Resistenze
in serie e in parallelo
Realizzazione a cura del Prof. Francesco Porfido
Collegamento di Resistenze
Concentriamo la nostra attenzione sugli utilizzatori, cioè su quei componenti
che trasformano l’energia elettrica in altre forme di energia a noi utili, quali
… energia luminosa, energia termica, energia cinetica.
Supponiamo ora di voler
collegare ad una forza
elettromotrice più di un
resistore.
Resistenze in serie
Resistenze in parallelo
Resistenze in serie
Nel circuito disegnato sono inserite
in serie le resistenze R1 ed R2 .
Le resistenze sono in serie quando:
 disposte una di seguito all'altra,
sono attraversate dalla stessa
corrente: i=cost.
 la tensione ai capi della serie (AB)
è uguale alla somma delle tensioni
sulle singole resistenze
∆V = ∆V1 + ∆V2 + .......
∆V1
∆V2
Resistenze in serie
ai capi (AB) della
serie delle due resistenze,
è quindi applicata una
certa tensione ∆V
La corrente che circola
nelle due resistenze è I.
Per la legge di Ohm la resistenza totale
(equivalente) è:
VA  VB V
Rtot 

I
I
Resistenze in serie
• Il collegamento in serie si realizza concatenando le resistenze
• Le resistenze collegate in serie sono attraversate dalla stessa corrente
i
R1
A
R2
Legge di Ohm per R1: VA VB  R1i
Legge di Ohm per R2: VB  VC  R2 i
i
A
C
B
VA  VC  R1  R2 i
Req
C
Resistenza equivalente: Req  R1  R2
Per N resistenze in serie è data da:
Req  R1  R 2  ...  R N
Resistenze in serie
Se a ∆V sostituiamo
∆V1 + ∆V2 otteniamo:
Rtot 
V
I
V 1  V 2 V 1 V 2
Rtot 


 R1  R 2
I
I
I
Perciò possiamo quindi affermare che:
la resistenza equivalente di resistenze poste in
serie in un circuito, è uguale alla somma
delle resistenze stesse.
Resistenze in parallelo
Nel circuito disegnato
sono inserite in parallelo le
resistenze R1 ed R2 .
Resistenze in parallelo
A
le resistenze hanno gli
estremi in comune
(punti A e B)
e sono sottoposte alla stessa
differenza di potenziale
(quella erogata dal generatore)
∆V1 = ∆V2
∆V1
B
∆V2
Resistenze in parallelo
Possiamo osservare che la corrente,
che ha intensità I , giungendo nel
capo "A“
si distribuisce in due rami
(sono le due resistenze che partono
da "A")
A
assumendo i valori I 1 e I 2 , con:
B
I = I 1 + I2
In un nodo di un circuito elettrico, la somma delle correnti entranti nel nodo è uguale alla
somma delle correnti uscenti dal nodo.
Ovvero: la somma algebrica (con il più quelle entranti e con il meno quelle uscenti) delle
correnti confluenti in un nodo è uguale a zero.
Resistenze in parallelo
• Il collegamento in parallelo
si realizza collegando tutte
le resistenze alla stessa
d.d.p.
i1
R1
i
A i
V A  VB
i 
Legge di Ohm per R1: 1
R1
V  VB
i2  A
R2
Legge di Ohm per R2:
i2
B
R2
 1
1 


i  i1  i2  VA  VB  
 R1 R2 
1
1
1
R 1R 2


 R eq 
Resistenza equivalente:
R eq R1 R 2
R1  R 2
Per N resistenze in parallelo:
1
1
1
1


 ... 
Req R1 R2
RN
Resistenze in parallelo
Questa osservazione è molto
importante e prende il nome di
primo principio di Kirchhoff o
regola dei nodi.
Si definisce nodo un punto della rete elettrica in cui si incrociano tre o più
conduttori e, pertanto, confluiscono tre o più correnti.
Si definisce ramo di una rete elettrica, ogni tratto della rete compreso tra
due nodi contigui.
Si definisce maglia di una rete elettrica ogni percorso chiuso individuabile
nella rete.
Tale principio afferma in generale che:
Resistenze in parallelo - Kirchoff
Se nel punto "A“ (nodo)
convergono due o più conduttori
(resistenze), la somma delle intensità
delle correnti che arrivano
è uguale alla somma dell'intensità
delle correnti che si dipartono.
Nell'esempio sotto:
I1 + I2 = I3 + I4 + I5
Leggi di Kirchoff
Prima legge o legge dei nodi
la somma di tutte le correnti entranti
in un nodo di un circuito elettrico
deve essere uguale alla somma delle
correnti che escono dal nodo stesso
(non vi può essere accumulo di
carica).
 Ie   Iu
Seconda legge o legge delle maglie
la somma algebrica delle f.e.m. e d.d.p.
elettrico rilevate ai capi di ciascun
componente in una maglia chiusa (in
un giro completo) deve essere uguale a
zero.
 Vi
0
Esempio
Le lampadine collegate al
generatore in questo modo, sono
tutte eguali:
1) quale sarà, nell’ordine, la loro
luminosità ?
2) cosa succede se si interrompe
A (“si brucia) ?
3) se si interrompe C ?
4) se si interrompe D ?
1. in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà più luminosa
di A o B, che hanno la stessa luminosità; D non si accenderà mai
(ha i terminali in corto-circuito)
2. B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta
3. A e B più luminose, D sempre spenta
4. ininfluente
Leggi di Kirchoff
Derivano dalle leggi di conservazione della carica e dell’energia del campo
elettromagnetico.
Prima legge
la somma delle correnti
in un nodo deve essere
nulla
Seconda legge
la somma algebrica di
tutte le f.e.m. in una
maglia e delle cadute di
tensione lungo i lati deve
essere nulla
Esempio
a) trovare la resistenza equivalente della rete di
resistori in grafico
b) qual è la corrente in ciascun resistore se la
d.d.p. tra a e c vale Vac=42V
Applicando le relazioni per collegamento in
serie e parallelo di resistenze
Req = 14 W
I
VAC 42

 3A
Re q 14
VBC 6
  1A
R3
6
V1  R1  I  8  3 24V
I
Fig. c
VAB  R12  I  12  3 36V
I1 
I
VBC  R34  I  2  3 6V
Fig. b
VBC 6
  2A
R4
3
Fig. a
I2 
V2  R2  I  4  3 12V
Fig. a
Esercizio n.1
Qual’è il valore della resistenza equivalente ai due resistori in serie?
3k W
6kW
Esercizio n.2
Calcolare la corrente nel seguente circuito. Qual’è la resistenza equivalente dei
due resistori in parallelo? Calcolare il voltaggio a cavallo di ciascun resistore.
110 V
11k W
11k W
Esercizio n. 3
Un resistore di 4 Ω e un resistore di 6 Ω sono collegati in parallelo, e ai
capi del sistema è applicata una differenza di potenziale di 12 V. Si trovi:
a) L’ intensità di corrente in ciascun resistore
b) La potenza dissipata in ciascun resistore
[ i1 = 3 A ; i2 = 2 A ; P1 = 36 W ; P2 = 24 W ]
Esercizio n. 4
Un resistore di 4 Ω e un resistore di 6 Ω sono collegati in parallelo, e ai capi
del sistema è applicata una differenza di potenziale di 12 V. Si trovino:
a) la resistenza equivalente
b) l’ intensità di corrente totale
[ Req = 2,4 Ω ; i = 5 A]
Esercizio n.3
Usare la legge dei nodi di Kirchoff e la legge per le maglie per calcolare la
corrente attraverso ciascuno dei resistori e la d.d.p. all’estremità di essi.
R2 = 4k W
R1 = 3k W
i1
i2
V1 = 9 V
+
i3
R3 = 6k W
R4 = 2k W
+
V2 = 3 V
i1  i2  i3

 R1i1  R3i3  0
 V*
1
 
R3i3  ( R2  R4 )i2  0
 V*
2
i1  i2  i3

V1  R1i1  R3i3
 
V2 R3i3  ( R2  R4 )i2  0
1° legge di Kirchoff
(dei nodi)
2° legge di Kirchoff
(delle maglie)
 i 3  5 / 8∙103  0 . 625 mA

 i 2  9 / 8∙103  1 . 125 mA
 i  7 / 4∙103  1 . 75 mA
1
Se il generatore viene attraversato dal negativo al positivo la
*d.d.p.
si prende con il segno +, altrimenti si prende con il – .
Se la resistenza viene attraversata nel verso della corrente
*elettrica
la sua caduta di tensione si prende con il segno –,
altrimenti si prende con il + .
I1
Esercizio n.4
–
In un nodo la somma delle correnti è zero
In A: I1 + I3 = I2
+
9V
3W
In un circuito chiuso la somma delle cadute di
potenziale è zero:
3I2 – 1.5 = 0
9 – 5I1 – 3I2 = 0
I2 = 1.5/3 = 0.5 A
I1 = (9 – 3I2)/5 = 1.5 A
I3 = I2 – I1 = 0.5 – 1.5 = – 1 A
5W
I2
1.5 V
– +
I3
A
Esercizio n.5
Un circuito stupido
–
+
9V
5W
9V
– +
Quale corrente fluisce attraverso il resistore?
(guarda le d. d. p.)
I= 0 A
I1
+
Esercizio n.6
R1
E1
R3 R4
–
I3
R2
In un nodo la somma di tutte le correnti
che entrano ed escono da un nodo è zero:
I1-I3-I4=0
I2-I3-I4=0
In un circuito chiuso la somma di tutte le
cadute di potenziale è zero:
E1-R1I1-R3I3-R2I2=0
I2
RISPOSTE:
I1 = I2 = 0,013 A
I3 = 0,0092 A
I4= 0,0042 A
I4
Esercizio n.7
+
E1
Applichiamo le leggi di Kirchhoff
E1-R1I1-R4I4=0
E2+R3I2+R2I2-R4I4=0
I1-I2-I4=0
I2
R1
R4
R3
E2
–
I4
+
–
DATI:
R1=5W
R2=10W
R3=15W
R4=5W
E1=90V
E2=100V
Calcolare le
correnti del circuito
R2
I1
RISPOSTA:
I2= -2A
I4=10A
I1=8A