Disequazioni lineari
Prof. Vincenzo Calamia
Liceo Classico
Alcamo
Un’espressione nella quale figurino i simboli




minore di
es. 2² < 2³ (2² minore di 2³)
maggiore di
es. 24 > 23 (24 maggiore di 23)
minore o uguale a
es. a  b (a minore o uguale a b)
maggiore o uguale a
es. 2b  c (2b
maggiore o uguale a
è una disuguaglianza
2
c)
Disuguaglianza

Il simbolo
tra due espressioni corrisponde
alla seguente coimplicazione logica:
a  b  a<b  a=b

Analogamente il simbolo
tra due espressioni
corrisponde alla seguente coimplicazione logica:
a  b  a>b  a=b
3
Principi delle disuguaglianze
Sommando o sottraendo ai due membri di una
disuguaglianza lo stesso numero, il senso della
disuguaglianza non cambia:
a>b  a+c>b+c
a,b,cR
a>b  a-c>b-c
1212> >5512+3
> >5+3
5< <77
5-2
5+2< <7-2
7+2
12-3
5-3
5
-5 > -7  -5-2-5
> -7-2
< -3  -5-2 < -3-2
4
Principi delle disuguaglianze
Moltiplicando o dividendo i due membri di una
disuguaglianza per lo stesso numero positivo, il
senso della disuguaglianza non cambia:
a>b  c>0  ac>bc
a,b,cR
c>0
a>b  c>0  a/c>b/c
12
>>54
12
3 > >54/2
36 5< <9 76/3
52< <9/3
72
12

12/2
-5 > -7  -52-8>-72
< -4  -8/2 < -4/2
5
Principi delle disuguaglianze
Moltiplicando o dividendo i due membri di una
disuguaglianza per lo stesso numero negativo,
cambia il senso della disuguaglianza:
a>b  c<0  ac<bc
a,b,cR
C<0
a>b  c<0  a/c<b/c
12
> >5412
(-3) < 6
5
(5
<3)
76/(-3)
5(-2)> >9/(-3)
7(-2)
12
12/(-2)
<
4/(-2)
<
9
-5 > -7  -5(-2)
-8 < -4<-7(-2)
 -8/(-2) > -4/(-2)
6
Principi delle disuguaglianze
Sommando membro a membro due disuguaglianze
dello stesso senso, si ottiene una disuguaglianza
dello stesso senso.
a>b c>d  a+c>b+d
a,b,c,dR
a<b c<d  a+c<b+d
Sottrarre membro a membro due disuguaglianze dello
stesso senso, produce invece risultati imprevedibili !!!
12>5

7>3

12+7
>5<7
5+33<6  5+3
< 7+6
12>4

4>-2
-6<-5
12+4

-2<-1-6+(-2)
>
4+(-2)
<
-5+(-1)
7>4 5>2 6<8
7-5
=4-2
5<9  6-5>8-9
7
Principi delle disuguaglianze
Sottraendo due numeri disuguali da uno stesso
numero, le differenze sono disuguali in senso
contrario alla disuguaglianza dei sottraendi:
a>b  c-a < c-b
a,b,cR
a<b  c-a>c-b
8 >> -4
5
9-8<
9-5
5< <972-6
3-5> >2-9
3-7
6

8-6
<
8-(-4)
6
-5 > -7  -2-(-5)<-2-(-7)
-8 < -4 -5-(-8)>-5-(-4)
8
Principi delle disuguaglianze
Il prodotto membro a membro di due
disuguaglianze dello stesso senso tra numeri
positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso.
a>b  c>d  ac>bd
a,b,c,dR+
a<b  c<d  ac<bc
6>57>3  6x7 > 5<7
5x3
3<6  5 3 < 7 6
x
x
9
Principi delle disuguaglianze
Se due numeri positivi sono disuguali la
disuguaglianza dei loro reciproci (o inversi) ha
senso contrario.
a>b  1 < 1
a
b
a<b  1 > 1
a
b
4>21<1
4
2
a,bR+
4<81>1
4
8
10
Principi delle disuguaglianze
La potenza con lo stesso esponente intero positivo
dei due membri di una disuguaglianza tra numeri
positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso.
a > b
n
a
a < b
4 > 2  4 2 > 22
>
a,bR+
nNo
n
b
n
a
<
n
b
3 < 4  33 < 43
11
Principi delle disuguaglianze
La potenza con esponente intero positivo dei due
membri di una disuguaglianza tra numeri negativi,
cambia il senso della disuguaglianza se l’esponente è
pari, lo conferma se l’esponente è dispari.
a,bR
2n
2n
a>ba <b a<ba2n>b2n nNo
a>ba2n+1>b2n+1 a<ba2n+1<b2n+1
-4 > -5  (-4)2 < (-5)2 -3>-4  (-3)3 > (-4)3
12
Principi delle disuguaglianze
La potenza con esponente positivo dispari dei due
membri di una disuguaglianza tra numeri di segno
opposto, conserva il senso della disuguaglianza; con
l’esponente pari, non è certo in generale il senso.
a>ba2n ?>=<? b2n
a>ba2n+1>b2n+1
4
a,bR
a>0b<0
nNo
3 > (-4)3
3>-4

(3)
2
> -5 
<2(-5) 23>-3  (3)3 > (-3)3
4 > -4  (4) = (-4)
3 > (-2)3
3>-2

(3)
2
2
4 > -3  (4) > (-3)
(4)2
13
Principi delle disuguaglianze
La radice n-esima con indice positivo dei due
membri di una disuguaglianza tra numeri positivi,
conserva il senso della disuguaglianza.
a>b
na>nb
81 > 16  481 > 416
a,bR
a>0b>0
nNo
25 < 36  25 < 36
14
disequazioni
Si definisce disequazione una disuguaglianza in
cui figurino una o più lettere come incognite.
2x – 8
primo membro
> 0
secondo membro
Se l’incognita compare solo al numeratore la
disequazione si dice intera, altrimenti fratta
Se figurano altre lettere oltre l’incognita la
disequazione si dice letterale, altrimenti numerica
15
disequazioni
frazionaria
intera
Intera parametrica
frazionaria parametrica
16
disequazioni
soluzione
Un numero è una soluzione
di una disequazione se,
sostituito all’incognita, la
trasforma in una
disuguaglianza vera
10 è una soluzione di
questa disequazione
infatti
2x – 8 > 0
2 10–8=12 > 0
x
17
disequazioni
Dominio
Il dominio di una disequazione
in una variabile è l’insieme dei
valori (generalmente infiniti) che,
sostituiti alla variabile,
trasformano la disequazione
in una disuguaglianza vera o
falsa
La disequazione a destra ha per
dominio tutti i numeri reali (è definita
per qualunque valore di x) quindi DR
2x-8 > 0
x-3
2x – 8 > 0
La disequazione a sinistra non è
definita per x=3 (si annulla il denominatore)
quindi D=R-3
18
disequazioni
Dominio
2x–8 > 0
y=2x-8
x-3
2x-8 > 0
x-3
La retta è definita da -  a + ; esiste quindi un
valore di y per qualunque valore reale di x
D=R
L’iperbole è definita da -  a + , tranne per x=3
perchè il denominatore si annulla, quindi D=R-3
19
disequazioni
Insieme
delle
soluzioni
L’insieme delle soluzioni è
l’insieme di tutti i valori
(generalmente infiniti) che,
sostituiti all’incognita,
trasformano la disequazione
in una disuguaglianza vera
Tutti i numeri reali > di 4
costituiscono l’insieme delle
soluzioni di questa disequazione
ovvero
Per questa
disequazione
invece
2x-8
>0
x-3
2x – 8 > 0
S=xRx>4
S=xRx>4x<3
il grafico consente di comprendere meglio
20
disequazioni
Insieme
delle
soluzioni
2x–8 > 0
y=2x-8
x-3
2x-8 > 0
x-3
L’insieme delle soluzioni è costituito da tutti i valori di x per cui
le disequazioni diventano disuguaglianze vere.
Graficamente ciò
corrisponde ai valori di x
per cui y>0 (linea sul semipiano
delle ordinate positive) quindi:
Per la retta
Per l’iperbole
S=xRx>4
S=xRx>4x<3
21
disequazioni
Un’equazione
determinata ammette un
numero massimo di soluzioni pari al suo grado.
Una disequazione determinata ammette, in
generale, infinite soluzioni che fanno parte di
uno o più intervalli, limitati o illimitati.
la disequazione
Ammette questo insieme di soluzioni
x²-5x+60
S=xR  x2  x3
22
disequazioni
x²-5x+60
Anche in questo caso, il significato della
soluzione emerge con chiarezza dalla
rappresentazione grafica.
La soluzione della disequazione coincide
con la soluzione del seguente sistema:
y  0
y = x²-5x+6
Si tratta quindi di trovare i
punti della parabola,
rappresentata dalla prima
equazione, comuni al
semipiano delle ordinate
maggiori o uguali a zero
23
disequazioni
x²-5x+60
y=x²-5x+6

y = x²-5x+6
y0
S=xR  x2  x3
24
disequazioni
y0
(-
;2]  [3;+
8

y = x²-5x+6
L’insieme delle soluzioni
si può rappresentare
anche con le parentesi
8
x²-5x+60
S=xR  x2  x3
)
Le parentesi quadre [ ] indicano che l’estremo è
compreso, le tonde ( ) indicano che l’estremo è escluso
25
Principi di equivalenza delle disequazioni
Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione lo stesso
numero o la stessa espressione algebrica definita nello stesso dominio,
si ottiene una disequazione equivalente alla data.
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per
lo stesso numero positivo o per la stessa espressione
algebrica sempre positiva nello stesso dominio della
disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data.
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo
stesso numero negativo o per la stessa espressione algebrica sempre
negativa nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente
alla data solo se si cambia il verso del simbolo di disuguaglianza.
26
Fine
Fin
Fi
F
Prof. Vincenzo Calamia
Liceo Classico
27
Alcamo