Matematica - Curve e superfici
a.a. 2009-2010
Prof. C. Falcolini
Studio di una porzione di pavimentazione
di Santa Maria Maggiore.
Università degli studi di Roma Tre
studenti: Elio Carradori - Armando Di Gregorio
Santa Maria Maggiore
La Basilica di Santa Maria Maggiore, conosciuta anche
come Santa Maria della neve o come Basilica
liberiana, è una delle quattro basiliche patriarcali di
Roma. Collocata sulla sommità del colle Esquilino, è la
sola ad aver conservato la primitiva struttura
paleocristiana, sia pure arricchita da successive
aggiunte. La costruzione avvenne su una chiesa
precedente, che una diffusa tradizione vuole sia stata la
Madonna stessa ad ispirare apparendo in sogno a Papa
Liberio. Così quando la mattina del 5 agosto un'insolita
nevicata imbiancò l'Esquilino il papa Liberio avrebbe
tracciato nella neve il perimetro della nuova basilica.
La Basilica colpisce per la sua vastità per la ricchezza dei
suoi marmi e delle decorazioni, monumentale e
grandiosa grazie alla forma della struttura e all'armonia
che regna nei principali elementi della sua architettura, è
divisa in tre navate da due file di preziose colonne sulle
quali corre un'artistica trabeazione ora interrotta verso
l'abside da due arcate realizzate per la costruzione della
Cappella Sistina e Paolina. Tra i colonnati ed il soffitto, le
pareti erano in origine traforate da ampie finestre delle
quali se ne conservano solo metà essendo state murate
le altre. il soffitto cassettonato venne disegnato da
Giuliano da Sangallo e completato da suo fratello
Antonio. Caratteristici della Basilica sono i pavimenti
cosmateschi risalenti al XII secolo.
Pavimentazione Cosmatesca
Lo stile cosmatesco è un'ornamentazione
caratteristica dei marmorari romani in età
romanica, consistente nell'abbellire
pavimenti, cibori e chiostri mediante tarsìe
marmoree cromatiche di forme svariate e
fantasiose, non funzionali all'architettura
ma
solo ornamentali. Nel secolo scorso questa
decorazione fu chiamata cosmatesca
perché usata dalla famiglia dei Cosmati. Il
repertorio decorativo dei pavimenti
cosmateschi ha varie fonti di ispirazione,
ma molto importante è l’uso di marmi di
diversi colori che permettono una
composizione policroma della
pavimentazione.
Le forme geometriche delle pavimentazioni
cosmatesche danno diversi spunti per
approfondimenti matematici.
Studio della forma
La forma geometrica della porzione di pavimentazione cosmatesca presa in esame,
lascia pensare a primo impatto ad una certa simmetria delle forme.
Proviamo allora a ribaltarle: Eliminiamo la metà destra.
Studio della forma
Una volta eliminata l’esatta metà della figura, procediamo col ribaltamento.
E’ evidente che il ribaltamento non dà il risultato sperato, perciò possiamo dire che la
figura non è simmetrica.
Studio della forma
Abbiamo dimostrato che la figura non è simmetrica, proviamo a questo punto a
dimostrare se la composizione è frutto di una semplice rotazione delle figure:
Abbiamo dimostrato che la figura è il risultato di una semplice rotazione
Studio della forma
Passiamo ora a dimostrare matematicamente che con il ribaltamento o riflessione
non otteniamo il disegno geometrico giusto:
Scriviamo l’equazione generica della circonferenza:
rifl[gamma_,m_][t_]:=1/(1+m^2){{m^2-1,2m},{2m,1-m^2}}.gamma[t]
circle[a_,b_][r_][t_]:={a+r*Cos[t],b+r*Sin[t]}
Procediamo con il ribaltamento dei quattro archi di
circonferenza:
Ribaltate=ParametricPlot[{circle[24,15.35][7.35][t],
rifl[circle[24,15.35][7.35],-101][t],
rifl[circle[24,15.35][7.35],-0.65][t],
rifl[circle[24,15.35][7.35],0.001][t]},{t,2.55,3.05},PlotStyle ->
Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]
Facciamo la stessa cosa per gli archi di
circonferenza esterni:
Ribaltate2=ParametricPlot[{circle[24,15.35][9.35][t],
rifl[circle[24,15.35][9.35],-101][t],
rifl[circle[24,15.35][9.35],-0.65][t],
rifl[circle[24,15.35][9.35],0.001][t]},{t,-2.5,2.9},PlotStyle >Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]
Con la funzione Show uniamo i due grafici e
poi li sovrapponiamo
all’immagine della porzione di
pavimentazione: Show[Ribaltate,Ribaltate2]
Studio della forma
Procediamo alla dimostrazione della rotazione mediante formule matematiche:
Scriviamo innanzitutto l’equazione generica della circonferenza.
rt[a_]:={{Cos[a],-Sin[a]},{Sin[a],Cos[a]}} circle[a_,b_][r_][t_]:={a+r*Cos[t],b+r*Sin[t]}
Determiniamo le coordinate delle circonferenze da ruotare e descriviamo degli
archi di circonferenza.
PeriodDA=ParametricPlot[Table[rt[k*Pi].circle[24,15.35]
[7.35][t],{k,0,1}],{t,-2.55,3.05}
,PlotStyle -> Thickness[0.007],PlotRange -> {{36,36},{-35,35}}]
PeriodDA1=ParametricPlot[Table[rt[k*
Pi].circle[24,15.35][9.35][t],{k,0,3}],{t,-2.5,2.9}
,PlotStyle ->Thickness[0.007],PlotRange -> {{36,36},{-35,35}}]
Show[PeriodDA1,PeriodDA]
Determiniamo i rimanenti archi di circonferenza ed utilizziamo la funzione Show
per unire tutte le figure ruotate:
PeriodSA=ParametricPlot[Table[rt[k* Pi].circle[-23.28,15.45][7.35][t],{k,0,3}],{t,-0.88,1.45Pi}
,PlotStyle -> Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]
PeriodSA1=ParametricPlot[Table[rt[k Pi].circle[-23.28,15.45][9.35][t],{k,0,3}],{t,-0.88,1.39Pi}
,PlotStyle -> Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]
Show[PeriodDA1,PeriodDA,PeriodSA1,PeriodSA]
Costruzione della forma geometrica
Proviamo a determinare la forma della pavimentazione utilizzando il cerchio,
perciò come prima cosa specifichiamo le equazioni generiche della circonferenza:
Circle [r_][t]:{r*Cos[t],r*Sin[t]}
Circle[a_,b_],[t_]:={a+r*Cos[t],b+r*Sin[t]}
Il passo successivo è quello di determinare le coordinate delle circonferenze, per
dimostrarlo ne scriveremo solo alcune:
cerchio1=ParametricPlot[circle[-23.28,15.45][7.35][t],{t,0,2Pi}, PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]
cerchio2=ParametricPlot[circle[-23.25,-15.5][7.35][t],{t,0,2Pi}, PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]
cerchio3=ParametricPlot[circle[0.45,-0.0001][14.6][t],{t,0,2Pi},PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]
Dopo aver determinato le circonferenze procediamo a tagliarle trasformandole in
archi di circonferenze, ripeteremo l’operazione per ogni circonferenza presente
nella forma geometrica, qui ne riporteremo solo alcune:
periodSA=ParametricPlot[circle[-23.28,15.45][7.35][t],{t,-0.88,1.45Pi},PlotRange
-> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]
periodSB1=ParametricPlot[circle[-23.24,-15.5][9.35][t],{t,0.61,1.92Pi},PlotRange ->
{{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]
periodDA2=ParametricPlot[circle[23.78,15.15][11.67][t],{t,-1.56,2.79},PlotRange
-> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> {Thickness[0.002],Blue}]
cerchioCB=ParametricPlot[circle[0.4,-0.5][18.6][t],{t,-2.59,-0.88},PlotRange -> {{36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]
Procediamo poi a fonderle in un unico grafico:
Show[cerchio2,cerchio3,cerchio1,cerchio4,DAcerchioP,DAcerchioP1,DBc
erchioP,DBcerchioP1,SBcerchioP,SBcerchioP1,SAcerchioP,SAcerchioP1,
c3]
Il disegno è quasi completo, mancano solo le rette, perciò scriviamo
l’equazione delle rette e le loro coordinate:
triS=Graphics[Graphics[{Thickness -> 0.002,Blue
,Line[{{-18,4.8},{-24,0.1},{-18,-4.5}}]
,Line[{{-17.3,8.2},{-27.7,0.1},{-23.2,-3.6}}]
,Line[{{-18.7,9.7},{-31.5,0},{-26,-3.8}}]
,Line[{{-24.3,8.2},{-34.8,-0.1},{-28.4,-4.8}}]}]]
triDE=Graphics[Graphics[{Thickness ->
0.002,Blue,
Line[{{18.9,4.5},{25,-0.29},{18.8,-4.9}}],
Line[{{24,3.5},{28.7,-0.29},{18.8,-7.9}}],
Line[{{27.1,3.8},{32.1,-0.3},{20.6,-9.1}}],
Line[{{29.25,4.65},{35.7,-0.3},{25.5,-8}}]
}]]
Trovate anche le rette concludo la costruzione della forma
geometrica della pavimentazione :
Show[cerchio2,cerchio3,cerchio1,cerchio4,DAcerchioP,DAcerchioP1,DBcerchioP,
DBcerchioP1,SBcerchioP,SBcerchioP1,SAcerchioP,SAcerchioP1,c3,rette]