Gli angoli
Prof.ssa Laura Salvagno
Definizione di angolo

Consideriamo un piano
α e due semirette a e b
aventi un’origine in
comune B
Si definisce angolo ciascuna delle parti in
cui il piano risulta suddiviso dalle due
semirette
Elementi di un angolo
Consideriamo
l’angolo mostrato in
figura
Definiamo vertice il
punto di origine delle
due semirette
a e b sono i lati
dell’angolo
α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica
dimensione che lo caratterizza
Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge chiaramente
che 2 semirette aventi un origine in comune
formano 2 angoli perché il piano viene diviso in
due parti
Angoli concavi e convessi
Definiamo convesso
l’angolo che non
contiene il
prolungamento dei sui
lati cioè l’angolo a
Definiamo concavo
l’angolo che contiene
il prolungamento dei
sui lati cioè l’angolo b
Angoli consecutivi
L’italiano ci dovrebbe
venire in soccorso quando
parliamo di angoli
consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad
un’altra quando la segue,
quando viene dopo, quando
abbiamo elementi che si
susseguono l'un l'altro
Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma
come può avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando hanno
un vertice ed un lato in comune
Angoli adiacenti

Si dicono adiacenti due angoli
consecutivi e i cui lati non comuni
giacciono sulla stessa retta
Angoli opposti al vertice





Analizziamo le parole opposti al vertice
Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche
cosa; questo qualche cosa si comporta come uno specchio
Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un
angolo
Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il
vertice in comune …. Ma ciò non basta
Questi due angoli hanno
il vertice in comune ma
non sono opposti al
vertice perché il vertice,
in questo caso, non si
comporta come uno
specchio
Angoli opposti al vertice


Due angoli si dicono opposti al vertice se
hanno il vertice in comune e se i suoi lati si
trovano uno sul prolungamento dell’altro
Due angoli opposti al
vertice sono congruenti
a=b
Bisettrice
A’1
Consideriamo l’angolo AOA’1
A’
Tracciamo una semiretta
che ha origine nel suo
vertice e che lo divide a
metà
bisettrice
O
Tale retta prende il nome di bisettrice
A
Bisettrice
Definiamo bisettrice la semiretta che
partendo dal suo vertice O divide
l’angolo in due parti uguali
Confronto di angoli



Per confrontare due angoli
basta far coincidere un vertice
e il lato omologo e vedere
cosa succede
Vediamo cosa dice il
vocabolario alla parola
omologo: che è simile, che
corrisponde a un altro, che ha
caratteristiche identiche
Quindi i lati omologhi sono lati
che hanno la stessa funzione
come si può vedere nelle due
immagini qui a fianco in cui i
lati omologhi hanno lo stesso
colore
Confronto di angoli


Se sposto il lato O’A’ e lo
faccio coincidere con OA
posso confrontare i due
angoli
Col confronto vedo se
uno è maggiore, minore
od uguale all’altro
Angolo maggiore di un altro




Consideriamo le due figure
precedenti
Com’è l’angolo AOB rispetto
all’angolo A’O’B’?
Quando li sovrappongo vedo
che il lato c cade all’interno
dell’angolo AOB
In questo caso avremmo che
l’angolo AOB > A’O’C
Angolo maggiore di un altro
Diciamo quindi che:

Un angolo è maggiore
di un altro quando
sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del
secondo angolo cade
all’interno del primo
Angolo minore di un altro



Consideriamo i seguenti due
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo
facilmente costatare che il lato
c cade all’esterno del lato AOB
In questo caso avremmo che
AOB < A’O’C
Angolo minore di un altro
Diciamo quindi che:

Un angolo è minore
di un altro quando
sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del
secondo angolo cade
all’esterno del primo
Angoli congruenti



Consideriamo i seguenti due
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo
facilmente costatare che il lato c
coincide col lato b
Perciò si ha che AOB = A’O’C
Angoli congruenti
Diciamo quindi che:

Un angolo è
congruente ( cioè ha la
stessa ampiezza) di un
altro quando
sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del
secondo angolo
coincide col suo
omologo del primo
Tipi di angoli

1.
2.
3.
4.
5.
Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3
notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa
di speciale o particolare)
Angolo
Angolo
Angolo
Angolo
Angolo
giro
piatto
retto
acuto
ottuso
Angolo giro



Cosa succede se i due lati dell’angolo
coincidono?
L’angolo convesso sarà nullo e quello
concavo avrà ampiezza massima
Chiamiamo questo angolo angolo giro
Angolo piatto


Definiamo Piatto l’angolo formato da
due semirette che sono una il
prolungamento dell’altra cioè che
giacciono sulla stessa retta
La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro
Angolo Retto



Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la
sua bisettrice
Tale bisettrice divide l’angolo in due parti
uguali
Definiamo retto
ciascuno di questi
angoli aventi
ampiezza pari alla
metà dell’angolo
piatto
Angolo acuto

Un angolo si dice acuto se la sua
ampiezza è minore di quella di un
angolo retto
Angolo ottuso

Un angolo si dice ottuso se la sua
ampiezza è maggiore di un angolo
retto
Somma di angoli




Sono dati due angoli AOB e CKD
Facciamone la somma: per fare la
somma di due angoli faccio
coincidere i lati non omologhi e i
due vertici
Lati non omologhi: sono lati che
non occupano la stessa posizione
(colore diverso)
AOD è la somma fra
l’angolo AOB e
l’angolo CKD
B
A
O
D
C
K
B
O
A
Somma di angoli

aOc è la somma fra l’angolo aOb e
l’angolo bOc

aOb + bOc = aOc

γ=α+β
Differenza di angoli



Sono dati due angoli AOB e CKD
Facciamone la differenza: per
fare la differenza di due angoli
faccio coincidere i lati omologhi
e i due vertici
Lati omologhi: sono lati che
occupano la stessa posizione
(stesso colore nella figura)
B
A
O
D
C
K
B
D

DOB è la differenza fra
l’angolo AOB e l’angolo CKD
KO
C
A
Differenza di angoli

COB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo AOC

AOB – AOC = COB

γ=α-β
Sottomultipli di angoli





Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali
Com’è l’angolo AOC rispetto
all’angolo AOB?
Osserviamo che l’angolo AOC è
contenuto 3 volte in AOB; allora
come sarà questo angolo?
Se AOC è contenuto 3 volte in AOB
si dice che è un suo sottomultiplo
Quando allora diciamo che un angolo
è sottomultiplo di un altro?
Un angolo è sottomultiplo di un altro quando
vi è contenuto un numero intero di volte
Multipli di un angolo


Quante volte AOB contiene AOC?
Tre volte perché ho fatto l’operazione
di dividere l’angolo in tre parti uguali e
quindi l’ho definito in partenza

Come sarà AOB rispetto ad AOC?

Sarà un suo multiplo

Allora quando un angolo è multiplo di
un altro?
Un angolo è multiplo di un altro quando lo
contiene un numero intero di volte
Multipli di un angolo
α è multiplo di β
perché
lo contiene n volte

β è sottomultiplo di α
perché
è contenuto n volte in α

:n
β
α
xn
Angoli complementari


Consideriamo due
angoli AOB e CKD e
proviamo a
sommare questi
due angoli
Cosa risulta la
somma dei due
angoli?
Angoli complementari

La somma risulta
un angolo retto
Due angoli si dicono complementari
quando la loro somma è un angolo retto
Angoli supplementari


Consideriamo due
angoli AOB e CKD
e proviamo a
sommare questi
due angoli
Cosa risulta la
somma dei due
angoli?
Angoli supplementari

La somma risulta
un angolo piatto
Due angoli si dicono supplementari
quando la loro somma è un angolo piatto
Angoli esplementari

Consideriamo due
angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare
questi due angoli
Cosa risulta la somma
dei due angoli?
Angoli esplementari
La somma risulta
un angolo giro

Due angoli si dicono esplementari
quando la loro somma è un angolo giro