Sei pronto a “magnarteli”?
Una delle domande che sicuramente ti assilla è:
Vedi, se noi facciamo sempre la stessa
operazione ci stanchiamo e cerchiamo di
abbreviare o di trovare delle regolarità che
ci permettano di scrivere il risultato senza
dover sempre eseguire tutti i calcoli!
Si definiscono prodotti notevoli quei prodotti dove puoi scrivere il risultato senza
eseguire la moltiplicazione….che bello!!!
Scegli il prodotto notevole che vuoi studiare
Somma di due monomi
per la loro differenza
Quadrato del binomio
Quadrato del trinomio
Cubo del binomio
Proviamo a scrivere (2a+3b)(2a-3b) =
2a·2a = 4a2
2a·(-3b) = -6ab
3b·2a = 6ab
3b·(-3b) = -9b2
Proviamo ora a scrivere(3a+5b)(3a-5b) =
3a·3a = 9a2
3a·(-5b) = -15ab
5b·3a = 15ab
5b·(-5b) = -25b2
e siccome 6ab-6ab si annullano
otterremo
= 4a2 - 9b2
e siccome 15ab-15ab si annullano
otterremo
= 9a2 - 25b2
Proviamo a scrivere (2x+4y)(2x-4y) =
2x·2x = 4x2
2x·(-4y) = -8xy
4y·2x = 8xy
4y·(-4y) = -16y2
Non so tu, ma io mi sto stancando:
se dovessi fare 50 operazioni come
le precedenti mi annoierei a morte,
allora e' il caso di vedere se e'
possibile trovare qualche
scorciatoia.
Hai notato che due termini
sommandosi si annullano?
e siccome 8xy-8xy si annullano
otterremo
= 4x2 - 16y2
Quindi se dobbiamo calcolare(3x+4y)(3x-4y) =
facciamo
3x·3x = 9x2
4y·(-4y) = -16y2
e sriveremo (scrivi tu, non Remo)
= 9x2 -16y2
ora scriviamo la regola prendendo i monomi più semplici possibili:
(a+b)(a-b) = a2 -b2
La somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio
meno il quadrato del secondo monomio
calcoliamo
(2a+3b)2= (2a+3b)·(2a+3b)=
2a·2a = 4a2
2a·3b=6ab
3b·2a=6ab
3b·3b=9b2
quindi
4a2+6ab+6ab+9b2
osserviamo che i due monomi interni
sono uguali e (contrariamente a prima)
con lo stesso segno quindi li dobbiamo
sommare ottenendo:
4a2+12ab+9b2
Proviamo ora a scrivere
(2x+4y)2=(2x+4y)(2x+4y)
2x·2x = 4x2
2x·4y=8xy
4y·2x=8xy
4y·4y=16y2
quindi 4x2+ 8xy+8xy +16y2
e siccome 8xy+8xy sono uguali otteniamo
4x2+16xy+16y2
ora se ti dico di calcolare
(4a+3b)2
sapresti scrivere subito il risultato?
Certo…basta calcolare:
•Il quadrato del primo monomio
(4a)2=16a2
•il doppio prodotto del primo per il
secondo monomio
2·(4a)·(3b)=24ab
•Il quadrato del secondo monomio
(+3b)2= 9b2
…facile!
ora scriviamo la regola prendendo i monomi più semplici possibili:
(a+b)2 = a2 +2ab +b2
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto
del primo per il secondo monomio più il quadrato del secondo monomio
E se ora ti chiedo di trovare
(a-b)2=
Basterà ricordare le regole dei segni quindi:
a·a = a2
a·(-b)·2=-2ab
(-b)·(-b)=+b2
quindi
2
a -2ab+b2
da notare che il segno meno resta solo nel doppio prodotto mentre i quadrati sono sempre positivi.
(a+b+c)2=
(a+b+c)·(a+b+c)=
dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo monomio per ogni termine del secondo
a·a=a2
a·b =ab
a·c =ac
b·a =ab
b·b =b2
b·c =bc
c·a =ac
c·b =bc
c·c =c2
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=
Ora raccolgo i termini simili e li sommo
ab+ab=2ab
ac+ac=2ac
bc+bc=2bc
raccogliendo il tutto
=a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc
a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc?
Il quadrato di un trinomio e' uguale al quadrato del primo monomio più il quadrato del
secondo monomio più il quadrato del terzo più il doppio del prodotto del primo monomio
per il secondo, più il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo, più il doppio del
prodotto del secondo monomio per il terzo.
Allora proviamo a calcolare
(2a2b-3ab2+6)2=
•il quadrato del primo monomio: (2a2b)2 =(2a2b)·(2a2b)= 4a4b2
•il quadrato del secondo: (-3ab2)2= (-3ab2)·(-3ab2)=+9a2b4
•il quadrato del terzo 62=6·6=36
•due per il primo per il secondo 2·2a2b·(-3ab2) = -12a3b3
•due per il primo per il terzo 2·2a2b·6=24a2b
•due per il secondo per il terzo 2·(-3ab2)·6=-36ab2
Mettiamo ora assieme i risultati:
4a4b2 +9a2b4+36 -12a3b3 + 24a2b -36ab2
Abbastanza semplice vero?
Passiamo subito alla regola: infatti basta che consideriamo il binomio più
semplice possibile e poi leggiamo il risultato.
(a+b)3=
(a+b)·(a+b)·(a+b)=
ora, sappiamo che (a+b)·(a+b)=a2+2ab+b2 (quadrato di un binomio)
…quindi calcoliamo
=(a2+2ab+b2)·(a+b)=
=a3 +a2 b+2a2 b+2ab2 +ab2 +b3=
=a3 +3a2 b+3ab2 +b3
Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola:
(a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3
(se vuoi vedere i passaggi fai click qui)
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio più il triplo del prodotto del
quadrato del primo per il secondo monomio, più il triplo del prodotto del primo per il
quadrato del secondo monomio, più il cubo del secondo monomio
supponiamo di dover eseguire
(2x+3y)3
facciamolo assieme:
•il cubo del primo monomio: (2x)3
•il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo: 3·(2x)2 ·(3y)
•il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo: 3·(2x)·(3y)2
•il cubo del secondo: (3y)3
quindi raccogliendo:
(2x+3y)3= (2x)3 +3·(2x)2 ·(3y)+3·(2x)·(3y)2 +(3y)3=
=8x3 +36x2y +54xy2 +27y3
(a+b)3=(a+b)·(a+b)·(a+b)=
moltiplichiamo fra loro i primi due
a·a=a2
a·b=ab
b·a=ab
b·b=b2
e poiché ab+ab=2ab
otteniamo: (a2+2ab+b2)·(a+b)=
Eseguo la moltiplicazione
a2·a=a3
a2·b=a2b
2ab·a=2a2b
2ab·b=2ab2
b2·a=ab2
b2·b=b3
=a3+a2b+2a2b +2ab2+ab2+b3=
ora sommiamo i termini simili
a2b+2a2b=3a2b
2ab2+ab2=3ab2
quindi
= a3+3a2b+3ab2+b3