Matematica Vedica
Piccolo dizionario
Sutras:
aforismi o formule utilizzate nella M.V.
Dharma: la somma di tutte le conoscenze necessarie
per vivere bene sia individualmente che come
collettività
Veda
la fonte e il contenitore di ogni conoscenza
comprende
Ayurveda:anatomia,fisiologia,igiene,medicina per
ottenere qui e ora il benessere fisico
Dhanurveda : scienze militari
Gandharva veda: scienza e arte della musica
Stapathya veda: architettura,ingegneria e ogni
branca della matematica
Vedangas: grammatica, astronomia, lessicografia
Biografia di GURUDEVA
L’autore del libro da cui in gran parte è ricavata questa
conversazione è Jagadguru Swami Sri Bharati Ksna Tirthaji
Maharaja detto Gurudeva (1884-1960). Persona di
eccezionale intelligenza visti gli eccellenti risultati in tutte
le discipline avuti come studente e i contributi di altissimo
livello con varie istituzioni internazionali dati
successivamente. Grandissima però e bruciante era il suo
desiderio di conoscenza spirituale e così si ritirò a studiare
(1911) per 8 anni filosofia vedica avanzata e a praticare la
più alta e più vigorosa Yoga-sadhana nella vicina foresta.
Avendo raggiunto la più profonda meditazione e il più alto
elevamento spirituale fu ammesso all’ ordine sacro di
Samnyasa e così cominciò a girare per ogni angolo
dell’India e nel mondo per 35 anni per portare i santi
spirituali insegnamenti, non risparmiandosi neppure
quando la salute cominciò a venir meno.Aveva raccolto i
suoi insegnamenti in 16 volumi ,uno per ogni Sutra, ma
depositati nella casa di un suo discepolo sono andati
perduti. E’ arrivato a riscrivere solo il primo che è quello a
cui si fa riferimento
I Veda
I Veda sono i più antichi documenti dello spirito
umano di cui siamo in possesso. Scritti in un'epoca
coeva alle più antiche testimonianze finora conosciute
dell'organizzazione sociale, di gran lunga anteriore al
sorgere della civiltà greca, antecedente alle più
antiche vestigia finora scoperte dell'impero assiro,
contemporanea probabilmente solo ai più antichi
scritti ebraici e posteriore soltanto alle dinastie
egiziane, di cui tuttavia si conosce ancora ben poco
oltre ai semplici nomi. Difficile comunque è dare una
precisa datazione
I Veda, secondo la filosofia induista, rappresentano una fonte
inesauribile di conoscenza sia in materia spirituale che materiale. La
loro ricchezza proviene piuttosto che dai laboriosi metodi induttivo e
deduttivo della matematica tradizionale, da un dono diretto di
rivelazione,avuto dai yogi, dopo un lungo cammino di meditazione,
direttamente dalla fonte perfetta e immacolata.
In ogni caso ogni illuminazione dopo deve essere dimostrata con
metodo logico rigoroso.
Non dobbiamo metterci davanti ai misteri dei Veda con gli occhi
sognanti del poeta o del veggente, bensì con quelli attenti e critici del
fisico .
E volutamente si sceglie come emblematico rappresentante degli
scienziati il fisico perché proprio recentemente, le conoscenze
antiche e la moderna fisica hanno trovato significativi e suggestive
corrispondenze e parallelismi.
premessa
• La premessa fondamentale è che l’universo in cui viviamo ha
una struttura di base matematica e che pertanto per conoscere
un fatto e ottenere un risultato in qualsiasi campo si richiede
precisione e applicazione di regole.
• Questo può essere fatto in maniera consapevole o
inconsapevole, come accade per gli animali.
• L’uomo ha dato il suo contributo determinante a questo dono.
• I saggi i sapienti della antica India avendo studiato e meditato
sulla natura fisica e ricavato la grande filosofia vedica si sono
resi conto che la visualizzazione della realtà avviene mediante
un misterioso lavoro di numeri e figure e hanno dedotto la
filosofia matematica
Lo zero
Importante è ricordare che tutto il mondo occidentale
è debitore all’India dell’introduzione del simbolo zero.
La cultura greca aveva sempre avuto infatti il terrore
del vuoto e del nulla e non aveva mai introdotto un
simbolo per rappresentalo. Pensiamo al sistema di
numerazione greco e romano e alla necessità, per fare
i calcoli pratici, dell’uso dell’abaco.
La notazione Indù fu introdotta in Arabia nel 770
d.C.e poi in Europa da parte degli arabi
In Italia Leonardo Pisano con il suo Liber Abaci
(1202) introduce i 10 simboli
Con l’introduzione della decima cifra veniva
completato il moderno sistema di numerazione
degli interi, che permette di scrivere qualsiasi
numero comunque grande e comunque piccolo
senza introdurre nuovi simboli
Esso si basa su 3 principi fondamentali
•Base decimale
•Notazione posizionale
•Simbolo diverso per ognuna della 10 cifre
Questo zero portò la rivoluzione nell'aritmetica e cosí apparve come
qualcosa di miracoloso. Da questo concetto mistico si ebbero una
quantità di espressioni rimaste nel linguaggio, e che appunto accennano
ad un che di segreto, di misterioso. Gli arabi chiamarono lo zero siphr,
che nel latino divenne zephr (da cui zero); per altre lingue “siphr”
divenne invece “cifra”. Che poi il nuovo sistema di numerazione, che
facilitava le operazioni aritmetiche, fosse qualcosa di misterioso si rileva
dalle locuzioni derivate da siphr, cioè: in cifra, decifrare ecc., le quali
tutte indicano qualcosa di segreto. E questo tanto piú che, come si è
visto, la numerazione araba fu ostacolata dai tradizionalisti e perfino
proibita dalla Chiesa. Fu in un Consiglio di Cardinali del 1299 che
venne espressamente proibito l'uso delle cifre arabe. Anche l'Arte
maggiore dei commercianti di Calimala(via di Firenze) nello stesso anno
emise un analogo provvedimento. Ma è certo che molti mercanti
usavano il nuovo sistema in segreto. Queste proibizioni contribuirono ad
aumentare il misterioso nel numero.
Differenze fra matematica vedica e
tradizionale
I suoi contenuti non seguono una sequenza o ordine particolare
ma sono affidati alle scelte, ai gusti, alle predilezioni
dell’insegnante e perfino degli studenti stessi che seguiranno la
sequenza preferita
Ciò è giustificato dal fatto che l’essere umano è sempre
condizionato dai suoi pregiudizi, idiosincrasie che distorcono le
visioni e i giudizi e anche i numeri della matematica non sono da
meno, sono strettamente correlati col carattere del discente
Pertanto tranne pochi principi fondamentali ed elementari
nessun altro capitolo o argomento deve necessariamente
precedere o seguire un altro.
• Tutta la conoscenza matematica che
nell’insegnamento tradizionale è svolta in 15-20 anni
può essere attuata con la M.V. in 8-12 mesi con una
applicazione di 2-3 ore al giorno
• I sutra, secondo l’autore, sono facili da capire,da
applicare e ricordare e riescono a coprire tutta la
matematica sia pura che applicata in tutte le sue
branche
• In molti e importanti casi la risoluzione di molti
problemi che richiedono nella matematica occidentale
un grande numero di passaggi si possono ricondurre a
uno o poco più nella M.V., questo spiega anche
perché spesso si associa alla M.V. una connotazione
magica
I principali sutras
1.
2.
3.
4.
5.
Per uno più che uno prima.
Tutti da 9 e l’ultima da 10.
verticalmente e incrociato
Transpose and Apply
If the Samuccaya is the Same it is
Zero
6. If One is in Ratio the Other is
Zero
7. By Addition and by Subtraction
8. By the Completion or NonCompletion
9. Differential Calculus
10. By the Deficiency
11. Specific and General
12. The Remainders by the Last
Digit
13. l’ultimo e due volte il penultimo
14. By One Less than the One Before
15. The Product of the Sum
16. All the Multipliers
Complementare di un numero a 10 o a
una potenza di 10
(tutti da 9 e l’ultimo da 10)
Per trovare il complementare di un numero si sottraggono
dal 9 tutte le cifre, mentre l’ultima si sottrae dal 10.
Notare che il complementare ha sempre un numero di
cifre pari agli zeri della potenza di 10 alla quale si calcola
il complementare
Es. il complementare a 100 di 61 è 39
il complementare a 1000 di 783 è 217
Incominciamo a fare magie
Ditemi due numeri di poco inferiori a
cento e vi dirò il loro prodotto
Moltiplicazione usando il
complementare
Se dovessimo moltiplicare 96x87
Calcoliamo i complementari dei due numeri
a 100
96 - 04
x 87 - 13
------------------83 / 52
Il primo numero 83 è stato trovato facendo la differenza 87-4 o che è lo
stesso 96 -13
Il secondo numero moltiplicando semplicemente 4x 13
Il risultato della moltiplicazione è 8352
giustificazione
( x –a )( x- b )= x( x –a –b)+ ab
(100 – 4)(100 -13)= 100( 100-4-13) +4*13
96
96
*
*
87
87
= 100(96-13)
= 100( 87- 4)
+52
+52
Moltiplicazione fra numeri che superano di poco la
potenza di 10
Se dovessimo moltiplicare 106x 121
Dobbiamo prima individuare la quantità
di cui eccedono
106 + 06
x 121 + 21
-------------------127 / 26
-------------------Il primo numero si ottiene sommando
1
121+6, il secondo facendo l’usuale moltiplicazione -----------------ma tenendo conto che c’è un riporto
128 / 26
il risultato è 12.826
Moltiplicazione fra numeri che sono
uno sopra e uno sotto la potenza di 10
108 x 94
Poiché uno dei numeri è per
108 + 08
x 94 - 06
---------------102 / 48
-----------------------
eccesso e uno per difetto devo
in pratica sottrarre 48 da una unità
presa dal numero a sinistra.
Il risultato è 10.152
101 / 52
Vediamo se mi riesce una
seconda magia
Ditemi due qualsiasi numeri di 2 cifre
e vi darò il loro prodotto
Moltiplicazione verticale e
incrociata
X
4
5
2
7
-------------20 4
1
38
----------------2394
Se devo moltiplicare 42x57.
Moltiplico gli ultimi due numeri a
destra fra loro e tengo conto
dell’eventuale riporto come in questo
caso 2x7= 14. Poi faccio la
moltiplicazione in croce sommando
fra loro i prodotti ottenuti
(4x7) +(5x2) = 38.
Moltiplico i due numeri a sinistra.
Infine sommo fra loro i risultati
Analogie con l’algebra
Il metodo citato precedentemente è quello che
abitualmente si usa nel prodotto fra polinomi
10 a + b
x 10c + d
-------------------100 ac+10 (ad+ bc)+ bd
Moltiplicazione per 11
Si deve moltiplicare 13.423x11
Si riscrive il primo fattore aggiungendo
la cifra 0 all’inizio e alla fine del numero.
Si sommano le ultime due cifre a destra
E si scrive il risultato sotto lo 0 e si
continua così prendendo via via la
somma della coppia di cifre
immediatamente seguente
Il risultato è 147.653
0134230
-----------147653
Moltiplicazione per 12
(ultimo e due volte il penultimo)
Si deve moltiplicare 65214x 12
Si riscrive il numero aggiungendo
lo 0 all’inizio e alla fine.
Si somma l’ultima cifra con il
doppio della penultima e si scrive
il risultato sotto lo 0 e si continua
così per le coppie di cifre seguenti
Il risultato è 782.568
0652140
----------782568
Terza magia
Ditemi un numero che termina per 5
e vi dirò il suo quadrato
Quadrato di numeri che terminano per 5
(per uno più di quello che era prima)
452 = (4 _5)2=4*5_25= 2025
752 = (7 _5)2=7*8_25= 5625
1052 = (10 _5)2=10*11_25= 11025
dimostrazione
( 10a +5)2 = 100 a2 + 2*5*10 a+ 25=
= 100 a(a+1) +25
Somma di frazioni con il metodo
verticale e in croce
Si devono sommare 2 frazioni con
denominatore diverso
3/4 + 5/8
Si calcola il MCD dei denominatori
Lo si scrive e poi si fa il quoziente tra
ciascuno dei denominatori e il MCD.
Il risultato è una frazione che ha al
denominatore il prodotto 4x1x2 e al
numeratore il prodotto in croce
(3x2)+(5x1)
3 5

4 8
4
1
2
(3x2)+(5x1)
11
------------------ = --4x1x2
8
Risoluzione di particolari equazioni
Le frazioni hanno lo stesso numeratore
1
1

0
2 x  1 3x  1
Basta sommare i denominatori e risolvere
l’equazione
5x-2= 0
x= 2/5
Si abbia una equazione di 1° grado
3x  4
x 1
a 

6x  7 2x  3
la somma dei numeratori e dei denominatori delle
frazioni algebriche che la compongono sono uguali o
differiscono per un fattore moltiplicativo, basta
risolvere l’equazione che si ottiene sommando i
numeratori
o
i
denominatori
nel nostro caso 4x + 5=0, oppure 8x+10=0, e avremo
la soluzione x= -5/4
oppure
2x  5 2x  3
2x  5
6x  9
b1 

b 2 

4x  7 4x  9
4 x  7 12 x  27
la somma di numeratore e denominatore delle
frazioni algebriche che la compongono sono uguali o
differiscono per un fattore moltiplicativo, basta
risolvere l’equazione che si ottiene sommando
numeratore
e
denominatore,
nel nostro caso 6x -12=0, oppure nel secondo caso
18x-36=0, quindi x=2
SPIEGAZIONE:
SE LA SOMMA È 0 I NUMERI SONO OPPOSTI
3x  4
x 1
a 

6x  7 2x  3
 5
 5
3
4

 1
4 
4 


a 

 5
 5
6
2
7
3
 4 
 4 
a  1   1
2
2
Si somma il numeratore del primo membro con il numeratore del secondo
membro, oppure si sommano i due denominatori, è lo stesso. In questo modo si
trova un valore di x tale che sostituito al primo e al secondo membro dà due numeri
tali che LA SOMMA È 0, sia quella dei numeratori che quella dei denominatori,
non possono essere quindi che due numeri opposti, e quindi viene verificata
l’uguaglianza e risolta l’equazione, che ha una sola soluzione
2x  5 2x  3
b 

4x  7 4x  9
Si somma il numeratore con il denominatore del primo membro e si eguaglia a 0, o
si fa lo stesso con il secondo membro. In questo caso si troverà un valore di x che
rende opposti il numeratore e il denominatore, dato che la somma è 0, e quindi si
otterrà che -1=-1
Trovare una soluzione di una specie
particolare di equazione
x 3
 x  5
3
3
x 1

x7
• La risoluzione classica è molto complessa ma se
osserviamo che la somma del numeratore( a meno della
potenza che deve essere dispari) e del denominatore è
lo stesso ed è 2x +8, basta che risolviamo 2x+8=0 e
troviamo x= -4. Provare per credere….
Teorema di Pitagora
c
b
a
c
(b+c)2 = a2+4* 1/2*bc
b2 +c2 +2bc= a2+ 2bc
b2 +c2 = a2
bibliografia
• Jagadguru Swami Sri- Bharati Krsna Tirthaji Vedic mathematics
• J.T. Glover Vedic mathematics for school book 2
• C.B.Boyer Storia della matematica