EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Supponiamo di dover risolvere la
seguente equazione di quarto grado:
x  11x  18  0
4
2
Queste equazioni si risolvono tramite una
sostituzione: bisogna infatti cercare di ridurre il
grado dell’equazione stessa.
Scegliamo un’altra lettera, ad esempio la y, e
Poniamo y  x 2
Se eleviamo entrambi i termini della precedente
uguaglianza alla seconda si ottiene
y 2  ( x2 )2  y 2  x4
Torniamo allora all’equazione iniziale:
2
x  11 x  18  0
4
Ma, per quanto visto prima, possiamo sostituire
2
4
2
x con y e x con y quindi:
2
yx  11 yx  18  0
24
Che è un’ equazione di 2° grado che sappiamo
risolvere:
L’avete risolta?
y
2
9
È finita l’equazione? No perché noi cerchiamo x e non
y. Però sappiamo che x 2  y . Quindi otteniamo
un’equazione per ciascun valore di y trovato:
x2  2  x   2
x2  9  x  
9  x  3
Pertanto la soluzione dell’equazione
finale è:


S  x  R | x   2 , x   2 , x  3, x  3
Risolvere la seguente equazione:
2
x  2 x 8  0
4
Poniamo y  x
Sostituendo:
2
e quindi
y2  x4 .
2
yx  2 yx  8  0
24
Che è un’ equazione di 2° grado che sappiamo
risolvere:
L’avete risolta?
y
2
-4
Ricaviamo x sapendo che x 2  y. Ottenendo
un’equazione per ciascun valore di y trovato:
x2  2  x   2
x 2  4 
impossibile
Pertanto la soluzione dell’equazione
finale è:

S  x  R | x   2, x   2

Risolvere la seguente equazione:
x 5 x 4  0
2
4
Poniamo y  x
Sostituendo:
2
e quindi
y2  x4 .
yx  5 yx  4  0
24
2
Che è un’ equazione di 2° grado che sappiamo
risolvere:
L’avete risolta?
y
-1
-4
Ricaviamo x sapendo che x 2  y. Ottenendo
un’equazione per ciascun valore di y trovato:
x 2  1  impossibile
x 2  4 impossibile
Pertanto la soluzione dell’equazione
finale è:
S  insieme vuoto
Risolvere la seguente equazione:
x  5 x  10  0
2
4
Poniamo y  x
Sostituendo:
2
e quindi
y2  x4 .
yx  5 yx  10  0
24
2
Che è un’ equazione di 2° grado che sappiamo
risolvere:
L’avete risolta?
Ha il delta minore di zero.
Quindi non ha soluzioni.
Di conseguenza non ne ha nemmeno
l’equazione nell’incognita x .
Quindi
S  Insieme vuoto
Pertanto la soluzione dell’equazione
finale è:
S  insieme vuoto
Possiamo ora definire le
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Le equazioni biquadratiche sono equazioni di
quarto grado in un’unica variabile, in cui è
presente il termine di secondo grado, ma non i
termini di primo e terzo grado. Si risolvono
2
tramite una sostituzione, ponendo y  x