Scuola di Specializzazione all'Insegnamento
Secondario
Tirocinio assistito - I anno
Modelli di insegnamento di matematica
Ore 15.00 – 15.45
Introduzione al calcolo delle probabilità (1)
Ore 15.45 – 16.00
Lavoro di gruppo: scheda 1 (analisi della prima lezione)
Ore 16.00 – 17.15
Introduzione al calcolo delle probabilità (2)
Scuola di Specializzazione all'Insegnamento
Secondario
Tirocinio assistito - I anno
Modelli di insegnamento di matematica
Ore 17.15 – 17.30
Intervallo
Ore 17.30– 18.00
Lavoro di gruppo: scheda 1 (analisi della seconda
lezione) + scheda 2 (confronto tra le due lezioni)
Ore 18.00 – 19.00
Discussione conclusiva
Introduzione al calcolo delle
probabilità
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Contesto
Cenni storici
Definizione classica
Calcolo combinatorio
Definizione frequentista
Definizione soggettiva
Contesto
• I biennio qualsiasi tipo di scuola
– 10 ore
– Esercizi più semplici
• II biennio qualsiasi tipo di scuola
– 15 ore
– Approfondimenti
Oggetto
• Matematica dell’incertezza: affrontare con gli
strumenti della matematica situazioni in cui le
informazioni non sono sufficienti per garantire
certezze.
• Il rischio è una componente ineliminabile
• Come operare scelte in condizioni di incertezza?
• Valutazione probabilistica
Cenni storici
• Per millenni “valutazione a occhio”
• Importanza dei giochi:
- dall’astragalo ai dadi
- le carte dal 1350
• Solo dal XVII secolo considerazioni di tipo quantitativo:
osservare regolarità, registrare frequenze, ….
• 1654: Antoine Gombaud (Cavalier de Méré) si rivolge a
Pascal e Fermat
è più probabile ottenere almeno un 6 lanciando 4 volte un
dado o ottenere almeno un 12 lanciando 24 volte due
dadi?
Definizione classica
• Lancio di una moneta: T o C 50%
• E’ implicita la definizione di probabilità classica
La probabilità di un evento è il rapporto tra il
numero di casi favorevoli e il numero di casi
possibili
• Semplici esempi (dado, roulette, carte)
• Questione dei “ritardi” (gioco del Lotto)
Definizione classica e insidie
• Non chiarisce che i casi possibili devono avere “ugual
peso” (esempio del lancio di 2 monete; si sbagliava
anche D’Alembert!)
• Allora la definizione diventa:
la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di
casi favorevoli e il numero di casi possibili, purchè
questi siano equiprobabili
• Presuppone una situazione “di laboratorio”, poco adatta
alla vita reale
Alcune osservazioni
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Evento certo e evento impossibile
Eventi complementari
Probabilità contraria
p(A) = 1 A evento certo
p(A) = 0 A evento impossibile
0  p 1
Soluzione di esercizi
Il problema di Gombaud
L’evento A1 = “esce almeno un 6 lanciando quattro volte un dado”
è il complementare dell’evento B1 =“ non esce nessun 6 lanciando
quattro volte un dado”
La probabilità di quest’ultimo evento è P(B1) = (5/6)4  0,4823
e dunque
P(A1)= 1- (5/6)4  0,5177
L’evento A2 = “esce almeno un doppio 6 lanciando ventiquattro
volte due dadi” è il complementare dell’evento B2 = “non esce mai
un doppio 6 lanciando ventiquattro volte due dadi”
si ha P(B2) = (35/36)24  0,5086
e dunque
P(A2)= 1- (35/36)24  0,4914
Calcolo combinatorio 1
Necessario per determinare i casi possibili quando si ha a che fare
con “numeri grandi”
Permutazioni
(in che ordine)
esempio 1: possibili ordini di arrivo di una gara con 10 atleti
esempio 2: in quanti giorni gli studenti di una classe esauriscono
tutti i possibili ordinamenti nell’uscire in fila dall’aula?
Pn = n! = n(n-1)(n-2)….3·2 ·1
Calcolo combinatorio 2
Disposizioni semplici
(chi e in che ordine)
Esempio 1: 8 atleti corrono i 100 m piani, quanti sono i
possibili podi?
D8,3 = 8·7·6 = 336
Disposizioni con ripetizione
Caso semplice del Totocalcio
Introduzione dei diagrammi ad albero
D3r ,13  313
Calcolo combinatorio 3
Combinazioni
(ordine irrilevante, solo ‘chi’)
Esempio 1: come occupano le ultime stanze libere di un
albergo 5 turisti in un gruppo di 13?
Possibili scelte di 5 oggetti su 13: come le disposizioni?
No, perché l’ordine non conta!
D13, 5
C13,5 
 1287
P5
Definizione frequentista
La probabilità di un evento è data dal numero di
esperimenti favorevoli sul numero complessivo
degli esperimenti
Definizione classica
valutazione a priori
Definizione frequentista stima a posteriori
Esempio: Se negli ultimi 30 anni a Milano è nevicato 18
volte, la probabilità è 3/5.
Definizione frequentista e insidie
• Quante prove effettuare?
• La probabilità dipende dal numero di esperimenti
considerati, più tale numero è grande, più è affidabile la
valutazione di probabilità
• Per uno stesso evento, 2 definizioni diverse
Esempio: la probabilità che un nascituro sia maschio o
femmina
Definizione soggettiva
Probabilità come aspettativa soggettiva che si nutre rispetto al
realizzarsi dell’evento; la valutazione dipende dalla singola persona
che la effettua.
Soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle
conoscenze del soggetto.
La probabilità soggettiva di un evento A è il prezzo p che
chi scommette è disposto a pagare per ricevere 1 nel caso
in cui si verifichi l’evento.
Naturalmente il soggetto deve esprimere la sua valutazione
simmetricamente, cioè deve essere disposto a mantenerla in caso di
scambio di ruoli (gioco equo).
Esempio: Totocalcio