Francesca Serato
3^ ASo
Le curve sono ENTI MATEMATICI ASTRATTI, assegnati per mezzo di una funzione
definita su un insieme di numeri reali e valori in uno spazio genericamente a n dimensioni.
Il concetto di curva ha conosciuto una profonda evoluzione negli ultimi
secoli.
Con la nascita e lo sviluppo nel ‘600 della geometria analitica a opera di
importanti matematici, come Pierre Fermat, la nozione di curva cominciò a
precisarsi assieme
ai concetti di funzione; questi concetti furono dati da Dirichlet
nell’Ottocento.
Una curva è formalmente considerata come una
“funzione di una variabile x, definita in un certo insieme D,
che è una grandezza y, tale che per ogni valore della x in D
assuma un determinato valore.”.
Nel caso particolare che questa curva sia rappresentata
su una superficie piana, questa funzione (reale di variabile)
può fornire la rappresentazione cartesiana di una curva piana,
detta così perché tutti i suoi punti sono contenuti nel piano (x,y).
Tutte le curve in un piano sono definite come “luogo dei punti
le cui coordinate (x,y) soddisfano un’equazione del tipo: F(x,y)=0”.
Alcuni tipi particolari di curve geometriche sono dette coniche.
Le CONICHE
In matematica per sezione conica (o semplicemente per conica) si intende una curva piana: luogo dei punti
ottenibili come intersezione di un cono con un piano variabilmente orientato. Le sezioni coniche sono state
studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede
anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali delle coniche.
Due coniche bene visualizzabili sono la
circonferenza e l‘ellisse, le due specie di
curve chiuse che si ottengono intersecando
un cono e un piano.
La circonferenza è un caso particolare di
ellisse, relativo alla intersezione di un cono
circolare retto con un piano perpendicolare al
suo asse.
Se si interseca il cono con un piano parallelo
a una retta generatrice del cono si ottiene una
conica chiamata parabola.
Infine una intersezione con un piano non
parallelo ad alcuna retta generatrice che
determina una curva aperta, fornisce una
cosiddetta iperbole; in questo caso il piano
interseca entrambe le parti del cono,
producendo due curve non connesse.
L’ ELLISSE
Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta
generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di
semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un
angolo β con la retta a, asse del cono:
•se l'angolo che il piano forma
con l'asse del cono è maggiore
dell'angolo di semiapertura del cono (β>α)
otteniamo la curva nota col nome di ellisse.
•se π passa per il vertice V e β>α
si avrà una ellissi degenere
costituita da un solo punto.
L'ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO:
L'ellisse,
nel piano cartesiano,
è definita come il luogo dei punti del
piano
per i quali è costante la somma delle
distanze da due punti fissi detti fuochi
(F1 e F2).
L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE:
(x/a)2 + (y/b)2 = 1
c2 = a2 - b2
c2 = b2 - a2
con
se a > b, ossia se i fuochi sono sull'asse x
se a < b, ossia se i fuochi sono sull'asse y
ove i parametri a, b e c hanno il significato geometrico mostrato in figura.
La CIRCONFERENZA
Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta
generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di
semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un
angolo β con la retta a, asse del cono:
se β= 90° , si ha un caso particolare di ellissi,
la curva ottenuta è, dunque, una circonferenza.
LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO:
La circonferenza, nel piano cartesiano,
è definita come il luogo dei punti
che hanno la stessa distanza
da un punto fisso chiamato centro.
Tale distanza viene detta raggio.
L'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA:
x
2
+y
2
+ ax + by + c = 0
Coordinate del centro: C=(-a/2;-b/2)
F ≡ F1 = C
Raggio: r=radq[(a/2)2+(b/2)2-c]
La PARABOLA
Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta
generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di
semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un
angolo β con la retta a, asse del cono:
•se l'angolo che il piano forma
con l'asse del cono
è uguale all'angolo di semiapertura del cono (β = α)
otteniamo la curva nota col nome di parabola.
•se π passa per il vertice V e β = α
si avrà una parabola degenere
costituita da due rette coincidenti.
LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO:
La parabola, nel piano cartesiano,
è definita come il luogo dei punti
che hanno la stessa distanza
da un punto fisso chiamato fuoco (F) e da
una retta fissa chiamata direttrice (d).
L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA:
se l'asse di simmetria è parallelo all'asse y
x = ay2 + by + c
se l'asse di simmetria è parallelo all'asse x
Coordinate del vertice: V = (-b/2a;-δ/4a)
V1 = (-δ/4a;-b/2a)
Fuoco: F = (-b/2a;-1-δ/4a)
F1 = ( -1-δ/4a);-b/2a)
Equazione della direttrice: Y = -(1+δ/4a)
X = -(1+δ/4a)
Equazione dell' asse: X =-b/2a
Y = -b/2a
y = ax2 + bx + c
L’IBERBOLE
Consideriamo la superficie conica in figura, ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta r (detta
generatrice) intorno a una retta secante a (detta asse), e sia α l'angolo tra le due rette (angolo di
semiapertura del cono): intersechiamola con un piano π non passante per il vertice V e formante un
angolo β con la retta a, asse del cono:
•se l'angolo che il piano forma
con l'asse del cono
è minore dell'angolo di semiapertura del cono (β<α)
otteniamo la curva nota col nome di iperbole.
•se π passa per il vertice V e β<α
si avrà un’iperbole degenere.
L'IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO:
L'iperbole, nel piano cartesiano,
è definita come il luogo dei punti del piano
per i quali è costante la differenza delle distanze
da due punti fissi detti fuochi (F1 e F2).
L'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE:
(x/a)2 - (y/b)2 = 1
(x/a)2 - (y/b)2 =-1
se i fuochi sono sull'asse x
se i fuochi sono sull'asse y
con
c2 = a2 + b2
La Parabola in 3D