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Linee e
superfici
: le forme e le forze
sommario
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Classificazione proiettiva delle quadriche
Proprietà meccaniche delle curve e delle
superficie
Rassegna morfologica per generazione
meccanica delle curve
Categorizzazione delle curve
Esercizio sulle superfici di Lamé
QUADRICHE
3. Trasformazioni omografiche della sfera
PUNTO ELLITTICO
ellissonide
paraboloidi
4. Trasformazione omografica della
superficie conica rotonda
PUNTO
PARABOLICO
P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)
F. Dischinger:
Copertura del mercato di Lipsia (1929
Mole antonelliana
a Torino
(1863-80)
5. iperboloidi
PUNTO
IPERBOLICO
DIREZIONE ASINTOTICA
Paraboloide iperbolico:
sezioni parabolociche
Paraboloide iperbolico:
sezioni iperboliche
Paraboloide iperbolico
come superficie rigata
Iperboloide a una falda
V. Choukhov:
Torre radio a Mosca
(1922),...........
CURVE e SUPERFICIE 3
Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;
superfici di rivoluzione a sezione meridiana
variabile
Curve e superficie d’ordine superiore una
breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura
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Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e
senso palastico della variabilità
breve panoramica morfologica
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dalla parabola alle curve di efficiente resistenza
cicloidi e prime curve cinematiche
Concoidali e chiasmiche
Quartiche e toriche
Trascendenti tipiche: spirali
Curve elastiche e parametriche
Curve di Bezier, B-Spline e NURBS
Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè
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Descrizione delle superfici architettoniche
Esercizio in aula
Ordini delle curve e senso plastico della
variazione di curvatura
Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA:
una rassegna morfologica
Coniche
(Quadratiche)
Cubiche
ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
LE FORME E LE FORZE:
Senso plastico ed efficienza meccanica delle
curve:
Serie
morfologiche
parabola
catenaria
Catenaria
d’ugual
resistenza
Eugene Freyssinet
Hangar di Orly (1923)
sinusoide
Cicloide
di Sturm
lintearia
kappa
Curva di
Schoute
a forma di
punta di matita
qui ottenuta come inversione
biassiale dell’iperbole
Curva di
Agnesi
Grafico della funzione
Inversa del coseno
iperbolico
Cubica di Lamé
Curva di
Gauss
strofoide
Folium di
Cartesio
Trisettrice di
MacLaurin
Qui costruita come intersezione di
due rette che ruotano
costantemente una alla velocità
tripla dell’altra
Cubica circolare
razionale
cissoide
Cissoide come
curva mediana
della retta del
circolo
Cubiche di
Chasles
Iperboli
cubiche
(P è un polinmio di terzo
grado)
Parabole
(cubiche)
divergenti
Quartica
razionale
piriforme
.
Curva a
“lacrima”
Lemniscata
di Bermouilli
Lemniscata
di Gerono
Quartiche bicircolari
razionali
Lumaca di
Pascal
Cardioide
Qui costruita come pericicloide
.
Quartiche di
Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche
e
toriche
Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate
di Booth
e Ippopede di
Proclo
Costruzioni cinematiche (come curve
di Watt) delle curve di Booth come
luoghi del centro di una conica che
ruota senza scivolare su una a lei
uguale e con i vertici coincidenti
Quartiche
di Plücker
Trascendenti tipiche: le spirali
Spirale
logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
Spirale
d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale
iperbolica
Involuta del
circolo
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Le involute di una data curva
piana C sono le curve
(inviluppo) tracciate
dall’estremo di un filo teso
lungo C e srotolato da
C;detto altrimenti sono le
tracce nel piano di un punto
d’una retta ruotante senza
scivolare su C (sono dunque
dei casi particolari di cicloidi).
Una qualunque curva della
quale un’altra curva C è
l’evoluta si dice Evolvente di
C (quì il circolo è l’Evolvente).
Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)
Curve elastiche e parametriche
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Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da
una curva detta direttrice
curve (di approssimazione) di Bézier
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curva di approssimazione ottenuta come
interpolazione di punti di controllo che non
passa attraverso i punti che interpola (tranne
il primo e dell’ultimo).
L’ordine di una curva di Bézier è sempre
uguale al numero dei punti di controllo. (una
curva di Bézier di ordine 9 si costruice con
un polinomio è di ottavo grado).
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Come per Euclide la retta è quella
curva che coincide con ogni sua
tangente (la curva è una retta se e
solo se tutti i “punti di controllo”
giacciono sulla curva) così nelle
curve parametriche di Bézier la curva
è una retta se e solo se i punti di
controllo sono collineari.
Una curva quadratica di Bézier si
costruisce assegnando i punti
intermedi Q0 e Q1
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al variare di t da 0 a 1 il punto Q0
varia da P0 to P1 e descrive una
curva lineare di Bézier.
Il punto Q1 varia da P1 to P2 e
descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e
descrive una curva quadratica di
Bézier.
tragitto di B(t) da P0 a P1.
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La curva è tangente ai due capi è tangente al
primo e all’ultimo tratto della spezzata di
controllo
È tutta all’interno di un poligono convesso
che racchiude la spezzata
Curve di approssimazione (B-spline)
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Una generalizzazione delle dalle curve di
Bézier sono le curve formate da più tratti di
ordine uguale ma anche minore del numero
p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine
della curva può variare tra n (in questo caso
sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo
caso degenera nella spezzata di controllo).
la curva passa per il primo e l’ultimo vertice
evendone per tangenti rispettivamente il
primo e l’ultimo tratto della spezzata di
controllo.
Non Uniform Rational B-spline
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sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi
ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di
NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti
eguali).
Le NURBS (come le Spline) sono composta da più
archi ma la continuità tra questi è regolabile da un
numero intero:
se = 0 gli archi sono semplicemente contigui
se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la
medesima tangente nel punto di saldatura
se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la
medesima tangente e hanno la medesima
curvatura nel punto di saldatura.
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I parametri che modellano una NURBS sono
dunque:
- il numero dei poli o punti di controllo e il loro
peso;
- il numero degli archi o spans che
compongono la curva;
- la continuità tra gli archi nei punti di
saldatura (knots);
- il grado (ordine) della curva.
La categorizzazione comune delle curve
Curve di Lamè
Curve e Superfici di Lamè
Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo
un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo
un’omotetia con centro sull’asse
Test finale in aula
si disegni in un sistema assonometrico a
piacere il superelissoide di Lamé scelto
(nella tabella proiettata successivamente) a
seconda delle ultime due cifre nel proprio
numero di matricola: le sezioni orizzontali
siano della forma corrispondente alla
penultima cifra del numero di matricola; le
sezioni meridiane siano della forma
corrispondente all’ultima cifra del numero di
matricola.
Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo
un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo
un’omotetia con centro sull’asse