EVENTI ALEATORI E LORO RAPPRESENTAZIONE
Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l’insieme U
1.
2. 3.
4. 5. 6
U
La definizione classica di probabilità dice che, se gli eventi che si considerano sono equiprobabili ( hanno la
stessa probabilità di verificarsi), la probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli
all’evento E e il numero di tutti i casi possibili.
Es.
Es.
EVENTO E :” lancio un dado ed esce un numero primo o dipari” P(E)= 4/6=2/3
EVENTO E1: “lancio un dado e esce un numero che non è primo e neanche dipari” P(E1)= 2/6 = 1/3
l’evento E1 è detto evento contrario all’evento E e si indica con
.
evento A:”Lancio un dado ed esce un numero minore o uguale a 5” P(A)=5/6
Determina l’evento contrario:
= “ ………………………………………………………………….” P(
1- ………
evento B:”Estraggo da un mazzo di 40 carte una figura o un asso” P(B)= ………..
= “………………………………………………………………………………………………”
P( )= …………
Il lancio di due dadi
1
secondo dado
1
2
3
4
5
6
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Primo dado
Esempio:
Qual è la probabilità di ottenere due numeri uguali
lanciando due dadi?
P= P(
P( due numeri uguali)= 6/36=1/6
P( )=P( non ottenere due numeri uguali )= 1-1/6=5/6
differenza in valore assoluto dei punteggi
1
2
3
4
5
6
1 0 1 2 3 4 5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
6
5
4
3
2
1
0
Primo dado
secondo dado
+
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5 6
6 7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10 11
6
7
8
9
10 11 12
Primo dado
Esempio :
Qual è la probabilità che lanciando due dadi si ottenga per
somma 10?
P(A)=P(somma dei punti =10) = 3/36=1/12
P(
P(somma dei punti diversa da 10) = 1- 1/12=11/12
esercizi
A : “nel lancio di due dadi si ottiene per somma 6 P(A)=
B: “ nel lancio di due dadi si ha per somma un numero diverso
da 6” P(B)=…………. P(B) = P( )?
C: “lancio due dadi e la differenza in valore assoluto dei punteggi è
2”. P(C )=………….
P( )=………
D: ” lancio due dadi e la somma è minore di 5” P(D)=
E: “lancio due dadi e la somma è maggiore di 4” P(E)=
F: “ lancio due dadi e sul secondo dado esce un numero compreso
tra 2 e 5” P(F)=…….
G: “ lancio due dadi ed esce il 3 sul primo dado” P(G)=…………….
lancio di monete: TESTA-CROCE
Lancio di una moneta
Lancio di 3
T
monete
C C
T T T
C T T
T C T
Lancio di 2 monete
C C T
TT
T T C
CT
C T C
TC
T C C
CC
C T C
Lancio di 4 monete
T T TT
C T TT
T C TT
C C TT
T T CT
C T CT
T C CT
C T CT
T T TC
C T TC
T C TC
C C TC
T T CC
C T CC
T C CC
C T CC
A: “ lancio tre monete, viene testa sulla
prima moneta” P(A)=……..
B:” lancio tre monete, viene testa sulla prima
moneta e sulla seconda moneta” P(B)=………..
C: “ lancio tre monete ed esce croce
esattamente due volte” P( C ) = ………
D: “ lancio quattro monete e ottengono
croce esattamente 3 volte” P(D)=……..
E: “ lancio quattro monete ed esce croce
solo una volta” P(E)=……….
GLI EVENTI POSSONO COMBINARSI TRA LORO
A ed B sono due eventi.
A:” pesco una carta dal mazzo di 40 carte e esce un re”
B:” pesco un asso da un mazzo di 40 carte ed esce un asso”
P(A)=4/40=1/10
P(B)= $/40=1/10
prima considerazione: i due eventi sono incompatibili o “mutuamante escludentesi”: se esce un re non
può uscire un asso!!!!!!!
Evento composto: UNIONE DI DUE EVENTI
A U B = “ pesco una carta da un mazzo di 40 e esce un re o un asso”
P (A U B )= 8/40= 1/5
A 4 re
B 4 assi
in questo caso P (A U B )= P(A) + P(B) = 1/10+1/10=1/5
MA NON è SEMPRE COSì !
A ed B sono due eventi.
A:” pesco una carta dal mazzo di 40 e esce una regina”
P(A)=4/40=1/10
B:” pesco un carta da un mazzo di 40 carte ed esce una carta di cuori”
P(B)= 10/40=1/4
i due eventi sono compatibili : infatti può uscire una regina di cuori !!!!!!!
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A
B)=
A
3 regine
una
regina
di cuori
B 9 carte di cuori
A:” lancio due dadi sul primo dado esce il 2”
B:” lancio due dadi sul primo dado esce il 5”
A U B = “ lancio due dadi, sul primo dado esce 2 o esce 5”
1
2
3
1
2
3
4
5
6
primo dado
4
5
6 secondo dado
P(A U B) = P(A)+P(B) ( eventi incompatibili)
P( sul primo dado esce 2 o 5)= 12/36=1/3
A:”lancio due dadi, sul secondo dado esce un numero compreso tra 2 e 5”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
2
P( sul secondo dado esce un numero compreso tra 2 e 5)=
12/36=1/3
3
4
5
6
primo dado
B:”lancio due dadi e la somma del risultato è minore di 5”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
P( la somma dei punti è minore di 5)= 6/36=1/6
2
3
4
5
6
primo dado
esempio di due eventi incompatibili
B:”lancio due dadi e la somma dei punti è minore di 5 o maggiore di 7” P( A U B) = P(A)+P(B)
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
2
P( la somma dei punti è minore di 5 o maggiore di 7)=
21/36= 7/12
3
P( la somma dei punti è minore di 5 o maggiore di 7)=
5/36+16/36 =21/36= 7/12
4
5
6
primo dado
esempio di due eventi compatibili
P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A B) teorema della somma logica
B: ”lancio due dadi, sul primo dado oppure sul secondo dado esce un numero minore di 3”
1
1
2
2
3
A∩B
3
4
5
6 secondo dado
P( sul primo dado o sul secondo esce un numero < 3) =
20/36= 5/9
P( sul primo dado o sul secondo esce un numero < 3) =
12/36 + 12/36 - 4/36 = 20/36= 5/9
4
5
6
primo dado
L’EVENTO INTERSEZIONE DI DUE EVENTI
P ( A ∩ B) = p(A)+P(B)
E:”lancio due dadi, sul primo dado e sul secondo esce il numero 2 oppure il numero 5”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
P( esce 2 o 5 sul primo dado e sul secondo)= 4/36=1/9
2
3
4
bisogna considerare l’intersezione dei due eventi
5
6
primo dado
P(A U B) = 12/36 + 12/36 - 4/36= 20/36=5/9
E:”lancio due dadi, sul primo dado o sul secondo esce il numero 2 oppure il numero 5”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
P( esce 2 o 5 sul primo dado o sul secondo)= 20/36=5/9
2
3
4
5
6
primo dado
A∩B : “lancio due dadi ed esce un numero compreso tra 2 e 5 sul primo dado e anche sul secondo”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
2
3
P( esce numero compreso tra 2 e 5 sul primo dado e anche
sul secondo)= 4/36=1/9
A∩B
4
5
6
primo dado
AUB : “lancio due dadi, esce un numero compreso tra 2 e 5 sul primo dado o sul secondo”
1
2
3
1
2
3
4
5
6
primo dado
4
5
6 secondo dado
P( esce numero compreso tra 2 o 5 sul primo dado o sul
secondo)= 20/36=5/9
A : “lancio due dadi ed esce almeno un 3”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
P( lancio due dadi ed esce almeno un tre)= 11/36
2
3
4
5
6
primo dado
B: “lancio due dadi e la somma è dispari”
1
2
3
4
5
6 secondo dado
1
P( la somma dei punti è dispari)= 18/36=1/2
2
3
4
5
6
primo dado
EVENTI INDIPENDENTI
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di un evento non modifica la probabilità di verificarsi dell’altro
evento.
Esempio:
Lancio un dado ed esce un numero pari
lancio un dado ed esce il 5
P(esce5)=1/6
P(num. pari) = ½
lancio un dado ed esce un numero pari P(num. pari )=1/2 lancio un dado ed esce un numero minore di 3
p( num <3): 2/6=1/3
i due eventi sono indipendenti
i due eventi sono compatibili e quindi dipendenti
Estraggo, da un’urna con 10 palline rosse e 5 verdi, una
Estraggo, da un’urna con 10 palline rosse e 5 verdi,
pallina rossa . P(pall. rossa ) = 10/15= 2/3
una pallina rossa . P(pall. rossa ) = 10/15= 2/3
Rimetto la pallina estratta nell’urna e procedo a una
NON rimetto la pallina estratta nell’urna e procedo
seconda estrazione P(pall. rossa ) = 10/15= 2/3
a una seconda estrazione P(pall. rossa ) = 9/14
I due eventi sono indipendenti
I due eventi sono dipendenti