Fenomeni di interferenza. Sorgenti luminose coerenti
Si abbiano due onde luminose che si sovrappongono in un punto P. Le
onde siano sinusoidali e della stessa  (). Siano
E1 
E0
sin( kr1  t  1 )
r1
E2 
E0
sin( kr2  t   2 )
r2
due onde sferiche emesse da S1 ed S2 che si sovrappongono in P
kri - t descrive la propagazione verso il punto P. i è
caratteristico di ciascuna sorgente. La differenza di
fase in P è:  = (kr2 - t + 2) – (kr1 - t + 1) = k(r2 –
r1) + (2 - 1): essa contiene due termini: diff. di fase
intrinseca  = 2 - 1 che dipende dalle proprietà delle
due sorgenti ed una differenza k(r2 – r1) dovuta alla differenza di
percorso r = r2 – r1 dalle sorgenti a P. Quando la differenza di fase di
due onde in un qualsiasi punto P è costante nel tempo le sorgenti delle
due onde si dicono coerenti. Esse lo sono quando  = costante.
Se  = 0 le due sorgenti si dicono sincrone. Quando questo non si
verifica (almeno per tempi confrontabili con il tempo di osservazione)
le sorgenti sono incoerenti. Interferenza sono i fenomeni prodotti dalla
sovrapposizione di onde coerenti. L’interferenza è una caratteristica
essenziale della natura ondulatoria della propagazione: Young- MaxwellHertz. I metodi per ottenere interferenza dipendono dalla  delle o.e.m.
Sorgenti coerenti e non di onde luminose
L’emissione da parte delle sorgenti ordinarie
(sole, lampade, ecc) è dovuta alla
diseccitazione degli atomi presenti in numero enorme. Ciascun atomo
emette una frequenza di circa 5•1014 Hz (periodo T = 2•10-15 s).
L’emissione dura circa t = 10-8 s: viene emesso un pacchetto d’onde che
contiene un numero di oscillazioni N = t/T = 5•106. La lunghezza di
tale pacchetto è: c•t = 3 m. Scrivendo: E = E0cos(0t + ) durante t la
direzione del vettore E e la fase  sono costanti. Tuttavia ogni atomo si
diseccita in modo scorrelato dagli altri emettendo un pacchetto d’onde
con gli stessi E0 ed 0 ma con il piano di polarizzazione e la fase diverse.
Le onde emesse da sorgenti ordinarie consistono di moltissimi pacchetti
d’onda per cui la fase e la polarizzazione variano in modo casuale (e
rapido): l’onda non è coerente ( ciò vale sia per due sorgenti diverse che
per diversi punti di una stessa sorgente estesa) e non dà luogo a fenomeni
di interferenza.. Invece i laser sono sorgenti di onde coerenti perché gli
atomi sono forzati a diseccitarsi tutti in modo correlato.
Un modo per ottenere sorgenti coerenti utilizzando
luce ordinaria è di sfruttare il principio di H-F: se
nel cammino di un’onda sferica emessa dalla
sorgente S introduciamo uno schermo sferico con
ad es. due (o N) piccoli fori le onde emesse da tali
fori hanno la stessa fase in quanto appartengono
allo stesso fronte d’onda : da un singolo fronte d’onda hanno origine
due (o N) pacchetti d’onde: divisione del fronte d’onda. Una variazione
di fase o polarizzazione dell’onda primaria si riproduce nelle sorgenti
secondarie nello stesso modo: queste sono sorgenti coerenti (tra loro) di
luce ordinaria.
In generale tali sorgenti emettono poca energia e.m. e
quindi sono di difficile utilizzo
L’esperimento di Young
Un fascio di luce ordinaria
monocromatica illumina una
sottile fenditura S0: sorgente
primaria. Le onde emesse da S0
arrivano ad uno schermo in cui
sono praticate due fenditure S1
ed S2 parallele ad S0 e
simmetriche rispetto all’asse. S1
ed S2 agiscono da sorgenti secondarie di onde sferiche coerenti
(sincrone). La luce emessa da S1 ed S2 produce su C posto a distanza L
>>d (separazione tra S1 ed S2) una figura di interferenza: striscie chiare e
scure parallele alle fenditure: frange di interferenza. Le frange chiare:
massimi di intensità; frange scure: minimi di intensità. Sull’asse:
massimo di intensità. Sia ora:
E1 
E0
sin( kr1  t )
r1
E2 
E0
sin( kr2  t )
r2
l’effetto prodotto dalle due onde separatamente
nel punto P; la differenza di fase è:  = k(r2 – r1)
funzione solo di r2 – r1. Se r: distanza tra P e punto
medio tra S1 ed S2 >> d si ha: 1/r1 1/r2  1/r, le
due direzioni si possono assumere quasi parallele
e: r2 – r1 = d sin e le precedenti diventano:
E1 
E0
sin( kr1  t )
r
  kd sin  
2

E2 
d sin 
E0
sin( kr2  t )
r
k = 2/ = numero
d’onde. Per calcolare il campo risultante in P:
E
E
EP  0 sin( kr1  t )  0 sin( kr2  t )
utilizziamo il metodo dei
r
r
vettori rotanti o fasori: l’onda
E0
può essere rappresentata da
E1 
sin( kr1  t )
un vettore (fasore) di modulo
r
E0/r che ruota attorno all’ori-
gine con velocità angolare . La proiezione sull’asse y dà il valore E1(t).
Le due onde in P ora sono rappresentate da due fasori di egual modulo
E0/r formanti l’angolo  dovuto alla differenza
di fase. L’ampiezza del campo in P è:
2
2
2
 E0   E0 
 E0 
EP        2  cos 
 r   r 
 r 
ora l’intensità dell’onda (quadrato dell’ampiez
za) è: IP = 2 I1 (1 + cos) = 4 I1cos2 /2 in cui I1 = I2 è l’intensità in P da
ciascuna onda separatamente. In funzione di  angolo di osservazione si
ha: I ( )  4 I cos 2 d sin  ; IP (sin) è mostrata in
P
1

figura utilizzando una luce rossa. Si osserva un
massimo di IP = 4I1 e quindi di 2E0/r nei punti P
in cui:  = (2/) d sin = 2m ; d sin = m; m
= 0,  1, 2… cioè quando la diff. di percorso
d sin è un multiplo intero di : le due onde sono
in fase e l’interferenza è costruttiva.
Nei punti Q in cui si verifica:  = (2/) d sin = (2m
+ 1) ; d sin = (2m + 1)(/2); m = 0,  1, 2…
l’ampiezza Eq è nulla: IQ = 0; la differenza di percorso
è un multiplo semintero di : le due onde sono in
opposizione di fase e l’interferenza è distruttiva.
Calcoliamo
ora
l’andamento
dell’intensità I in funzione della
distanza x dal centro O, con L>>d e 
piccolo. Si ha sin  tg  x/L per
cui:
d x
I ( x)  4 I1 cos 2
 L
 = m(/d); x = m (L/d) m = 0, 1,2.
 = (2m + 1)(/2d); x = (2m + 1) (L/2d) m = 0, 1,2...
E’ mostrata I(x) nell’ipotesi che ciascuna fenditura
illumini lo schermo in modo uniforme: I1 = cost.
Vedremo poi (diffrazione) che ciò non è vero:
L’intensità è massima nella frangia centrale e decresce nelle frange
successive. Frangia centrale: corrisponde a diff. fase = 0. Passo delle
frenge: p= L/2d. Si noti che la  è relativa al mezzo in cui si osserva il
fenomeno; se il mezzo ha indice di rifrazione n la  è data da:  = 0/n
con 0 = lunghezza d’onda nel vuoto. Se anziché 2 vi sono N fenditure
nel secondo schermo si ha un reticolo; lo vedremo in seguito.
Utilizzo di una lente
Una lente convergente di focale f forma di raggi paralleli
un’immagine puntiforme F sul suo piano focale; se il
fascio è parallelo all’asse l’immagine è sull’asse; se il
fascio è inclinato dell’angolo  l’immagine si forma ad
una distanza dall’asse di: f tg  f (per angoli piccoli).
Inoltre si può vedere che una lente non introduce
sfasamenti tra i vari raggi che l’attraversano. Per cui se
mettiamo una lente tra le fenditure e lo schermo (vicina
alle fenditure) i raggi uscenti con angolo  e sfasamento
d sin  sono fatti convergere senza ulteriore sfasamento sul punto P
Per osservare la figura di interferenza lo schermo P coincide con il piano
focale. Valgono tutte le espressioni trovate con f al posto di L.
Interferenza di sorgenti incoerenti
Se le due sorgenti sono incoerenti nella differenza di fase  compare
anche la differenza di fase  tra le due sorgenti e si ha:
I P  4 I1 cos 2

 k (r  r )   
 4 I1 cos 2  2 1

2
2

Ora  varia casualmente nel
tempo e così anche : il valore
medio nel tempo di cos2 /2 è ½ e risulta: I = 2 I1: in pratica lo schermo
è illuminato con luce uniforme corrispondente alla somma delle intensità
delle due sorgenti. Si vede quindi che la coerenza delle sorgenti è una
proprietà fondamentale e nel fenomeno di sovrapposizione vi è una
ridistribuzione della potenza complessiva PR = 2P emessa dalle sorgenti
con valore medio costante. (conservazione dell’energia)
Si può anche vedere con una trattazione più complessa che, definita la
visibilità delle frange come I max  I min dove Imax e Imin indicano
I max  I min
rispettivamente il valore quando vi è sovrapposizione costruttiva e
quando distruttiva, questa grandezza risulta proporzionale al grado di
coerenza dell’onda. Il grado di coerenza è una grandezza che varia da 0
ad 1 per i casi estremi di luce completamente incoerente e
completamente coerente.
Tali risultati si estendono al caso di N sorgenti incoerenti; si ha:
N
Nel caso di eguale intensità delle N sorgenti si ha: IR = N Ii
I R   Ii
E’ questo il caso di N lampade in una stanza. Mentre si può
1
vedere che se N sorgenti di eguale intensità sono tra di loro
coerenti si ha: IR = N2 I nei punti di interferenza costruttiva.
Interferenza su lamine sottili
E’ questo il caso più facilmente osservabile nella vita comune: osservato
per la prima volta da Boyle e poi Newton. Si osserva su strati sottili di
olio sull’acqua, sulle bolle di sapone, sulla pellicola d’acqua nei vetri di
un’automobile ecc.
Si osservi a piccoli angoli rispetto alla normale una
sottile lamina di spessore d formata da materiale
trasparente di indice n. Una parte della luce incidente
viene riflessa in A dalla superficie superiore; l’onda
trasmessa nella lamina è parzialmente riflessa dalla
superficie inferiore in B: la parte riflessa riattraversa la
lamina ed emerge in C nel primo mezzo parallela al
primo raggio riflesso. Se d è piccolo le due onde
arrivano all’occhio praticamente sovrapposte ma
sfasate per la differenza di percorso e per lo sfasamento
 subito solo sulla prima riflessione (n > 1). La
differenza di percorso per incidenza normale è 2d a cui
corrisponde:  '  2 2d  4nd con n= /n è la lunghezn


4nd

za d’onda nella lamina. La differenza di fase totale è:

L’interferenza, come nell’esp. di Young è costruttiva o distruttiva se: 
= 2m d = (2m +1)(/4n)
m = 0, 1, 2,…
 = (2m + 1) d = (m +1) (/2n) m = 0, 1, 2,…
Le relazioni precedenti sono valide anche se la lamina
è immersa in altro mezzo: in ogni caso una delle due
riflessioni avviene da un mezzo con n maggiore ad uno
con n minore per cui tale riflessione è sfasata di 
l’altra avviene in condizioni opposte: solo una sfasa di
. Nel caso della lamina le sorgenti coerenti non sono
separate lateralmente (come nell’esperimento di
Young) ma sono separate in profondità: è come se i
raggi provenissero da due sorgenti (virtuali) poste
lungo la retta di osservazione (una oltre la lamina)
distanti 2nd e con sfasamento intrinseco . Si generano
due sorgenti virtuali mediante suddivisione del raggio
incidente in due raggi riflessi: interferenza per
divisione di ampiezza (invece che divisione del fronte
d’onda).
Cuneo sottile
Si chiama cuneo una lamina trasparente a facce piane ma
non parallele, formanti un piccolo angolo  (< 10-3 rad).
In ogni punto del cuneo distante x dall’estremo lo
spessore è: d = x, per cui il cuneo è una lamina con
spessore variabile da 0 a l. Si illumini il cuneo con una
sorgente estesa in incidenza quasi normale e osserviamo
la luce riflessa. Data la piccola apertura della pupilla
osservando un punto del cuneo possiamo applicare le formule per la
lamina:
max: d = (2m +1)(/4n);
x = (2m +1)(/4n);
m = 0, 1, 2,…
min: d = m’ (/2n);
x = m’ (/2n);
m’ = 0, 1, 2,…
I punti nei quali d = cost. e l’intensità è cost. sono segmenti paralleli ai
bordi del cuneo. Si vede quindi sulla superficie del cuneo una
successione di frange chiare e scure dette frange di eguale spessore (lo
stesso d). Il bordo dove d = 0 è nero: la prima frangia è scura: vi è
sfasamento di  ad una riflessione: se d = 0 questo è l’unico sfasamento
e quindi l’interferenza è distruttiva. Se si illumina il cuneo con luce
bianca si formano frange colorate in quanto in ogni punto (fissato d)
esistono lunghezze d’onda per le quali l’interferenza è distruttiva ed altre
per cui è costruttiva. Interferenza simile si osserva
in lamine di olio su acqua: d irregolare. In ciascun
contorno dello stesso colore lo spessore è appros.
costante.
Anelli di Newton
Analogo dispositivo che dà frange circolari è costituito da una lente piano-convessa posata su una lamina di vetro ed illuminata dall’alto. La regione
compresa tra la lente e la lastra è una lamina d’aria
(n = 1) a simmetria circolare con spessore variabile. A distanza r dal centro lo spessore è:
2
2

 r2
r
1
r




2
2
d  R  R  r  R  R 1     R  R 1     
R
 2  R   2 R
supponendo (r/R)2 << 1 con R = raggio della superficie
sferica. Si osservano alternativamente anelli chiari e anelli scuri per:
d  (2m  1)
d  m'

2

4
R
r  (2m  1)
2
m  0, 1, 2,...
r  m' R
m'  0, 1, 2,...
Siccome il raggio dipende dal numero d’ordine secondo radice quadrata,
le frange si addensano verso il bordo della lente. Il centro è un disco nero
per la stessa ragione per cui la prima frangia del cuneo è nera. In luce
bianca si osservano colori di sottrazione con il centro nero. Anelli di
Newton. Anche se Newton non era fautore della luce come fenomeno
ondulatorio. Metodo per verificare l’accuratezza di lavorazione di una
lente sferica: essi sono regolari solo se R è costante. Una zona chiara
diventa scura se lo spessore localmente varia di /4 (140 nm per luce
gialla).
Esempio
In un dispositivo di Young la distanza tra le due frange di ordine m = 5 e
m = -5 è Δx1= 12 mm quando λ1 = 0.6 µm mentre è Δx2= 8 mm con una
lunghezza d’onda λ2 ; calcolare λ2 ; si ha: x (m = 5) = 5 λ1 L/d e x (m = 5) = - 5 λ1 L/d si ha: x1  101L ; x2  102 L 2  1 x2  2 1  0.4m
d
d
x1
3
Misura relativa di lunghezza d’onda. (non molto precisa)
Esempio
In un dispositivo di Young si osserva che la distanza tra due frange di
ordine m = 5 e m = -5 è Δx = 4 mm quando si è in aria (n = 1) mentre
vale Δxn= 3 mm quando l’esperimento viene eseguito nell’acqua.
Calcolare l’indice di rifrazione dell’acqua: si ha che le posizioni delle
frange dipendono dalla λ del mezzo in cui si propaga la luce. Le
posizioni delle frange in aria (λ0 ) e nell’acqua (λ = λ0/n) sono:
Aria
x
x  10
0 L
d
0 L
d
m
Acqua
xn  10
0 L
nd
x
0 L
nd
da cui
m = 0, 1, 2.. Per cui:
m
n
x 4
  1.33
xn 3
L’effetto dell’acqua è di addensare le frange perché la lunghezza d’onda
in acqua è ¾ rispetto alla lunghezza d’onda nell’aria (contrazione).
Esempio
Un dispositivo di Young ( d = 0.2 mm; L = 40 cm, n = 1) è illuminato
con luce naturale nella quale sono contenute approssimativamente con la
stessa intensità tutte le  da R = 700 nm (rosso) a V = 400 nm
(violetto). Sullo schermo in corrispondenza dell’asse si osserva una
frangia bianca ai lati della quale vi è una successione di frange colorate:
Descrivere la formazione di queste frange:
La frangia centrale è bianca perché per m = 0 non vi è dipendenza da .
Invece gli altri massimi dipendono da . Precisamente si trova prima il
massimo di ordine m = 1 per la  più corta ( violetto ) e via via gli altri
fino al rosso. Ad es.
V = 400 nm
G = 550 nm
R = 700 nm
xmax = 0.8, 1.6, 2.4,.. IV/4I1 = cos2(3.93 x)
xmax = 1.1, 2.2, 3.3,.. IG/4I1 = cos2(2.86 x)
xmax = 1.4, 2.8, 4.2,.. IR/4I1 = cos2(2.24 x)
x in mm
Nella figura sono mostrate le intensità relative per le lunghezze d’onda
R e V che stanno agli estremi della banda visibile.
La colorazione dopo la banda centrale è ottenuta per sottrazione: appena
fuori dal centro le  più corte sono le prime a passare dall’interferenza
costruttiva a quella distruttiva ed il relativo colore diminuisce fino a
scomparire per poi ricomparire mentre lo stesso fenomeno si ripete per
altre ; quindi in uno stesso punto vengono a mancare dalla luce bianca
alcune  che interferiscono in modo più distruttivo che altre. La
successione dei colori: successione di Newton è : si passa dal bianco al
marrone chiaro, rosso, blu, verde, arancione, rosso, violetto, verde,
violetto.
Esempio
In un dispositivo per osservare gli anelli di Newton il raggio della lente è
R = 5 m, il diametro della lente è D = 20 mm, la λ = 0.689 m. Calcolare
il raggio degli anelli chiari e scuri ed il loro numero. Cosa succede se
l’intercapedine è riempita di acqua ( n = 1.33)?
R
2m  1  1.31 2m  1 mm  1.31,2.27,2.93,3.47...mm
Anelli chiari: r 
2
Anelli scuri r  R m'  1.86 m' mm  0, 1.86, 2.63, 3.22, 3.72,...mm
Per calcolare il numero degli anelli:
D
 1.31 2m  1  m  28.6
2
D
 1.86 m'  m'  28.9
2
29 anelli chiari
28 anelli scuri oltre il centro
Quando la lamina è d’acqua nelle formule bisogna sostituire λ con λ/n: i
raggi degli anelli diminuiscono ed il loro numero aumenta. Si ha:
r  1.14 2m  1 mm
numero totale 39
r  1.61 m' mm
numero totale 38
Strati antiriflessi
Nelle celle di Silicio adoperate come celle solari si ha n2 = 3.5 e vengono
ricoperte con uno strato di SiO avente n3 = 1.45 per rendere minime le
perdite per riflessione. Calcolare lo spessore minimo d dell’ossido in
grado di minimizzare la perdita per riflessione alla λg = 550 nm cioè al
massimo dell’emissione solare.
La riflessione della luce alla prima
superficie n1<n2 avviene nelle stesse
condizioni della seconda n2<n3: entrambe le
onde sono sfasate di : Ora si avrà interferenza distruttiva quando
Un’analisi quantitativa permette di stabilire

0.55
d

 0.095μm
che per le lunghezze d’onda della luce
4n 3 4 1.45
solare la percentuale di luce trasmessa passa da 69% in assenza della
lamina AR al 94.8% con la lamina. Quindi il trattamento antiriflessi
aumenta l’efficienza della cella solare.
Sulle lenti in vetro degli obiettivi per fotografia e cinema viene
depositato MgF2, n3 = 1.38. Lo spessore minimo per aumentare la
trasmissione della luce è
0.55
d
4 1.38
 0.1m
Fissato d l’energia riflessa varia con la lunghezza d’onda, aumentando al
diminuire di λ: la colorazione della lente appare bluastra. Per lo stesso
motivo gli occhiali da vista quando sono un po’ unti appaiono violacei.
Calcolare lo spessore minimo d di una bolla di sapone per avere
interferenza costruttiva quando è illuminata con lunghezza d’onda λ =
0.585 m. Per tale spessore con quale lunghezza d’onda visibile si ha
interferenza distruttiva?
La bolla ha indice n = 1.33 da d = ( 2m + 1)λ/4n con m = 0 si ha: d =
λ/4n = 0.11 m:
Dalla d = ( m + 1) λ/2n con m = 0 si ha: λ = 2nd = 0.293 m e quindi
non vi è alcuna soluzione nel visibile.