Riassumiamo i concetti e le grandezze fisiche definite nella lezione precedente
La “finestra” radio
Brillanza
Abbiamo
definito
la
Brillanza
partendo dalla definizione di potenza
infinitesima:
z
dW = B cos dA d d
sin d
dA

A

watt
B = B(, , ) watt m-2 Hz-1 rad-2
d
Brillanza Totale B’
y
d= d sin d
B’ (,,, ) =
+

B(,,)d
watts m-2 rad-2
x
Potenza Spettrale
dw = dW/d
watt Hz-1
dw = dW/d = B (,,) cos dA d
Abbiamo anche visto che di norma la Brillanza B non dipende dalla posizione
dell’elemento infinitesimo di superficie dA, e quindi si può portare fuori da questi
integrali un termine A corrispondente alla superficie totale.
Distribuzione di Brillanza e pattern d’antenna
Distribuzione di brillanza
d
Pattern d’antenna Pn (,)

Lobo principale
Lobi secondari
Half-pwer
beam width
Apertura efficace A e
(HPBW)
dell’antenna

Il pattern d’antenna normalizzato Pn è
una misura della risposta dell’antenna
in funzione degli angoli  e . E’
normalizzata a 1 e non ha dimensioni.
Nel caso di un’antenna, sostituisce il
termine cos, utilizzato in precedenza
per tenere conto della componente
della
superficie
di
raccolta
perpendicolare alla direzione di
incidenza della radiazione.

w = ½ Ae  B (,) Pn(,) d watt Hz-1
Rappresentazioni del pattern d’antenna
1
Pn()
Half-pwer
beam width

Half-pwer
beam width
Lobo principale

0 db
-3 db
Lobi secondari
0.125 0.25
0.375
0.5
-10 db
-20 db
Coordinate polari P(), e scala di
potenza lineare
Coordinate rettangolari P(), e
scala di potenza in decibel
Distribuzioni d’apertura e corrispondenti pattern d’antenna
Angolo solido del pattern d’antenna
A=  Pn(,) d
rad2
4
Direttività
D = Gmax = 4/A
Angolo solido del lobo principale
MB=  Pn(,) d
rad2
MB
Efficienza del beam
MB = MB/A
Efficienza d’apertura
A = Ae/Ag
1.0
L’apertura efficace Ae e la Direttività D che
abbiamo definito come:
D = Gmax = 4/A
Efficienza del beam
sono connesse dalla formula:
0.9
D = Gmax = 4Ae / 2
Efficienza d’apertura
da cui:
0.8
1.0
0.5
Ae A = 2
Sorgenti radio in relazione alla loro estensione angolare
•Sorgenti puntiformi (  0)
•Sorgenti localizzate (  1°)
•Sorgenti estese (  1°)
convenzione
L’integrale della Brillanza (,) esteso
all’angolo solido della sorgente:
S =  B(,) d
source
definisce la densità di flusso S
B(,) = Brillanza (watt m-2 Hz-1 rad-2)
d = sin d d
(rad2)
S = densità di flusso (watt m-2 Hz-1)
La densità di flusso e si misura in
Jansky:
1 Jy = 10-26 watt m-2 Hz-1
Se una sorgente è osservata con
un’antenna con un pattern Pn(,), la
densità di flusso misurata
sarà in
generale inferiore a quella reale:
S =  B(,) Pn(,) d
source
Se tuttavia la sorgente ha una
estensione angolare piccola rispetto
all’angolo solido del beam, così che
sulla sorgente:
Pn(,)  1
allora la misura di S è attendibile, e se B
è relativamente costante:
S  B(,) source
Nel caso opposto, in cui source MB,
se B è relativamente costante, potremo
scrivere:
S  B(,) MB
Relazione fra densità di flusso S e potenza W
In base a tutto quello che abbiamo visto in precedenza, la potenza W (in watt) ricevuta da
un’antenna con un pattern Pn(,) da una sorgente avente un angolo solido source è:
+
W = ½ Ae
 B (,) Pn(,) d d
s
che, ricordando la definizione di densità di flusso diventa:
+
W = ½ Ae  
S d
e se il flusso S è costante su :
W = ½ Ae S 
watt
Radiazione di corpo nero
Radiazione di corpo nero
Sappiamo che la Brillanza della radiazione emessa
da un corpo nero alla temperatura T è data dalla
legge di radiazione di Planck:
B = (2 h 3/c2) / (eh/kT - 1 )
dove:
B = Brillanza
in watt m-2 Hz-1 rad-2
h = costante di Planck (6.63 10-34 joule sec)
 = frequenza in Hz
c = velocità della luce (3 108 m sec-1)
k = costante di Boltzman (1.38 10-23 joule °K-1)
T = temperatura in °K
(da notare che il rapporto h/kT è un numero puro)
Si osservi che il punto di massima brillanza si sposta
verso lunghezze d’onda corte (alte frequenze) al
crescere della temperatura (si veda più avanti la
legge dello spostamento di Wien), e che l’area totale
racchiusa sotto la curva, l’integrale della brillanza
sullo spettro, cioè la brillanza totale, cresce
fortemente con la temperatura (si veda più avanti la
legge di Stefan-Boltzman).
Rappresentazione della legge di radiazione di Planck in scala logaritmica
Lunghezza d’onda  m
B() watt m-2 Hz-1 rad-2
1012
10-14
10-10
10-6
10-2
104
106
1
10-6
10-12
10-18
1022
1016
1010
Frequenza Hz
104
Radiazione di corpo nero: La legge dello spostamento di Wien
Una caratteristica che è stata notata qualitativamente sullo spettro di corpo nero è
che il punto di massima brillanza si sposta verso alte frequenze al crescere della
temperatura.
Una espressione quantitativa di questo spostamento può essere
ottenuta imponendo la condizione di massimo relativo (dB/d = 0) alla funzione
B():
2h/c2 [ 32(eh/kT – 1) - 3(h/kT)e h/kT ] = 0
nel caso in cui eh/kT >> 1, si ottiene:
h/kT = 3
cioè, la frequenza del punto di massima Brillanza è data da:
= 3kT/h
e, ponendo  = c/, la lunghezza d’onda del punto di massima Brillanza e’ data da:
 = hc/ekT
 = 0.0048/T
Un valore più preciso, ottenuto senza adottare la semplificazione eh/kT >> 1 è:
 = 0.0051/T
Radiazione di corpo nero: Legge di Stefan-Boltzman
La Brillanza totale di un corpo nero:

B’ =  B() d watt m-2 rad-2
0
si ottiene integrando la formula di
Planck:

2
B’ = 2h/c  3 / (eh/kT - 1 ) d
0
Si ponga: x = h/kT, da cui:
 = (kT/h) x
e
d = (kT/h) dx
sostituendo, si ha:
B’ =
2h/c2 (kT/h)4

 x3 / (ex-1) dx
0
L’integrale è una costante, per cui:
B’ =  T4
dove: B’ = Brillanza totale, watt m-2 rad-2
 = 1.8 10-8 watt m-2 rad-2 °K-4
T = temperatura corpo nero, °K
Radiazione di corpo nero: approssimazione di Rayleigh-Jeans
A frequenze radio,
si ha
tipicamente: h  kT e in questo
caso nella formula di Planck, il
termine
eh/kT
può
essere
approssimato:
Rayleigh-Jeans
da cui:
(eh/kT -1)  1+ h/kT -1 = h/kT
il che riduce la formula di Planck
della Brillanza del corpo nero a:
Log B
eh/kT  1+ h/kT
Planck
B = 2h3kT/c2h = 2kT/2
Quindi, a frequenze radio, la
Brillanza è proporzionale alla
Temperatura:
BT
log
log
Radiazione di corpo nero: approssimazione di Wien
Nel caso di radiazione ad altissima
frequenza, in cui h >> kT, nel
termine a denominatore della
formula di Planck si ha:
 e h/kT - 1  eh/kT
e la formula di Planck si riduce a:
Log B
eh/kT >> 1
Planck
B = (2h3/c2) e -h/kT
Wien
log
log
Log B
Rayleigh-Jeans
Planck
Wien
log
log
Densità di flusso S di una sorgente discreta nell’approssimazione di Rayleigh-Jeans
Se si assume che la temperatura, e quindi la brillanza, è costante
sull’estensione
angolare
s
di
una
data
sorgente,
nell’approssimazione di Rayleigh-Jeans della legge di radiazione, il
flusso S della sorgente è dato dalla:
S = (2kT/2) s
Jy
Nel caso di distribuzione non uniforme di temperatura si avrà invece:
S = (2k/2)
 T(,) d
s
Jy
Si può dimostrare che questa formula è valida non solo quando T(,)
rappresenta la effettiva distribuzione di temperatura sulla sorgente, ma
anche quando T(,) è la temperatura d’antenna osservata.
Temperatura di rumore
Sappiamo che la potenza di rumore per unità di banda disponibile ai capi di una
resistenza R a temperatura T e data da:
w = kT watt Hz-1
R
dove: k = costante di Boltzmann
(1.38 10-23 joule K-1)
T
T = temperatura °K
Se sostituiamo la resistenza R con un’antenna che presenta ai suoi terminali la
stessa impedenza R, la potenza di rumore disponibile ai suoi capi sarà quella
dovuta alla Brillanza corrispondente alla temperatura T della regione da cui
l’antenna sta ricevendo la radiazione, cioè:
w = ½ Ae  B (,) Pn(,) d watt Hz-1
Se immaginiamo di chiudere l’antenna in una scatola nera a temperatura T, la
Brillanza sarà costante in tutte le direzioni, e nell’approssimazione si RayleighJaens:
Bc = 2kT/2
ma: AeA = 2
w = (kT/2)Ae A
w = kT
T
w
(a)
(b)
(c)
Pattern d’antenna
T
R
T
T
w = kT
w = kT
w = kT
Sebbene nel caso di un’antenna racchiusa in una scatola nera, la temperatura della
struttura stessa dell’antenna è T, occorre rendersi conto che non è la temperatura
della struttura dell’antenna che determina la temperatura della resistenza radiativa R
dell’antenna. Questa è determinata dalla temperatura della regione emittente che
l’antenna vede attraverso il suo pattern direzionale.
La temperatura della resistenza radiativa si chiama temperatura d’antenna TA
Dalla relazione:
w = ½ Ae  B (,) Pn(,) d = kTA
[1]
e dalla definizione di densità di flusso S di una sorgente:
S =  B(,) Pn(,) d
si ottiene:
S = 2kTA/Ae
TA = S Ae/2k
Quindi: osservando una radio sorgente di flusso S, misureremo una temperatura
d’antenna TA proporzionale a S e all’area efficace Ae.
Se, in aggiunta, il cielo ha una temperatura media di background Tbg, quale sarà il
contributo di questa componente alla temperatura d’antenna ?
In questo caso,
ponendo nella [1]:
B = 2kTbg(,)/2 (approssimazione di Rayleigh-Jeans)
e ricordando che AeA = 2, si ha:
TA = (1/A) Tbg  Pn (,) d = Tbg MB/A
Cioè: la TA dovuta al background è tanto più vicina a Tbg quanto migliore è la
efficienza del beam
Sensibilità: minima temperatura rivelabile
La minima temperatura rivelabile da un radiotelescopio è data da:
Tsys
Tmin = Trms =
  t n
dove:
Tmin = minima temperatura rivelabile
Trms = rms della temperatura di sistema Tsys
Tsys = temperatura di sistema (TA + Tr + Tloss)
 = larghezza di banda
t = intervallo di tempo di integrazione
n = numero di record mediati
Da questa formula per la temperatura si ricava la formula per il minimo
flusso rivelabile, ricordando che S = 2kTsys/Ae
Esercizi
Nel sistema MKS, quale è l’unità di misura della Brillanza ?
L’unità di misura della Brillanza B è:
[B] = watt m-2 Hz-1 rad-2
(MKS)
Quale grandezza fisica si misura in Jansky e quale formula la collega alla
Brillanza ? Quale è l’unità di misura del Jy ?
Il Jansky (Jy) è l’unità di misura della densità di flusso S definita dalla:
S =

source
Le unità di misura del Jansky sono:
1 Jy = 10-26 watt m-2 Hz-1
B(,) d
(MKS)
Specificate quale è il range tipico della finestra radio (in lunghezza d’onda e in
frequenza) e indicate quali sono i fenomeni di assorbimento che la delimitano.
Limite inferiore: circa 10 MHz e limite superiore circa 600 GHz
Conversione in lunghezza d’onda:  = c/, dove c ~ 3 x 108 m/s
10 MHz -> 10x106 Hz;  = 3 x 108 /107
= 30 m
9
8
11
600 GHz -> 600x10 Hz;  = 3 x 10 /6•10 = 0.0005 m (1/2 mm)
A basse frequenza l’assorbimento è limitato dagli elettroni liberi della ionosfera
Ad alte frequenze da parte delle molecole nella troposfera, principalmente H2O e O2
Background
Concetto di frequenza di plasma: sappiamo che una nube di particelle cariche neutra (plasma), formata
di elettroni e ioni, ha una sua frequenza caratteristica detta frequenza di plasma 0 = e (Ne/me)1/2
dove:
0 = frequenza di plasma
e = carica dell’elettrone 4.8x10-10 esu
Ne = densità di elettroni in cm-3
me = massa dell’elettrone 9.1x10-28 g
0 = 8.97 (Ne)1/2 kHz
Questa è in sostanza la frequenza naturale di oscillazione del plasma. Solo per le onde elettromagnetiche
al di sopra di questa frequenza, il plasma è trasparente. Nel caso della ionosfera, Ne = 1.5 106 cm-3, per
cui 0 = 10 MHz
L’emissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero
alla temperatura di 225 °K. A quale frequenza si ha il picco di emissione ?
Usando la legge dello spostamento di Wien:
 = 0.0051/T
si ha:  = 0.0051/225 = 0.000023 m = 0.023 mm
 = c /  = 3 108/0.000023  13000 GHz
L’emissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla
temperatura di 225 °K. Il diametro angolare della Luna è di 30’. Calcolate la
densità di flusso in Jy ricevuta da un radiotelescopio che osserva alla frequenza
di 10 GHz con un beam di 5’ di diametro.
Poiché stiamo osservando a una frequenza  (10 GHz) molto più bassa del picco di emissione,
possiamo stimare la Brillanza alla frequenza  adottando l’approssimazione di Rayleigh-Jeans della
emissione di corpo nero:
B() = 2kT/2 = 2 2 kT / c2
Da cui risulta:
B() = 2 (10109)2 1.38 10-23 225 / (3 108)2 = 6.9 10-18 Watt m-2 Hz-1 rad-2
Essendo la dimensione angolare del beam più piccola di quella della sorgente,
la densità di flusso sarà data da:
S = B() beam
dove: beam = ( (δ)2), con δ = 2.5’
beam = 1.7 10-6 sr
da cui: S = B() beam = 1.7 10-6 x 6.9 10-18 = 1.2 10-23 Watt m-2 Hz-1
(1200 Jy)
L’emissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla
temperatura di 225 °K. Il diametro angolare della Luna è di 30’. Calcolate la
densità di flusso in Jy ricevuta da un radiotelescopio che osserva alla frequenza
di 10 GHz con un beam di 50’ di diametro.
Poiché stiamo osservando a una frequenza  (10 GHz) molto più bassa del picco di emissione,
possiamo stimare la Brillanza alla frequenza  adottando l’approssimazione di Rayleigh-Jeans della
emissione di corpo nero:
B() = 2kT/2 = 2 2 kT / c2
Da cui risulta:
B() = 2 (10109)2 1.38 10-23 225 / (3 108)2 = 6.9 10-18 Watt m-2 Hz-1 rad-2
Essendo la dimensione angolare del beam più grande di quella della sorgente estenderemo
l’integrale di B alla sorgente. La densità di flusso sarà data da:
S = B() source
dove: source = ( (δ)2), con δ = 15’
source = 6.1 10-5 sr
da cui: S = B() source = 6.1 10-5 x 6.9 10-18 = 4.2 10-22 Watt m-2 Hz-1
(42000 Jy)
Fornire una definizione qualitativa e una quantitativa di main beam
efficiency di una antenna
In termini qualitativi, la main beam efficiency, cioè l’efficienza del beam ( o lobo) principale, è
una misura di quanta dell’energia totale irradiata (o ricevuta –teorema di reciprocità)
dall’antenna è effettivamente irradiata (ricevuta) nel beam principale. La definizione
operativa è quindi:
MB = MB/A
dove:
MB = MB Pn (,) d
A
= 4 Pn (,) d
Fornire le definizioni di efficienza d’apertura di un’antenna, e direzionalità, spiegarne
il significato e descrivere la relazione fra queste due grandezze fisiche
L’efficienza d’apertura A è il rapporto fra l’apertura efficace Ae e l’apertura geometrica Ag ,
cioè:
A = Ae / Ag
e tiene conto quindi per esempio dell’effettiva illuminazione del riflettore da parte del feed.
La direzionalità è definita come:
D = 4/ A
è legata all’apertura efficace Ae dalla relazione:
A = 2/Ae
e cioè:
D = 4 Ae / 2