Palermo Filomena
Il moto armonico
MOTO OSCILLATORIO
Consideriamo la proiezione Q sul diametro del
cerchio di un punto P che si muove di moto
circolare uniforme lungo una circonferenza.
Mentre P percorrerà la circonferenza, Q si
muoverà lungo il diametro una volta da destra a
sinistra e l’altra da sinistra a destra.
Questo tipo di moto è caratterizzato dall'entità
massima dello spostamento rispetto alla
posizione di equilibrio, definita ampiezza di
oscillazione A e dall'intervallo di tempo che il
moto impiega per ripetersi, definito periodo di
oscillazione T. In stretto rapporto con il periodo
è la frequenza di oscillazione f, definita come il
numero di cicli di oscillazione nell'unità di tempo.
La frequenza ed il periodo sono l'una l'inverso
dell'altra:
Dall'analisi di questo tipo di moto risulta che la
velocità ha intensità variabile nel tempo e
l'accelerazione è proporzionale allo spostamento
Esempi di moti armonici
L’oscillatore armonico
 Il pendolo
 Due cariche
 Circuiti RLC
 L’elettrone

L’oscillatore armonico
Consideriamo ora l’ applicazione della legge di
Newton nel caso in cui siano presenti forze
elastiche o di richiamo, ovvero forze che sono
proporzionali e opposte allo spostamento del
punto materiale da una certa posizione di
equilibrio:
Oscillatore armonico
Un caso elementare in cui entrano in gioco forze elastiche è quello di una massa
m appoggiata ad un piano liscio (= senza attriti) legata ad un vincolo tramite una
molla.
l0
N
mg
Le quantità fisiche rilevanti per la descrizione della molla sono due:
• Lunghezza a riposo: è la lunghezza assunta dalla molla quando la risultante
delle forze agenti su di essa parallela alla direzione di deformazione è nulla.
• Costante elastica: è la costante di proporzionalità fra la deformazione della
molla (allungamento o compressione) e la forza di richiamo da essa esercitata.
Oscillatore armonico
Torniamo ora al nostro oscillatore sul piano orizzontale. Supponiamo di spostare
la massa m in modo da cambiare la lunghezza della molla.
Fel
N
La deformazione della molla
origina una forza di richiamo
sulla massa m.
l0
x
mg
In questo caso non c’è nessuna forza che possa equilibrare la forza elastica: il
sistema si metterà in moto.
Oscillatore armonico
Le equazioni del moto per il sistema saranno:
Fel
N
l0
x
mg
 max  k ( x  l0 )

may  mg  N  0
Oscillatore armonico
l0
Come determiniamo la costante elastica di una
molla? Misuriamo ad esempio l’ allungamento in
condizioni di equilibrio che otteniamo appendendo
delle masse m, 2m, 3m,… alla molla in posizione
verticale.
Dx
x
m
Oscillatore armonico
Ciascuno dei valori di Dx=(x-l0) misurati, corrisponde a
una posizione in cui la forza peso viene bilanciata
esattamente dalla forza elastica. L’ esperimento ci dice
che l’ allungamento della molla e’ proporzionale secondo
una certa costante a mg, che dovrà anche essere eguale al
modulo della forza elastica:
Fel  mg Dx  cost  mg
Dx
 Fel  kDx con k  1 / cost
Fe
e considerando i versi di Dx e Fel
l
Fel  kΔx
x
mg
La costante elastica k ha le dimensioni di una forza
divisa per una lunghezza. La sua unità di misura MKS
e’ N/m
Oscillatore armonico
Consideriamo solo la componente dell’ equazione lungo x (stiamo assumendo
che la molla si possa deformare solo in direzione longitudinale!). Questa mi da’
un’ equazione differenziale di questo tipo:
ma  k[ x(t )  l0 ]
Possiamo per il momento supporre di prendere l’ origine del nostro asse x in
corrispondenza della lunghezza a riposo della molla. Questo permette di
semplificare l’ equazione:
k
ax   x(t )
m
Oscillatore armonico
Questo implica che la relazione e’ soddisfatta solo se:
ω2 
k
k
ω
m
m
La costante w e’ detta pulsazione dell’ oscillatore, e dipende solo da
caratteristiche intrinseche al sistema (la costante elastica e la massa).
La pulsazione si misura in radianti/secondo, ed ha la dimensione di un tempo inverso.
Che significato ha w? Sappiamo che sin(x) e cos(x) sono funzioni periodiche, di periodo
2p. Questo significa che il nostro oscillatore ripasserà per la stessa posizione ogni
qualvolta si abbia:
ωt  φ  ω(t  T )  φ  2π
Oscillatore armonico
T rappresenta quindi l’ intervallo di tempo che trascorre fra due istanti in cui il
corpo occupa la stessa posizione. Questo e’ detto periodo dell’ oscillazione, ed e’
legato alla pulsazione dalla seguente relazione:
T
2π
m
 2π
ω
k
L’ inverso del periodo e’ la frequenza
n dell’ oscillazione, ovvero il numero
di oscillazioni che il sistema compie
per unità di tempo.
Asin(wt+f)
T
t
L’ unità di misura MKS della frequenza e’ l’ Hertz (s-1).
ν
1
1 k
ω


T 2π m 2 π
Oscillatore armonico
Cosa possiamo dire delle altre due costanti che compaiono nella legge
oraria?
Asin(wt+f)
Asin(f)
A
t
A e’ detta ampiezza dell’ oscillazione,
e rappresenta il modulo dello
spostamento massimo dalla
posizione di equilibrio
f e’ detta fase dell’ oscillazione, ed e’
legata allo spostamento iniziale
rispetto alla posizione di equilibrio,
che e’ dato da Asin(f).
Oscillatore forzato
Riconsideriamo ora il caso dell’ oscillatore verticale, in cui, oltre alla forza elastica, agisce
la forza peso. Abbiamo visto che la condizione di equilibrio e’ data da:
mg
kDx  mg  Δx 
k
Dx
x
Fel
mg
Cosa succede se spostiamo la massa da questa posizione di
equilibrio? Naturalmente la forza peso e la forza elastica non si
equivalgono più e il sistema inizia ad oscillare, come nel caso
visto in precedenza. Tuttavia possiamo intuire che ci sono
alcune differenze: che ruolo ha la forza peso nel moto?
Oscillatore forzato
Scriviamo ora l’ equazione del moto per il nostro sistema. Anche in questo caso possiamo
trovare un sistema di riferimento in cui il problema risulta essere unidimensionale.
ma  mg  k ( x  l0 )
l0
Fel
Scriviamo la corrispondente equazione differenziale:
d 2 x (t )
m
 mg  k [ x(t )  l0 ]
2
dt
che possiamo riscrivere come:
x
mg
d 2 x (t ) k
kl0
 x (t )  g 
2
dt
m
m
Oscillatore forzato
L’espressione trovata per la legge oraria ci dice che:
xeq 
mg
 l0
k
che coincide con la posizione di
equilibrio calcolata in precedenza;
• la pulsazione delle oscillazioni non
cambia rispetto a quella dell’
oscillatore libero.
Asin(wt+f) +xeq
• le oscillazioni avvengono intorno a
un valore costante
xeq
t
Pendolo
Consideriamo un sistema formato da una massa m appesa ad un filo inestensibile
di lunghezza L.
Le forze che agiscono sulla massa sono in questo caso la
forza peso e la tensione del filo, come illustrato in figura.
L
q(t)
T
mg
Il moto della massa e’ vincolato dal filo su un arco di
circonferenza.
Analogamente a quanto gia visto in cinematica nella
descrizione del moto circolare, possiamo utilizzare come
variabile per descrivere il moto l’angolo formato dal filo
con la direzione verticale.
Pendolo
Il diagramma delle forze agenti sulla massa e’ quindi il seguente:
T
eq
er
mg
q(t)
Ci conviene usare un sistema di riferimento con un asse nella direzione
istantanea del filo (radiale) e l’ altro ad esso perpendicolare (tangente quindi alla
traiettoria del pendolo). In questo sistema di riferimento scomponiamo la forza
peso, e scriviamo l’ equazione del moto. Notare che il verso degli assi e’ stato
preso consistentemente con la nostra definizione di angolo positivo.
Pendolo
Le equazioni del moto sono quindi le seguenti:
2

 dθ (t ) 
ma  m
 L  T  mg cos θ (t )

 r
 dt 

2
d
θ (t )

maθ  m
L  mg sin θ (t )
2

dt

Notare la presenza nella prima equazione dell’ espressione per l’accelerazione
centripeta che abbiamo incontrato descrivendo il moto circolare. La seconda
equazione ci da’ invece un’ espressione per l’ accelerazione tangenziale. Le due
equazioni non sono più disaccoppiate: per ricavare il valore della tensione del
filo dobbiamo conoscere la velocità. La seconda equazione tuttavia non dipende
da T, e quindi possiamo risolverla in maniera indipendente.
Pendolo
L’equazione del moto per la parte tangenziale e’ quindi:
d 2θ (t )
g
  sin θ (t )
2
dt
L
In questa forma questa equazione e’ risolvibile solo numericamente. Supponiamo
tuttavia che l’ angolo q(t) sia molto piccolo. In questo caso, se la suo valore e’
espresso in radianti, e’ possibile fare la seguente approssimazione (per piccoli
angoli):
sin θ (t )  θ (t )
In questa approssimazione l’ equazione del moto tangenziale diventa:
d 2θ (t )
g
  θ (t )
2
dt
L
Pendolo
Questa equazione e’ identica a quella dell’ oscillatore armonico, con l’ unica
differenza che la variabile questa volta e’ l’ angolo q(t). Conosciamo gia la
soluzione di questa equazione, che scriveremo come:
θ (t )  θ0 sin( ωt  φ)
dove la pulsazione e’ data dalla famosa relazione:
ω
g
L
Il moto del pendolo e’ quindi oscillatorio, con periodo costante e indipendente
dall’ ampiezza delle oscillazioni a patto che queste non siano troppo ampie
(questa osservazione risale a Galileo).