CORSO BASE
Moduli 19–20
PROGRAMMA DELLA GIORNATA (mattina)
22/12/2015
Corso DIMAT
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22/12/2015
Corso DIMAT
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22/12/2015
Corso DIMAT
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RELAZIONE TRA PROBLEMI E CONOSCENZE:
 I PROBLEMI PERMETTONO DI ACQUISIRE NUOVE CONOSCENZE
 LE CONOSCENZE PERMETTONO DI RISOLVERE NUOVI PROBLEMI
Apprendo nuove conoscenze
risolvendo nuovi problemi
PROBLEMI
CONOSCENZE
Nuove conoscenze mi
permettono di risolvere nuovi
problemi
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 COS' È UN PROBLEMA?
 DOVE E QUALI PROBLEMI DIVERSI POSSIAMO INCONTRARE TRA I
MATERIALI CHE PROPONIAMO?
Esegui l’operazione:
2708 1256 =
PER L’ALLIEVO CHE NON SA COME FARE, QUESTA
OPERAZIONE POTREBBE RAPPRESENTARE UN
PROBLEMA ESTREMAMENTE INTERESSANTE
(INDIPENDENTEMENTE DAL CONTESTO)
IN MATEMATICA ABBIAMO PROBLEMI INSITI NELLA MATERIA STESSA.
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Misura l’altezza
della porta
dell’aula
Anche in questo secondo esempio il lavoro richiesto potrebbe
diventare un problema per certi allievi o risultare, invece, per
altri, un banale esercizio.
QUESTI 2 ESEMPI EVIDENZIANO UN PRINCIPIO FONDAMENTALE:
NON È SEMPRE POSSIBILE, PER UN CERTO ALLIEVO, DEFINIRE A
PRIORI SE UN DATO COMPITO RAPPRESENTI O MENO UN PROBLEMA.
UNA DETERMINATA SITUAZIONE PUÒ CONTENERE UN PROBLEMA PER
UN ALLIEVO, MENTRE PUÒ ESSERE UNA SEMPLICE ESERCITAZIONE
PER UN SUO COMPAGNO
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RISPONDENDO ALLA DOMANDA INIZIALE:
 UN PROBLEMA VERO E PROPRIO È
RAPPRESENTATO DA UNA SITUAZIONE PER
RISOLVERE
LA
QUALE
NON
SONO
UTILIZZABILI DEI SEMPLICI AUTOMATISMI,
MA SI RENDE NECESSARIA L'ELABORAZIONE
DI "QUALCOSA DI NUOVO" PER ARRIVARE
ALLA SOLUZIONE.
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I PROBLEMI CHE DI SOLITO VENGONO PROPOSTI NELLE CLASSI NON
SEMPRE CONTENGONO VERI PROBLEMI, PER TUTTI GLI ALLIEVI, MA
SPESSO RAPPRESENTANO DELLE SEMPLICI ESERCITAZIONI. IN QUESTI
CASI IMPLICANO DELLE CONOSCENZE CHE IL MAESTRO RITIENE PIÙ O
MENO ACQUISITE, PERCHÈ HA FATTO IN PRECEDENZA DELLE PRECISE
LEZIONI.
IN QUESTI CASI SONO GLI ALLIEVI DEBOLI O CHI NON HA CAPITO LA
LEZIONE CHE SI TROVANO DI FRONTE AD UN VERO E PROPRIO
PROBLEMA. SPESSO PERÒ IL CONTESTO (CONTRATTO DIDATTICO
PARTICOLARE, MARCATO FORTEMENTE DALLE ATTESE DEL MAESTRO)
IMPEDISCONO LORO DI AFFRONTARLO CON "L'ATTEGGIAMENTO DEL
RICERCATORE" E LA NECESSARIA TOLLERANZA DELL'ERRORE E QUINDI
CHI NON SA COPIA.
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 ANCHE
IL
TEMPO
DI
REAZIONE
RAPPRESENTA L'INDICE PIÙ ATTENDIBILE
PER SAPERE SE, PER UN DATO ALLIEVO,
QUEL COMPITO RAPPRESENTI O MENO UN
PROBLEMA.
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TUTTO QUESTO È POSSIBILE SENZA UNA DIFFERENZIAZIONE
DELL’APPRENDIMENTO ?
ABBIAMO DUE DEFINIZIONI DIVERSE DI PROBLEMA:
 IL PROBLEMA COME OSTACOLO DA SUPERARE
 I PROBLEMI DEFINITI DALLA TRADIZIONE SCOLASTICA
NOI SOSTITUIAMO L’USO GENERICO DELLA PAROLA PROBLEMA CON
TERMINI PIÙ SPECIFICI: SITUAZIONE, ESERCITAZIONE, COMPITO … E
LASCIAMO LA PAROLA PROBLEMA A QUEGLI OSTACOLI CHE
INCONTRANO GLI ALLIEVI.
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DOVE SI TROVANO ALLORA I PROBLEMI VERI E PROPRI?
UN ALLIEVO PUÒ TROVARE DEI PROBLEMI IN QUALUNQUE MOMENTO
DEL SUO PROCESSO DI APPRENDIMENTO.
È UTILE DISTINGUERE TRA I VARI TIPI DI PROBLEMA CHE SI POSSONO
INCONTRARE NELLE ATTIVITÀ MATEMATICHE QUELLI LEGATI A
DIFFICOLTÀ DI RAPPRESENTAZIONE, DI MEMORIA DA QUELLI DI TIPO
COGNITIVO, AFFETTIVO ECC..
QUESTA ANALISI È LEGATA AL CONCETTO DI ERRORE E AI PROCESSI DI
CONTROLLO, CORREZIONE E REGOLAZIONE.
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L’IDEA È DI PROPORRE UNA SERIE DI SITUAZIONI, OGNUNA CON
PARTICOLARE CARATTERISTICHE E IN RELAZIONE A PRECISI OBIETTIVI.
LE VARIABILI SONO RELATIVE A : ASPETTO NUMERICO, NUMERO DI
OPERAZIONI NECESSARIE, CONTESTO, PRESENTAZIONE (ORALE/SCRITTA),
PRESENZA O MENO DI MATERIALI CONCRETI, LINGUAGGIO UTILIZZATO,
ECC.
ABBIAMO VOLUTO PREPARARE DEI MATERIALI TRASVERSALI RISPETTO
AGLI ARGOMENTI DEI FOGLI DI VALUTAZIONE E CHE FOSSERO ANCHE DEI
MOMENTI DI SINTESI E DI RILANCIO DEL LAVORO SVOLTO ( SERIE “A
LIVELLI”).
LE SITUAZIONI SONO UN MOMENTO CHIAVE IN CUI LA
MATEMATICA È FUNZIONALE ALLA LINGUA E VICEVERSA.
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LA CONTRAPPOSIZIONE TRA CONOSCENZE PROCEDURALI E CONOSCENZE
DICHIARATIVE CONCERNONO IL MODO IN CUI LA CONOSCENZA SI
MANIFESTA.
 LE CONOSCENZE PROCEDURALI SI MANIFESTANO NELL’AZIONE
 LE CONOSCENZE DICHIARATIVE SI ESPRIMONO ATTRAVERSO IL
LINGUAGGIO NATURALE O TRAMITE UN LINGUAGGIO SIMBOLICO E SONO
PIÙ MOBILI E AUTONOME QUINDI PIÙ VANTAGGIOSE E ASSICURANO UN
RISPARMIO DI MEMORIA (SONO LIBERE DAI CONTESTI) POSSONO
RISPONDERE A PROBLEMI MOLTO DIVERSI E SONO FACILMENTE
COMUNICABILI
PIAGET: SE L’AZIONE COSTITUISCE UNA CONOSCENZA AUTONOMA (UN
SAPER FARE), LA CONCETTUALIZZAZIONE SI EFFETTUA ATTRAVERSO
DELLE PRESE DI COSCIENZA ULTERIORI A PARTIRE DA UN CERTO LIVELLO
(RAFFORZAMENTO DELLE CAPACITÀ DI PREVISIONE) – SAPER
FARE/CAPIRE
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SERIE DI SITUAZIONI
 SERIE A: SITUAZIONI SEMPLICI A UNA RISPOSTA
 SERIE B: SITUAZIONI ORALI
 SERIE C: SITUAZIONI CON DUE OPERAZIONI

SERIE D: SITUAZIONI ADDITIVE (PROBLEMI DI VERGNAUD)
 SERIE E: SITUAZIONI CON MISURE E TRASFORMAZIONI
 SERIE F: SITUAZIONI A “STRUTTURA TRIANGOLARE”
 SERIE G: SITUAZIONI APERTE
 SERIE H: SITUAZIONI COMPLESSE
 SERIE S: SITUAZIONI NELLE QUALI L’ACCENTO È MESSO
SULLE STRATEGIE

SERIE “A LIVELLI”: SI TRATTA DI QUELLE SITUAZIONI
CHE PRENDONO TUTTI I LIVELLI M DI UNA CLASSE
(PARTICOLARMENTE ADATTE PER IL PERIODO SUCCESSIVO
ALL’AUTOVALUTAZIONE INTERMEDIA PER RILANCIARE IL LAVORO)
 SERIE “ALTRE SITUAZIONI”: SONO DELLE
SITUAZIONI CENTRATE SULLA RICERCA DI
“INFORMAZIONI UTILI” (UN TESTO TANTE DOMANDE) PER LO
SVILUPPO DI “STRATEGIE NECESSARIE”
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ESERCITAZIONI ED AUTOMATISMI
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QUANDO HANNO TEMPO GLI ALLIEVI PER ESERCITARE QUANTO
APPRESO?
DIMAT PROPONE MOLTI MATERIALI E MOMENTI DIVERSI (FV, FP, FR,FS,
S) PERÒ, SE GLI ALLIEVI NON SI ALLENANO, DIMENTICANO QUANTO
HANNO IMPARATO! COME È POSSIBILE, SENZA L'ESERCITAZIONE,
CONSOLIDARE LE CONOSCENZE APPRESE?
DAL MOMENTO CHE SENZA L'ESERCIZIO CONTINUO IL BAMBINO
DIMENTICA, QUAL È LO SPAZIO PREVISTO PER L'ESERCITAZIONE?
NON È FORSE MEGLIO PREVEDERE DEI MOMENTI PER DELLE
ESERCITAZIONI REGOLARI, RIPETITIVE? ALMENO PER GLI OBIETTIVI DI
PADRONANZA?
UNO DEI PROBLEMI CRUCIALI DELL'INSEGNANTE È CHE GLI ALLIEVI
MANTENGANO NEL TEMPO QUANTO APPRESO.
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QUAL È IN TERMINI DI ENERGIA E DI TEMPO IL "COSTO"
DELL'ESERCITAZIONE?
A COSA DOBBIAMO RINUNCIARE PER DISPORRE DI UN TEMPO
ADEGUATO PER LA "MECCANICIZZAZIONE" DEGLI APPRENDIMENTI?
QUAL È LA RELAZIONE TRA ESERCITAZIONI E AUTOMATISMI?
FINO A CHE PUNTO È NECESSARIO ESERCITARE UNA DETERMINATA
CONOSCENZA?
QUALI SONO LE PRIORITÀ RISPETTO A QUANTO PREVEDONO I
PROGRAMMI?
LIMITIAMO L'ESERCITAZIONE AGLI OBIETTIVI DI PADRONANZA?
PER RISPONDERE È NECESSARIO DISTINGUERE IL MOMENTO
DELL'APPRENDIMENTO DAL MOMENTO DELL'ESERCITAZIONE.
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SE L'OBIETTIVO È "IMPARA AD IMPARARE", QUANDO L'ACCENTO È MESSO
SUL COME, L'ESERCITAZIONE, INTESA COME MECCANICIZZAZIONE,
ASSUME UN RUOLO SECONDARIO.
SE IL MODELLO DI APPRENDIMENTO È QUANTITATIVO, COLLEGATO PIÙ
ALLA TRASMISSIONE DELLE CONOSCENZE CHE ALLA SCOPERTA,
ACCENTO
MESSO
SUL
COSA,
ALLORA
L'ESERCITAZIONE
È
DETERMINANTE.
SIAMO DI FRONTE A TEORIE DIVERSE
DELL'APPRENDIMENTO
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LA SOLUZIONE È UNA MEDIAZIONE DOVE RICERCA E
SCOPERTA NON PENALIZZANO L'APPRENDIMENTO DI
ALCUNI
AUTOMATISMI
INDISPENSABILI
E
L'ESERCITAZIONE NON DIVENTI OSSESSIVA AL PUNTO
DA RIDURRE GLI ALLIEVI A SEMPLICI ESECUTORI.
LA SCUOLA CHIEDE AGLI ALLIEVI FLESSIBILITÀ, DI
ESSERE
PRONTI
A
NUOVI
CONTENUTI
ED
APPRENDIMENTI.
INOLTRE L'ESERCITARSI IN MODO RIGIDO MECCANICO
RISCHIA DI DIVENTARE L'OSTACOLO DI NUOVI
APPRENDIMENTI.
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L'ESERCITAZIONE NON HA SOLO LO SCOPO DI PORTARE
L'ALLIEVO ALL'ACQUISIZIONE DI AUTOMATISMI, DI
TECNICHE, ESSA È ESSENZIALE PER IL PROCESSO DI
TRANSFERT E PER LA GENERALIZZAZIONE DELLE
CONOSCENZE.
LA GENERALIZZAZIONE PERMETTE L'ESTENSIONE DI
UN CONCETTO O DI UNA PROCEDURA
IL TRANSFERT PERMETTE L'ESTENSIONE DI UN
APPRENDIMENTO SU UN ALTRO COMPITO (vedi
apprendimento della frazione in relazione al numero decimale).
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Transfert e
generalizzazione
delle conoscenze
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Acquisizione di
automatismi
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LO SCOPO DELL'AUTOMATISMO È DI LIBERARE SPAZIO
NELLA MEMORIA DI LAVORO, SOPRATTUTTO DURANTE
LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA.
L'ESERCITAZIONE PER ACQUISIRE UN AUTOMATISMO
STRUMENTALE O PROCEDURALE È NECESSARIA DOVE
SERVE AGLI ALLIEVI GRANDE EFFICACIA E RAPIDITÀ
DI RISPOSTA ( tabelline e calcolo elementare).
 COSA DEVE ESSERE AUTOMATIZZATO?
 QUANDO CIÒ DEVE AVVENIRE?
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MOLTI DOCENTI DOPO LA FASE D'APPRENDIMENTO SI
ATTENDONO DAGLI ALLIEVI RISPOSTE IMMEDIATE
COME SE AVESSERO GIÀ AUTOMATIZZATO DELLE
CONOSCENZE.
INVECE LE CONOSCENZE SONO ANCORA "FRAGILI" E LE
RISPOSTE DEGLI ALLIEVI POSSONO CONTENERE
ANCORA ERRORI O MANIFESTARE ESITAZIONI ED
INSICUREZZE.
ALLORA
SI
DANNO
DELLE
ESERCITAZIONI
MECCANICHE CON IL FINE DI OTTENERE RISPOSTE
IMMEDIATE (apprendimento delle operazioni scritte e delle
trasformazioni delle misure).
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MODELLO D'APPRENDIMENTO
apprendimento
esercitazione
automatismo
NOI PENSIAMO CHE VADANO DEFINITI NEL CORSO DELL'ANNO QUALI
APPRENDIMENTI NECESSITANO DI ESSERE AUTOMATIZZATI E QUALI
INVECE NON RICHIEDONO UN TALE LIVELLO DI PADRONANZA.
NOI CREDIAMO CHE TRA LA FASE DI APPRENDIMENTO E
L'AUTOMATIZZAZIONE DI UNA TECNICA DEBBA TRASCORRERE DEL
TEMPO, A VOLTE RAGGUARDEVOLE.
IN QUESTO PERIODO L'ALLIEVO DEVE AVERE LA POSSIBILITÀ DI
GENERALIZZARE E CONSOLIDARE UN APPRENDIMENTO IN RAPPORTO
SOPRATTUTTO AL SENSO CHE ESSO VIENE AD ASSUMERE PER LUI.
IN QUESTA FASE L'ESERCITAZIONE È INDISPENSABILE
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IL MODELLO PRECEDENTE VA COSI' MODIFICATO:
? = NECESSITÀ PER IL DOCENTE DI CHIEDERSI :
 SI TRATTA DI UN OGGETTO CHE DEVE ESSERE
AUTOMATIZZATO?
 FINO A CHE LIVELLO DI PADRONANZA?
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IL PROCESSO DI GENERALIZZAZIONE METTE L'ALLIEVO DI FRONTE A
SITUAZIONI DIVERSE DA QUELLE NELLE QUALI UN PARTICOLARE SAPERE È
STATO APPRESO, LAVORATO, SCOPERTO, ANALIZZATO.
LA GENERALIZZAZIONE SI FONDA SU UN PROCESSO CONTINUO DI
DECONTESTUALIZZAZIONE
E
RICONTESTUALIZZAZIONE
DELLE
CONOSCENZE, PROCESSO NEL QUALE SONO DETERMINANTI LE CONOSCENZE
SPECIFICHE DEGLI ALLIEVI.
LE OCCASIONI MIGLIORI PER FAVORIRE LA GENERALIZZAZIONE DEGLI
APPRENDIMENTI SONO LE SITUAZIONI (ESERCITAZIONI DI TIPO A).
LE SITUAZIONI RAPPRESENTANO UN MOMENTO IMPORTANTE DI ESERCITAZIONE
CON UN DUPLICE OBIETTIVO:
 PERMETTERE AGLI ALLIEVI DI AFFINARE, REGOLARE, MIGLIORARE LE NUOVE
CONOSCENZE
 FAVORIRE E PERMETTERE LA GENERALIZZAZIONE DEL SAPERE (concetti e
procedure in particolare).
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LA GENERALLIZZAZIONE AVVIENE ATTRAVERSO UNA ESERCITAZIONE CHE
IMPLICA DUE VARIABILI: LE CONOSCENZE SPECIFICHE E I CAMPI
D'APPLICAZIONE.
PER GLI AUTOMATISMI LE MODALITÀ DI APPRENDIMENTO CAMBIANO
NOTEVOLMENTE.
NELL'APPRENDIMENTO DI UN AUTOMATISMO (algoritmo della moltiplicazione)
NON SI LAVORA PIÙ SUL SENSO DELL'OPERAZIONE, MA SUL
SIGNIFICATO DELL'ALGORITMO E SUL MODO MIGLIORE PER
APPRENDERLO. (Profili d'apprendimento)
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TRE ASPETTI ESSENZIALI:
 LA DIMENSIONE TEMPORALE: È NECESSARIO
LASCIARE UN TEMPO IMPORTANTE TRA IL PROCESSO DI
APPRENDIMENTO, DI GENERALIZZAZIONE E LA FASE DI
APPRENDIMENTO DELL'AUTOMATISMO.
 LA SCELTA DEL DOCENTE: IL DOCENTE DEVE
SCEGLIERE QUALI SONO GLI APPRENDIMENTI CHE
VANNO AUTOMATIZZATI
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A
B
AUTOMATISMO
ES.: CASELLINE
C
GENERALIZZAZIONE
D
E
AUTOMATISMO
ES.: TRASFORMAZIONI
...
Esercitazioni
di tipo A
Esercitazioni
di tipo B
 I PROBLEMI VERI E PROPRI: SICURAMENTE L'ALLIEVO INCONTRERÀ
DEI PROBLEMI NEL MOMENTO IN CUI AFFRONTA NUOVE CONOSCENZE, MA
PROBLEMI MATEMATICI LI PUÒ INCONTRARE IN UNA FASE DI
GENERALIZZAZIONE, IN UN MOMENTO DI RICERCA E SCOPERTA, OPPURE
NELLA RIPRESA, NELLA PREPARAZIONE, DURANTE UNA LEZIONE, O IN UN
MOMENTO DI AUTOVALUTAZIONE.
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METACOGNIZIONE
METACOGNIZIONE
METACOGNIZIONE
METACOGNIZIONE
METACOGNIZIONE
METACOGNIZIONE
FASE 1
FASE 2
A.
B.
C.
D.
E.
Formazione dei gruppi
Distribuzione ad ogni allievo di una serie di calcoli
Risoluzione individuale dei calcoli
Confronto dei risultati
Discussionee correzione in gruppo
F.
G.
Ogni gruppetto ricerca la particolarità della serie di calcoli.
Perché quei calcoli sono stati messi assieme? Quali sono
le regole alle quali ogni calcolo deve sottostare per poter
far parte della serie?
Le regole proposte sono messi in discussione tra i membri
del gruppo e il gruppo deve arrivare ad un accordo.
Le regole sono scritte sul foglio.
H.
I.
FASE 3
L.
M.
N.
Ogni gruppo presenta alla classe le regole scoperte.
Discussione e argomentazione delle proposte.
Accordo e validazione delle regole sulle quali sono tutti
d’accordo  fase di istituzionalizzazione.
METACOGNIZIONE
N.
FASE 4
O.
P.
FASE 5
Ogni allievo inventa e scrive una seconda serie di 6
calcoli, dello stesso genere della prima, ma senza i
risultati.
Ognuno deve arrivare ad avere una serie diversa.
All’interno del gruppo ci si scambia i fogli per la
risoluzione dei calcoli e per la correzione.
Ogni allievo segnala e discute gli errori con il compagno.
I bambini si mettono a coppie e si esercitano nel calcolo
orale, con l’aiuto dei loro fogli.
Discutono quindi tra di loro sugli errori e le procedure
usate.
Quali sono gli aspetti del calcolo, le “regole”, che pongono
dei problemi? Perché?
Cambiano le coppie frequentemente.
METACOGNIZIONE
FASE 6
Q.
Il gioco delle carte colorate
SECONDA VERSIONE
Gioco a squadre
Si lavora contemporaneamente su due serie di calcoli. Questo gioco si
basa in modo più rigoroso sulla “teoria delle situazioni”.
situazione d’azione
comunicazione
validazione
istituzionalizzazione
SECONDA VERSIONE
1
2
3
• Ogni gruppo è formato da 4 allievi
• Ogni gruppo è diviso in 2 coppie (AA e BB)
• Le coppie possono comunicare tra loro sola attraverso il
“POSTINO” (P), l’insegnante. (Possibilità di essere in gioco e di controllare e osservare)
• AA ricevono un foglietto con una serie di 6 calcoli e 2 fogli, uno
ciascuno, sul quale annotare le “REGOLE”
• Lo stesso succede per BB, ma la serie di calcoli è diversa
• AA e BB ricercano le regole e le scrivono, ognuno sul proprio
foglio (uno resta a loro e l’altro passa ai compagni)
• Vincolo: nelle notazioni non è possibile usare calcoli come
esempi
SECONDA VERSIONE
4
5
6
• Terminato di scrivere le regole AA consegnano il foglio a P che lo
trasmette ai compagni di squadra BB.
• La stessa procedura vale anche per BB.
• BB sulla base delle regole ricevute da AA, scrivono, sul foglio
ricevuto (nell’apposito spazio) una serie di 6 calcoli. La stessa
cosa fanno AA.
• Terminati i calcoli, sempre attraverso P, BB riconsegnano il foglio
ai compagni AA e viceversa.
SECONDA VERSIONE
7
8
9
• AA controllano i calcoli (utilizzando anche la loro serie) e, se necessario,
aggiungono altre informazioni “correttive” o “aggiuntive” alle
regole precedentemente scritte (gli errori possono essere imputabili a una
non corretta o incompleta formulazione delle regole oppure ad un’incomprensione da
parte di BB)
• Sempre attraverso P (che ha sempre la possibilità di osservare attentamente ciò
che succede), AA ritrasmettono il foglio a BB per una correzione o
una nuova formulazione dei calcoli.
• Lo scambio di messaggi tra AA e BB può continuare fino al
momento in cui AA (e viceversa BB) sono soddisfatti.
SECONDA VERSIONE
• Vince il gruppo che termina per primo, ma
attenzione alle penalità (tipo giochi senza
frontiere).
10
• E’ possibile introdurre un tempo massimo
entro il quale tutti devono consegnare il
lavoro.
• Saranno assegnati dei punti in
corrispondenza al numero di regole esatte
formulate e di risposte esatte ottenute.