SUCCESSIONI NUMERICHE
Prof. V. Scaccianoce
DEFINIZIONE:
Una successione è una funzione
che ad ogni numero naturale n
associa un numero reale an
s:N ®R
"n Î N ® an Î R
Prof. V. Scaccianoce
Una successione può essere definita con una
espressione analitica fornendo il suo termine generale
Oppure con una formula ricorsiva
Prof. V. Scaccianoce
ì n -1ü
an = í
ý
î n +1þ
ìï
a0 = 1
í
ïî an = 2an-1 +1
Una successione può avere carattere:
ì CONVERGERTE
ï
í DIVERGENTE
ï IRREGOLARE
î
Prof. V. Scaccianoce
ì n -1ü
an = í
ý
î n +1þ
ì1- n 2 ü
an = í
ý
î n þ
{
an = (-1)
n
}
•
Dimostriamo che
ì n -1ü
an = í
ý
î n +1þ

1
n -1
lim
=1
n®¥ n +1
Prof. V. Scaccianoce
Cioè che
•
Dimostriamo che
ì1- n 2 ü
an = í
ý
î n þ
¥
Cioè che
1- n
lim
=¥
n®¥
n
2
Prof. V. Scaccianoce
Dimostriamo che
{
an = (-1)
n
}
è irregolare
Cioè che
lim (-1) =
n
n®¥
Prof. V. Scaccianoce
Non esiste
Due particolari tipi di successioni:
• Le progressioni aritmetiche
• Le progressioni geometriche
Prof. V. Scaccianoce
Una successione in cui
an - an-1 = d
si dice
costante di nome “ragione”
progressione aritmetica e si ha
d > 0 ® lim an = +¥
n®¥
d < 0 ® lim an = -¥
n®¥
d = 0 ® lim an = a1
n®¥
Prof. V. Scaccianoce
Una successione in cui
an
=q
an-1
si dice
Prof. V. Scaccianoce
costante di nome “ragione”
progressione geometrica
e si ha:
q £ -1 ® irregolare
{
-1 < q < 1 ® lim an = 0
{
n®¥
q = 1 ® lim an = a1
n®¥
}
{
q > 1Ù a < 1 ® { lim a
}
}
= -¥}
q > 1Ù a1 > 1 ® lim an = +¥
n®¥
1
Prof. V. Scaccianoce
n®¥
n
UNA SUCCESSIONE FAMOSA
ìïæ 1 ön üï
an = íç1+ ÷ ý ®® e
ïîè n ø ïþ