TEOREMA
Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una coppia di angoli alterni
interni congruenti, allora, gli angoli esterni sono congruenti, gli angoli
corrispondenti sono congruenti, gli angoli coniugati sono supplementari
Considerando la figura 1, si ha:
Ipotesi
Tesi
28
4  6; 1  7
2  6; 4  8
3 + 8 = angolo piatto
1) Sono congruenti anche gli angoli alterni interni 3 e 5 perché
adiacenti e quindi supplementari ad angoli congruenti.
t
r
s
2) Dimostriamo che gli angoli esterni sono congruenti.
Osservando la figura si ha 4  2 e 6  8 perché angoli opposti al
vertice e quindi, essendo per ipotesi 2  8, per la proprietà transitiva
della congruenza, si ha che 4  6. Analogamente si ha 3  1 e 7 
5 perché angoli opposti la vertice e poiché 3  5 (vedi punto 1), per
la proprietà transitiva della congruenza, si ha che 1  7.
1 4
2 3
5 8
6 7
Figura 1
3) Dimostriamo che gli angoli corrispondenti sono congruenti.
Poiché 2  8 per ipotesi e 6  8 poiché angoli opposti al vertice, per la proprietà transitiva, si ha che 2  6.
Analogamente possiamo dimostrare la congruenza delle altre coppie di angoli corrispondenti.
4) Dimostriamo che gli angoli coniugati sono supplementari.
Consideriamo gli angoli 2 e 3, essi sono adiacenti pertanto 3 è supplementare di 2 ma, per ipotesi, abbiamo
che 2  8 e quindi 3 risulta supplementare anche all’angolo 8, a esso coniugato.
Analogamente possiamo dimostrare che le altre coppie di angoli coniugati sono supplementari.
c.v.d.
TEOREMA
Due rette di un piano, perpendicolari a una stessa retta, non hanno alcun
punto in comune, cioè sono parallele tra loro
Siano a e b due rette perpendicolari alla stessa retta c rispettivamente nei punti A e B (Figura 1);
vogliamo dimostrare che tali rete non possono incontrarsi in un punto O.
c
Ipotesi
ac
bc
Tesi
a // b
a
c
A
A
aA
A
a
B
b
a
O
B
B
b
Figura 1
b
Figura 1
B
bc
Figura 2
c
Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo
Supponiamo che le rette a e b non siano parallele e che quindi si incontrino in un punto O (Figura 2)
In tal caso si formerebbe il triangolo ABO nel quale si avrebbero due angoli retti OAB e OBA.
OAB deve essere retto perché formato dalle rette perpendicolari a e c (vedi ipotesi);
anche OBA deve essere retto perché formato dalle rette perpendicolari b e c (vedi ipotesi)
Tale condizione non può verificarsi poiché in un triangolo si dimostra che non può esserci più di un angolo
retto. E’ quindi assurdo aver negato che le due rette siano parallele.
c.v.d.
TEOREMA
Se due rette di un piano formano con una trasversale
1) due angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure
2) due angoli corrispondenti congruenti, oppure
3) due angoli coniugati supplementari,
allora le due rette sono parallele
H
Osservazione: per altro teorema abbiamo che se due rette
tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni, oppure
angoli corrispondenti congruenti, oppure angoli coniugati
supplementari, allora formano anche angoli alterni congruenti.
Basta quindi dimostrare che la tesi è vera nel caso le due rette
formino con la trasversale angoli alterni interni congruenti.
Si ha quindi (figura 1):
Ipotesi
AEF  EFD
Tesi
AB // CD
A
E
B
O
F
C
K
D
Figura 1
Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo
Supponiamo che le rette AB e CD non siano parallele e che quindi le semirette EB e FD si incontrino in un
punto O; si otterrebbe così il triangolo OEF per il quale si avrebbe che l’angolo esterno AEF è congruente
all’angolo interno EFD. Ciò è impossibile in quanto sappiamo per altro teorema che l’angolo esterno è
maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
Non è quindi possibile l’esistenza del punto O.
Analogamente si dimostra che non esiste un punto O dove si incontrano le semirette EA e FC.
Le due rette AB e CD sono quindi parallele.
c.v.d.
TEOREMA
Se due rette di un piano sono parallele, esse, tagliate da una trasversale,
formano:
1) angoli alterni interni (o esterni) congruenti
H
M
2) angoli corrispondenti congruenti
3) angoli coniugati supplementari
E
Osservazione: Basta dimostrare che le due rette formano, con la
trasversale, angoli alterni interni congruenti. Infatti, per altro
teorema, esse formeranno, in tal caso, anche angoli alterni
esterni congruenti, angoli corrispondenti congruenti e angoli
coniugati complementari.
Si ha quindi:
Ipotesi
AB // CD
Tesi
AEF  DFE
B
A
N
F
C
D
Figura 1
K
Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo
Supponiamo che sia falsa la tesi e che quindi la retta AB formi con la trasversale HK un angolo AEF, alterno
interno a DFE e non congruente ad esso. Allora esisterà una retta MN, passante per E e distinta da AB, che
formi con HK un angolo MEF congruente all’angolo EFD alterno interno ad esso. Tale retta, per altro
teorema, risulterà parallela a CD e quindi per il punto E passerebbero due rette , la AB e la MN, entrambe
parallele a CD.
Questo è in contraddizione con il postulato di Euclide, pertanto la tesi non può essere negata.
Si ha quindi AEF  DFE
c.v.d.
TEOREMA
Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro
a
Ipotesi
a // c
b // c
Tesi
a // b
O
b
Figura 1
c
Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo
Supponiamo che sia falsa la tesi e che quindi la retta a e la retta b non siano parallele tra loro ma si
incontrino in un punto O.
Per O passerebbero quindi due rette entrambe parallele alla stessa retta c.
Questo è in contraddizione con il postulato di Euclide, pertanto la tesi non può essere negata.
Si ha quindi che anche le rette a e la retta b sono parallele tra loro.
Questo teorema esprime la proprietà transitiva del parallelismo.
c.v.d.
TEOREMA
Segmenti paralleli compresi fra rette parallele sono congruenti fra loro
Ipotesi
a // b
AeCa
Tesi
AB = CD
C
A
a
BeDb
AB // CD
b
B
D
Figura 1
Uniamo A con D, otteniamo due triangoli ABD e ADC.
I due triangoli ottenuti sono congruenti per il secondo criterio di congruenza avendo AD in comune, gli
angoli BAD  ADC, perché alterni interni delle rette parallele AB e DC tagliate da AD, e gli angoli
BDA  DAC, perché alterni interni delle rette parallele BD e AC tagliate da AD.
Poiché in triangoli congruenti ad elementi congruenti si oppongono elementi congruenti, si ha AB  CD.
c.v.d.