LE EQUAZIONI
DI PRIMO
GRADO
Progetto
DIGISCUOLA
Autore:
Prof. Antonio Scarpa
IL PAPIRO DI AHMES
Il Papiro di Ahmes è il primo documento con un problema la cui soluzione richiede
un'equazione di primo grado esso si trova su un papiro egiziano del 1700 a.C. circa, ed è
conservato al British Museum di Londra.
L'incognita viene indicata con il termine “mucchio”.
Papiro di Ahmes, problema numero 25.
Qual è il valore del mucchio, se il mucchio sommato alla sua metà diventa 16?
DEFINIZIONE DI EQUAZIONE
Un'equazione è un'uguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si cercano i valori
da attribuire a una o più lettere che rendono vera l'uguaglianza.
ESEMPIO
3x-5=2x-4
Che è verificata per x=1
Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri
dell'equazione; quella a sinistra è il primo membro, quella a destra il secondo membro.
Le lettere per le quali si cercano i valori che rendono vera l'uguaglianza, sono dette incognite
dell'equazione.
LE SOLUZIONI DI UN'EQUAZIONE
I valori che rendono vera l'uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell'equazione. Si
può anche dire che tali valori «verificano» (o anche «soddisfano») l'equazione.
ESEMPIO Un’equazione x-5=3 ha per soluzione 8, perché 8-5=3.
Diciamo che la soluzione è x=8.
Risolvere un'equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che
verificano l'uguaglianza. Tali valori costituiscono l'insieme delle soluzioni dell'equazione.
EQUAZIONI EQUIVALENTI
Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso
insieme di soluzioni.
Per esempio:
6x-2=0
è equivalente a
6x=2.
Per risolvere un'equazione cercheremo di trasformarla in equazioni equivalenti, via via più
semplici, fino a giungere a un'equazione in cui sia immediato trovare l'insieme delle soluzioni.
Le regole di trasformazione di un'equazione in altre equazioni a essa equivalenti sono stabilite
dai principi di equivalenza.
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Data un'equazione, se si aggiunge ai due membri uno stesso numero o una stessa
espressione, si ottiene un'equazione equivalente.
ESEMPIO
Consideriamo l'equazione 3x = 6 che ha come soluzione x = 2.
Aggiungiamo a entrambi i membri 4 e otteniamo 2x + 4 = 6 + 4, ossia 2x + 4 = 10.
La soluzione di questa equazione è x = 2, quindi è equivalente a quella data.
LE APPLICAZIONI DEL PRIMO PRINCIPIO
REGOLA DEL TRASPORTO
Data un'equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro
all'altro, cambiandolo di segno
REGOLA DI CANCELLAZIONE
Termini uguali presenti in entrambi i membri di un'equazione possono essere soppressi,
ottenendo un'equazione equivalente.
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Data un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente se si moltiplicano o si dividono i
due membri per uno stesso numero, o espressione, diverso da 0.
LE APPLICAZIONI DEL SECONDO PRINCIPIO
LA DIVISIONE PER UN FATTORE COMUNE DIVERSO DA ZERO
Se tutti i termini di un'equazione hanno un fattore numerico comune (diverso da 0), si
ottiene un'equazione equivalente dividendo tutti i termini per quel fattore.
IL CAMBIAMENTO DI SEGNO
Cambiando segno a tutti i termini di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.
LE EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI
Data un'equazione numerica nella forma: ax = b,