TEOREMI E OPERAZIONI
SUI LIMITI
• TEOREMI
• OPERAZIONI
• FORME INDETERMINATE
TEOREMI
Teorema 1 (dell’unicità del limite)
Se una funzione ammette un limite, in un punto o all’infinito, tale
limite è unico
Teorema 2 (della permanenza del segno)
Quando il limite di una funzione in un punto c è un numero ≠0,
esiste un intorno H di c in cui la funzione assume lo stesso segno del
limite
l
Osservazione
f(x)
Il teorema vale anche se
c = ±
 = ±
x
c
H
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Teorema 3 (del confronto)
Se f(x), g(x), h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso
intorno H del punto c e risulta :
1. f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x
2.
є
H;
lim f ( x)  lim h( x)  
x c
x c
allora risulta anche:
l
lim g ( x)  
x c
Osservazione
Il teorema vale anche se
c=±
l
h(x)
g(x)
f(x)
c
= ±
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OPERAZIONI SUI LIMITI FINITI
lim f  
lim g  m
lim f  
x c
k R
lim k  f  k  
lim f  
0
lim
lim f  
0
1
lim  
x c f
lim f  
lim g  m
lim f  
lim g  m  0
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
lim f  g  l  m
x c
x c
x c
1 1

f 
lim f  g  l  m
x c
f

lim 
x c g
m
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OPERAZIONI SUI LIMITI INFINITI
SOMMA
lim f  
lim g  m
lim f  g  
lim f  
lim g  
x c
lim f  g  
lim f  
lim g  
lim f  g  
lim f  
lim g  
forma
indeterminata
lim f  
lim g  
forma
indeterminata
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
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OPERAZIONI SUI LIMITI INFINITI
PRODOTTO
lim f  
lim g  m  0
lim f  g  
lim f  
lim g  m  0
lim f  g   
lim f  
lim g  0
lim f  
lim g  
x c
lim f  g  
lim f  
lim g  
x c
lim f  g  
lim f  
lim g  
lim f  g  
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
forma
indeterminata
x c
x c
x c
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OPERAZIONI SUI LIMITI INFINITI
QUOZIENTE
lim f  
x c
lim f  
lim g  
lim f  
lim g  
lim f  
lim g    0
lim f    0
lim g  0
lim f  0
lim g  0
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
1
lim  0
x c f
f
lim  0
x c g
forma
indeterminata
f
 
x c g
f
lim  
x c g
lim
forma
indeterminata
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FORME INDETERMINATE
In definitiva, non è possibile determinare il limite in alcune delle
operazioni precedentemente descritte
   0


0
0
Per determinare il limite o per dimostrare che il limite non esiste, è
necessario ricorrere ad opportuni accorgimenti
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