ITC “Da Vinci”
I LIMITI
1. TEOREMI
2. OPERAZIONI
3. FORME INDETERMINATE
Prerequisiti :
- limiti di una funzione
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
TEOREMI
Teorema 1 (dell’unicità del limite)
Se una funzione ammette un limite, in un punto o all’infinito, tale
limite è unico
Teorema 2 (della permanenza del segno)
Quando il limite di una funzione in un punto c è un numero l ≠0,
esiste un intorno H di c in cui la funzione assume lo stesso segno del
limite
l
f(x)
Osservazione 1
Il teorema vale anche se
c = ±
l = ±
x
H
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
c
Teorema 3 (del confronto)
Se f(x), g(x), h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno H
del punto c e risulta:
•f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x
•lim
x c
є
H;
f ( x)  lim h( x)  
x c
allora risulta anche:
l
lim g ( x)  
x c
h(x)
g(x)
Osservazione 1
f(x)
Il teorema vale anche se
c = ±
l
= ±
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
c
OPERAZIONI SUI LIMITI FINITI
lim f  
lim g  m
lim f  
x c
k R
lim k  f  k  
lim f  
0
lim
lim f  
0
1
lim  
x c f
lim f  
lim g  m
lim f  
lim g  m  0
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
lim f  g  l  m
x c
x c
x c
1 1

f 
lim f  g  l  m
x c
f

lim 
x c g
m
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
OPERAZIONI SUI LIMITI INFINITI
SOMMA
lim f  
lim g  m
lim f  g  
lim f  
lim g  
x c
lim f  g  
lim f  
lim g  
lim f  g  
lim f  
lim g  
forma
indeterminata
lim f  
lim g  
forma
indeterminata
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
OPERAZIONI SUI LIMITI INFINITI
PRODOTTO
lim f  
lim g  m  0
lim f  g  
lim f  
lim g  m  0
lim f  g   
lim f  
lim g  0
lim f  
lim g  
x c
lim f  g  
lim f  
lim g  
x c
lim f  g  
lim f  
lim g  
lim f  g  
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
forma
indeterminata
x c
x c
x c
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
LIMITI DI FUNZIONI
5/7
OPERAZIONI SUI LIMITI INFINITI
QUOZIENTE
lim f  
x c
lim f  
lim g  
lim f  
lim g  
lim f  
lim g    0
lim f    0
lim g  0
lim f  0
lim g  0
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
1
lim  0
x c f
f
lim  0
x c g
forma
indeterminata
f
 
x c g
f
lim  
x c g
lim
forma
indeterminata
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"
LIMITI DI FUNZIONI
6/7
FORME INDETERMINATE
In definitiva, non è possibile determinare il limite in alcune delle
operazioni precedentemente descritte
   0


0
0
Per determinare il limite o per dimostrare che il limite non esiste, è
necessario ricorrere ad opportuni accorgimenti
Prof. Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci"