FENOMENI INTERFERENZIALI
•Interferenza tra onde e.m. prodotte da sorgenti
coerenti sincrone;
•Metodo dei fasori o dei vettori rotanti;
•Interferenza tre onde e.m. prodotte da due
sorgenti coerenti sincrone;
•Interferenza tre onde e.m. prodotte da molte
sorgenti coerenti sincrone.
•Interferenza in lamine sottili;
Interferenza di onde e.m. prodotte da sorgenti
coerenti sincrone
Prendiamo due onde e.m. generate dalle sorgenti
puntiformi S1e S2 (saranno onde sferiche !) e
supponiamo che l’onda abbia campo elettrico
Ei  E0,i sin kri  t 
i  1,2
Cioè le sorgenti hanno la stessa frequenza  e
fase iniziale nulla.
Ipotizziamo poi che le ampiezze E0,i non cambino
con la propagazione.
Quando le onde si incontrano nel punto P si
sommano.
La somma è vettoriale e prendiamo campi
E1 e E2 paralleli tra loro.
E ( P, t )  E0,1 sin kr1  t   E0, 2 sin kr2  t 
Come possiamo fare questa somma ?
Metodo dei fasori o dei vettori rotanti
L’ampiezza istantanea in un punto
preso come origine di un’onda e.m.
del tipo
E1 ( P, t )  E0 sin kr  t 
può essere vista come la proiezione sull’asse delle
ordinate del vettore E0 che ruota con velocità
angolare  intorno all’origine in cui è applicato:
E1 (t )  E0 sin t 
Se si considerano due onde nello stesso punto dello
spazio con campo E parallelo si può ripetere il
ragionamento per entrambe e ottenere che la loro
somma ER= E1+E2 vale:
ER  E1  E2  E0 sin t   E0 sin t   
Dove F è la differenza di fase (d.d.f.) fra le due
onde nel punto in cui si sommano.


ER  E1  E2  E sin  t  
2

E  2 E0 cos

2
 


ER  E1  E2   2 E0 cos  sin  t  
2 
2

Se il campo nel punto P vale ER l’energia istantanea
del campo in quel punti è proporzionale al quadrato
del campo elettrico:



2
  2 E0 cos  sin  t  
2
2


2
I (t )  E1  E2 
2
Se prendiamo di tale energia il valor medio IM
(che è la quantità che si misura o si vede se le
onde sono luce visibile)
1


I M   I (t )dt   2 E0 cos 
T 0
2

T
I M max   2m
da cui:
2
m  0,1,2,...
(interferenza costruttiva)
I M min   (2m  1)
m  0,1,2,...
(interferenza distruttiva)
Interferenza tra onde e.m prodotte da due
sorgenti coerenti
Se abbiamo due sorgenti identiche di onde e.m.
con la stessa frequenza , fase iniziale uguale e
nulla e campo parallelo (in questo caso le sorgenti
sono dette coerenti)
E1  A0 sin kr1  t 
E2  A0 sin kr2  t 
Nel punto P la somma delle
due onde da un campo
risultante ER
 


E R  E1  E2    2 E0 cos  sin  t  
2 
2

con   d .d . f .  kr1  kr2  k (r1  r2 ) 

2

(r1  r2 )
L’intensità media, cioè la quantità media di
energia in P vale
 
k (r1  r2 ) 

I M   2 E0 cos    2 E0 cos

2 
2


2
2
Se lo schermo è lontano, r1 e r2 sono paralleli
2
  d .d . f .  k (r1  r2 )  k (a sin ) 
(a sin )

2
IM
k a sin 
 a sin 


  2 E0 cos
   2 E0 cos

2





2
I M  max   
Differenza di
cammino ottico
2
asin  2m

r1  r2  asin  m
IM  0  
2

m  0,1,2,...
asin  (2m  1)
r1  r2  asin  (2m  1)

2
Si ha interferenza costruttiva se la differenza di cammino ottico
percorso dalle onde è un multiplo intero della lunghezza d’onda
(comune); l’interferenza è distruttiva se la differenza di cammino
ottico percorso dalle onde è un multiplo dispari di semilunghezze d’onda
Interferenza prodotta da N sorgenti
coerenti sincrone
F
F
F
F
Utilizzando nuovamente il metodo dei vettori rotanti:
nel caso in cui tutti i vettori (che possono rappresentare
il campo elettrico associato ad ogni onda) sono allineati,
si avrà la massima ampiezza risultante possibile, cioè
A=NA1 .Questo si ha per F=2n
F
2

a sin
L’intensità totale è:
m Massima valore del
sin 
campo elettrico
a
risultante
m  0,1,2,...
I (max)  A12 N 2
F
F  2/3 
F  /2
F  /9
Si avrà ampiezza nulla nel caso in cui tutti i vettori
formano un poligono chiuso
A=0 . Questo si ha per NF=2m’
F
2

a sin
m' 
sin 
Na
Massimo valore del
campo elettrico
risultante
m'  0,1,2,...( N  1), ( N  1),......( 2 N  1), (2 N  1),....
L’intensità totale è:
I (min)  0
Tra due massimi principali per cui sin (max) 
m
a
ci sono (N-1) zeri, per cui sin (min)  m' 
Na
tra due minimi ci deve comunque essere un
massimo, quindi ci saranno anche (N-2) massimi
secondari (di ampiezza esigua) tra i massimi
principali.
Itot/N2I0
Riassumendo, se poniamo uno schermo a grande distanza
dalle sorgenti osserviamo un serie di strisce luminose e
strisce buie
Strisce buie
F
2

a sin
m' 
sin 
Na
m'  0,1,2,...( N  1), ( N  1),......( 2 N  1), (2 N  1),....
Strisce chiare
F
2

a sin
m
a
m  0,1,2,...
sin 
Interferenza da lamine sottili
Lamine sottili in aria.
Se facciamo riflettere della luce monocromatica di
frequenza  (cioè numero d’onda k) su
una lamina di spessore d, osservando in riflessione
vediamo che per alcuni valori di d abbiamo
(i) dei massimi di intensità riflessa
per altri valori di d abbiamo
(ii) dei minimi di intensità riflessa.
Vediamo di spiegare il fenomeno
Prendiamo l’onda incidente FD, in D interferisce
con l’onda AB che, rifrattasi in B e subita una
riflessione in C, si ricompone con l’onda incidente
in D.
Si fa notare che le due onde che si sommano in D
fanno parte dello stesso fronte d’onda BB’ e
questo assicura che la loro fase iniziale sia sempre
la stessa. Cioè la coerenza è assicurata.
•Il fronte d’onda BB’ in D arriva con una fase
kr. Dopo la riflessione sulla lamina di indice di
rifrazione n, si ha uno cambiamento di  della fase.
La fase vale:
  k ( B ' D)  
i
a
Fenomeno della riflessione vetrosa.
Quando un’onda e.m. si riflette su una superficie
di indice di rifrazione superiore a quello del mezzo
da cui proviene, l’onda riflessa subisce uno
sfasamento di .
(Si ottiene questo dalle Eq. di Maxwell)
•La parte di onda che si rifrange in B arriva in D
con la fase:
( 2a )
 r  k m ( BC  CD)  k m
cos r
La differenza di fase tra le due onde quando
interferiscono in D vale:
2a
d .d . f .   r  i  k m

cos r
Ricordiamo che quando
d.d.f. = 2m
abbiamo interf. costruttiva
d.d.f. = (2m+1) abbiamo inter. distruttiva
d.d.f. = 2m
abbiamo interf. costruttiva
d.d.f. = (2m+1) abbiamo inter. distruttiva
Nel caso di interferenza costruttiva
massima riflessione, quindi minima trasmissione:
a
m 
n
d .d . f .  k m
2a
2 2a
2
2a
 
 
n
   2m
cos r
m cos r
a cos r

2na
 (2m  1) a
cos r
2
m  0,1,2,...
Nel caso di interferenza distruttiva
minima riflessione, quindi massima trasmissione:
2
2a
2
2a
d .d . f . 
 
n
   (2m  1)
m cos r
a cos r
2na
 ma
cos r
m  1,2,...
Anelli di Newton
interferenza costruttiva
2na  (2m  1)
a
2
m  0,1,2,...
interferenza distruttiva
2na  ma
m  1,2,...
Pellicole sottili su vetro
Sfasamento
in riflessione
Sfasamento
in riflessione
L’onda incidente ha fase:
ka r  
L’onda rifratta ha fase:
ka r  km 2a  
La diff. di fase vale, per
incidenza normale:
Interferenza costr.
Interferenza distr.
2
a
2
a
d .d . f .  k m 2a 
2
a
n 2a
n2a  2m  2na  ma
n 2a  (2m  1)  2na  (2m  1)
a
2