Aeroelasticità
Lauree Specialistiche in Ingegneria
Aeronautica e Spaziale
A.A. 2009-2010
L’Operatore Aerodinamico Instazionario
per Flussi Incomprimibili
Franco Mastroddi
http://www.diaa.uniroma1.it/docenti/f.mastroddi
dal corso di
Aeroelasticità
Anno Accademico 2009-2010
Aeroelasticità
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Aeronautica e Spaziale
A.A. 2009-2010
SOMMARIO
 Richiami di termodinamica dei fluidi (fluidi non viscosi)
 Formulazione differenziale (PDE) per flussi (quasi-)potenziali
incomprimibili (portanti), instazionari
 Formulazione integrale per flussi quasi-potenziali incomprimibili
 Discretizzazione (spaziale) “solo sulla frontiera”: metodo dei
pannelli
ENFASI SU:
– Specificità della formulazione nel caso di flussi
portanti
– Generalità dell’approccio
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Il problema aeroelastico lineare
dalla meccanica del continuo
Aeroelasticità
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Struttura
Aerodinamica
Modello (Laplace Domain)
Obiettivo dell’Aerodinamica 
identificazione di
Aeroelasticità
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Richiami di meccanica del continuo A.A. 2009-2010
Principio della Termodinamica per fluidi
V postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali che
per ogni volume materiale del continuo
(Blasius)
(1)
segno “=“ per trasformazioni reversibili
FLUIDO: continuo il cui stato è determinato da due grandezze scalari: “volume specifico”
(ovvero “densità”) ed. “entropia”
L’equazione di stato che fornisce l’energia interna per un solido è
Pertanto, se si definiscono
Poiché dalla (1) si può ricavare
(2)
e

e
, l’equazione dell’energia diventa
Contributo alla crescita di entropia dovuto al lavoro
fatto dalla “porzione irreversibile” del
tensore degli sforzi:il tensore degli sforzi viscoso V
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Modello di flusso potenziale
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Incomprimibile – IPOTESI FISICHE
1. Il fluido è non viscoso se il lavoro fatto dalla velocità deformazione è reversibile, v. Eq. (2),,
(3)
2. Il fluido sia incomprimibile, cioè, essendo per l’equazione di continuità
implica
, allora
3. In assenza di flussi e sorgenti di calore la (2), se il flusso è inizialmente isentropico, da inoltre
in ogni istante
: l’entropia non più variabile di stato
4. Sia il flusso attaccato al corpo solido
5. Sia il flusso inizialmente irrotazionale cioè la vorticità
quando t=0
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Incomprimibile - modello PDE
Continuità:
Conservazione quantità di moto (Eulero)
 4 equazioni nelle incognite: 3 componeni di
e una di
Condizioni al contorno sul corpo (impermeabilità)  interfaccia fluido-struttura
Condizioni al contorno all’
Riduzione del problema ad
Una sola grandezza scalare
Incognita 
FLUSSO POTENZIALE
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Incomprimibile – esiste un “potenziale”
Se il flusso è inizialmente irrotazionale
, allora lo è sempre
- Se infatti si definisce la circolazione come
poiché vale il teorema di Stokes (v. Figura)
per qualsiasi contorno materiale C
allora in
- Vale il teorema di Kelvin
per cui
(
per
- Riapplicando di nuovo il teorema di Stokes per
e vista l’arbitrarietà della
sperficie S e del suo contorno materiale C si ha la tesi
… MA ….
)
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Incomprimibile – esiste un “potenziale”
.. .nulla può dirsi per quei punti materiali fluidi che abbandonano il corpo nel suo
bordo di uscita: questi punti costituiscono un insieme di punti che chiamiamo scia o
wake
Per tutti gli altri punti materiali di fluido vale invece
e si può definire univocamente una funzione
potenziale di velocità tale che
(1)
e quindi
Infatti in un qualsiasi percorso materiale chiuso ed in ogni istante vale
che dimostra che l’integrale da A a B è indipendente dal percorso e pertanto,,
fissato ad esempio
, esiste una univoca funzione del punto x data dalla (1)
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Incomprimibile
formulazione differenziale potenziale
Nel campo fluido: vale l’equazione di continuità
Sulla frontiera del corpo
(impermeabilità)
Sulla frontiera all’infinito
E sulla frontiera di scia
?????
che diventa
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Incomprimibile
discontinuità sulla scia
Se si indica con
le velocità della superficie di discontinuità di scia
n con
la componente normale ad essa del fluido e con
l’operatore
di “salto” (
) delle grandezza dalla parte 2 alla parte 1 della scia,, si ha
per la conservazione della massa attraverso la discontinuità
che per un flusso incomprimibile porge
Applicando similmente la conservazione della quantità di moto attraverso la scia
Combinando le precedenti si ha
che proiettata in direzione n da
Sulla discontinuità-fontiera di scia NON CI SONO salti di pressione e di componente
normale della velocità del fluido…………ma in termini di potenziale di velocità……
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Incomprimibile
discontinuità sulla scia
-
 Sulla frontiera scia
-
 Dall’equazione di cons. della quantità di moto deriva il Th. di Bernoulli
deve essere
Infatti poiché è
, allora
(Th. Di Bernoulli)
che attraverso la discontinuità si scrive
e cioè
con
Che si interpreta dicendo che il salto di potenziale attraverso la scia è costante purchè
ci si muova con velocità
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Incomprimibile
formulazione differenziale potenziale COMPLETA
Nel campo fluido: vale l’equazione di continuità
Sulla frontiera del corpo
che diventa
(impermeabilità)
Sulla frontiera all’infinito
Sulla frontiera di scia
e
 NB: unica B.C. con derivata
temporale
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Incomprimibile
Formulazione integrale di contorno per il potenziale
- Consideriamo la soluzione del problema potenziale della sorgente di massa di portata
unitaria concentrata nel punto
un fluido infinito ( nessuna B.C.)
(1)
La soluzione è analitica ed è il potenziale della “sorgente aerodinamica”
con
- Considerando allora un problema potenziale generico
non punti interni del campo governati da
(2)
- Operando un prodotto incrociato tra (1) e (2) ed
integrando sull’intero dominio fluido si ha
(3)
si trasforma con la II identità di Green

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Incomprimibile
Formulazione integrale di contorno per il potenziale
II identità di Green: date due generiche funzioni
e
si ha sviluppano la divergenza
Quindi sottraendo si ha l’identità
che applicata alla precedente (3) con il teorema di Gauss (normale “interna” al campo)
In cui è stata introdotta la funzione di dominio
per
per
per
nel campo fluido
nel corpo
nella superficie corpo
per cui si ha in definitiva
che è l’espressione integrale di contorno per il
potenziale di velocità
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Incomprimibile
Formulazione integrale di contorno per il potenziale
In base alle condiioni al contorno sul corpo, all’infinito e sulla scia tale espressione diviene
che è sia una rappresentazione integrale (per
nel fluido) della soluzione qualora si
conosca la soluzione nella frontiera, sia una condizione di compatibilità (per
sul corpo)
poiché in tal caso (E=1/2):
è costituita da tutte funzioni incognite “potenziale di velocità”, una “collocata” nel punto
, le altre integrate sul corpo. G e
sono note analiticamente,
è nota dalle condizioni al contorno di impermeabilità
La discretizzazione spaziale della precedente rappresentazione rappresenta la base
numerica risolutiva per l’aerodinamica potenziale instazionaria: il metodo dei pannelli
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Incomprimibile
Discretizzazione: il metodo dei pannelli
Dividendo la superficie del corpo in M pannelli (blu) e quella della scia in N pannelli (rossi)
e “collocando” il punto
negli M pannelli si ottiene per la k-ima equazione collocata
in cui l’input (normalwash) è dato da
ed i coefficienti puramente geometrici ricavati
dalla suddivisione dell’integrale in pannelli, sono

NB: non dipendono dal tempo se
il corpo si muove con piccole oscillazioni
attorno ad una configurazione di riferimento
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Incomprimibile
Discretizzazione: il metodo dei pannelli
L’unica condizione al contorno del problema differenziale
NON ANCORA UTILIZZATA è
(1)
Nel caso di geometria della scia fissata e piana
e considerando trascurabile la velocità di perturbazione
della particella di scia rispetto alla velocità della corrente,
la (1) diviene
con
Quindi la precedente discretizzazione diviene
Se quindi si esprime il salto di potenziale al bordo di uscita come differenza del valore del
Potenziale del pannello superiore ed inferiore tramite una matrice
di opportuni (1,-1,0)
si ha
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Discretizzazione: il metodo dei pannelli
Trasformando nel dominio di Laplace la precedente (cond. Iniziali nulle) si ha
con
È quindi definibile un operatore lineare in termini di matrice di trasferimento multi-input
multi-output che trasforma le M condizioni al contorno di impermeabilità negli M potenziali
di velocità, cioè
NB: se definisco
allora
essendo
matrice M X M
Osservazione: la parte di operatore aerodinamico che
trasforma le condizioni al contorno di impermeabilità in
potenziale di velocità è trascendente nel dominio di
Laplace, integrale nel dominio del tempo.
Esso costituisce una parte dell’operatore aerodinamico..
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
Modello (Laplace Domain)
Struttura
Aerodinamica
Tale operatore può essere decomposto
in quattro operatori lineari discreti uno dei
quali è proprio la matrice
matrice N X M
matrice M X M
matrice N X N
matrice M X M
matrice M X N
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
- Matrice
 dalle variabili modali alle B.C. aerodinamiche
Al fluido sulla parete va imposta la componente normale della struttura pari a
in cui la velocità del corpo e data da
Le normali deformate ed indeformate sono data da
in cui
Ma poiché
allora
in cui
e quindi
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
Eliminando i termini di ordine superiore nelle
si ha
e considerando l’adimensionaliz.
il cui termine stazionario è ininfluente (in campo lineare) per lo studio della stabilità: prendendo
allora la trasformata di Laplace sulla parte instazionaria si ha
in cui si è usata nuovamente la
La ricercata matrice delle BC sarà allora l’operatore discreto tale che 
e quindi finalmente dalla precedente
Osservazione: la parte di operatore
aerodinamico che trasforma le variabili
lagrangiane in componenti normali della velcità
della superficie del solido è polinomiale al
primo ordine nel dominio di Laplace,
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
- Matrice
 dal potenziale di velocità ai coefficienti di pressioni ( Bernoilli)
Il teorema di Bernoulli (integrale cons. q. di moto) per flussi potenziali nel sistema di
riferimento solidale con il corpo che trasla di
porge
Il coefficiente di pressione (linearizzato) è dato allora da
Passando allora al dominio di Laplace e a quantità adimensionali
La ricercata matrice di Bernoulli sarà allora l’operatore discreto tale che 
e quindi finalmente dalla precedente
Osservazione: la parte di operatore
aerodinamico che trasforma il potenziale in
coefficienti di pressione è polinomiale al
primo ordine nel dominio di Laplace,
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
- Matrice
 dai coefficienti di pressione alle forze generalizzate
La forza per unità di superficie sul solido dovuta da un non viscoso è flusso
La n-ima forza generalizzata è (considerando la definizione di coeff. di pressione)
Eliminando il contributo stazionario del primo integrale si ha allora
La matrice di proiezione delle forze sarà l’operatore discreto tale che 
e quindi finalmente dalla precedente
Osservazione: la parte di operatore
aerodinamico che trasforma i carichi
aerodinamici in forze generalizate è
costante rispetto la variabile di Laplace
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
OSSERVAZIONI
1. L’operatore aerodinamico per un flusso potenziale linearizzato ha una dipendenza dalla
variabile di Laplace s (oppure p):
- di tipo polinomiale al più di secondo grado  possono esistere per l’aerodinamica
comportamenti vibratori tipo masse/smorzamenti/rigidezza aggiunte alle strutturali,
cioè esistono a livello modellistico matrici di massa, rigidezza smorzamento aerodinamici
- .ma non solo la dipendenza è pure di tipo trascendente nella variabile di Laplace e
ciò risiede fisicamente al meccanismo di trasporto convettivo operato dalla scia.
2. La procedura illustrata su geometrie semplici da luogo a soluzioni analitiche come nel
caso del profilo (2-D) sottile piano  Theodorsen (1935) fornisce per portanza e momento:
con
(funzioni di Bessel)
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la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate
OSSERVAZIONI (segue)
3. Se l’operatore aerodinamico, noto computazionalmente per punti nel dominio di Laplace, fosse
in esso approssimabile con strutture funzionali polinomiali (in analogia con curve fitting usato
dinamica strutturale sperimentale)
 allora è come se si approssimasse l’operatore con un operatore puramente differenziale
riconducibile alla forma di stato
 La stabilità si potrebbe studiare con un problema standard di autovalori
 Si avrebbero modelli aerodinamici di ordine ridotto, ROM, Reduced Order Model
 Sul sistema aeroelastico globale si può operare la teoria del controllo
(AEROSERVOELASTICITA’)