∫
+∞
0
ω x −1
(∑
+∞
k =0
)
e − k ω e −q ω d ω .
Da quest’ultima uguaglianza, si riconoscono, a sinistra, la rappresentazione seriale della Funzione
di Hurwitz e, a destra, nella funzione integranda, la Serie Geometrica di ragione e − ω ( ≤ 1 ),
convergente alla somma (1 − e − ω )−1 . Quindi, si ottengono le rappresentazioni integrali equivalenti,
convergenti uniformemente per x ∈ (1, + ∞) , del prodotto
+∞
⌠
Γ (x ) ζ H (x , q ) = 
⌡0
ω x − 1 e −q ω
1 − e −ω
+∞
⌠
dω ≡ 
⌡0
ω x − 1e (1 − q )ω
eω −1
dω .
(59)
Come si è già osservato, il caso q = 1 muta ξ H in ζ , così che le rappresentazioni integrali (59) si
riducono a quelle corrispondenti dell’integrale bosonico M− (x ) , (e.g., si veda l’Eq. (176), P. 81,
nell’Unità tematica dell’autore: La FUNZIONE GAMMA: proprietà e applicazioni in R ).
Dall’Eq. (59), è immediato dedurre le rappresentazioni integrali equivalenti di ζ H , pesate vs. la
Funzione Γ ,
+∞
1 ⌠
ζ H (x , q ) =
Γ (x ) 
⌡0
ω x − 1 e −q ω
1 − e −ω
+∞
1 ⌠
dω ≡
Γ (x ) 
⌡0
ω x − 1 e (1 − q ) ω
eω −1
dω .
(60)
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
18
Le espansioni della Funzione di Gudermann e della sua inversa
1.
La Funzione di Gudermann (o gudermanniana o ampiezza iperbolica), gd (††),
x ֏ gd x := 2 tan −1 (e x ) − π /2
è M-espandibile, essendo ∈ C ∞ (R ) . Poiché la sua funzione derivata 1a è data da
d
d
2
gd x ≡
(2 tan −1 (e x ) − π /2) = x
≡ sech x ,
dx
dx
e + e −x
x ֏
avvalendosi del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e dell’Eq. (45), è legittimo scrivere,
per |x | ∈ [ 0 , π /2 ) ,
∫
gd x =
x
0
x +∞
⌠
sech u du ≡ 
⌡0
E 2n
∑ (2n )!
u 2n du ≡
n =0
+∞
E 2n
∑ (2n )! ∫
n =0
x
0
u 2n du .
Quindi, se si ha |x | ∈ [ 0, π /2 ) , vale l’espansione in serie di potenze ovvero in termini di Somme
β D di Dirichlet di ordine positivo dispari, dall’Eq. (48),
gd x =
+∞
E 2n
∑ (2n + 1)! x
2n + 1
≡
n =0
2.
+∞
∑
n =0
(− 1)n 2 2 (n + 1)
β D (2 n + 1) x 2n + 1 .
2n + 1
(2 n + 1)π
(61)
Essendo la gudermanniana monotòna ∈M ↑ in R , allora, ∃ gd −1 , la sua funzione inversa,
∈ C ∞ ((− π /2 , 1/2)) , anch’essa ∈M ↑ , la quale è rappresentabile come
x ֏ gd −1 x ≡ ln tan (x /2 + π / 4) .
Con lo stesso procedimento seguito per la funzione gd , si calcola
x ֏
d
d
1
1
gd −1 x ≡
ln tan (x /2 + π / 4) = … =
≡
≡ sec x ,
dx
dx
sin (x + π /2)
cos x
da cui, quando |x | ∈ [ 0 , π /2 ) , risulta, correttamente,
x
−1
gd x =
∫
x
0
⌠
sec udu ≡ 
⌡0
+∞
( − 1)n E 2n
n =0
(2 n )!
∑
u 2n du ≡
+∞
(− 1)n E 2n
n =0
(2 n )!
∑
∫
x
0
u 2n du ,
i.e., come conclusione (‡),
−1
gd x =
+∞
∑
n =0
(− 1)n E 2n
(2 n + 1 )!
x
2n + 1
≡
+∞
∑
n =0
2 2(n + 1)
β D (2 n + 1) x 2n + 1 .
2n + 1
(2 n + 1) π
(62)
■
____________________
(††) E.g., dell’autore, si veda: La Goniometria Iperbolica: un modello strutturale, P. 8-11.
(‡ )
Una raccolta utile di formule, di tavole e di riferimenti avanzati sui Polinomi e i Numeri sia di Bernoulli che di
Euler costituisce il contenuto, in [7], del cap. 23, P. 803-819.
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
19
Appendice
Rappresentazioni numeriche chiuse delle somme delle Serie β D (p ) di Dirichlet, p ∈ Z + , esistono solo per l’ordine
p dispari. Il calcolo relativo ai primi due di tali ordini, p = 1 , 3 , mediante la Serie di Fourier è sviluppato nell’Unità
tematica dell’autore: Serie di Fourier: proprietà e applicazioni, P. 20-21. Comunque, l’algoritmo numerico più
efficiente resta quello deducibile dall’identità (48):
+∞
( − 1)k
∑ (2 k + 1)
β D (p) ֏ β D (2 n + 1) ≡
k =0
2n + 1
=
( − 1)n π 2n + 1
E 2n .
2 2 (n + 1) (2 n )!
(63)
Nella tabella seguente, sono riportate le prime otto somme β D (p ) esatte, di ordine p dispari. Come riferimento di
controllo, il compendio [8] si è rivelato estremamente utile.
β D (p )
p
( − 1)k
π
= tan − 1 1 =
2k + 1
4
+∞
∑
1
k =0
+∞
( − 1)k
∑ (2k + 1)
3
3
k =0
+∞
( − 1)k
∑ (2k + 1)
5
5
k =0
+∞
∑
7
k =0
+∞
( − 1)k
9
k =0
+∞
( − 1)k
∑ (2k + 1)
11
11
k =0
+∞
∑
13
k =0
+∞
( − 1)k
15
k =0
32
5
π5
1536
=
=
277
π9
8257536
50521
π 11
14863564800
( − 1)k
540553
π 13
=
1569592442880
(2k + 1)13
∑ (2k + 1)
15
π3
( − 1)k
61
=
π7
184320
(2k + 1)7
∑ (2k + 1)
9
=
=
=
199360981
π 15
5713316492083200
Vale la pena di ricordare che la somma della Serie di Dirichlet di ordine p = 2 è la nota Costante
λC
di Catalan
(EUGÉNE CHARLES, 1814-1894),
β D (2) =
+∞
∑
k =0
( − 1)k
:= λC ≈ 0.91596559417721901505 .
(2k + 1)2
(64)
La Costante λC si incontra frequentemente in questioni di Analisi Combinatoria e nel calcolo di certe classi di serie e
di integrali definiti.
Un metodo alternativo per il calcolo di λC , mediante la Funzione ψ ′ (Trigamma), è presentato nell’Unità tematica
dell’autore: La Funzione Gamma: proprietà e applicazioni in R , P. 43-44.
■
Determinazione di serie di potenze reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler –
20
Bibliografia
[1]
HENRICI, P., Applied and Computational Complex Analysis, I, P. 35-42, JOHN WILEY & SONS (1974).
2
[]
WHITTAKER, E. T., - WATSON, G. N., A Course of Modern Analysis, 4TH ED., P. 125-127, CAMBRIDGE UN. PRESS.,
(1927; RIST. 1973).
[3]
TEMME, N. M., Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, P. 1-6,
JOHN WILEY & SONS, INC. (1996).
[4]
TITCHMARSH, E. C., The Theory of Functions, 2ND ED., P. 27-31, OXFORD UN. PRESS, (1939; RIST. C/CORR., 1978).
[5]
MITTAG-LEFFLER, M. G., Acta Soc. Scient. Fennicae, XI (1880), P. 273-293; dello stesso autore, si consulti,
anche: Acta Mathematica, IV (1884), P. 1-79.
[6]
SPIEGEL, M. R., Complex Variables, P. 175, 191-192, SCHAUM OUTLINE SERIES, MCGRAW-HILL (1964).
7
[]
ABRAMOWITZ, M. - STEGUN, I. A., EDS., Handbook of Mathematical Functions, DOVER PUBL.S, INC., (1972) [rif.:
AMS-55 ( ≡ Applied Mathematics Series-55)].
[8]
OLVER, F. W. J. - LOZIER, D. W. - BOISVERT, R. F. - CLARK, C. W., EDS., N.I.S.T. Handbook of Mathematical
Functions, CAMBRIDGE UNIV. PRESS (2010)
[web-link: http://dlmf.nist.gov/ ].
[9]
HANSEN, E. R., A Table of Series and Product, PRENTICE HALL, INC. (1975).
Un riferimento generale completo ai fondamenti di molti temi trattati in questa Unità è:
[10] MARKUSHEVICH, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, 2ND ED., VOL.S 1, 2, 3, CHELSEA PUBL. CO.
(1977).
■■■