CORSO DI MATEMATICA – CURVE E SUPERFICI
Prof. Corrado Falcolini
Stud. Cantalupo Valeria – Ceraudo Daniele
STUDIO E RIPRODUZIONE DEL “JEFFERSON MEMORIAL” E
CONFRONTO COL PANTHEON
A.A. 2009-2010
TEMA : “Jefferson Memorial” di Pope
Il Thomas Jefferson Memorial è un monumento
costruito in onore di Thomas Jefferson, terzo
presidente degli Stati Uniti, e sorge a
Washington. L’edificio, in stile neoclassico, fu
progettato dall’architetto americano John Russel
Pope, e inaugurato nel 1943. E’ composto da un
podio di marmo a gradoni circolari, con un
colonnato ancora circolare di ordine ionico, ed è
sormontato da una cupola. Pope in questo modo
intendeva rifarsi sia al Pantheon di Roma, sia
all’edificio della “Rotunda”, progettato dallo
stesso Pope per l’Università della Virginia,
anch’esso sul modello del Pantheon romano.
L’edificio è situato nel West Potomac Park, sulle
sponde del Tidal Bain, un invaso artificiale creato
con le acque del fiume Potomac. L’interno
racchide un’enorme statua di bronzo di Thomas
Jefferson, alta 5,8 metri.
OBIETTIVO :
riprodurre il volume che
costituisce il Thomas
Jefferson Memorial
e confrontarlo con il volume
che costituisce il Pantheon
di Roma, per evidenziare le
effettive somiglianze e le
differenze rispetto all’edificio
di Pope.
PROCEDIMENTO :
COSTRUZIONE DEL VOLUME PER “PEZZI”
La riproduzione dell’edificio è avvenuta mediante la scomposizione del
volume in ELEMENTI BASE, che ci ha permesso di ricostruire passo dopo
passo il monumento.
cupola
colonnato
pianta
circolare del
colonnato
le 2 basi
le scale
d’ingresso
Copertura
colonnato
timpano
Cilindro
sala
interna
Dopo la definizione di tutti i singoli elementi, tramite il comando “Show”
abbiamo assemblato i vari pezzi, ottenendo in questo modo l’intero edificio.
Immaginando un percorso che parte dalle scale d’ingresso fino ad
arrivare al colonnato circolare con la sua cupola, gli elementi-base che
compongono l’edificio sono i seguenti :
1) LE SCALE D’ INGRESSO
2) I DUE BLOCCHI LATERALI (che fiancheggiano le scale d’ingresso)
3) LE DUE BASI (quella circolare del colonnato – quella rettangolare d’ingresso)
4) LE VARIE PEDANE (pedana1 – pedana2 – pedana3)
5) LA PIANTA CIRCOLARE DEL COLONNATO
6) IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA
7) IL CILINDRO DELLA SALA INTERNA
8) L’ENTRATA E LA SUA COPERTURA
9) IL TIMPANO D’ INGRESSO
10) LA COPERTURA DEL COLONNATO (costituita da 6 cilindri, quindi 6
coperture sovrapposte, di diametro sempre più piccolo fino ad arrivare alla
cupola)
11) LA CUPOLA
LE SCALE D’ INGRESSO
1
Le scale d’ingresso sono state create utilizzando i comandi :
-“TABLE” ( che prevede l’aggiunta di una variabile k)
- “CUBOID”( che si disegna scrivendo le coordinate dei “vertici opposti”, in questa
forma : Cuboid [{xmin, ymin,zmin} , {xmax, ymax, zmax}] ).
scale = Show [ Table [ Graphics3D [{ White, Cuboid [{14.5 ,-7.8 ,1k*0.1153846- 0.1153846} ,{14.5 +K*0.17, 7.8, 1-k*0.1153846}] },
PlotRange -> {{-19,21} , {-20, 20} , {-1,20}} ] , {k, 0, 9 }],
Axes ->True
scale2 = Show [ Table [ Graphics3D [{ White, Cuboid [{16.3 ,-9.8k*0.17,0.038-K*0.1153846-0.1153846},{17.3,K* 0.17, 9.8 + k*0.17,0.038-K*0.1153846 } ] },
PlotRange -> {{-19,21} , {-20, 20} , {-1,20}} ] , {k, 0, 4 }],
Axes ->True
2
I DUE BLOCCHI LATERALI
Per i due blocchi laterali è stato usato solamente il comando “CUBOID”, variando
per il blocco2 solamente la ymin e la ymax.
blocco1 = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [ {16.03,
10.48, -0.5} , {14.5 , 7.8 , 1.6}] }, PlotRange -> {-20, 20},
{-20,20}, {-1,20}}] , Axes -> True]
blocco2 = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [ {16.03,
-10.48, -0.5} , {14.5 ,- 7.8 , 1.6}] }, PlotRange -> {-20, 20},
{-20,20}, {-1,20}}] , Axes -> True]
3
LE DUE BASI (circolare e rettangolare)
-La base circolare del colonnato è stata realizzata mediante il comando
“CILINDER”,che si scrive nella forma : Cylinder [ { x1,y1,z1} , {x2,y2,z2}, r ], dove r
rappresenta il raggio del cilindro.
base = Graphics3D [ { RGBcolor [1,1,1] , Cylinder [{
[0,0,-0.5} , {0,0,1}}, 14] }, PlotRange -> {{-20,20},
{-20,20}, {-1,20} }, Axes-> True ]
-La base rettangolare d’ingresso invece è stata
realizzata mediante il comando “CUBOID”.
base2 = Show [Graphics3D [White, Cuboid [{7, -10.48,0.5}] , {14.5, 10.48,1}] ], PlotRange -> {{-20,20}, {20,20},
{-1,20}}], Axes -> True ]
4
LE VARIE PEDANE
-La prima pedana è stata realizzata mediante il comando “CUBOID”, facendo variare
di poco zmin e zmax per ottenere un’altezza minima.
pedana = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [{3, -3,
2.384616} , {10 , 3 , 2.5}] }, PlotRange->{{-20 , 20}, {20,20}, {0,20}}] ]
-La pedana2 è stata realizzata mediante una “Table” ed
il comando “CUBOID”, facendo variare il parametro k
sulla y sulla z e sulla x per ottenere tanti gradini diversi
sia in lunghezza sia in altezza ,sia in larghezza(man
mano che si sale più stretti).
pedana2 = Show[ Table[ Graphics3D [{White, Cuboid[{7, -4k*0.17 , 2.5-k*0.1153846 – 0.1153846} , {10+k*0.17 , 4+ k*0.17,
2.5- k*0.1153846}]}, PlotRange-> {{-19,19},{-20,20},{0,20} }],
{k,0,6}], Axes ->True]
LE VARIE PEDANE
La pedana3 è stata realizzata sempre mediante una “Table” ed il comando “CUBOID”,
facendo però variare k questa volta da 7 a 13.
pedana3 = Show [ Table [ Graphics3D [ { White, Cuboid [ { 7,-4.3 – k*0.17, 2.5 –
k*1153846-0.1153846}, {10.3 + k*0.17 , 4.3 + k*0.17 , 2.5 – k*0.1153846}] },
PlotRange-> {{-19,19},{-20,20}, {0,20} }] , {k,7,13} ],Axes->True]
5
LA PIANTA CIRCOLARE DEL COLONNATO
La pianta del colonnato è circolare ed è costituita da tanti cilindri via via più piccoli
sovrapposti l’uno all’altro. Per questo, per disegnarla sono stati usati :
-una “Table” (con la variabile k presente solo sulla z, per ottenere le diverse altezze)
-il comando “Cylinder” col raggio variabile a seconda di k.
pianta = Show [ Table[ Graphics3D [ {RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0,0, 1+k*0.3} ,
{0,0,1.3+k*0.3}}, 10- k/2] }, PlotRange-> {{-20,20}, {-20,20} , {0,20}}] , {k,0,4} ] ]
6
IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA
Sia per il colonnato circolare che per le colonne d’entrata, i passaggi sono stati
questi :
-definizione della funzione “cilindro”, di parametri r (il raggio del cilindro), u (la
coordinata della circonferenza) e v (l’altezza del cilindro) e della forma :
cilindro[ r_] [u_, v_] := {r* Cos[u] , r*Sin[u], v}
coordinate del punto generico del cilindro
- visualizzazione del GRAFICO del cilindro, di raggio 0.2, con u che varia da
0 a 2Pi e v che varia da 1.5 a 4.5
ParametricPlot3D [cilindro[0.2] [u, v] , { u, 0,2Pi},
{v,1.5 , 4.5}, PlotRange -> {{-10,10} , {-10,10} ,
{0,10}} ]
IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA
- definizione di “colonne”, ottenute con la funzione “Table” e con una traslazione
di vettore {6.95, k, 0 } , con k che varia tra -2.5 e 2.5 :
colonne = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.16] [u,v] + {6.95,k,0}, {k,-2.5,2.5}],
{u,0,2Pi}, {v,1.5,4.5}, PlotRange ->{{-10,10}, {-10,10},{0,10}}, PlotStyle->{White}]
IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA
A questo punto è stato realizzato il colonnato, utilizzando :
-la funzione “cilindro” definita in precedenza
-una traslazione : + 7.2 {Cos[a] , Sin[a] , 0.347222222}
-la funzione “Table”, di parametro a (l’angolo di rotazione), che varia tra 7/36 Pi e
65/36 Pi, con passo pari a 1/18Pi
colonnato = ParametricPlot3D [Table[cilindro[0.2] [u,v]
+7.2{Cos[a] , Sin[a] , 0.347222222},{a, 7/36Pi , 65/36
Pi , 1/18 Pi}] , {u,0,2Pi} , {v,0 , 4.5} , PlotRange-> {{10,10}, {-10,10},{0, 20} }, PlotStyle ->{White} ]
IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA
Infine sono state realizzate le colonne d’entrata (colonne1 e colonne2), utilizzando:
-la funzione “cilindro”(di parametri u e v)
-la traslazione di vettore {9.5, k, 0} per colonne1 e di vettore {8.7,k,0} per colonne2
-la funzione “Table”, con il parametro k che varia tra -3.4 e 3.6, con passo pari a
0.95
colonne1 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {9.5,
k, 0} , {k, -3.4, 3.6, 0.95}] ,{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7} , PlotRange ->
{{-10,10}, {10, 10} , {{0,10} }, PlotStyle ->{White}]
colonne2 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {8.7,
k, 0} , {k, -3.4, 3.6, 0.95}] ,{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7} , PlotRange ->
{{-10,10}, {10, 10} , {{0,10} }, PlotStyle ->{White}]
7
IL CILINDRO DELLA SALA INTERNA
La sala interna ha la forma di un cilindro, per questo è stato usato semplicemente il
comando“Cylinder”, con un raggio del cilindro pari a 5.5
sala interna = Graphics3D [RGBColor [1,1,1] ,Cylinder [{ {0,0,2.5} , {0,0,7}} ,5.5] },
PlotRange ->{ {-20 , 20} , {-20,20} , {0,20} } , Axes ->True]
8
L’ENTRATA E LA SUA COPERTURA (copertura1 e copertura2)
-L’entrata è un semplice parallelepipedo, quindi per disegnarla è stato usato il
comando “Cuboid”
entrata = Show [ Graphics3D [ { White , Cuboid [ {3.8,
-3.5 , 2.5} , {8, 3.5, 7 }] } , PlotRange -> { -20,20} ,{20,20} , {0,20} } ]]
-Anche la sua copertura è un parallelepipedo, quindi si ricorre
ancora al comando “Cuboid”, con un’ altezza però molto più
piccola. Lo stesso procedimento è stato applicato anche per
la copertura2, cambiando solo i parametri del comando
“Cuboid”
copertura1 = Show [ Graphics3D [ { White , Cuboid [
{6.2, -3.5 , 7} , {9.7, 3.5, 8 }] } , PlotRange -> { -20,20}
,{-20,20} , {0,20} } ]]
9
IL TIMPANO D’ INGRESSO
Il timpano d’ingresso è stato realizzato mediante il comando “Polygon”, che
prevede di specificare le coordinate dei punti che definiscono le varie facce del
poligono (nel nostro caso 3, essendo 2 facce inclinate ed una dritta).
timpano = Show [ Graphics3D [White , { Polygon [ { {10.1, -3.9, 8.4} , {10.1, 0, 9.6}, {10.1 , 3.9, 8.4}} ]} ,
{Polygon [ {{10.1 , -3.9 , 8.4} , {5 , -3.9 ,8.4} , {5, 0, 9.6 }}] }, Polygon [{ {10.1 , 3.9 , 8.4} , {5, 3.9, 8.4} ,
{5, 0, 9.6} , {10.1, 0, 9.6}} ] }, PlotRange ->{{-19,21},{-20,20} , {-1, 20} }} ], Axes -> True ]
10
LA COPERTURA DEL COLONNATO
La copertura del colonnato è formata da 6 cilindri sovrapposti, sempre più piccoli
man mano che si sale in altezza, fino ad arrivare all’ultimo cilindro. Perciò per
tutte e 6 le coperture sovrapposte è stato utilizzato il comando “Cylinder”, facendo
variare di volta in volta i parametri, compreso il raggio.
copertura2 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder
[{ {0, 0, 7} , {0 ,0, 8}} , 7.4] } , PlotRange -> {{-20,20} , {20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]
copertura3 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder
[{ {0, 0, 8} , {0 ,0, 8.4}} , 7.8] } , PlotRange -> {{-20,20} ,
{-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]
LA COPERTURA DEL COLONNATO
copertura5 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder
[{ {0, 0, 8.4} , {0 ,0, 8.8}} , 7.4] } , PlotRange -> {{-20,20}
, {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]
copertura6 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder
[{ {0, 0, 8.8} , {0 ,0, 9.6}} , 5.6] } , PlotRange -> {{-20,20}
, {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]
LA COPERTURA DEL COLONNATO
copertura7 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder
[{ {0, 0, 9.6} , {0 ,0, 10}} , 5] } , PlotRange -> {{-20,20} ,
{-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]
Infine, dovendo visualizzare tutti i cilindri sovrapposti l’uno sull’altro, è stato utilizzato il
comando “Table” nella copertura8, facendo variare la z ed il raggio del cilindro rispetto
al parametro k.
copertura8 = Show[Table [Graphics3D [{RGBColor
[1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 10 + k*0.2} , {0 ,0, 10.2 +
k*0.2}} , 5- k/3] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0,
20} } ] ,{k , 0, 3} ] ]
11
LA CUPOLA
Per la cupola siamo partiti da una funzione cubica che gira intorno ad un asse, con il
parametro u (che sta ad indicare di quanto si deve allargare la curva man mano che
scende), ed una traslazione in altezza: +{0, 0,12.7}.
cupola= ParametricPlot3D [ {u 4.7 Cos[v] , u 4.7 Sin[v] , 3.9 u^3 } + { 0 , 0 ,12.7}, {u, -0.8, 0} , {v , 0 ,2Pi}
PlotRange -> { {-20,20} , {-20, 20} , {0, 20} }, PlotStyle -> { White} ]
Infine, abbiamo ottenuto l’intero edificio col comando “Show”, visualizzando insieme
tutti gli elementi-base che compongono il nostro volume.
Per le colonne, il colonnato e la cupola abbiamo aggiunto l’opzione
“Mesh -> None” per visualizzare le superfici lisce ( cioè senza linee di
costruzione).
colonne1 =
ParametricPlot3D [Table
[cilindro[0.2][u,v] + {9.5, k, 0}
, {k, -3.4, 3.6, 0.95}] ,{u,
0,2Pi}, {v,2.5,7} , PlotRange
-> {{-10,10}, {10, 10} ,
{{0,10} }, PlotStyle >{White}, Mesh -> None]
colonnato = ParametricPlot3D
[Table[cilindro[0.2] [u,v]
+7.2{Cos[a] , Sin[a] ,
0.347222222},{a, 7/36Pi , 65/36
Pi , 1/18 Pi}] , {u,0,2Pi} , {v,0 ,
4.5} , PlotRange-> {{-10,10}, {10,10},{0, 20} }, PlotStyle >{White}, Mesh-> None ]
cupola= ParametricPlot3D [
{u 4.7 Cos[v] , u 4.7 Sin[v] ,
3.9 u^3 } + { 0 , 0 ,12.7}, {u,
-0.8, 0} , {v , 0 ,2Pi} ,
PlotRange -> { {-20,20} , {20, 20} , {0, 20} }, PlotStyle > { White}, Mesh-> None ]
In questo modo abbiamo ottenuto un aspetto diverso del volume finale.
CONFRONTO COL PANTHEON
Per il Pantheon il procedimento è stato lo stesso per tutti i singoli elementi che
costituiscono il volume. Le principali differenze stanno :
-nella mancanza delle colonne tutto intorno al cilindro della sala interna
-nella cupola e nel timpano, molto più schiacciati ( soprattutto la cupola,perché i
fattori che moltiplicano le variabili sono molto più grandi ( 27.8 e 16 rispetto a 4.7 e
3.9)
cupola = ParametricPlot3D [ {u 27.8 Cos[v] , u 27.8 Sin[v], 16 u^3 + {-10, 0, 48} , {u, 0.8, 0} , {v, 0, 2Pi}, PlotRange ->{{-70, 70} , {-50,50} , {0,60} }, PlotStyle-> {White} ,
Mesh-> None ]
-rapporto fattori Jefferson : 1,2
(cupola molto meno schiacciata)
-rapporto fattori Pantheon : 1,73
(cupola molto più schiacciata)
CONFRONTO COL PANTHEON
Il volume finale del Pantheon è questo:
Infine, per visualizzare entrambi i volumi senza asse di riferimento è stato usato
il comando : “Boxed -> False”.
BIBLIOGRAFIA
-Bedford, Steven McLeod, John Russell Pope: Architect of Empire, Rizzoli International Publications,
New York, 1998.
-Goode, James M. The Outdoor Sculpture of Washington D.C., Smithsonian Institute Press,
Washington D.C., 1974.
-http://it.wikipedia.org/wiki/Jefferson_Memorial
-http://sketchup.google.com