Considerazioni sul modello di
Ehrenfest
Benedetto Raimondi
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Il modello di Ehrenfest risale al 1907, anno della sua
introduzione ad opera di Paul e Tatiana Ehrenfest.
La sua attuazione ed applicazione concreta sono semplici
ma, per avere risultati significativi, occorrono tempi
lunghi.
Per chi non lo conoscesse, esaminiamolo un pò…
Siano date due scatole, una vuota ed un’altra contenente N palline
numerate ordinatamente da 1 a N. La scatola con le palline la
chiameremo scatola A, quella vuota la chiameremo scatola B.
Sia data, infine, un’urna contenente N biglietti, numerati come le palline.
Tra i biglietti e le palline c’è una corrispondenza biunivoca.
A
Urna
B
Ogni volta che viene estratto un biglietto, la pallina corrispondente va
spostata dalla scatola in cui era all’altra. Dopo lo spostamento della
pallina, il biglietto va reimmesso nell’urna.
A
B
Si effettuino K estrazioni, dopo tale numero
di estrazioni si avranno: NA palline in A e NB
palline in B. NA è definita popolazione della
scatola A, analogamente per NB. Notare che
N = NA + NB
Si indichi con [NA, NB] lo stato
macroscopico con NA palline in A e NB
palline in B.
A [NA, NB] corrispondono tutti i microstati
ottenibili permutando le palline in A e B
lasciando invariati NA e NB. Tale numero,
indicato con W, è uguale a:
W
N!
N !N !
A
B
All’inizio, stato [N, 0], il valore di W, chiamato
probabilità termodinamica, è uguale ad 1.
La probabilità dello stato generico [NA, NB] é compresa tra 1 ed il
massimo valore permesso di W.
Allo stato [N /2, N /2], corrispondente all’equipartizione delle palline tra
le scatole A e B, corrisponde il massimo valore di W e dell’entropia S. Il
legame tra S e W è dato dall’equazione di Boltzmann:
S = k lnW
k è la costante di Boltzmann. W cresce al crescere di K, numero di
estrazioni. La crescita di W non è monotòna, si hanno fluttuazioni.
Allo stato [N /2, N /2], ripetiamo corrispondente al massimo valore di W, si
perviene, con fluttuazioni della popolazione anche ampie, per valori di K
sufficientemente grandi.
L’ampiezza delle fluttuazioni della popolazione dallo stato [N /2, N /2],
decresce, per valori di K grandi, al crescere di N. Se N tende ad infinito…
Per N tendente ad infinito, l’ampiezza delle fluttuazioni della popolazione,
nello stato [N /2, N /2], tende a zero.
Le considerazioni esposte sono derivabili dall’applicazione concreta del
modello di Ehrenfest. Per fare questo, tuttavia, occorre molto tempo.
Per N = 20 e K = 1.000, stimando 5 secondi per ogni osservazione
(estrazione, conteggio delle palline, verifica del vincolo N = NA + NB,
riportare i dati su carta millimetrata per eventuali grafici)…
Occorrerebbero 5.000 secondi, cioè più di un’ora!
Davide Neri e Valerio Innocenti Sedili hanno preparato, con Microsoft
Excel®, un’efficace e fedele simulazione del modello di Ehrenfest. Tale
lavoro simula, in quattro differenti fogli di lavoro, K = 1.000 estrazioni per
N uguale, rispettivamente a 20, 40, 80 e 160. I risultati si ottengono in
pochi secondi e vengono riportati in due grafici. In uno si riporta NB vs K,
in un altro si riporta S vs K.
Analogia tra modello di
Ehrenfest e sistemi chimico-fisici
suscettibili d’evoluzione verso
stati d’equilibrio
Risultati della simulazione del modello di Ehrenfest per proporre lo
sviluppo di argomenti generalmente non vengono trattati o che non
possono essere approfonditi come meriterebbero. Necessità di usare un
approccio microscopico per comprendere l’evoluzione spontanea dei
sistemi macroscopici verso stati d’equilibrio.
Necessità di usare un approccio microscopico per comprendere
l’evoluzione spontanea dei sistemi macroscopici verso stati d’equilibrio.
Natura statistica dell’entropia e carattere d’attrattore che lo stato
d’equilibrio esercita sui sistemi lontani da questo.
1. Lo stato d’equilibrio è quello più probabile.
2. Se si parte da uno stato lontano dall’equilibrio si avrà evoluzione verso
lo stato d’equilibrio.
3. Può sempre accadere che un sistema transiti da uno stato più probabile
verso uno meno probabile
Punto 1, ricordiamo che:
N!
W
N !N !
A
B
S = k ln W
 N!
S  k ln
 N !N
A
B


!
L’entropia S cresce al crescere di W e, per un dato valore di N, il
valore massimo di W e quindi dell’entropia S, si ha proprio se
NA = NB = N/2 cioè se le palline sono equidistribuite tra le due
scatole.
Punto 2. Spostamento d’una pallina da A a B
Probabilità [NA, NB]  [NA -1, NB +1] uguale a NA /N.
Spostamento d’una pallina da B ad A
Probabilità [NA, NB]  [NA +1, NB -1] uguale a NB /N.
Se:
NA > NB è più probabile [NA, NB]  [NA -1, NB +1]
NA < NB è più probabile [NA , NB] [NA +1, NB -1].
Punto 3.
a) da [N, 0] a [N/2, N/2] con una ben precisa sequenza d’estrazioni;
b) da [N/2, N/2] a [N, 0] con la sequenza inversa.
La a) é una delle tante che porta il sistema da da [N, 0] a [N/2, N/2];
la b) è una delle poche che allontana il sistema dall’equilibrio.
D’altronde, appena il sistema tende ad allontanarsi dall’equilibrio, si
verificano le condizioni discusse per il punto 2.
Le considerazioni fatte possono essere applicate all’espansione
spontanea d’un gas nel vuoto o alla diffusione da regioni a pressione (o
concentrazione) maggiore verso altre a pressione (o concentrazione)
minore. La diffusione è sempre più probabile nel verso da dove la
pressione (concentrazione) è maggiore a dove la pressione
(concentrazione) è minore. La diffusione in verso opposto non è
impossibile, è solo meno probabile.
Perentorietà di certe affermazioni con cui il secondo principio della
termodinamica è stato formulato. In particolare occorre insistere sulla
sostituzione della parola “impossibile”, tipica degli enunciati originari di
Kelvin e Clausius, con l’espressione “estremamente improbabile”.
“impossibile” esclude la possibilità di fluttuazioni rispetto alla condizione
d’equilibrio;
“estremamente improbabile”, di ampio respiro ed agevola la comprensione
della tendenza dei sistemi macroscopici isolati ad evolvere spontaneamente
verso condizioni di entropia massima e d’equilibrio.
Approccio microscopico indispensabile.
Proposte d’approfondimento
interdisciplinare e conclusione
Nell’ottica di uno studio storico della scienza, il modello di Ehrenfest
potrebbe essere usato come punto di partenza per approfondire la questione
del rapporto tra il concetto termodinamico di attrattore e quello delle leggi
del moto.
Un altro aspetto, molto fecondo, collegato al precedente e non solo di
pertinenza della termodinamica, è quello del rapporto tra tempo ed
entropia.
Nel lavoro di Neri ed Innocenti Sedili s’evidenzia, pure, il problema del
rapporto tra probabilità soggettiva e probabilità oggettiva…
C. P. Snow, Le due culture, Feltrinelli, 1975.
Superare la gratuita separazione tra le due culture, umanistica e scientifica e
riunire in un’unica prospettiva discorsi propri delle scienze dure, con
discorsi storici e filosofici.