Prof. Amelia Vavalli
Trasformazioni
geometriche
Affinità
Similitudini
Isometrie
Onotetie
Simmetria Centrale e
Identità
Isometrie piane
Tra le principali trasformazioni geometriche del piano reale
si annoverano le isometrie, cioè le particolari trasformazioni
geometriche che conservano la distanza tra punti.
Le isometrie del piano si possono classificare in:
traslazioni,
rotazioni,
simmetrie centrali,
simmetrie assiali.
Trasformazioni piane non isometriche
Tra le molte trasformazioni geometriche del piano che non
mantengono necessariamente le distanze, si ricordano, in
particolare, l’omotetia e la similitudine nel piano,
trasformazioni del piano che conservano i rapporti tra le
distanze, e l’affinità, trasformazione geometrica che
conserva il parallelismo di rette e congruenza tra segmenti.
Dalle definizioni date segue che le isometrie sono particolari
similitudini e che queste sono particolari affinità.
Isometrie
Si dice ISOMETRIA una trasformazione geometrica che
conserva le distanze ovvero, dati due punti A, B l'isometria
fa corrispondere ad essi due punti A' e B' tali che:
AB = A'B'
Pertanto le figure trasformate risultano congruenti a quelle
date e sono:
►le simmetrie centrali e assiali,
►le traslazioni,
►le rotazioni.
è una trasformazione geometrica che conserva inalterate tutte le misure, sia lineari
sia angolari.
ISOMETRIE
Una simmetria centrale è una trasformazione che scambia tra
di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come
punto medio, un punto fissato detto centro di simmetria.
Due punti A e B si dicono simmetrici
rispetto ad un punto O ( centro di
simmetria ) quando questo e' punto medio
del segmento che li unisce.
B
O
A
INVARIANTI DELLA SIMMETRIA CENTRALE
►L’allineamento dei punti
►L’incidenza e il parallelismo tra rette
►La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli
►Direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela)
►Orientamento delle figure
ALTRE PROPRIETA’ DELLA SIMMETRIA
CENTRALE
►L’unico punto unito è O centro di simmetria
►Ogni retta passante per O è unita (ma non luogo di
punti uniti)
►Ogni simmetria centrale è involutoria
►A ogni semiretta di origine O (centro di simmetria)
corrisponde la sua opposta
Una figura e' simmetrica rispetto ad un centro se
ogni suo punto ammette un simmetrico nella figura.
Ecco alcuni esempi di figure simmetriche rispetto ad
un loro punto:
A
B
A
O
B1
A1
A1
Il centro di simmetria è il punto d'intersezione delle loro diagonali.
Esempi di simmetria centrale in arte
ESCHER: DA CIRCLE
Notre Dame- Paris
Lo splendido rosone del Duomo di Orvieto, realizzato dal fiorentino Andrea di
Cione detto l'Orcagna.
ISOMETRIE
Una riflessione o simmetria assiale è una trasformazione
che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un
punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro,
asse o piano di riflessione
►le simmetrie assiali (o ribaltamento)
Fissata una retta r nel piano, la
simmetria assiale è una
isometria del piano in se stesso
che associa ad ogni punto A il
punto A’, simmetrico di A
rispetto a r.
La retta r si chiama asse
simmetria.
rr
A
90°
A'
di
r
INVARIANTI
►L’allineamento dei punti.
r
►L ’ incidenza e il parallelismo tra rette B
B'
►La lunghezza dei segmenti
► L’ampiezza degli angoli
F‘
F
C
A
C'
A'
ALTRE PROPRIETA’
►L’asse è una retta unita formata da punti uniti
►Tutte e sole le rette perpendicolari all’asse sono unite (ma non luoghi di punti uniti)
►Ogni simmetria assiale è involutoria
ESEMPIO
180°
D
C
A
B
A1
D1
B1
Asse di simmetria
C1
Esempi di figure geometriche che
ammettono assi di simmetria:
Esempi di simmetria assiale nella natura
Esempi di simmetria assiale nell’arte
ISOMETRIE
Una traslazione è una trasformazione affine dello spazio
euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella
stessa direzione. La si può anche interpretare come
addizione di un vettore costante ad ogni punto, o come
spostamento dell'origine del sistema di coordinate.
►le traslazioni
(Traslare significa ‘spostare, portare oltre, dal latino “trans-ferre”)
Si definisce traslazione di vettore v , una isometria
del piano in se stesso che associa ad ogni punto P
del piano il punto P’ tale che abbia
►la stessa direzione,
►lo stesso verso
►lo stesso modulo di .
P1
P
v
INVARIANTI nella TRASLAZIONE
► L’allineamento dei punti
► L’incidenza e il parallelismo tra rette
► La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli
angoli
► Direzioni (una retta viene trasformata in una retta
parallela)
► Orientamento delle figure
A1
C
D
ALTRE PROPRIETA’ della
TRASLAZIONE
D1
B1
V
A
►In una traslazione non esistono punti uniti
C1
B
►Ogni retta parallela a V è unita
per verificare che due figure si corrispondono in una traslazione, basta controllare che i
segmenti che uniscono due punti corrispondenti sono paralleli e congruenti.
Esempi di traslazione in arte
ESCHER
ESCHER
ISOMETRIE
Una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio
euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia
fisso almeno un punto. I punti che restano fissi nella
trasformazione formano un sottospazio: quando questo
insieme è un punto (l'origine) o una retta, si chiama
rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.
►le rotazioni
INVARIANTI
►L’allineamento dei punti
►L’incidenza e il parallelismo tra rette
►La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli
►Orientamento delle figure
ALTRE PROPRIETA’
►L’unico punto unito è il centro O di rotazione.
►Tutte e sole le rette passanti per O sono unite
per verificare che due figure si corrispondono in una rotazione, basta controllare che ogni
coppia di punti corrispondenti è equidistante dal centro di rotazione O, che si determina
come intersezione degli assi di due segmenti che hanno per estremi due coppie qualsiasi di
punti che si corrispondono.
P
O
P1
P
O
P2
P1
P
O
Esempi di rotazione in arte
ESCHER
ESCHER
Un'omotetia è una trasformazione
geometrica che permette di ingrandire o
ridurre una figura lasciandone inalterata
la forma.
A
A1
B
C
A2
B1
C1
C2
B2
Un'omotetia di centro O è una trasformazione dello spazio
euclideo che "dilata" le distanze da O di tutti i punti secondo
un fattore c, lasciando invariate le rette passanti per A che per
questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto P
dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da O e
passante per P, in modo che la sua distanza da A cambi
secondo un fattore costante c positivo. L'unico punto che
corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il
punto A.
Il punto A è il centro, mentre c è il rapporto dell'omotetia.
Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con
termini più familiari dilatazione, se c>1, contrazione se c<1.
Se "c=1" si ottiene ovviamente l'identità ovvero la
trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se
stesso.
L'omotetia è una particolare similitudine.
kandinskij
Composizione di OMOTETIA e TRANSLAZIONE
La similitudine è una particolare trasformazione geometrica nella quale ad una
figura ne corrisponde un'altra avente la stessa forma. In una similitudine i
segmenti che si corrispondono sono in un rapporto costante che prende il nome
di "rapporto di similitudine"; gli angoli corrispondenti sono invece congruenti.
Una qualunque similitudine si può ottenere mediante la composizione di una
isometria con un'omotetia.