RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA SISTEMA NON SMORZATO
Forza impressa
posizione di
equilibrio
statico x(t)=0
k
F t   F0 sin  t
equaz. del moto:
x(t)
F 0sint
m
kx
mg
..
mx
F 0sint
mxt   kxt   F0 sin t
N
F0
F0 k
X

2
k  m 1  r 2
per
x0  0
x0  0

r

rapporto
di frequenza
F0 k
sin  t  r sin t 
xt  
2
1 r
La risposta è la sovrapposizione di due termini armonici di
differenti frequenze: moto non armonico.
frequenza della forzante vicina alla frequenza naturale del sistema:
 
r1,
F0 k
  
xt  
 2  sin 
t  cos  t
2
1 r
 2 
x(t)
2p/
BATTIMENTI:
t
4p/||
frequenza della forzante uguale alla frequenza naturale del
sistema,    , r=1
F0
xt     t cos  t
2k
RISONANZA: oscillazione
armonica la cui ampiezza
aumenta gradualmente fino
all'infinito
x(t)
2p/
t
RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA SISTEMA SMORZATO
equaz. del moto:
mxt   cxt   kxt   F0 sin t

 c  2m

c  ccr 
per il sistema sottosmorzato

r 

F0 k
xt   e t  A cos D t  B sin D t  
sin  t  
2

2
2
1

r
 2r 
risposta transitor ia

risposta permanente


La presenza del fattore esponenziale fa sparire rapidamente la parte
transitoria cosicché il moto rimane descritto dalla sola risposta permanente:
f t   F0 sin t
xt  
f t   F0 cos t
xt  
F0 k
1  r   2r 
2 2
2
F0 k
1  r   2r 
2 2
2
sin  t  
2r
tan  
1 r 2
cos t  
tan  
2r
1 r 2
Le precedenti possono essere scritte, rispettivamente:
xt   F0  H ω   sin ω t  θ 
2r
tan  
1 r 2
xt   F0  H ω   cosω t  θ 
2r
tan  
1 r 2
in cui
1
H ( ) 
m2
1
 
1  2
 

2
2
   2
   2 
  

funzione di risposta in frequenza
o
funzione di trasferimento
F0
xst 
k
X
deflessione statica del sistema su cui agisce la F0 statica
F0 k
1  r   2r 
2 2
2
ampiezza della risposta dinamica
"FATTORE DI AMPLIFICAZIONE DINAMICA": rapporto fra
l’ampiezza della vibrazione e la corrispondente deflessione statica
X
D

xst
D e tan 
1
1  r   2r
variano con  ed r.
2 2
2
Ascissa del picco (derivando rispetto ad r e ponendo = 0): r  1  2  2
Il picco si verifica per r<1; per

1
 0, 7
2
non c'è picco.
Per sistemi leggermente smorzati, l'ampiezza max si verifica per r  1.
Alla risonanza (r  1):
1
Dr  1 
2
  90
per qualsiasi 
4
D
=0
0,15
fattore di amplificazione
in funzione di r per diversi
valori di 
3
2
0,25
=0,4
=0,7
1
1
4
0
0
1
2
r
3
per = 0 e r = 1, D diventa infinitamente grande, cioè il moto si
amplifica indefinitamente (RISONANZA)
per r grande, cioè per    , risulta D<<1, cioè il sistema non
risente praticamente dell’effetto di forzanti con pulsazione
relativa,  , elevata.

180
=0

=0,1
0,4
2
4
90
4
2
=0
0
0
1
2
angolo di fase in funzione
di r per diversi valori di 
r
3
FORZA TRASMESSA ALLA FONDAZIONE
oscillatore smorzato soggetto ad una forza armonica f t   F0 sen  t
risposta per lo stato permanente:
xt   X sin ω t  θ 
X
F0 k
1  r   2ξr 
2 2
2
2ξr
tan θ 
1 r 2
La forza trasmessa al sostegno attraverso la molla è
e attraverso l’elemento smorzante è
kx
cx
forza totale trasmessa al sostegno: fT  kx  cx
sostituendo, si ottiene:
fT  X k  c  sin  t    
2
2
2
c
tan  
 2r
k
valore massimo della forza trasmessa alla base:
1  2r 
2
FT  F0
1  r   2r 
2 2
2
TRASMISSIBILITÀ Tr : rapporto tra la forza trasmessa
alla base e l’ampiezza della forza applicata:
FT
Tr 

F0
1  2r 
2
1  r   2r 
2 2
2
espressione utile, ad esempio, in problemi di isolamento dalle
vibrazioni prodotte da motori
4
Tr
=0,05
0,15
3
2
0,25
=0,5
=1
1
0
0
1
2
r
3
Per massimizzare l’isolamento si può intervenire sia sullo
smorzamento che sulla frequenza propria dell’oscillatore (r
grande perciò  piccolo, ovvero k piccolo e/o m grande). Si nota
che lo smorzamento tende a ridurre l’efficacia dell’isolamento
dalle vibrazioni per frequenze corrispondenti a r  2 .
Determinazione sperimentale delle caratteristiche
dinamiche:
2 - METODO DELLE OSCILLAZIONI FORZATE
Tecnica basata sull'osservazione delle risposte per lo stato
permanente ad eccitazioni armoniche in un campo di frequenze
prossimo alla risonanza.
Si applica una forzante armonica e si traccia la curva di risposta
rilevando le ampiezze di spostamento in funzione della frequenza.
E’ utile tracciare anche il grafico dell’angolo di fase in funzione
della frequenza.
L’ampiezza della risposta raggiunge il valore max in prossimità
della risonanza. Si commettono errori trascurabili se si confonde
l’ampiezza massima con l’ampiezza relativa ad r=1.
In corrispondenza del
massimo della risposta, si
può quindi valutare ,
frequenza naturale
dell’oscillatore.
 si può ricavare anche
dal grafico dell’angolo di
fase, in corrispondenza di
90°.
Ampiezza di risposta
200
picco
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1,5
1,7
1,9
f
2,1
2,3
frequenza di eccitazione
2,5
Metodo dell'ampiezza di banda (mezza-forza) per la valutazione
dello smorzamento
La forma delle curve di risposta è controllata dallo smorzamento,
cioè le curve sono tanto più strette quanto minore è lo smorzamento.
La "ampiezza di banda", differenza fra due frequenze che
corrispondono allo stesso valore di risposta, è correlata al valore
dello smorzamento.
Conviene misurare la larghezza di banda a 1 2 del picco della
curva; le frequenze corrispondenti vengono chiamate "punti di
mezza forza", f1 ed f2 .
Analiticamente, i valori di f1 ed f2 si determinano ponendo la risposta uguale a
Per l'ampiezza di risonanza:
1  r   2r 
2 2
2
2
250
Ampiezza di risposta
xst
1
1 xst

2 2
picco
200
150
1/√2 picco
r 2  1  2 2  2 1   2  1  2 2  2
r12  1  22  2

r1  1    2
r22  1  22  2

r2  1    2
100
50
0
1,5
1,7
1,9
f1
f2
2,1
Sottraendo la prima dalla seconda delle precedenti, si ottiene:

1
r2  r1   1 2  1  1 f 2  f1
2
2 
2 f
Per la simmetria della curva di risposta:
Infine, si ha:
f 2  f1

f 2  f1
2,3
frequenza di eccitazione


f

f 
 r1  1  1 ; r2  2  2 

f

f 

f f
f  1 2
2
2,5