I sistemi di equazioni di I grado
Prof. V. Scaccianoce
Diamo la seguente definizione:
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più
equazioni, tutte nelle stesse incognite, di cui cerchiamo
soluzioni comuni.
L’insieme delle soluzioni di un sistema è formato da
quei valori delle incognite che soddisfano tutte le
equazioni che compongono il sistema.
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Il grado di un sistema di equazioni è il
prodotto dei gradi delle singole equazioni
che vi figurano perciò un sistema si dirà di
primo grado se tutte le equazioni in esso
presenti sono di primo grado
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3
IMPAREREMO A RISOLVERE
SISTEMI DI PRIMO GRADO ESSI SI
CHIAMANO ANCHE
sistemi lineari
Prenderemo in considerazione sistemi di due equazioni in
due incognite
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4
Un sistema lineare ,ridotto a forma
normale, si presenta così:
{
ax+by=c
a1x + b1y = c1
Attento: le incognite sono x e y le altre
lettere che compaiono sono costanti!
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5
COME MAI SI CHIAMANO LINEARI?
Consideriamo il sistema:
?
y=x-1
y = -x + 1
Esso è di primo grado poiché le sue equazioni sono entrambe di primo grado
nelle incognite x e y .
Ciascuna delle due equazioni nel piano cartesiano rappresenta una retta
Disegniamo nel piano cartesiano le due rette : se esse sono incidenti il punto
comune sarà la soluzione del sistema cioè le sue coordinate x e y sono la
coppia di numeri soluzione del sistema.
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6
Tracciamo le due rette che rappresentano
graficamente le equazioni:
s: y = x – 1
e r: y = -x + 1
Per la retta s: y = x -1
y = x-1
r
y =- x +1
s
11
Per la retta r: y = - x +1
P(1;0)
11
-1
Il punto P( 1 ; 0) è la
soluzione grafica del
sistema
Determiniamo due punti:
x
y
0
-1
1
0
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x
y
0
1
1
0
approfondiamo
7
Quante soluzioni ha un
sistema di questo tipo?
Un sistema può avere:
•Una soluzione (x ; y) e in tal caso si dice
determinato;
•Nessuna soluzione e in tal caso si dice
impossibile;
•Infinite soluzioni e in tal caso si dice
indeterminato
Una soluzione si ha quando le rette che
rappresentano le equazioni del sistema
sono incidenti
Il sistema ha
P(x;y)
Una sola soluzione
P(x ; y)
1 punto in
comune
commento
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Nessuna soluzione se le rette che rappresentano le
equazioni del sistema sono parallele e distinte
Il sistema
Non ha soluzione;
Il sistema è
IMPOSSIBILE
Nessun punto in
comune
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Infinite soluzioni se le rette sono parallele e
coincidenti
Il sistema ha
Infinite soluzioni;
Il sistema è
INDETERMINATO
Infiniti punti in
comune
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Molti sono i problemi di varia natura
che possono essere risolti
utilizzando i sistemi lineari.
Consideriamo il seguente…
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Un Hotel possiede camere con vista mare ad un
costo di 120 euro a notte e camere standard ad
un costo di 100 euro a notte. Quando l‘albergo è
al completo, in un solo giorno, l’incasso è di
10.400 euro. Sapendo che l‘albergo ha100
camere in tutto, quante camere con vista ci
sono?
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Costruiamo un modello che rappresenti il problema:
chiamiamo x il numero di camere con vista e y quello delle camere
standard; poiché in tutto sono 100 deve risultare :
• 1) x + y = 100
inoltre l‘incasso di una notte per tutte le camere deve essere 10400
euro perciò:
• 2) 120x+100y= 10400
le due condizioni devono valere entrambe quindi
occorre risolvere il seguente sistema:
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Metodi algebrici
per risolvere
un sistema lineare
Metodo di
sostituzione
Metodo del
confronto
Metodo di
riduzione
o di
eliminazione
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METODO
Di
CRAMER
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Metodo di sostituzione
•Risolviamo il sistema precedente con il metodo
di sostituzione:
 x  y  100

120 x  100 y  10400
•Risolviamo una delle due equazioni rispetto ad
un‘incognita, nell’esempio la prima delle
equazioni è stata risolta rispetto alla x
 x  100  y

120 x  100 y  10400
•Sostituiamo nell’altra equazione l‘espressione
trovata e calcoliamo il valore della y
ì x =100 - y
í
î120(100 - y) +100y =10400
 x  100  y

12000  120 y  100 y  10400
 x  100  y

20 y  1600
•Una volta calcolato il valore di y lo
 x  20
sostituiremo di nuovo nell’equazione

 y  80
esplicitata in x
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 x  100  y

 y  80
18
Ancora un esempio:
3x  4 y  18

x  2 y  4
•
Il sistema è già ridotto a forma
normale
3x  4 y  18

 x  2 y  4
•
Risolviamo rispetto ad una delle
incognite, ad esempio x, una delle
due equazioni
•
Sostituiamo nell’altra equazione la
espressione (-2y+4);
•
risolviamo rispetto all’incognita y
•
Infine, sostituiamo il valore di y
nell’altra equazione.
3(2 y  4)  4 y  18

 x  2 y  4
y  3

 x  2 y  4
y  3
y  3


 x  2(3)  4  x  2
Soluzione: (-2, 3)
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METODO DEL CONFRONTO
Questo metodo consiste nell’ esplicitare
entrambe le equazioni rispetto alla stessa
incognita così da potere uguagliare i
secondi membri. Vediamo un esempio:
Poiché i primi membri sono uguali devono
esserlo anche i secondi membri,
perciò scriviamo e risolviamo l’equazione:
4 x  y  5

x  2 y  8
y5

x

4
 x   2 y  8
y5
 2 y  8  y  5  8 y  32
4
9 y  27  y  3
Sostituiamo:
x  2(3)  8  x  2
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METODO DI RIDUZIONE O
ELIMINAZIONE
Questo metodo si applica quando i
3x  2 y  11 3x  2 y  11
coefficienti di una delle incognite


3x  y  8 sottraggo
3x  y  8
sono uguali o opposti. Se non lo
// 3 y  3
sono bisogna prima renderli uguali o
opposti.
y 1
Il metodo consiste nell’addizionare
o sottrarre membro a membro le
Ripetiamo moltiplicando per
equazioni del sistema.
2 la seconda
Precisamente:
Se i coefficienti dell’incognita da
ì3x + 2y = 11
eliminare sono uguali si sottraggono
í
x3
î6x - 2y = 16
membro a membro le due equazioni;
sommo
........9x + 0 = 27
y 1
Se tali coefficienti sono opposti si
sommano membro a membro le due .............x = 3
equazioni.
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Esempio del metodo di
eliminazione
Se i coefficienti dell’incognita non sono né uguali né opposti
bisogna renderli uguali o opposti, nell’ esempio seguente la
seconda equazione viene moltiplicata per 2 (in generale si fa
in modo da rendere i coefficienti uguali scegliendo il mcm tra
i coefficienti dati)
2 x  y  4

x  3 y  9
2 x  y  4

2  x  3 y  9
sottraggo
2 x  y  4

2 x  6 y  18
 7 y  14
Invece di ripetere
il procedimento
sostituisco il
valore trovato in
una delle due
equazioni date
y  2

 x  3(2)  9
y  2

x  3
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METODO DI CRAMER
Consideriamo il sistema in
forma normale:
ax+by=c
a1 x + b 1 y = c 1
Si chiama determinante del
sistema e si indica con ∆ :
Se il
∆ ≠ 0 il sistema è
∆=
determinato e
procediamo al calcolo di
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altri due determinanti
.
a
b
a1 b1  a  b1  a1  b
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x 
c
b
c1 b1
 c  b1  bc1
e
y 
a
c
a1 c1
 a  c1  c  a1
La soluzione del sistema è:
x
x

e
y
y

Facciamo un esempio:
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24
Questo metodo è
molto semplice e
conviene applicarlo
soprattutto se i
coefficienti del
sistema sono
numeri grandi e i
calcoli si presentano
laboriosi.
2 x  3 y  8

5x  2 y  1
2 3

 2(2)  3(5)  4  15  19
5 2
8 3
x 
 8(2)  3(1)  16  3  19
1 2
2 8
y 
 2  40  38
5 1
 x  19
x

1
  19
 y  38
y

2

 19
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25
8 x  6 y  1

4 x  3 y  12
Facciamo un esempio di
sistema impossibile
8 x  6 y  1


3 y  12
x


4
  3 y  12 
8 4   6 y  1



 x  3 y  12

4
0 y  25


3 y  12
 x  4
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Equazione
impossibile!
Sistema
Impossibile
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RISOLUZIONE GRAFICA
(Sistema impossibile)
8 x  6 y  1

4 x  3 y  12
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27
3x  2 y  10

6 x  4 y  20
2 y  10

 x  3

6 2 y  10   4 y  20
  3 
2 y  10

x


3


0  0
Equazione
indeterminata!
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28