1) Luogo geometrico
3) Coefficiente angolare
5) Assi cartesiani
2) Equazione della retta
4) Ordinata all’origine
6) Passante per l’origine degli assi
8) Rette Perpendicolari
7) Rette Parallele
9) Parallela all’asse delle X
10) Parallela all’asse delle y
11) Intersezioni fra rette
Fine
È l’insieme di tutti i punti del piano che soddisfano una
stessa proprietà.
y
La retta è il luogo geometrico
degli infiniti punti
tutti allineati fra di loro
x
Possono essere definiti come
luoghi geometrici la retta, l’asse
di un segmento, la parabola ecc..
L’asse di un segmento può essere
definito come il luogo dei punti del piano
equidistanti dagli estremi del segmento.
A
M
B
La parabola è definita come il luogo
geometrico dei punti equidistanti da un punto
fisso detto fuoco e da una retta detta
direttrice.
Equazione della retta
Ogni equazione di 1° grado,
in due variabili x e y,
ha come grafico
una retta
Ogni retta del
Piano si può
considerare
come il grafico
di una equazione
del tipo:
ax + by + c = 0
EQUAZIONE DI UNA RETTA
Forma
IMPLICITA
Forma
ESPLICITA
Y = - a/b x – c/b
y=mx+q
ax + by + c = 0
m = coefficiente angolare
q = intercetta
Il coefficiente angolare di una retta
rappresenta la sua inclinazione
L’INCLINAZIONE PUO’ ESSERE
POSITIVA
m>0
Nulla
m=0
NEGATIVA
m<0
Inclinazione positiva
L’angolo che la retta forma
con la direzione positiva
dell’asse x è minore di 90°
y
a < 90°
x
Inclinazione negativa
L’angolo che la retta forma con
la direzione positiva dell’asse x
è maggiore di 90°
y
a > 90°
x
Inclinazione nulla
M=0
y
Se M=0 la retta sarà
parallela all’asse delle x
x
Retta passante per
l’origine degli assi
EQUAZIONE
BISETRICI
Una retta passante per
l’origine ha equazione
y
y = mx (q = 0)
o
x
La bisettrice è il luogo dei punti
equidistanti da due rette incidenti
Y=X
Y=-X
Bisettrice del I e III quadrante
y
y
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
Bisettrice del II e IV quadrante
x
x
Ⅳ
RETTE PARALLELE
COEFFICIENTE
ANGOLARE
Due rette sono
parallele
quando non si
incontrano mai
e mantengono
sempre la stessa
distanza
FASCIO
IMPROPRIO DI
RETTE
Se due rette hanno lo stesso coefficiente
angolare sono parallele
m1 = m2
r 1||r2
r1 ) y = m 1x + q
y
r2) y = m2x + q
x
x
Una serie infinita di rette parallele forma
un FASCIO IMPROPRIO
y
La sua equazione è
y – y0 = m(x – x0)
x
Retta parallela all’asse delle ascisse X
Y
by + c = 0
Retta parallela all’asse delle x
X
Una retta è parallela all’asse delle ascisse (X)
quando nella sua equazione manca il termine con la
X(a=0), quindi il suo coefficiente angolare (m= - a/b)
è uguale a zero.
Esempio
• Equazione completa di una retta in forma esplicita:
Y = mx + q
• Equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse:
Esempio
y=q
y= 3
y
x
y
1
3
2
3
3
Retta y = 3
1
2
x
Retta parallela all’asse y
Retta parallela all’asse delle y
y
r
ax+c=0 b=0
x
Una retta è
parallela all’asse
delle y quando nella
sua equazione manca
il termina con la y
perché b = 0
La retta non incontrerà mai l’asse delle y pertanto
né il suo coefficiente angolare m = - a/b , né la
sua intercetta q = - c/b sono calcolabili
Esempio
• Equazione completa di una retta in forma implicita:
bY + c = 0
• Equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate:
ax + c = 0
Esempio
x=3
x
y
3
1
3
2
y
2
1
3
x
Rette perpendicolari
Rette perpendicolari:
y
Due rette sono perpendicolari
quando incontrandosi formano
Angoli di 90°
90°
90°
X
Due rette perpendicolari hanno
i coefficienti angolari uno l’opposto
dell’inverso dell’altro
Quando due rette sono
perpendicolari il prodotto
dei loro coefficienti angolari
è uguale a - 1
y
ESEMPIO
r1) Y = 2X – 3
m1 = 2
r2) Y = - 1/2 X + 5
m2 = -1/2
m1 * m2 = - 1
X
y
Sono due rette orientate e
perpendicolari
x
Le frecce
indicano il
verso
positivo
degli assi
Asse delle y
o asse delle
ordinate
y
La sua equazione è
x=0
Su di essa si misura la distanza
del punto dall’asse delle ascisse
y
X
Asse delle x
y
o asse delle
ascisse
x
La sua equazione
è y=0
Su di essa si
misura la distanza
del punto dall’asse
delle ordinate
X
Intersezione fra rette
Punto d’intersezione
Sistema di equazione
Fascio proprio di rette
Il Punto di intersezione fra rette è il punto
nel quale esse si incontrano
y
Rette incidenti nel punto
P = (x0;y0)
P
y0
x0
x
Per determinare il punto di intersezione
fra rette è necessario risolvere il sistema
fra le equazioni delle rette stesse
Rette parallele:
y
il sistema si dice
IMPOSSIBILE
Rette incidenti nel
punto P=(x0;y0)
y
x
Il sistema si dice
DETERMINATO
y
P
y0
x0
Rette coincidenti:
il sistema si dice
INDETERMINATO
x
x
È l ’insieme di tutte le rette
Che passano per uno stesso
Punto (x0 ; y0)
y
Equazione del fascio:
y - y0=m (x - x0)
y0
x0
x
L’intercetta è l’ordinata all’origine cioè il
punto di intersezione tra retta e asse y
intercetta
q
y=mx+q
TERMINE NOTO
DELL’EQUAZIONE DI UNA
RETTA IN FORMA
ESPLICITA
Esempio
y
2x -3y – 6 = 0 Forma implicita
1
2 3
-1
-2
x
Y = 2/3 x – 2
intercetta
Forma esplicita