Corso di Costruzioni in
Zona Sismica
Università degli Studi di Cassino
e del Lazio Meridionale
Ernesto Grande
[email protected]
+39.0776.299.3478
Earthquake Engineering
Lecture 5
 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in
assenza di smorzamento
Forzante armonica e periodica
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
È un orblema classico della dinamica strutturale:
 È una tipologia di eccitazione caratterizzante vari sistemi dell’ingegneria
 Lo studio è importante in quanto fa capire la risposta della struttura
anche nei confronti di altri tipi di eccitazione
 Ha applicazioni utili nel campo dell’ingegneria strutturale
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Forzante armonica: p(t)=p0 sin(wt) or p(t)=p0 cos(wt)
dove:
p0: ampiezza
w: frequenza circolare della forzante
T=2p/w : periodo della forzante
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
posto: p(t)=p0 sin(wt)
L’equazione del moto diviene:
Sempre introducendo le condizioni iniziali all’istante di tempo in cui la forza
è applicata:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
La soluzione particolare e quella complementare dell’equazione del moto
sono:
Pulsazione
naturale
Dipendono dalle
condizioni iniziali
u (t  0)  u (0)
u (0)
u (t  0) 
n
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
La soluzione, somma di quella particolare e di quella generale:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Plottando la risposta totale e quella
stazionaria:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
u(t) contiene due componenti:
sin(t) dà luogo a oscillazioni con pulsazione della forzante→ vibrazione forzata o
stazionari dovuta alla forza applicata ma non dipende dalla condizioni iniziali
sin(nt) e cos(nt) dà luogo a oscillazioni nella pulsazione naturale → vibrazione
transiente dipende dalle condizioni iniziali
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
In questo caso il moto esiste anche in assenza di condizioni iniziali:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Nota:
La parte stazionaria è quella più importante nei sistemi reali caratterizzati
dalla presenza di smorzamento.
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Considerando la parte stazionaria è possibile osservare che:
Trascurando l’effetto dinamico :
Che assume il massimo valore pari a:
(spost. statico)
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Conseguentemente la parte stazionaria è:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
osservazioni:
 per /n<1 o <n, lo spostamento è in fase
con la forza applicata: u(t) e p(t) hanno lo
stesso segno; quando la forza agisce verso
destra il sistema si sposta a destra.
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Osservazioni:
 per/n>1 o >n, lo spostamento è fuori fase
rispetto la forza applicata: u(t) e p(t) hanno
segno opposto; quando la forza agisce verso
destra lo spostamento avviene verso sinistra.
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
In accordo a queste osservazioni può essere introdotto l’angolo di fase:
where:
Fattore di risposta
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Osservazioni:
Se /n è piccolo (la forza varia lentamente), Rd è
prossimo a 1 e l’ampiezza del moto è pari a lo
spostamento statico massimo.
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Osservazioni:
Se /n >2^0.5 Rd<1 e l’ampiezza dello
spostamento è minore di quello statico.
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Osservazioni:
se /n aumenta oltre 2^0.5, Rd diventa piccolo e
si va via via annullandosi quando /n→.
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Osservazioni:
se /n circa pari a 1,  è circa to n si ha che
l’ampiezza dello spostamento è molto più grande
di quello statico.
Frequenza di risonanza: la frequenza a cui Rd è
massimo
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Osservazioni:
Per un sistema non smorzato:
 Rd va all’infinito alla frequenza di risonanza
 L’ampiezza del moto cresce gradualmente
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Nel caso =n la soluzione particolare assume la forma seguente:
E la soluzione completa imponendo (u(0)=v(0)=0) è:
oppure:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
Il tempo per effettuare un ciclo completo è Tn
In ogni ciclo l’ampiezza aumenta di:
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
L’ampiezza cresce indefinitamente ma dopo un tempo infinito
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
problema
Solution:
m=0.0167 lb-sec2/in; k=10.55 lb/in; n=25.13 rad/sec
Lezione 5

Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di
smorzamento – forzante armonica
m=0.0167 lb-sec2/in; k=10.55 lb/in; n=25.13 rad/sec
P(t)=1 sin(1 t)
(by using Maple)
Lezione 5
Sistema
a un GdL:
Vibrazioni forzate smorzate:
Forza armonica
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
In questo caso l’equaione differenziale che governa il moto è:
E considerando le condizioni iniziali:
La soluzione particolare:
Dove le costanti C e D sono:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
La soluzione complementare (vibrazioni libere):
dove:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
La soluzione completa:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
La parte transiente si riduce esponenzialmente col tempo di una quantità
dipendente da /n e da .
Dopo un certo tempo rimane solo la parte forzata che viene appunto detta
stazionaria.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Risposta per =n
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Risposta per =n
zero initial conditions
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Risposta per =n
Soluzione dell’equazione del moto
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Risposta per =n
Lo smorzamento riduce i picchi e dà luogo ad un valore limite a cui tende
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Risposta per=n
per strutture con basso smorz. nzD
Lo spostamento varia col tempo in modo cosinusoidale
L’ampiezza aumenta col tempo secondo la funzione inviluppo
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
MASSIMO SPOSTAMENTO
Lo spostamento stazionario dovuto alla forza armonica
Può essere scritta come:
dove:
e sostituendo:
Lezione 5
Plottata per un fissato valore  e per
differenti rapporti /n considerando le
due componenti: statica e dinamica.
dove:
P0
k
P
ust (t )  0 sin(t )
k
(ust )0 
Il moto stazionario presenta periodo
, ma con un ritardo =/2.
 Angolo di fase o di ritardo
Lezione 5
Lecture 5
Frequency response curve
notes:
 tutte le curve sono al di sotto del caso
=0: lo smorzamento riduce Rd e
quindi l’ampiezza del moto a tutte le
frequenze.
 La riduzione dipende dalla frequenza
della forzante
Lecture 5
/n
Se  è molto più piccolo di n, ovvero la forzante varia lentamente, Rd è circa pari ad
1 e indipendente dallo smorzamento
la risposta è essenzialmente la stessa di quella statica ed è controllata dalla
rigidezza del sistema.
Lezione 5
/n
Se  è molto più grande di n, ovvero la forzante varia rapidamente, Rd tende a zero
ed è indipendente dallo smorzamento
La risposta è controllata dalla massa del sistema
Lezione 5
/n
La risposta è controllata dallo smorzamento del
sistema
Se  è circa pari a n, Rd è molto sensibile allo smorzamento e per valori piccoli
dello smorzamento Rd può essere molto maggiore di 1. Se =n si ha:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
FATTORI DI RISPOSTA DINAMICA
È possibile definire i fattori di risposta in termini di spostamento, velocità e
accelerazione (quantità adimensionali che danno informazioni sull’ampiezza del
moto).
Rd: fattore di risposta di spostamento – il rapporto tra l’ampiezza dello
spostamento uo della risposta dinamica e lo spostamento statico (ust)o.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Rv: fattore di risposta della velocità
Ra: fattore di risposta dell’accelerazione
Lezione 5
Note:
Rd
È uno se /n=0,
picco /n=1
va a zero se /nYh
Lezione 5
Note:
Rv
È zero se /n=0,
Massimo quando /n=1
Va a zero quando /nYh
Lezione 5
Note:
Ra
È zero se /n=0,
massimo /n=1
Diventa 1 /nYh
Lezione 5
Consente di rappresentare tutti e tre i fattori di
risposta in un grafico
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
FREQUENZE DI RISONANZA
La frequenza di risonanza è definita come la frequenza della forzante in
corrispondenza della quale si ha il massimo valore dello spostamento, velocità,
accelerazione.
Possono essere dedotti settando a zero la derivata di Rd, Rv, Ra rispetto a /n.
Nel caso di sistema non smorzato le tre frequenze di risonanza sono uguali e
pari a n.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
FREQUENZE DI RISONANZA
Se nei fattori di risposta sostituiamo a posto di  proprio il valore della frequenza
di risonanza:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
FREQUENZE DI RISONANZA
Se a e b sono le frequenze a cui
corrisponde che l’ampiezza u0 è 1/S2 volte
l’ampiezza di risonanza, per piccoli valori di
 è possibile mostrare che:
È possibile trovare lo smorzamento senza
conoscere la forzante.
Lezione 5
Sistema
Ottenuta da un test
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
esempio
Il telaio in figura è montato su una tavola vibrante e si eseguono delle prove dinamiche
imponendo un moto con legge armonica e variando la frequenza del moto. Ad ogni frequenza
dell’eccitazione viene misurato il picco di accelerazione della tavola vibrante e del telaio
plottando il rapporto tra i due (TR). Determinare la frequenza naturale e il rapporto di
smorzamento.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
 È piccolo: fD=fn
peak  fn  3.59Hz  TR  12.8
half  power band 
1
2
TR  9.05
 f a  3.44 Hz
 fb  3.74 Hz
1 3.74  3.44
 4.2%
2
3.59
damping :   
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Energia dissipata a causa dello smorzamento viscoso
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Considerando la risposta stazionaria nel caso sempre di forzante armonica
p(t)=p0 sint
Energia dissipata dallo smorzamento viscoso in un ciclo:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
E D  2

ku02
n
Note:
L’energia dissipata è proporzionale al
quadrato dell’ampiezza del moto
L’energia dissipata non è costante per un
dato valore di smorzamento e ampiezza:
aumenta linearmente con la frequenza di
eccitazione
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Energia in ingresso per ogni ciclo:
Note:
L’energia in ingresso è proporzionale all’ampiezza dello spostamento
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Energia in ingresso per ogni ciclo:
Utilizzando la def. di angolo di fase
Note:
Nella parte stazionaria l’energia in ingresso è dissipata dallo smorzamento
viscoso
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
E l’energia potenziale e cinetica??
Note:
Su ogni ciclo di vibrazione armonica la variazione di energia potenziale e
cinetica è nulla
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Interpretazione grafica dell’energia dissipata tramite smorzamento viscoso.
(equazione dell’ellisse)
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Curva fD-u ha la forma di un ciclo detto ciclo isteretico
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Area chiusa dal ciclo isteretico
È proprio l’energia dissipata
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
L’energia totale (elastica più smorzamento) è la forza resistente misurata in
una prova:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
L’energia dissipata è sempre l’area
dell’ellisse in quanto l’energia dissipata dalla
forza elastica è nulla.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
 Il ciclo isteretico associato allo smorzamento viscoso è il risultato di
un’isteresi dinamica poichè relativo alla natura dinamica del carico.
 L’area del ciclo è proporzionale alla frequenza di eccitazione: la curva
forza-deformazione è una curva a singolo valore non un ciclo se il
carico ciclico è applicato lentamente (=0)
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Misura dello smorzamento
 Capacità specifica di smorzamento ED/ES0: è la porzione di energia di
deformazione (Es0=ku02/2) che è dissipata in ogni ciclo.
 Fattore di smorzamento specifico
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
La definizione più semplice di smorzamento viscoso equivalente è basata
sulla misura della risposta di un sistema soggetto ad una forzante
armonica di frequenza  uguale alla frequenza naturale del sistema n.
Questo è lo smorzamento viscoso equivalente in quanto tiene conto di
tutti i meccanismi di dissipazione esibiti dalla struttura durante la
prova.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
Un’altra definizione dello smorzamento viscoso equivalente è
l’ammontare dello smorzamento che dà luogo alla stessa ampiezza di
banda
della curva di risposta in frequenza ottenuta nella
sperimentazione.
Il rapporto di smorzamento eq è calcolato utilizzando le frequenze di
eccitazione fa, fb, fn ottenute sperimentalmente dalla curva.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
Il metodo più comune per definire lo
smorzamento viscoso equivalente è
quello
di
eguagliare
l’energia
dissipata dalla struttura reale e da
quella con smorzamento viscoso.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
a) Viene dedotta la relazione forzaspostamento
ottenuta
dalla
sperimentazione sotto un carico
ciclico con ampiezza u0
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
a) L’energia
dissipata
dalla
struttura reale è data dall’area
ED racchiusa dal ciclo isteretico
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
a)
Eguagliando questa energia all’energia
dissipata in modo puramente viscoso
Es 0 
1
k  u02
2
ED  2

k  u02
n
uguagliando l'energia dissipata dalla struttura reale E D
con quella dissipata dallo smorzatore viscoso E D , si
ottiene il valore dello smorzamento equivalente:
E D  ED  E D  2 eq
 eq 
ED
1
1


4  /  n Es 0


2E
k  u02  2 eq
n s 0
n
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate smorzate:
FORZANTE ARMONICA
Smorzamento viscoso equivalente
La prova sperimentale fornendo la
curva forza deformazione e quindi
ED dovrebbe essere condotta a =n,
dove la risposta del sistema è più
sensibile allo smorzamento
Lezione 5
Risposta a eccitazione periodica
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate viscose:
forzante periodica
Una forzante periodica implica che l’eccitazione ha avuto atto per un
lungo periodo per il quale la risposta transiente associata alle condizioni
iniziali si sia smorzata.
La risposta di un sistema lineare a una forzante periodica può essere
determinata combinando le risposte dei termini di eccitazione individuate
della serie di Fourier.
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante
periodica
Forzante periodica arbitraria con
periodo Tp.
Forma trigonometrica della serie
di Fourier
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante
periodica
Dove i coefficiente delle ampiezze delle armoniche possono
essere valutati come:
Lezione 5
Sistema
a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante
periodica
Segue dunque banalmente il calcolo della risposta stazionaria
del sistema: